精品解析：安徽省A10联盟2024-2025学年高一下学期5月学情调研数学试题（B卷）

安徽省A10联盟2024-2025学年高一下学期5月学情调研 数学试题（B卷） 命题单位：宿城一中数学教研组 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的. 1. 已知点，，若直线上的点满足，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. 1 B. C. i D. 3. 如图，点为正方形的中心，点在平面外，是线段的中点，则下列各选项中两条直线不是异面直线的为（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 已知两条不同的直线a，b和两个不同的平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知圆锥母线长为，底面半径为2，则经过两条母线的平面截此圆锥所得截面的面积最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6. 乐乐同学在学校的3D打印社为全班50位同学每人打印了一个盘子，盘子的形状为一个倒置的正六棱台，盘子的底面正六边形边长为，盘口正六边形边长为，侧棱长为.如果乐乐要在每个盘子的内外表面涂一层防水涂料，每平方厘米需要涂料，则共需要涂料约为（ ）（不考虑盘子厚度，结果保留整数，参考数据：） A. B. C. D. 7. 若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，以下结论正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. C. D. 在复平面内，复数对应的点位于第三象限 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则符合条件的只有一个 B. 若，则 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则的最大值是 11. 如图，已正方体的棱长为1，E为线段上的动点，线段与平面交于点F，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 直线与所成角的范围为 D. 的最小值为 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，则四边形的面积是_____． 13. 已知O是的外心，且，则的面积为_________. 14. 一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面ABC水平放置时，水面高为，当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设复数，且是纯虚数. （1）求实数a的值； （2）若是方程的根，求实数b，c的值. 16. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，点分别是的中点. （1）证明：平面； （2）若两两垂直且相等，证明：平面. 17. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角B； （2）若，求面积的取值范围. 18. 如图，在三棱锥中，平面ABC，于点M，于点N. （1）证明：为直角三角形； （2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值. 19. 如图，延长的边至点，边至点，边至点，使得线段、、的长分别为、、的倍，我们将称为的“变换三角形”. （1）当时，若，，，求的长； （2）若是边长为的等边三角形，点为其“变换三角形”中线段上的动点，求的最大值； （3）证明：当变化时，的“变换三角形”的重心始终为同一点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省A10联盟2024-2025学年高一下学期5月学情调研 数学试题（B卷） 命题单位：宿城一中数学教研组 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的. 1. 已知点，，若直线上的点满足，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算及坐标表示求解. 【详解】令坐标原点为，由，得，则， 而点，，因此， 所以点坐标为. 故选：D 2. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. 1 B. C. i D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，求出，列出方程求出即可求出z的虚部. 【详解】设，则， 即，解得， 故， 则z的虚部为. 故选：B. 3. 如图，点为正方形的中心，点在平面外，是线段的中点，则下列各选项中两条直线不是异面直线的为（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中点，线，面的位置关系逐一判断即可. 【详解】在正方形中，， 所以在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面； 因为平面，在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面； 因为平面，在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面； 连接，因为点为正方形的中心，又是线段的中点， 所以，所以在平面内，所以与不是异面直线. 故选：. 4. 已知两条不同的直线a，b和两个不同的平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线与平面垂直的定义结合正方体的几何特征求解即可. 【详解】如图，在正方体中， 分别记平面ABCD、平面为平面， 直线a为，直线b为直线AD， 因为，但不垂直于平面， 则“”得不到”；若，， 则由线面垂直的定义可得，故“”是“”的必要不充分条件. 故选:B. 5. 已知圆锥母线长为，底面半径为2，则经过两条母线的平面截此圆锥所得截面的面积最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出轴截面的角度是钝角还是锐角，然后结合三角形面积公式即可求解. 【详解】设轴截面为，则， 所以，所以截面三角形面积的最大值为. 故选：A. 6. 乐乐同学在学校的3D打印社为全班50位同学每人打印了一个盘子，盘子的形状为一个倒置的正六棱台，盘子的底面正六边形边长为，盘口正六边形边长为，侧棱长为.如果乐乐要在每个盘子的内外表面涂一层防水涂料，每平方厘米需要涂料，则共需要涂料约为（ ）（不考虑盘子厚度，结果保留整数，参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据台体的几何性质求出台体的表面积结合每平方厘米需要涂料计算求解. 【详解】如图，盘子侧面等腰梯形的高为，底面面积为， 侧面六个等腰梯形的面积之和为， 所以每个盘子需要刷涂料的面积， 所以给50个这样的盘子涂防水涂料约需涂料. 故选:B. 7. 若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算公式，代入向量夹角公式，即可求解. 【详解】由题意得，， ， 所以，则与的夹角为. 故选：D. 8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先利用余弦定理求解出再用正弦定理求解出外接圆的半径，然后过外接圆圆心O作，根据几何性质可知当当点B与点D重合时，取得最大值. 【详解】由题意得，， 由余弦定理得， 由，得，又因为， 所以的外接圆半径， 且点B在优弧上运动（不包括端点）， 如图过外接圆圆心O作，过作垂直， 当点B与点D重合时，取得最大值. 此时，，， 的最大值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，以下结论正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. C. D. 在复平面内，复数对应的点位于第三象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用复数运算，及模的运算，结合复平面可作出各选项判断. 【详解】 对于A，，为纯虚数，A正确； 对于B，，B正确： 对于C，，C错误： 对于D，，对应的点为，位于第三象限，D正确. 故选：ABD. 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则符合条件的只有一个 B. 若，则 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则的最大值是 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦定理求解三角形判断A；由大边对大角和正弦定理判断B；利用余弦定理求最大角，判断C；由正弦定理边化角得，判断D. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 所以角C有两个值，此时符合条件的有两个，故A错误； 在中，由大边对大角知，， 又由正弦定理得，故B正确； 由，得，则C是的最大内角， 又，则，C为锐角， 是锐角三角形，故C正确； 由正弦定理得， 当时，的最大值是，故D错误． 故选：BC． 11. 如图，已正方体的棱长为1，E为线段上的动点，线段与平面交于点F，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 直线与所成角的范围为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由平面，得到点E到平面的距离恒为1，可判断A；对于B，由，可判断B；对于C，由直线与所成的角为或其补角可判断C；对于D，将沿直线翻折，使其与平面共面，在中，由余弦定理可判断. 【详解】对于A，在正方体中易知，又内，内， 所以平面，所以点E到平面的距离恒为1， 则，故A正确； 对于B，连接，因为为正方形，所以， 又易知平面，平面，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以，同理可证， 因为，所以平面，即平面， 在中，，所以等边三角形， 又， 由，得， 即，解得，故B正确； 对于C，因为，所以异面直线与所成的角为或其补角， 在等边三角形中，设的中点为， 当点与点重合时，最大，为； 当点与重合时，最小，为； 当点与重合时，的补角为， 综上直线与所成角的范围为，故C正确； 对于D，将沿直线翻折，使其与平面共面，连接点A和翻折后的点F， 在中，， 即的最小值为，故D错误． 故选：ABC． 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，则四边形的面积是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】利用斜二测画法规则画出原图形，再求直角梯形的面积. 【详解】 如图，直角梯形即为原图形，则， 所以四边形的面积. 故答案为：6. 13. 已知O是的外心，且，则的面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由外接圆的性质，根据数量积的定义及三角函数的诱导公式，求得，结合三角形面积公式可得答案. 【详解】根据题意作图如下： 由题意得，，，， 所以， 所以，故， 所以， 所以，故. 故答案为：. 14. 一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面ABC水平放置时，水面高为，当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据体积求出可得，设正方形外接圆圆心为，取，设矩形外接圆圆心为，求出，设外接球的球心为，外接球半径R，利用勾股定理可得答案. 【详解】，如图， 当侧面水平放置时，水平面与分别相交于 点，则平面平面， ， ， ，即， 由到的距离为，得到的距离为， 设正方形外接圆圆心为，半径为，则， 设矩形外接圆圆心为，半径为，则； 设几何体的外接球的球心为，外接球半径R， 球心的位置可能有2种情况，如图， 则，或， 由得无解；由得， 故外接球表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设复数，且是纯虚数. （1）求实数a的值； （2）若是方程的根，求实数b，c的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的除法运算化简，再结合纯虚数的定义即可求出； （2）将代入方程中，利用复数相等的概念即可求出. 【小问1详解】 因为， 因为是纯虚数，所以解得. 【小问2详解】 由（1）知，， 因是方程的根，则， 即， 则，得. 16. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，点分别是的中点. （1）证明：平面； （2）若两两垂直且相等，证明：平面. 【答案】（1） 如图，取中点，连接， 因为四边形为矩形，所以， 因为点是的中点，所以，且. 因为分别为的中点、所以，且， 所以且. 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2） 因为，且，平面， 所以平面， 因为四边形为矩形，所以， 所以平面，所以. 在中，，为的中点，所以. 又因为，平面，所以平面PCD. 由（1）知，，所以平面. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证明，分别为的中点，证明，得到四边形为平行四边形，即可证明； (2)证明平面，为矩形，又，为的中点，证明.，即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角B； （2）若，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正余弦定理化简可得结果； （2）由正弦定理、三角形面积公式结合三角恒等变换得，结合角的范围即可求解. 【小问1详解】 因为，所以. 由及正弦定理，得， 即. 由余弦定理，得. 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 由正弦定理得. 所以 . 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，所以，所以. 18. 如图，在三棱锥中，平面ABC，于点M，于点N. （1）证明：为直角三角形； （2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到平面，进而得到，再结合，即可求证； （2）先通过体积公式及基本不等式确定时，体积最大，再确定为二面角的平面角，结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 因为平面ABC，在平面内， 所以， 因为， 平面， 所以平面，又在平面内，所以. 因为， 平面PBC， 所以平面PBC，又在平面PBC内， 所以，所以为直角三角形. 【小问2详解】 由题意知， 在中，，所以， 所以，当且仅当时，体积最大. 由（1）知，平面PBC，在平面平面内，所以， 又因为， 平面， 所以平面AMN，所以为二面角的平面角. 当时，在中，， 在中，. 由（1）知，，所以， 即三棱锥体积最大时，二面角的余弦值为. 19. 如图，延长的边至点，边至点，边至点，使得线段、、的长分别为、、的倍，我们将称为的“变换三角形”. （1）当时，若，，，求的长； （2）若是边长为的等边三角形，点为其“变换三角形”中线段上的动点，求的最大值； （3）证明：当变化时，的“变换三角形”的重心始终为同一点. 【答案】（1） （2） （3） 由题意得，，，， 记的重心为点，则， ， 所以点为的重心. 【解析】 【分析】（1）分析可知，可求出的值，结合题意得出、的长，然后利用余弦定理可求出的长； （2）设，则，利用平面向量的线性运算、平面向量数量积的运算性质结合二次函数的基本性质可求出的最大值； （3）记的重心为点，可得出，利用平面向量的线性运算得出，即可证得结论成立. 【小问1详解】 因为，，，所以， 则，则， 因为，所以，， 在中，由余弦定理得 ，所以. 【小问2详解】 设，则， 由题意得，，， ， ， ， 所以 ， 故当，即点为线段的中点时，取最大值. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $