精品解析：吉林省长春市汽车经济技术开发区第三中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题

汽开三中2024-2025学年度下学期期中考试 高一数学 注意事项： 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，总分150分，考试时问120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40，30，50，学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生，已知乙班分配到的优秀学生名单为6人，则高三年级三个班优秀学生总人数为（ ） A. 16 B. 30 C. 24 D. 18 2. 若复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，则（ ） A. B. C. 或 D. 5. 如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形，已知，则四边形ABCD的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在长方体中，，若点在平面上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角所对的边分别为，是边的中点，， 若，则边（    ）. A. 16 B. C. 4 D. 8 8. 已知非零向量，满足，且，则为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 若两条直线互相平行，则这两条直线确定一个平面 B. 若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线 C. 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 D 两条异面直线不可能垂直于同一个平面 10. 某研究机构在训练人工智能模型时，有两种训练算法甲和乙，使用算法甲训练了30次，每次训练耗时平均数为2，方差为0.25，使用算法乙训练了20次，每次训练耗时的平均数为1.5，方差为0.3，则（ ） A. 总体每次训练平均耗时1.8小时 B. 总体每次训练平均耗时1.75小时 C. 总体每次训练耗时的方差为0.28 D. 总体每次训练耗时方差为0.33 11. 在中，角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则为等腰直角三角形 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 向量满足与的夹角为，则______． 13. 对于随机事件有___________. 14. 粽，即粽籺，俗称粽子，据考证，粽早在春秋之前就已出现，最初是用来祭祀祖先和神灵；到了晋代，粽子成为端午节的节庆食物.端午食粽的风俗，传播甚远.包粽子是端午节的一种传统风俗，同学们在劳动课上学习包粽子，将包的四角蛋黄粽近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积为______. 四、解答题：本题共5小题、共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为是等边三角形，. （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体体积. 16. 甲乙两人进行投篮比赛，规定：每人每轮投球一次，若同时命中或同时未命中，则进行下一轮投球，若只有一人命中时，则命中者获得比赛的胜利，同时比赛结束.已知甲的命中率为，乙的命中率为，且各次投篮互不影响. （1）求第一轮比赛未分出胜负的概率； （2）求甲在第3轮比赛时获胜的概率. 17. 今年四月份某单位组织120名员工参加健康知识竞赛，将120名员工的竞赛成绩整理后画出的频率直方图如图所示. （1）求实数a的值，并求80分是成绩的多少百分位数？ （2）试利用频率直方图的组中值估算这次健康知识竞赛的平均成绩； （3）从这次健康知识竞赛成绩落在区间内的员工中，随机选取2名员工到某社区开展“学知识､健体魄”活动.已知这次健康知识竞赛成绩落在区间内的员工中恰有3名男性，求至少有1名男性员工被选中的概率. 18. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，，设为的角平分线，求的长. （3）若，且的面积为，求的周长. 19. 费马问题是著名的几何极值问题，它是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点P就是它到三个顶点距离之和最小的点，这个点P称为费马点，当的一个内角大于120°时，最大内角的顶点为费马点． 试用以上知识解决下面问题： 在中，角所对的边分别是，若，． （1）求； （2）设点为费马点， ①若，求； ②设，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 汽开三中2024-2025学年度下学期期中考试 高一数学 注意事项： 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，总分150分，考试时问120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40，30，50，学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生，已知乙班分配到的优秀学生名单为6人，则高三年级三个班优秀学生总人数为（ ） A. 16 B. 30 C. 24 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】利用分层随机抽样及已知，求出三个班级分配到的优秀学生人数即得. 【详解】甲、乙、丙三个班级人数比为，由分层随机抽样知，三个班级优秀学生名额分别为8，6，10， 所以高三年级三个班优秀学生总人数为人. 故选：C 2. 若复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，即可得出复数的虚部. 【详解】因为，所以，因此复数的虚部为. 故选：C. 3. 已知向量，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行列出等式结合二次函数性质即可求解. 【详解】若，则， 当时，有最小值为. 故选：A 4. 在中，，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理得到方程结合题设数据即可求解. 【详解】由正弦定理得，即， 所以，又因为， 所以角，所以，故或， 当时，，当时，， 故选：C 5. 如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形，已知，则四边形ABCD的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜二测画法的规则来还原平面图，即可求解. 【详解】如图①，过作于E， 由等腰梯形可得是等腰直角三角形， 即， 还原平面图，如下图：为直角梯形， 则， 所以四边形ABCD的面积为，即B正确． 故选：B． 6. 如图，在长方体中，，若点在平面上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据长方体的对称性有，即可确定最小值. 【详解】由长方体的结构特征知，关于面对称的点为， 所以， 当且仅当共线时，取等号. 故选：C 7. 在中，角所对边分别为，是边的中点，， 若，则边（    ）. A. 16 B. C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理整理可得，代入数据运算求解即可. 【详解】因为，可知， 由余弦定理可得， 且，可得， 即，解得. 故选：C. 8. 已知非零向量，满足，且，则为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由左右互除得出，再由，得出，即可得出答案. 【详解】， ， ， ， 为等腰三角形， 又， ， ，又，所以， 为等边三角形， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 若两条直线互相平行，则这两条直线确定一个平面 B. 若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线 C. 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 D. 两条异面直线不可能垂直于同一个平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用确定平面的定理的推论可判断正误；对于B，根据反证法即确定平面的性质即可判断；对于C，根据平行直线与异面直线的定义判定即可；对于D，利用反证法思想及线面垂直的性质可判断. 【详解】对于A，确定平面的定理的推论：“两条平行直线确定一个平面”，故A正确； 对于B，若四点中有三点共线，由公理的推论“一条直线和这条直线外的一点确定一个平面”知这四点一定共面，矛盾，故B正确； 对于C，若两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故C错； 对于D，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，故D正确. 故选：ABD. 10. 某研究机构在训练人工智能模型时，有两种训练算法甲和乙，使用算法甲训练了30次，每次训练耗时的平均数为2，方差为0.25，使用算法乙训练了20次，每次训练耗时的平均数为1.5，方差为0.3，则（ ） A. 总体每次训练平均耗时1.8小时 B. 总体每次训练平均耗时1.75小时 C. 总体每次训练耗时的方差为0.28 D. 总体每次训练耗时的方差为0.33 【答案】AD 【解析】 【分析】利用分层随机抽样的平均数与方差公式计算即可得出结果. 【详解】总体每次训练平均耗时为，故A项正确，B项错误； 总体每次训练耗时的方差为 ，故C项错误，D项正确. 故选：AD 11. 在中，角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则为等腰直角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦定理求的外接圆半径，再求其外接圆面积判断A，由体积结合正弦定理可得，再结合大边对大角判断B，结合正弦定理和余弦定理可得为钝角，判断C，再结合正弦定理将关系转化为角的关系，判断D. 【详解】设的外接圆的半径为， 对于A，因为，所以，故， 所以外接圆的面积为，A错误； 对于B，因，所以， 所以，由大边对大角可得，B正确； 对于C，由， 所以，故， 由余弦定理可得，又， 所以为钝角，故为钝角三角形，C正确； 对于D，由可得，， 所以，又，， 所以，由条件无法确定是否为直角， 例如：若，则，此时满足条件， 但不是等腰直角三角形，D错误. 故选：BC. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 向量满足与的夹角为，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】先求，即可得解. 【详解】， 所以. 故答案为：2. 13. 对于随机事件有___________. 【答案】 【解析】 【分析】由即可求解. 【详解】, 所以 故答案为： 14. 粽，即粽籺，俗称粽子，据考证，粽早在春秋之前就已出现，最初是用来祭祀祖先和神灵；到了晋代，粽子成为端午节的节庆食物.端午食粽的风俗，传播甚远.包粽子是端午节的一种传统风俗，同学们在劳动课上学习包粽子，将包的四角蛋黄粽近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】蛋黄近似看成一个棱长为6cm的正四面体的内切球，设正面体的内切球的球心为，球的半径为，正四面体的表面积为，体积为，则由可求出，从而可求出蛋黄的体积. 【详解】蛋黄近似看成一个棱长为6cm的正四面体的内切球， 设正面体的内切球的球心为，球的半径为，正四面体的表面积为，体积为， 因为正四面体的棱长为6， 所以正四面体的高， 正四面体的表面积为， 因为， 所以，解得， 所以蛋黄的体积为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题、共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为是等边三角形，. （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设是中点，连接，进而可证明，从而可得计算正四棱锥的侧面积与正方体的五个面积求解； （2）根据锥体与正方体体积求解即可. 【小问1详解】 设是的中点，连接. 因为是边长为6的正三角形， 所以，且， 所以该几何体的表面积. 【小问2详解】 连接，设交点为，连接，则是四棱锥的高， 则，所以. 又正方体的体积为， 所以该几何体的体积. 16. 甲乙两人进行投篮比赛，规定：每人每轮投球一次，若同时命中或同时未命中，则进行下一轮投球，若只有一人命中时，则命中者获得比赛的胜利，同时比赛结束.已知甲的命中率为，乙的命中率为，且各次投篮互不影响. （1）求第一轮比赛未分出胜负的概率； （2）求甲在第3轮比赛时获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析第一轮比赛未分出胜负的两种情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式，可求解. （2）明确甲在第3轮比赛时获胜的情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式，可求解. 【小问1详解】 记事件“甲第i轮投中”，“乙第i轮投中”， 第一轮比赛未分出胜负是甲乙同时命中或都未命中，且与相互独立， 则第一轮比赛未分出胜负的概率. 【小问2详解】 甲在第3轮比赛时获胜，则前两轮都是平局，第3轮投球甲命中， 表示为， 则甲在第3轮比赛时获胜的概率为 . 17. 今年四月份某单位组织120名员工参加健康知识竞赛，将120名员工的竞赛成绩整理后画出的频率直方图如图所示. （1）求实数a的值，并求80分是成绩的多少百分位数？ （2）试利用频率直方图的组中值估算这次健康知识竞赛的平均成绩； （3）从这次健康知识竞赛成绩落在区间内的员工中，随机选取2名员工到某社区开展“学知识､健体魄”活动.已知这次健康知识竞赛成绩落在区间内的员工中恰有3名男性，求至少有1名男性员工被选中的概率. 【答案】（1），80分是成绩的75百分位数；（2）71分；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用频率和为1，列方程可求出a的值，先求出80 分以上的频率，然后求出可求出80分是成绩的多少百分位数； （2）利用加权平均数的公式直接求解； （3）先求出成绩落在区间内的员工有6人，然后利用列举法列出所有的情况，从而可求出概率 【详解】解：（1），解得； ，所以80分是成绩的75百分位数. （2）(分)； 所以这次知识竞赛的平均成绩是71分. （3）这次知识竞赛成绩落在区间内的员工有名. 记“至少有一个男性员工被选中”为事件A，记这6人为1，2，3，4，5，6号，其中男性员工为1，2，3号，则样本空间 . ，所以. 答：至少有1名男性员工被选中的概率为. 18. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，，设为的角平分线，求的长. （3）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可得解. （2）利用三角形面积公式列式求解即得. （3）利用余弦定理及面积公式列式求出，即可求得周长. 【小问1详解】 在中，由及由正弦定理，得， 而，则，又， 所以 【小问2详解】 由（1）知，由为的角平分线，得， 即，而，， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，由，得， 又，由余弦定理，得， 即，解得， 所以的周长为. 19. 费马问题是著名的几何极值问题，它是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点P就是它到三个顶点距离之和最小的点，这个点P称为费马点，当的一个内角大于120°时，最大内角的顶点为费马点． 试用以上知识解决下面问题： 在中，角所对的边分别是，若，． （1）求； （2）设点为的费马点， ①若，求； ②设，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角变换公式化简后可得，故可求； （2）①由向量的数量积的定义结合面积公式可求，故可求；②由正弦定理结合正切函数的性质可求比值的范围. 【小问1详解】 在中， 由正弦定理得： 因为在中，，，从而且，所以. 【小问2详解】 ①设，， 则，则 由得：，则 在中，由余弦定理得： 代入得：，则，或，，则 ②根据题意得：因为，所以的三个内角均小于， 从而费马点P在的内部，设， 则，，， 在和中，分别由正弦定理得：， 两式相除得： 因为，所以， 则的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$