第七章　相交线与平行线——平行线中的拐点问题　训练　2024—2025学年人教版数学七年级下册

平行线中的“拐点”问题 类型1 平行线间的“外凸拐点”问题 当两条平行线不是被第三条直线所截，而是被一条折线所截时，则不能直接应用平行线的性质，因此需过折线的“转折点”作一条平行线，利用平行公理的推论得出三条直线互相平行，从而多次利用平行线的性质解决问题. 例1 如图，如果AB//CD//EF ,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF= ( ) A.180° B. 270° C. 360° D. 540° 例1图 变式1图 变式1 如图，若AB//CD，则∠A+∠E+∠F+∠C= ______. 类型2 平行线间的“内凹拐点”问题 如图，已知AB//CD，试判断∠B,∠BED和∠D 之间的数量关系：∠BED=∠B+∠D 理由如下：过点E作EF//AB . 则∠B=∠BEF . ∵AB//CD , ∴EF//CD . ∴∠DEF=∠D . ∵∠BED=∠BEF+∠DEF , ∴∠BED=∠B+∠D . 例2 如图，直线AB//CD，GE⊥EF于点E .若∠BGE=60° ，则∠EFD 的度数是( ) A. 60° B. 30° C. 40° D. 70° 类型3 平行线外部的“拐点”问题 例3 已知AB//CD，E为AB，CD 外部的任意一点. （1）如图1，探究∠BED与∠B，∠D 之间的数量关系，并说明理由. （2）如图2，探究∠CDE与∠B，∠BED 之间的数量关系，并说明理由. 例4 如图，AB//CD ，且∠A=40° ，∠D=24° ，则∠E= ( ) A. 40° B. 32° C. 24° D. 16° 例4图 变式2图 变式2 （1）如图1，AB//CD,则∠E+∠G ____∠B+∠F+∠D（填“> ”“< ”或“= ”）. （2） 如图2，若AB//CD，则∠E1,∠E2,⋯ ,∠En与∠B,∠D ,∠F1,∠F2,⋯ ,∠Fn−1 之间有什么数量关系： 练习 1.为保护中学生的视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，ED//AB.经使用发现，当∠DCB=140°时，台灯光线最佳，则此时∠EDC 的度数为( ) A. 130° B. 120° C. 110° D. 100° 第1题图 第2题图 2.如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB 与支撑平台CD平行.若∠1=30°，∠3=150° ，则∠2 的度数为( ) A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 3.如图，直线m//n ，将一块含有30°角的直角三角板按如图所示的方式放置.若∠1=40°，则∠2 的度数为( ) A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 第3题图 第4题图 4.如图，AB//CD，点E，F分别在AB，CD 上，点M在两条平行线之间，∠AEM与∠CFM的平分线相交于点N .若∠EMF=n° ，则∠ENF= .（用含n 的式子表示） 5.如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90° . （1）请判断AB与CD 的位置关系，并说明理由. （2）如图2，当∠E=90° 且AB与CD 的位置关系保持不变时，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E移动时，∠BAE与∠MCD 是否存在确定的数量关系？并说明理由. （3）如图3，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且AB与CD 的位置关系保持不变，当点Q在射线CD上运动时（不与点C 重合），∠CQP+∠CPQ与∠BAC 有何数量关系？猜想这个结论并说明理由. 平行线中的“拐点”问题答案 类型1 例1 C 变式1 540° 类型2 例2 B 类型3 例3解：（1）∠B=∠BED+∠D .理由如下： 过点E作EF//AB . ∴∠BEF=∠B . ∵AB//CD ∴EF//CD . ∴∠D=∠DEF . ∵∠BEF=∠BED+∠DEF , ∴∠B=∠BED+∠D . （2）∠CDE=∠B+∠BED .理由如下： 过点E作EF//AB . ∴∠B=∠BEF . ∵AB//CD ， ∴EF//CD . ∴∠CDE=∠DEF . ∵∠DEF=∠BEF+∠BED ， ∴∠CDE=∠B+∠BED . 例4 D 变式3（1）= （2）∠B+∠F1+∠F2+⋯+∠Fn−1+∠D=∠E1+∠E2+⋯+∠En . 练习1.A 2.A 3.A 4.(180−1/2n)∘ 5.解：（1）AB//CD .理由如下： ∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC ， ∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE . ∵∠EAC+∠ACE=90° ， ∴∠BAC+∠ACD=180° . ∴AB//CD . （2）存在，∠BAE+1/2∠MCD=90° .理由如下： 过点E向右侧作EF//AB . ∵AB//CD，∴EF//AB//CD . ∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE . ∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=90° ∴∠BAE+∠ECD=90° ∵∠MCE=∠ECD=1/2∠MCD ， ∴∠BAE+1/2∠MCD=90° . （3）∠BAC=∠CQP+∠CPQ .理由如下： 过点P向左侧作直线PG//AB，则PG//CD . ∴∠BAC=∠GPC,∠GPQ=∠CQP . ∵∠GPC=∠GPQ+∠CPQ , ∴∠BAC=∠GPQ+∠CPQ=∠CQP+∠CPQ . 学科网（北京）股份有限公司 $$