2025年高二数学暑假作业（9）直线与圆锥曲线的位置关系-人教B版（2019）选择性必修第一册

（9）直线与圆锥曲线的位置关系 1.若双曲线的一条渐近线与直线相互.垂直，则C的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为( ) A. B.6 C. D.8 2.已知A，B是椭圆上的两点，点是线段AB的中点，则直线AB的方程为( ) A. B. C. D. 3.已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线分别交于A，B两点，则( ) A.1 B.3 C.6 D.8 4.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，过且垂直于x轴的直线与C在第一象限交于点M，则直线的斜率为( ) A. B. C. D. 5.已知椭圆的焦距为2，A为椭圆的右焦点，过点A在x轴上方作两条斜率分别为1和-1的射线，与E分别交于B，C两点，且的面积为，则( ) A.或2 B.2或3 C.2 D. 6.抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.已知一束平行于x轴的入射光线的一束光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为( ) A. B. C. D. 7.已知椭圆的上顶点为B，O为坐标原点，点，线段OP与C交于点M，点Q在线段OM上，且，若直线BQ与圆相交，则C的离心率的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.在平面直角坐标系Oxy中，直线l与双曲线（，）的两条渐近线的交点分别为A，B，M是线段AB的中点，过M作l的垂线交x轴于点E（异于点O）.若，则C的离心率为( ) A. B. C.2 D.3 9.（多选）已知椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于P，Q两点，则( ) A. B. C.当，P，Q不共线时，的周长为8 D.设点P到直线的距离为d，则 10.（多选）斜率为1的直线与离心率为e的双曲线（，）交于A，B两点，以线段AB为直径的圆交E于点C，O为坐标原点，设，的重心分别为P，Q，的外心为R，记直线OP，OQ，OR的斜率分别为，，，则( ) A. B.，，成等比数列 C. D. 11.已知椭圆的离心率为，其右焦点和上顶点分别为点F和点A，直线交椭圆C于P，Q两点，若F恰好为的重心，则____. 12.设双曲线的右顶点为F，且F是抛物线的焦点.过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，满足，若点A也在双曲线C上，则双曲线C的离心率为_________________. 13.已知抛物线，直线与抛物线交于A，D两点，与圆交于B，C两点(A，B在第一象限)，则的最小值为______. 14.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，到其中一条渐近线的距离为1，过且垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点，且. （1）求E的标准方程； （2）过的直线l交双曲线E于M，N两点，若，求直线l的方程. 15.已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点A，B在椭圆E上，的周长为6，C为AB的中点，O为坐标原点，直线OA，OC，AB的斜率分别为k，，，且. （1）求椭圆E的标准方程； （2）证明：为定值； （3）求面积的最大值. 答案以及解析 1.答案：C 解析：由题意得双曲线的这条渐近线方程为，由两直线垂直得，解得，，双曲线的焦点坐标为，，虚轴的一个顶点坐标为，.故选C. 2.答案：A 解析：设，，则AB的中点坐标为， 所以，，将A，B的坐标代入椭圆的方程， 作差可得，所以， 所以直线AB的方程为，即.故选：A. 3.答案：D 解析：由题意可知，所以直线l与的方程为，联立直线方程和抛物线方程，可得，设，则，所以.故选：D. 4.答案：D 解析：由题可得，轴，且M位于第一象限，设， 将代入双曲线的方程得，又，所以，故. 所以直线的斜率， （另解：由，，得直线的斜率） 又，所以，故选D. 5.答案：C 解析：由焦距为2知，， 设直线与E的另外一个交点为D，，， 则C，D关于x轴对称，即， 由的面积为，得，即， 将直线代入E的方程整理，得， 显然判别式大于0，，， 因为，所以，即， 所以，解得或（舍去），所以． 故选：C． 6.答案：C 解析：因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线的方程为，则焦点为， 又因为反射光线经过点及焦点，， 所以反射光线的方程为， 联立抛物线方程得，解得或， 所以反射光线与抛物线的交点为， 由两点间距离公式可得， 所以反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为. 故选：C. 7.答案：C 解析：直线OP的方程为，由解得或又点M在线段OP上，所以点.设点，，由，得，解得，故.又，故直线BQ的方程为，直线BQ与圆相交，则，故，即.因为，所以，即，即，又，解得. 8.答案：A 解析：依题意，作图如图. 方法一：设，，且，则. 由A，B分别在双曲线的两条渐近线上，得 两式作差并整理，得，即. ，，，， 则，即， ，则.故选A. 方法二：由双曲线中点弦的几何性质，易得〔由（1）知〕. ，，，， 则，即，，解得或（舍去）.故选A. 方法三：设. 由A，B分别在双曲线的两条渐近线上，得 消去y并整理，得. 设，，则，， ，，则， . 易得. 又，，解得， 离心率.故选A. 9.答案：BCD 解析：对于A，由题意知：，，，，A错误； 对于B，为椭圆C的焦点弦，，B正确； 对于C，， 的周长为，C正确； 对于D，作垂直于直线，垂足为M， 设，则， ，， ，，D正确. 故选：BCD. 10.答案：AD 解析：设AC的中点为M，BC的中点为N，由题可知为直角三角形，的外心为R，即R为AB的中点.因为，的重心分别为P，Q，所以点P在OM上，点Q在ON上，即，，，设，，，则两式相减得，则，其中e为双曲线E的离心率，同理有，，所以.又，，所以，故选项C错误；，，所以，故选项A，D正确，选项B错误，故选AD. 11.答案： 解析：设，，的中点为点， ，两式相减得， 化解得，即， ，，由F恰好为的重心， 则，即，得，， 即，， 所以， 又因为椭圆的离心率为， 所以，又因为， 所以，解得， 所以. 故答案为： 12.答案： 解析：抛物线的焦点，直线l不垂直于y轴，设其方程为， 由消去x得：，设，，则， 由，得，由对称性不妨令点A在第一象限，解得，， 由点在双曲线上得，，又，解得， 所以双曲线C的离心率. 故答案为：. 13.答案：23 解析：因为抛物线M的方程为，所以抛物线M的焦点为，准线， 则直线过抛物线的焦点F， 当时，联立与可得， 所以，则； 当时，如图， 过A作轴于K，设抛物线的准线交y轴于E， 则，得， 则，同理可得，所以， 化圆为，则圆N的圆心为F，半径为1， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为23. 故答案为：23 14.答案：（1） （2）或 解析：（1）双曲线E的渐近线方程为，，. 不妨取渐近线，即，则. 将代入（，）中，得， 故，所以， 故E的标准方程为. （2）若直线l的斜率不存在，则其方程为， 代入，得，即，不符合题意. 故直线l的斜率存在，设其方程为. 由得， 则，且 设，， 则，， 所以 ， 即，解得或. 故直线l的方程为或. 15.答案：（1） （2）证明见解析 （3） 解析：（1）因为的周长为6，所以， 又，所以，， 故， 所以椭圆E的标准方程为. （2）由题意知直线AB的斜率存在且不为0，设，， 则，，， 所以，即， 得， 因为，，所以， 又，所以，为定值. （3）由（2）知，所以. 由题可得直线OA的方程为， 将与联立，消去y并整理得， 所以， 则. 因为，所以直线AB的方程为，即， 又，所以直线AB的方程为， 与联立，消去y并整理得， 则，， 所以 . 故的面积 ， 令，则， ，当，即时取等号， 因此面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$