3.3 一元一次方程的应用 课件-2024-2025学年 沪科版七年级数学上册

一元一次方程的应用 1.通过分析实际问题，能找出问题中的已知量和未知量，分析它们之间的数量关系，能列出一元一次方程解决问题，并总结出运用方程解决实际问题的基本过程。 2.通过列一元一次方程解决实际问题，经历思考、探究、交流、反思等活动，积累数学活动的经验，并提高分析问题与解决问题的能力。 3.进一步加深一元一次方程与实际生活的密切联系，继续体验数学建模思想。 目标分析： 回顾 解一元一次方程的一般步骤 去分母 去括号 移项 合并同类项 未知数的系数化为1 储蓄问题，销售问题 复习题 1. 杨大伯去银行存款，三年期本息一共1720元，本金1600，银行 一年的利率是多少？ 2. 一本书翻一番后打七折出售是 a 元，这本书原价是_______。 解： 设利率为 x 1720-1600=120（元） 根据题意，得 1600x · 3 = 120 解方程，得 x = 0.025 转化为百分数，得 x = 2.5% 答：银行一年的利率是2.5%. 5 7 __ a 元 解： 设原价为 y 元 根据题意，得 2y · 0.7 = a 解方程，得 y = 5 7 __ a 在现实生活和生产中常见“产品配套”问题，解决这类题的基本相等关系是加工(或生产)的各种零配件的总数量比等于一套组合件中各种零配件的数量之比 1个螺钉需要配 2个螺母 1200x：2000（22-x）=1:2 2×1200x=1×2000（22-x） 螺钉1200x 螺母2000（22-x） 目标分析 例1：劳动课上老师安排学生做手工。已知七年级四班有52名同学，每个人每节课可以做16朵花瓣或者做2支花茎，已知一枝花由 构成，请问该如何分配任务，才能正好配成完整的花。 类型 生产人数 单人产量 总产量 花瓣 x 花茎 （52-x） 16 2 16x 2（52-x） 五朵花瓣 和一支花茎 五朵花瓣 和一支花茎 =5:1 16x=5×2（52-x） x=20 解：设x人做花瓣， 则（52-x）人做花茎 16x=5×2（52-x） 答：20人做花瓣， 32人做花茎。 16x：2（52-x） 52-20=32（人） 目标分析 工作量＝工作效率×工作时间， 各部分劳动量之和＝总量 一般情况下，把总工作量设为1 目标分析 例2：学校举行义卖活动，七年级四班打算做一批手工花出售，已知这一批花朵男生做需要15天时间，女生需要10天时间，现在男生先做5天，再由男生女生的合作完成，问完成这项工作男生一共花了多少天？ 男生一天的效率： 女生一天的效率： （男生＋女生）一天的效率： （男生＋女生）x天的效率： 解：设男生女生的合作时间为x天 x=4 答：完成这项工作男生花了9天时间。 4+5=9 目标分析 (1)售价=标价x打折率; (2)利润=售价-进价; (3)利润=进价x利润率； (4)利润率=利润/进价 x100% 目标分析 例3：在义卖的过程中，四班的学生按成本价提高50%后标价卖出，每朵花仍获利5元. （1）一朵花的成本是多少元？ （2）已知四班在这次活动中共计完成110枝手工花，为了尽快卖完，班委制定了两种售卖方案。方案一：按标价出售，买10枝送一枝；方案二：现场做一道数学题，每枝花可享受9折优惠。若韦校长想一次性买完这批花，她以哪个方案购买最划算。 解：设一朵花的成本是x元. （x+50%x）-x=5 x=10 答：一朵花的成本是10元. 方案一： 方案二： 答：以方案二购买最划算。 目标分析 1.某家具厂有11名工人，加工某种由一个桌面和四条桌腿的桌子，工人每天每人可以加工2个桌面或3个桌腿．怎么分配加工桌面和桌腿的人数，才能使每天生产的桌面和桌腿配套． 2.一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做 10天完成，现在由乙先独做几天后，剩下的 部分由甲独做，共计12天完成，问乙做了几天？ 3.根据下面栗栗和小齐的对话，请你 计算小齐买平板电脑的预算是多少元。 目标分析 1.某家具厂有11名工人，加工某种由一个桌面和四条桌腿的桌子，工人每天每人可以加工2个桌面或3个桌腿．怎么分配加工桌面和桌腿的人数，才能使每天生产的桌面和桌腿配套． 商品销售 工程问题 作业 概括总结 配套问题 数学品鉴 习题巩固 解：设分配x人加工桌面，则（11-x）人加工桌腿。 8x=3（11-x） x=3 11-3=8（人） 答：分配3人加工桌面，则8人加工桌腿。 相遇问题 一 星期天早晨，小斌和小强分别骑自行车从家里同时出发去参观雷锋纪念馆. 已知他俩的家到雷锋纪念馆的路程相等，小斌每小时骑10km，他在上午10时到达；小强每小时骑15km，他在上午9时30分到达.求他们的家到雷锋纪念馆的路程. 小斌每时骑10km 上午10时到达 路程相等 小强每时骑15km 上午9时30分到达 由于小斌的速度较慢，因此他花的时间比小强花的时间多. 本问题中涉及的等量关系有： . 小斌所用的时间—小强所用的时间=时间差 因此，设他俩的家到雷锋纪念馆的路程均为s km， 解得 s = ＿＿＿＿. 经检验，符合题意 因此，小斌和小强的家到雷锋纪念馆的路程为 km． 根据等量关系，得 . 15 15 注意单位要统一 小明与小红的家相距20km，小明从家里出发骑自行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明. 已知小明骑车的速度为13 km/h，小红骑车的速度是12 km/h. （1）如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇？ 小明走的路程+小红走的路程=两家之间的距离(20km). 练习 小明走的路程 小红走的路程 解：（1） 小明走的路程 小红走的路程 设小明与小红骑车走了x h后相遇， 则根据等量关系，得 13x + 12x = 20 . 解得 x = 0.8 . 答：经过0.8 h他们两人相遇. 经检验，符合题意 （2）如果小明先走30min，那么小红骑车要走多少小时才能与小明相遇？ 小明先走的路程 小红出发后小明走的路程 小红走的路程 解：（2） 设小红骑车走了t h后与小明相遇， 则根据等量关系，得 13(0.5 + t )+12t = 20 . 解得 t = 0.54 . 经检验，符合题意 答：小红骑车走0.54h后与小明相遇. 如图，用直径为200mm的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别为300mm，300mm和90mm的长方体毛胚，应截取多少毫米长的圆柱体钢（计算时 取3.14，结果精确到1mm?) 200 300 90 300 圆柱体体积=长方体体积 由题意，得 答：应截取约258mm长的圆柱体钢。 解：设圆柱桶的高 为毫米。 解方程，得 ≈258 等积变形 物体的外形或状态发生了变化，但变化前后的体积不变。利用体积不变这一等量关系，可列方程解决与等积变形的相关的问题。 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造,为减少楼顶原有储水箱的占地面积,需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m.那么在容积不变的前提下,水箱的高度将由原先的4 m变为多少米? 旧水箱的容积=新水箱的容积 在这个问题中的等量关系是： 2m 1.6m 4m π×22×4 设新水箱的高变为 m，填写下表： m π×1.62 因此，水箱的高变成了6.25m π×22×4=π×1.62 解得： =6.25 解：设新水箱的高为 米。 例 用一根长为10 m的铁丝围成一个长方形 (1)使得该长方形的宽比长少1.4 m，此时长方形的长、宽各为多少米？ (2)使得该长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比、面积有什么变化？ (3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与（2）中相比又有什么变化？ 本问题中始终不变的量：长方形的周长 即：长方形的周长=铁丝的长 （1）使得该长方形的宽比长少1.4 m，此时长方形的长、宽各为多少米？ 根据题意，得 长方形的长为1.8+1.4=3.2 答：长方形的长为3.2m，宽为1.8m。 解：设此时长方形的宽为 m， 则它的长为 m。 (2)使得该长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比、面积有什么变化？ 根据题意，得 解方程得： 长方形的长为2.1+0.8=2.9 因此长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为2.9×2.1=6.09（m2） （1）中长方形的长为3.2m，宽为1.8m，面积为3.2×1.8=5.76（m2） 此长方形的面积比（1）中长方形的面积增加6.09-5.76=0.33（m2）。 解：设此时长方形的宽为 m， 则它的长为 m。 (3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与（2）中相比又有什么变化？ 根据题意，得 解方程得： 正方形的边长为2.5m 因此正方形的面积为2.5×2.5=6.25（m2） 比（2）中长方形的面积增加6.25-6.09=0.16（m2）。 解：设此时长方形的边长为 m， （1）中的面积：3.2×1.8=5.76（m2） （2）中的面积：2.9×2.1=6.09（m2） （3）中的面积：2.5×2.5=6.25（m2） 围成正方形时面积最大 等长变形 用物体（铁丝、细线等）围成不同的图形，图形的形状、面积发生了变化，但周长不变。利用周长不变这一等量关系列出方程求解。 一根铁丝恰好可围成一个边长为9cm的正方形，用这根铁丝改围成长比宽多2cm的长方形，则长方形的面积为多少？ 长方形的周长=正方形的周长 9cm 解：设长方形的宽为x cm，则长为（x+2）cm。 由题意，得 2（x+x+2）=36 解方程，得x=8 因此长方形的长为8+2=10 （cm） 答：长方形的面积为80 （cm2） 所以长方形的面积为8×10=80 （cm2） x cm （x+2）cm 列方程解应用题的步骤 1.理解题意，寻找等量关系； 2.设未知数； 3.根据等量关系列一元一次方程； 4.解一元一次方程； 5.检验解的合理性； 6.写出答案。 形积变化问题常用的等量关系 1.变化前后物体体积不变； 2.变化前后图形面积不变； 3.变化前后图形周长不变。 $$