精品解析：广东省珠海市第一中学等2024-2025学年高二下学期五校联考数学试题

2026届高二下学期五校联考 数学 试题 命题：珠海市第一中学 审题：珠海市第一中学 （本试卷共6页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.） 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某地区组织了一次高二学生的数学联考，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布，那么估计本次考试的数学平均分为（ ）． A. 85 B. 90 C. 95 D. 100 2. 函数的图象在点处的切线方程为（ ）． A. B. C. D. 3. 书架上某一排有7本不同的书，从中选3本，若这3本书不相邻，则共有（ ）种选法． A. 9种 B. 10种 C. 20种 D. 11种 4. 如图是由一组实验数据得到的散点图，以下四个回归方程类型中适合作为与的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前项和为，且，若有最小值，则当时，最小为（ ）． A. 22 B. 23 C. 11 D. 13 6. 下列关于随机变量的说法正确的是（ ）． A. 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为， B. 假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，，其中，，，， C. 若随机变量的分布列为，，则 D. 若重伯努利试验，设每次实验事件发生的概率为，用表示事件首次成功所需要的实验次数，则， 7. 已知函数，对任意，且都有成立，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 8. 现有标有数字1，2，3，4，⋯，9的卡片各两张，从中选出若干张，记选出的卡片数字之和为9的方法总数为，则下列各式的展开式中的系数为的选项是（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 珠海某中学有两个学生饭堂，分别为第一饭堂和第二饭堂，简称一饭、二饭．甲同学周一、周二中午在这两个饭堂就餐，周一中午去一饭、二饭就餐的概率分别为和．如果他周一去一饭，那么周二去一饭的概率为；如果周一去二饭，那么周二去一饭的概率为，则甲同学（ ）． A. 周二去一饭的概率为0.54 B. 周二去二饭的概率为0.44 C. 若周二去了一饭，则周一去二饭的概率为 D. 若周一去一饭，则周二去二饭的概率为 10. 已知数列的前项和为，且，，，若，则下列结论正确的是（ ）． A. 数列，，成等比数列 B. 若，数列的最大值为 C. D. 数列中的最小项为 11. 计算机显示的数字图像是由一个个小像素点组合而成的．处理图像时，常会通过批量调整各像素点的亮度，间接调整图像的对比度、饱和度等物理量，让图像更加美观．特别地，当图像像素点规模为1行列时，设第列像素点的亮度为，则该图像对比度计算公式为，该计算结果的大小代表图像对比度的强弱． 已知某像素点规模为1行列的图像第列像素点的亮度，现对该图像进行调整，有2种调整方案： ①；②，则（ ）． A. 使用方案①调整，当，时，调整后的对比度比原对比度更强 B. 使用方案②调整，当时，调整后的对比度是原对比度的 C. 使用方案①调整，当时， D. 使用方案②调整，当，时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的最小值为________． 13. 小明为了了解不同性别的观众对蛇年春晚小品类节目的喜欢情况，随机选取了200名观看蛇年春晚的观众，得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男性 45 45 90 女性 110 合计 80 200 根据小概率值的独立性检验，其中________，（精确到小数点后3位）可以判断出性别因素与喜欢有关联． 附：，． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 14. 设表示不超过的最大整数，对于给定的正整数，定义函数，，值域记作，即．设为中元素的个数，若数列的前项和为，则的值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知一个盒子里有7个相同的白色小球，某同学利用这个盒子进行染色游戏和抽球游戏，并额外储备了大量红色小球和白色小球． （1）若将这7个小球中的4个染成红色，将这7个小球全部放入盒子中后进行抽球游戏，每次取一个球后，从储备球中取出2个与取到的球同色的球一并放入盒子中，求第2次取球时拿到白球的概率； （2）若将盒子中的小球排成一列并编号1，2，3，⋯，7，将其中三个染成红色，设第二个红色小球编号为，求的分布列及期望． 16. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性． 17. 如图所示，直线与是两条相交直线．直线与轴交于点，过作平行轴的直线交直线于点，再过点作平行轴的直线交直线于点，过点作平行轴的直线交直线于点，这样一直作下去，可得到一系列点，设点的横坐标为，则点的坐标为，将点的横坐标构成数列． （1）求，，的值，用表示点的坐标，并求与的关系式； （2）求数列的通项公式； （3）设，求数列的前项和． 18. 随机游走也称随机漫步，随机行走等是指基于过去的表现，无法预测将来的发展步骤和方向.核心概念是指任何无规则行走者所带的守恒量都各自对应着一个扩散运输定律，接近于布朗运动，是布朗运动理想的数学状态，现阶段主要应用于互联网链接分析及金融股票市场中.规定：在直角坐标系中，一个粒子从坐标原点开始等可能地向上、下、左、右四个方向随机移动，每次走一个单位． （1）求该粒子随机移动4个单位回到出发点有多少种移动方法； （2）证明：； （3）求该粒子经次随机移动后回到出发点的概率． 19. 当今社会，每天都有海量信息通过网络等渠道快速传播，虽提供了丰富知识和多样视角，但也存在信息过载、虚假信息等问题，需要我们谨慎筛选辨别．信息熵是信息论中的一个重要概念，它是由克劳德·艾尔伍德·香农在20世纪40年代提出，借鉴了热力学的概念，信息熵的数学定义为：，其中表示随机变量的信息熵，随机变量所有可能的取值为，是随机变量所有可能取值的数目，，且． （1）设A盒中有3个白球，2个黑球，设随机变量表示从盒中选一个球的颜色，盒中有5个白球，设随机变量表示从盒中选一个球的颜色，根据信息熵的定义，请通过计算比较与的大小，并分析一下信息熵的实际意义； （2）若，求的最大值； （3）证明：若，随机变量所有可能的取值为，且，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高二下学期五校联考 数学 试题 命题：珠海市第一中学 审题：珠海市第一中学 （本试卷共6页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.） 注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某地区组织了一次高二学生的数学联考，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布，那么估计本次考试的数学平均分为（ ）． A. 85 B. 90 C. 95 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的意义求出平均分. 【详解】由数学成绩近似服从正态分布，得本次考试的数学平均分约为90. 故选：B 2. 函数的图象在点处的切线方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解. 【详解】依题意，，因为， 所以，所以切线方程为，即. 故选：C． 3. 书架上某一排有7本不同的书，从中选3本，若这3本书不相邻，则共有（ ）种选法． A. 9种 B. 10种 C. 20种 D. 11种 【答案】B 【解析】 【分析】转化为向4本书中插入3本书使它们不相邻，利用插空法进行求解. 【详解】等价于向4本书中插入3本书使它们不相邻，即共有5个空，选3个空， 利用插空法，可得选法有. 故选：B． 4. 如图是由一组实验数据得到的散点图，以下四个回归方程类型中适合作为与的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据散点图的变化趋势及散点的分布情况判断回归方程的类型. 【详解】由散点图中各点的变化趋势：非线性、且上单调递增,且增速越来越快，所以适合指数型模型. 故选：C. 5. 已知等差数列的前项和为，且，若有最小值，则当时，最小为（ ）． A. 22 B. 23 C. 11 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得数列的公差，进而可得且，利用数列前项和公式可得结论. 【详解】因为有最小值，所以数列的公差，因为，， 所以且，所以，， 所以为的最小正值． 故选：A． 6. 下列关于随机变量的说法正确的是（ ）． A. 一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为， B. 假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，，其中，，，， C. 若随机变量的分布列为，，则 D. 若重伯努利试验，设每次实验事件发生的概率为，用表示事件首次成功所需要的实验次数，则， 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，根据n重伯努利试验的概率计算公式求解即可；对于B，根据超几何分布的定义判断即可；对于C，根据均值的性质计算即可；对于D，根据题意可知. 【详解】对于A，，，故A错； 对于B，根据超几何分布的定义，故B正确； 对于C，设，则，， 又，所以，故C错； 对于D，由定义知，故D错误； 故选：B 7. 已知函数，对任意，且都有成立，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定函数的单调性并化简不等式，构造函数，结合已知可得新函数单调性，再利用导数求出的范围. 【详解】当时，函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 不妨设，则，由， 得，即， 令函数，则函数在区间上单调递减， 因此对，恒成立， 而函数在上单调递增，则当时，取得最小值3，于是， 又，所以实数的取值范围是. 故选：A 8. 现有标有数字1，2，3，4，⋯，9的卡片各两张，从中选出若干张，记选出的卡片数字之和为9的方法总数为，则下列各式的展开式中的系数为的选项是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出选出的卡片数字之和为9的方法总数，再由组合知识确定展开式中的系数，逐项判断即可得解. 【详解】若选一张卡片有9一种情况，有种方法， 若选两张卡片有1，8；2，7；3，6；4，5，四种情况，有种方法， 若选三张卡片有1，1，7；1，2，6；1，3，5；1，4，4；2，2，5；2，3，4，六种情况， 有种方法， 若选四张卡片有1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3， 有种方法， 若选五张卡片有1，1，2，2，3一种情况，有种方法， 所以． 对A选项，有9个括号选带的项，有1个括号选1，所以的系数为，故A错误； 对B选项，由于，，，所以的系数为，故B错误； 对C选项，若由单独组成，其他项为常数，则有2种，系数为2， 若由两项组成，有，；，；，；，，四种情况，其他项为常数，则系数为， 所以的系数，故C错误； 对D选项， ， 若由单独组成，其他项为常数，则有种，系数为2， 若由两项组成，有，；，；，；，，四种情况，其他项为常数， 则系数为，同理若由三项组成，有，，；，，；，，；，，；，，；，，，六种情况，其他项为常数，则系数为， 同理，若由四项组成，有，，，；，，，；，，，；，，，，四种情况，其他为常数，则系数为， 同理，若由五项组成，有，，，，，一种情况，其他项为常数，则系数为，所以系数为，故D正确； 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 珠海某中学有两个学生饭堂，分别为第一饭堂和第二饭堂，简称一饭、二饭．甲同学周一、周二中午在这两个饭堂就餐，周一中午去一饭、二饭就餐的概率分别为和．如果他周一去一饭，那么周二去一饭的概率为；如果周一去二饭，那么周二去一饭的概率为，则甲同学（ ）． A. 周二去一饭的概率为0.54 B. 周二去二饭的概率为0.44 C. 若周二去了一饭，则周一去二饭的概率为 D. 若周一去一饭，则周二去二饭的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式进行求解，得到答案. 【详解】设：周一去一饭，：周二去一饭，：周一去二饭，：周二去二饭， 所以，，，， 因为，， 所以，， A选项，，A正确； B选项，由A知，，故，B不正确； C选项，因为，C正确； D选项，，D不正确． 故选：AC 10. 已知数列的前项和为，且，，，若，则下列结论正确的是（ ）． A. 数列，，成等比数列 B. 若，数列的最大值为 C. D. 数列中的最小项为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A化简原式子，再利用累乘法求出数列的通项公式即可判断；B利用定义证明数列的增减性即可判断；C利用不等式放缩可得，进而判断即可；D利用定义证明数列的增减性即可判断. 【详解】对于A，因为，化简得，即， 当时，， 故，即， 因为满足上式，故， 故，，，不满足， 则数列，，不构成等比数列，故A错误； 对于B，因为 ， 则，故数列单调递减， 则数列的最大值为， 因，，故，故B正确； 对于C，， 则，故C正确； 对于D，令 ， 又，，故， 令，由对勾函数单调性得在上单调递增， 则， 则时，单调递增， 故当时，取得最小值，此时， 则数列中的最小项为，故D正确． 故选：BCD. 11. 计算机显示的数字图像是由一个个小像素点组合而成的．处理图像时，常会通过批量调整各像素点的亮度，间接调整图像的对比度、饱和度等物理量，让图像更加美观．特别地，当图像像素点规模为1行列时，设第列像素点的亮度为，则该图像对比度计算公式为，该计算结果的大小代表图像对比度的强弱． 已知某像素点规模为1行列的图像第列像素点的亮度，现对该图像进行调整，有2种调整方案： ①；②，则（ ）． A. 使用方案①调整，当，时，调整后的对比度比原对比度更强 B. 使用方案②调整，当时，调整后的对比度是原对比度的 C. 使用方案①调整，当时， D. 使用方案②调整，当，时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象对比度公式，以及对数运算公式，结合选项，即可判断. 【详解】使用方案①调整：当，时，又则， ，， 又，故，所以调整后的对比度比原对比度更强，A正确； ，， 当，即且，又，可得，C正确； 使用方案②调整：当时， 对比度公式为非线性变换， 所以调整后的对比度不一定是原对比度的， 例如：时， ，， 此时，即 B错误； ，而，则，故， 又，则，， 所以， 所以， 设，， 则， 所以函数在上单调递减， 所以，即若，则， 又， 所以 所以， 所以， 又，，所以，D正确． 故答案为：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】求导确定函数单调性即可求解. 【详解】，令得． 当时，，当时，， 所以函数在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为． 故答案为： 13. 小明为了了解不同性别的观众对蛇年春晚小品类节目的喜欢情况，随机选取了200名观看蛇年春晚的观众，得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男性 45 45 90 女性 110 合计 80 200 根据小概率值的独立性检验，其中________，（精确到小数点后3位）可以判断出性别因素与喜欢有关联． 附：，． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】6.818 【解析】 【分析】先根据列联表中的合计信息求出缺失的数据，再代入统计量的公式进行计算. 【详解】已知合计人数为200，不喜欢的人数合计为80，那么喜欢的人数合计. 因为男性喜欢的人数是45，喜欢的人数合计是120，所以女性喜欢的人数为. 又因为女性合计人数为110，所以.此时完整的列联表为： 喜欢 不喜欢 合计 男性 45 45 90 女性 75 35 110 合计 120 80 200 在中，（这里），（男性喜欢的人数），（男性不喜欢的人数），（女性喜欢的人数），（女性不喜欢的人数）. 将这些值代入公式可得： . 故答案为：6.818. 14. 设表示不超过的最大整数，对于给定的正整数，定义函数，，值域记作，即．设为中元素的个数，若数列的前项和为，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义计算得出，再应用裂项相消计算求和. 【详解】当时，，，，故，即， 当时，，，，故，即， 当时，，，，故，即， 以此类推，当，时，，， 故可以取的个数为， 即，，当时也满足上式，故，， 因为， 所以， 则， 计算得到，， 因此． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知一个盒子里有7个相同的白色小球，某同学利用这个盒子进行染色游戏和抽球游戏，并额外储备了大量红色小球和白色小球． （1）若将这7个小球中的4个染成红色，将这7个小球全部放入盒子中后进行抽球游戏，每次取一个球后，从储备球中取出2个与取到的球同色的球一并放入盒子中，求第2次取球时拿到白球的概率； （2）若将盒子中的小球排成一列并编号1，2，3，⋯，7，将其中三个染成红色，设第二个红色小球编号为，求的分布列及期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 2 3 4 5 6 4 【解析】 【分析】（1）首先求出第1次取到红球、第1次取到白球的概率，然后利用全概率公式求出第2次取到白球的概率. （2）首先确定的可能取值，然后求出每个取值情况下的概率，最后列出分布列求出期望. 【小问1详解】 设“第1次取到白球”，“第1次取到红球”，“第2次取到白球”， 根据题意得，，，， 由全概率公式得. 【小问2详解】 由题意可得的可能取值为2，3，4，5，6， 且， ， ， 所以的分布列为： 2 3 4 5 6 ． 16. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2） 当时，在递增，上递减，递增； 当时，在上递增； 当时，在递增，递减，递增； 当时，在递减，递增． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）对函数求导，分类讨论当，，，四种情况，通过确定导函数的正负即可判断出函数的单调性. 【小问1详解】 当时，，，则切点坐标为． 又因为，， 所以在处的切线方程为． 【小问2详解】 由函数求导可得 ． 定义域为， 则①当时，由得， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在单调递增，在上单调递减； ②当时，，在上单调递增； ③当时，由得， 当或时，， 当时，， 故在上单调递增，在单调递增，在单调递减； ④当时，由得， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在递增，上递减，递增； 当时，在上递增； 当时，在递增，递减，递增； 当时，在递减，递增． 17. 如图所示，直线与是两条相交直线．直线与轴交于点，过作平行轴的直线交直线于点，再过点作平行轴的直线交直线于点，过点作平行轴的直线交直线于点，这样一直作下去，可得到一系列点，设点的横坐标为，则点的坐标为，将点的横坐标构成数列． （1）求，，的值，用表示点的坐标，并求与的关系式； （2）求数列的通项公式； （3）设，求数列的前项和． 【答案】（1），，，， （2） （3） 【解析】 【分析】（1） 求直线交点坐标可得，，的值，根据在直线上，可求与的关系式； （2）变形递推关系，可得数列是首项为，公比为的等比数列，从而可得答案； （3）由，可得，利用分组求和、错位相减求和，即可得到答案. 【小问1详解】 由直线，令，可得，即，所以， 又由，令，可得，即， 可得，所以，，所以，所以 显然，，所以 因为在直线上，故，即； 【小问2详解】 由（1）知：，所以， ，即 即数列是首项为，公比为的等比数列，故 所以的通项公式 【小问3详解】 因为，所以， 设， 则， 两式相减，得 所以 又由， 故 18. 随机游走也称随机漫步，随机行走等是指基于过去的表现，无法预测将来的发展步骤和方向.核心概念是指任何无规则行走者所带的守恒量都各自对应着一个扩散运输定律，接近于布朗运动，是布朗运动理想的数学状态，现阶段主要应用于互联网链接分析及金融股票市场中.规定：在直角坐标系中，一个粒子从坐标原点开始等可能地向上、下、左、右四个方向随机移动，每次走一个单位． （1）求该粒子随机移动4个单位回到出发点有多少种移动方法； （2）证明：； （3）求该粒子经次随机移动后回到出发点的概率． 【答案】（1）36 （2） 证明：因为， 故而有    因为等式两侧的系数必然相等，故而有 （3） 【解析】 【分析】（1）分三种情况讨论，分别求出走四步回到出发点的情况，再利用分类加法计数原理求解即可； （2）利用， 根据等式两侧的系数必然相等证明即可； （3）若该粒子在经次移动后回到出发点，那么其在上、下方向上移动的次数、及在左、右方向上移动的次数一定各自相同，根据独立事件概率的乘法公式、互斥事件的概率加法公式求解即可. 【小问1详解】 该粒子移动4个单位要回到出发点可分如下三大类： （i）其所走四步中有一步上、一步下、一步左、一步右，共有种走法 （ii）其所走四步中有二步上、二步下，共有种走法 （iii）其所走四步中有二步左、二步右，共有种走法 故而该粒子走四步回到出发点的情况共有为种 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若该粒子在经次移动后回到出发点，那么其在上、下方向上移动的次数、及在左、右方向上移动的次数一定各自相同，设其向上移动的次数为，则其向左移动的次数为，故而所求概率为 19. 当今社会，每天都有海量信息通过网络等渠道快速传播，虽提供了丰富知识和多样视角，但也存在信息过载、虚假信息等问题，需要我们谨慎筛选辨别．信息熵是信息论中的一个重要概念，它是由克劳德·艾尔伍德·香农在20世纪40年代提出，借鉴了热力学的概念，信息熵的数学定义为：，其中表示随机变量的信息熵，随机变量所有可能的取值为，是随机变量所有可能取值的数目，，且． （1）设A盒中有3个白球，2个黑球，设随机变量表示从盒中选一个球的颜色，盒中有5个白球，设随机变量表示从盒中选一个球的颜色，根据信息熵的定义，请通过计算比较与的大小，并分析一下信息熵的实际意义； （2）若，求的最大值； （3）证明：若，随机变量所有可能的取值为，且，则． 【答案】（1） 由题意得， 则，， ， 表示抽到白球，， 所以， 信息熵的含义信息越混乱，信息熵越大，信息越纯净，信息熵越小. （2）最大值为 （3）证明：依题意知，， ，⋯，， ∴ 又 ∴， 又，，⋯，， ∴，∴ 要证，因为 （当且仅当，即时等号成立成立）， ， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据信息熵的定义结合题意计算分析求解即可； （2）根据题意得，设，，利用导数工具研究函数的单调性和最值即可求解； （3）由题意依次求出和，接着作差分析差值即可求证，再作差求证即可得证. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 若，则， ， 设，，则， 令，解得，此时函数单调递减， 令，解得，此时函数单调递增， 所以在时取得最大值，且最大值为． 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $