精品解析：江苏省南京市临江高级中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

江苏省南京市临江高级中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题 2025.5 时间：120分钟 总分：150分 注意：请在答题卡上作答 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 设复数满足，则的虚部为（ ）． A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，满足，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则角的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知m,n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了测量河对岸塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，，长米，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 8. 三棱锥所有棱长都为2，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分）（部分选对的得部分分） 9. 下列有关复数的说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 若，则的取值范围为 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 一个对称中心为 C. 在区间内单调递增 D. 将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 11. 如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，F,M分别是棱AD,CD的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 当为中点时， C. 存在点，使得平面平面 D. 点到平面ABC的距离为1 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知、为锐角，，，则_________. 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，，，则_____. 14. 在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）． （1）求的值； （2）复数在复平面对应点在第一象限，求实数的取值范围． 16. 如图，在边长为2的等边中，，点是边的中点，设. （1）用表示； （2）求的值； （3）求的值． 17. 如图，在三棱柱中，底面ABC，，点是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面． 18. 在中，角所对的边，已知． （1）求角； （2）若，求面积的最大值． 19. 如图，在四棱锥中，是边长为6的等边三角形，平面平面，点为的中点，点在棱上，直线平面． （1）证明：平面； （2）求的值； （3）设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市临江高级中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题 2025.5 时间：120分钟 总分：150分 注意：请在答题卡上作答 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 设复数满足，则的虚部为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的除法化简复数，由此可得出复数的虚部. 【详解】，，因此，复数的虚部为. 故选：B. 2. 已知平面向量，，满足，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意将两边平方，结合数量积以及模的运算，即可求得答案. 【详解】由可得，即， 即，所以， 故选：D. 3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则角的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】运用正弦定理即可求出，进而可求的值. 【详解】由正弦定理可得， 即， 因为，所以， 所以， 所以或， 故选：D 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】，因为， 所以，得. 故选：A 5. 已知m,n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行和线面垂直，面面垂直的性质判断即可. 【详解】A选项，若，则或异面，故A选项错误； B选项，若，则或，故B选项错误； C选项，由直线与平面垂直的性质可得,故C选项正确； D选项，若，则或，故D选项错误. 故选：C 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式、二倍角公式化简求值. 【详解】由题意，. 故选：C. 7. 如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，，长米，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求出，再利用直角三角形边角关系求解即得. 【详解】在中，，，则， 由正弦定理得，则， 在中，，所以. 故选：D 8. 三棱锥所有棱长都为2，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接CF，取CF的中点O，连接EO，BO，得出（或其补角）是异面直线BE与PF所成的角，根据长度关系求出（或其补角）的余弦值即可. 【详解】连接CF，取CF的中点O，连接EO，BO， ∵E是PC的中点， ∴EO∥PF， ∴（或其补角）是异面直线BE与PF所成的角. 设三棱锥P－ABC的所有棱长为2， 则, 则， 则， 在中，由余弦定理得 ， ∴异面直线BE与PF所成角的余弦值为. 【点睛】关键点睛：解题的关键是正确找出异面直线所对应的夹角，然后再解三角形. 二、多选题（本大题共3小题，共18分）（部分选对的得部分分） 9. 下列有关复数的说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 若，则的取值范围为 【答案】CD 【解析】 【分析】令、判断A、B；令对应向量为，结合向量减法的几何意义判断C；先确定的对应点轨迹，再确定的范围判断D. 【详解】对于A：当，也有，错； 对于B：若，则，错； 对于C：令对应向量为，易知，对； 对于D：由表示的对应点在圆心为，半径为2的圆上，故的取值范围为，对. 故选：CD 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的一个对称中心为 C. 在区间内单调递增 D. 将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】辅助角公式化简函数，根据三角函数的基本性质即可求解. 【详解】因为， A选项，的最小正周期为，故A选项正确； B选项，，故B选项错误； C选项，因为，则， 所以函数在区间内单调递增，故C选项正确； D选项，将函数的图象上所有点向右平移个单位长度得，的图象，故D选项正确； 故选：ACD 11. 如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，F,M分别是棱AD,CD的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 当为中点时， C. 存在点，使得平面平面 D. 点到平面ABC的距离为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题设得、、是边长为的等边三角形，且必交于一点，即可判断A、B、C；由线面平行的判定证平面ABC，再由已知判断D. 【详解】由平行且相等，则为平行四边形，故， 又F,M分别是棱AD,CD的中点，则，故，A对； 由题设易知是边长为的等边三角形， 所以中点时，有，即，B对； 在平面内，必交于一点，又平面，平面， 所以平面，平面必交于一条直线，C错； 由，平面ABC，平面ABC，则平面ABC， 动点在线段上，结合已知点到平面ABC的距离为1，D对. 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知、锐角，，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由求出，利用正切和角公式求出，结合、为锐角，得到. 【详解】因为，为锐角， 则，， 可得， 且、为锐角，则，所以. 故答案为：. 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】因为的面积为， 所以， 于是有， 由余弦定理可知：， 故答案为： 14. 在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过且过的平面与面的交线平行于即为，由此能求出过点的平面截该正方体所得的截面的周长． 【详解】正方体中，分别是棱的中点， ． 平面平面， 平面， 由正方体的棱长为4， 所以截面是以为腰，为上底，为下底的等腰梯形， 故周长为． 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）． （1）求的值； （2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用共轭复数意义及复数的乘法运算计算，再利用纯虚数的意义求得实数m的值； （2）利用复数的除法求，再结合复数的几何意义求解. 【小问1详解】 依题意，，则， 由为纯虚数，得，所以. 【小问2详解】 由（1）得，复数， 由复数在复平面对应的点在第一象限，得，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 如图，在边长为2的等边中，，点是边的中点，设. （1）用表示； （2）求的值； （3）求值． 【答案】（1）；； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可； （2）由（1）结合向量的数量积定义求解即可； （3）将，两边平方，算出后再开方即可得答案. 【小问1详解】 解：因为； ； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：因为， 所以. 所以. 17. 如图，在三棱柱中，底面ABC，，点是的中点． （1）求证：； （2）求证：平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 分析】（1）通过证得，且，证得平面，进而证得； （2）设与的交点为，连结，由三角形的中位线定理得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. 【小问1详解】 证明：由底面，且底面，所以， 又因为，，且平面， 所以平面， 因为，所以． 【小问2详解】 证明：设与的交点为，连结， 因为是的中点，是的中点，所以， 因为平面，且平面，所以平面． 18. 在中，角所对的边，已知． （1）求角； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得到求解； （2）由（1）知，再由，利用余弦定理结合基本不等式得到，然后利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 得， 即，又， 所以，所以，又，从而得； 【小问2详解】 由（1）得，又， 由余弦定理 ， 所以，当且仅当时取得等号， 故，当且仅当时取得等号， 所以面积的最大值为. 19. 如图，在四棱锥中，是边长为6的等边三角形，平面平面，点为的中点，点在棱上，直线平面． （1）证明：平面； （2）求的值； （3）设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 【答案】（1）证明见详解 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得，利用面面垂直的性质定理得证； （2）连接交于点，连接，由线面平行的性质定理得到，再由线段成比例可得结果； （3）由线面垂直的性质定理和判定定理得到，设，得到.过作交于，连接，得到，由余弦定理和三角函数值求出的表达式，根据函数的单调性可得结果. 【小问1详解】 如图，连接，因为为等边三角形，是的中点，所以， 又平面平面，平面，平面平面， 所以平面. 小问2详解】 连接交于点，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，则， 因为，，所以，故. 【小问3详解】 如图，取的中点， 因为平面，平面，所以，. 又分别是的中点，所以， 由，得， 因为，平面，所以平面， 因为平面，则， 所以是二面角的平面角，即. 因为是边长为6的等边三角形，所以. 设，则，，得， 过作交于，连接，由平面，得平面， 所以为直线与平面所成的角，即. 由得，， 在中，. 在中，由余弦定理可得， 所以， 所以 因为，所以， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $