突破01【相交线与平行线】期末考点讲义（14大核心题型精析+实战练习）2025-2026学年人教版数学七年级下学期

突破01【相交线与平行线】期末考点讲义（14大核心题型精析+实战练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期 重点知识◆梳理 知识点01：相交线 【高频考点精讲】 1.对顶角、邻补角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与 ∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 邻补角互补即 ∠3+∠4=180° 【易错点剖析】 ⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线. ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角. ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线． ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 2.垂线及性质、距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 【易错点剖析】 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 【易错点剖析】 垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 知识点02：平行线 【高频考点精讲】 1．平行线判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 【易错点剖析】 （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 知识点03：命题及平移 【高频考点精讲】 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项. 2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 要点诠释：平移的性质： （1）平移后，对应线段平行(或共线)且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行(或共线)且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. 核心题型◆归纳 题型1.相交线 题型2.对顶角、邻补角 题型3.垂线 题型4.垂线段最短 题型5.点到直线的距离 题型6.同位角、内错角、同旁内角 题型7.平行线 题型8.平行公理及推论 题型9.平行线的判定 题型10.平行线的性质 题型11.平行线的判定与性质 题型12.生活中的平移现象 题型13.平移的性质 题型14.作图-平移变换 实战演练 题型解析◆精准备考 题型1：相交线 【典例精讲】同一平面内不重合的三条直线，其交点的个数可能为（　　） A．0个或1个 B．1个或2个 C．2个或3个 D．0个或1个或2个或3个 题型2：对顶角、邻补角 【典例精讲】如图，下面的说法正确的是（　　） A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O C．∠1可以表示成∠AOB或∠O D．射线OA和射线AO表示同一条射线 题型3：垂线 【典例精讲】如图，已知AB、CD相交于O，OE⊥CD于O，∠AOC＝40°，则∠BOE的度数是 　°． 题型4：垂线段最短 【典例精讲】如图，从A到B有4条路径，最短的路径是③，理由是（　　） A．直线最短 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 题型5：点到直线的距离 【典例精讲】如图，笔直小路DE的一侧栽种有两棵小树BM，CN，小明测得AB＝3m，AC＝5m，则点A到DE的距离可能为（　　） A．5m B．4m C．3m D．2m 题型6：同位角、内错角、同旁内角 【典例精讲】以下说法中： （1）同角或等角的余角相等； （2）两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等； （3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； （4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型7：平行线 【典例精讲】（多选）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与直线l平行，AM∥CB，CF⊥l，∠BCD＝60°，∠BAC＝46°，∠CBD＝50°，CF＝24寸，下列说法正确的是（　　） A．∠MAC＝72° B．∠EBD＝130° C．CD的长为24寸 D．车轮周长为48π寸 题型8：平行公理及推论 【典例精讲】下列四种说法： ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段； ③相等的角是对顶角； ④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交． 其中，错误的是　 　（填序号）． 题型9：平行线的判定 【典例精讲】如图1，AC平分∠DAB，∠1＝∠2． （1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明； （2）如图2，当∠ADC＝120°时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系； （3）如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，若AC⊥BC，问当∠CDH为多少度时，∠GDC＝∠ADH． 题型10：平行线的性质 【典例精讲】如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，然后再把BE折过去，使之与BA′重合，折痕为BD，若∠ABC＝56°，则∠E′BD的度数是 　 　°． 题型11：平行线的判定与性质 【典例精讲】综合与探究 某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线a∥c，则b∥c．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题． 已知直线AB∥CD，点E在AB，CD之间，点P，Q分别在直线AB，CD上，连接PE，EQ． （1）如图1，作EH∥AB，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE的数量关系，并说明理由； （2）如图2，∠EPF＝3∠BPF，∠EQF＝3∠DQF，求出∠F与∠E之间的数量关系； （3）如图3，直接写出∠1，∠2，∠E，∠F，∠G之间的数量关系：　 　． 题型12：生活中的平移现象 【典例精讲】春天到了，为美化环境，鸡西市儿童公园在一块长方形的空地上修两条宽一米的小路，其余部分种上不同的花卉，测得数据如图所示，求种花的面积和为 　 　． 题型13：平移的性质 【典例精讲】如图，AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝3cm，将△ABC沿BC方向平移a cm（0＜a＜5），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 　 cm． 题型14：作图-平移变换 【典例精讲】如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，将三角形ABC沿直线BC向右平移2cm得到三角形DEF，连接AE，有以下结论： ①AD∥BE；②∠B＝∠ADE；③DE⊥AC；④BE＝AD， 其中正确的有 　 　． 实战演练 一、单选题 1．如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法中，错误的有（    ） ①两点确定一条直线； ②如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行； ③如果两个角相加等于180°，那么这两个角互余； ④如果两条直线没有公共点，那么这两条直线一定平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列四种说法中，正确说法的个数是（    ） ①若，则； ②是三次二项式 ③垂直于同一条直线的两条直线平行； ④一个有理数不是整数就是分数 A．4 B．3 C．2 D．1 4．、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与（   ） A．一定不平行 B．一定平行 C．一定互相垂直 D．可能相交或平行 5．如图，下列说法正确的是（    ）    A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是同位角 6．如图，下列说法错误的是（    ） A．与是内错角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与不是同旁内角 7．下列命题是真命题的是（    ） A．直角都相等 B．若，则 C．相等的角是对顶角 D．同位角相等 8．如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，连接CD、CE，若△ACD的面积为6，则△BCE的面积为（    ） A．5 B．6 C．10 D．3 9．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．如图，长方形的长，宽，其中，将这个长方形先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到长方形，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 11．下列说法：（1）经过两点有且只有一条直线；（2）点到直线的距离就是指这点到这条直线的垂线段；（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）在立体空间里，垂直于同一条直线的两条直线平行；（5）周角是一条射线，平角是一条直线．其中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 12．如图，，点C在上，平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，在四边形中，．若，则的度数为________． 14．学习了平行线后，小强同学想出了“过直线外一点画一条已知直线的平行线”的新方法，他的作图步骤如图所示．老师说小强的作图方法是正确的，其中能够说明两条直线平行的依据是___________________． 15．如图，将直角三角形沿点到点的方向平移到三角形的位置．若，，平移距离为6，则阴影部分面积为_________． 16．如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把三角形先向右平移格，再向下平移格，就能与三角形拼合成一个四边形，那么的值为_________． 三、解答题 17．综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 18．三角形ABC在网格（每个小方格的边长均为1个单位长度）中的位置如图所示，请根据下列提示完成作图：将三角形ABC先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到三角形，试画出三角形． 19．填写推理理由，将过程补充完整： 如图，已知于点D，于点F，AD平分． 求证：． 证明：，（已知）， （垂直的定义）， ________（________________）， ________（________________）， ________（________________）． 又平分（已知）， = ， （等量代换）． 20．如图，直线AB，CD相交于点O，，点O为垂足，OF平分，且，求的度数． 21．已知直线，OF平分且，，求的度数． 22．已知的两边与的两边分别平行，即，，试探究： (1)如图①，与的关系是________； (2)如图②，写出与的关系，并说明理由； (3)根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 23．如图，，点M，N分别在AB，CD上，点P，Q分别在，的内部，连接MP，PQ，QN，NQ平分． (1)若，求的大小； (2)若，求证：MP平分． 24．【问题背景】在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》． 【实践操作】 （1）小明将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板ADE的直角顶点E落在BC上，已知，，且，则的度数为________； （2）如图②，小红将一个三角板ABC放在一组直线MN与PQ之间（其中），并使直角顶点A在直线MN上，顶点C在直线PQ上，现测得，，请判断直线MN与PQ是否平行，并说明理由； （3）现将三角板ABC按图③方式摆放（其中），使顶点C在直线MN上，直角顶点A在直线PQ上，若，请写出与之间的关系式，并说明理由． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 突破01【相交线与平行线】期末考点讲义（14大核心题型精析+实战练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期 重点知识◆梳理 知识点01：相交线 【高频考点精讲】 1.对顶角、邻补角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与 ∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 邻补角互补即 ∠3+∠4=180° 【易错点剖析】 ⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线. ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角. ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线． ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 2.垂线及性质、距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 【易错点剖析】 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 【易错点剖析】 垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 知识点02：平行线 【高频考点精讲】 1．平行线判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 【易错点剖析】 （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 知识点03：命题及平移 【高频考点精讲】 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项. 2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 要点诠释：平移的性质： （1）平移后，对应线段平行(或共线)且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行(或共线)且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. 核心题型◆归纳 题型1.相交线 题型2.对顶角、邻补角 题型3.垂线 题型4.垂线段最短 题型5.点到直线的距离 题型6.同位角、内错角、同旁内角 题型7.平行线 题型8.平行公理及推论 题型9.平行线的判定 题型10.平行线的性质 题型11.平行线的判定与性质 题型12.生活中的平移现象 题型13.平移的性质 题型14.作图-平移变换 实战演练 题型解析◆精准备考 题型1：相交线 【典例精讲】（2023春•攸县期末）同一平面内不重合的三条直线，其交点的个数可能为（　　） A．0个或1个 B．1个或2个 C．2个或3个 D．0个或1个或2个或3个 解：因为三条直线位置不明确，所以分情况讨论： ①三条直线互相平行，有0个交点； ②一条直线与两平行线相交，有2个交点； ③三条直线都不平行，有1个或3个交点； 所以交点的个数可能为0个或1个或2个或3个． 故选：D． 题型2：对顶角、邻补角 【典例精讲】（2023秋•关岭县期末）如图，下面的说法正确的是（　　） A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O C．∠1可以表示成∠AOB或∠O D．射线OA和射线AO表示同一条射线 解：A．点P在直线m外，该选项错误； B．直线m和n相交于点O，该选项正确； C．∠1可以表示成∠AOB，该选项错误； D．射线OA和射线AO表示不同射线，该选项错误； 故选：B． 题型3：垂线 【典例精讲】（2022秋•北林区校级期末）如图，已知AB、CD相交于O，OE⊥CD于O，∠AOC＝40°，则∠BOE的度数是 　50　°． 解：∵OE⊥CD于O， ∴∠COE＝90°． ∴∠BOE＝180°﹣（∠AOC+∠COE）＝180°﹣（40°+90°）＝50°． 故答案为：50． 重点考向4：垂线段最短 【典例精讲】（2023春•文山州期末）如图，从A到B有4条路径，最短的路径是③，理由是（　　） A．直线最短 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 解：从A到B有4条路径，最短的路径是③，理由是两点之间，线段最短． 故选：B． 题型5：点到直线的距离 【典例精讲】（2023春•唐县期末）如图，笔直小路DE的一侧栽种有两棵小树BM，CN，小明测得AB＝3m，AC＝5m，则点A到DE的距离可能为（　　） A．5m B．4m C．3m D．2m 解：∵AB，AC是点A到DE的斜线段，表示点A到DE的距离的线段是垂线段， 根据垂线性质：垂线段最短， ∴A到DE的距离小于AB， ∵AB＝3， ∴A到DE的距离可能为2， 故选：D． 题型6：同位角、内错角、同旁内角 【典例精讲】（2023春•惠城区校级期中）以下说法中： （1）同角或等角的余角相等； （2）两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等； （3）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； （4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：同角或等角的余角相等，则（1）正确； 两条平行的直线被第三条直线所截，截得的同位角相等，则（2）错误； 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故（3）正确； 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故（4）错误； 正确的有2个． 故选：B． 题型7：平行线 【典例精讲】（多选）（2023春•潍城区期末）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与直线l平行，AM∥CB，CF⊥l，∠BCD＝60°，∠BAC＝46°，∠CBD＝50°，CF＝24寸，下列说法正确的是（　　） A．∠MAC＝72° B．∠EBD＝130° C．CD的长为24寸 D．车轮周长为48π寸 【规范解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BCD＝∠CBA＝60°， ∵∠BAC＝46°， ∴∠ACB＝180°﹣∠CBA﹣∠BAC＝180°﹣60°﹣46°＝74°，故A选项不符合题意； ∠EBD＝180°﹣∠CBD＝180°﹣50°＝130°，故B选项符合题意； CD的长度无法计算，故C选项不符合题意； ∵车轮的圆的半径为CF的长度，即24寸， ∴车轮的周长为：2π×24＝48π（寸），故D选项符合题意， 故选：BD． 题型8：平行公理及推论 【典例精讲】（2018春•莫旗期末）下列四种说法： ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段； ③相等的角是对顶角； ④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交． 其中，错误的是　①②③　（填序号）． 解：∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴①错误； ∵在同一平面内，两条不相交的线段可能在一条直线上，说两线段是平行线段不对，∴②错误； ∵相等的角不一定是对顶角，∴③错误； ∵在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，正确，∴④正确； 故答案为：①②③． 题型9：平行线的判定 【典例精讲】（2023秋•萧县期末）如图1，AC平分∠DAB，∠1＝∠2． （1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明； （2）如图2，当∠ADC＝120°时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系； （3）如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，若AC⊥BC，问当∠CDH为多少度时，∠GDC＝∠ADH． 解：（1）如图，∵AC平分∠DAB， ∴∠1＝∠BAC， 又∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠BAC， ∴CD∥AB． （2）当∠ADC＝120°时，∠1＝∠2＝30°， ∵点E、F分别在CD和AC的延长线上运动， ∴∠2是△CEF的外角， ∴∠E+∠F＝∠2＝30°． （3）∵DH∥BC，AC⊥BC， ∴DH⊥AC， 又∵∠1＝∠2， ∴∠ADH＝∠CDH， ∴当∠GDC＝∠ADH时，∠CDG＝∠CDH＝∠ADH， ∴∠CDH＝×180°＝60°． 故当∠CDH为60度时，∠GDC＝∠ADH． 题型10：平行线的性质 【典例精讲】（2023秋•南阳期末）如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，然后再把BE折过去，使之与BA′重合，折痕为BD，若∠ABC＝56°，则∠E′BD的度数是 　34　°． 解：∵根据折叠得出∠ABC＝∠A′BC，∠EBD＝∠E′BD， 又∵∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD＝180°， ∴∠ABC+∠E′BD＝90°， ∵∠ABC＝56°， ∴∠E′BD＝34°． 故答案为：34． 题型11：平行线的判定与性质 【典例精讲】（2023秋•夏县期末）综合与探究 某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线a∥c，则b∥c．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题． 已知直线AB∥CD，点E在AB，CD之间，点P，Q分别在直线AB，CD上，连接PE，EQ． （1）如图1，作EH∥AB，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE+∠CQE的数量关系，并说明理由； （2）如图2，∠EPF＝3∠BPF，∠EQF＝3∠DQF，求出∠F与∠E之间的数量关系； （3）如图3，直接写出∠1，∠2，∠E，∠F，∠G之间的数量关系：　∠1+∠2+∠EFG＝∠E+∠G　． 解：（1）∠PEQ＝∠APE+∠CQE， 理由：∵EH∥AB，AB∥CD， ∴EH∥CD， ∵AB∥EH， ∴∠APE＝∠PEH， ∵CD∥EH， ∴∠CQE＝∠HEQ， ∵∠PEQ＝∠PEH+∠HEQ， ∴∠PEQ＝∠APE+∠CQE； （2）4∠F+∠E＝360°， 理由：由（1）可得：∠E＝∠APE+∠CQE，∠F＝∠BPF+∠DQF， ∵∠EPF＝3∠BPF，∠EQF＝3∠DQF， ∴∠APE＝180°﹣∠EPF﹣∠BPF＝180°﹣4∠BPF，∠CQE＝180°﹣∠EQF﹣∠DQF＝180°﹣4∠DQF， ∴∠E＝∠APE+∠CQE ＝180°﹣4∠BPF+180°﹣4∠DQF ＝360°﹣4（∠BPF+∠DQF） ＝360°﹣4∠F， ∴4∠F+∠E＝360°； （3）∠1+∠2+∠EFG＝∠E+∠G， 理由：过点F作FH∥AB， 由（1）可得：∠E＝∠1+∠EFH，∠G＝∠2+∠GFH， ∴∠E+∠G＝∠1+∠EFH+∠GFH+∠2 ＝∠1+∠EFG+∠2， ∴∠1+∠2+∠EFG＝∠E+∠G， 故答案为：∠1+∠2+∠EFG＝∠E+∠G． 题型12：生活中的平移现象 【典例精讲】（2023春•鸡西期中）春天到了，为美化环境，鸡西市儿童公园在一块长方形的空地上修两条宽一米的小路，其余部分种上不同的花卉，测得数据如图所示，求种花的面积和为 　8　． 解：种花的面积和为3×5﹣3×1﹣（5﹣1）×1＝8． 故答案为：8． 题型13：平移的性质 【典例精讲】（2023秋•宁阳县期末）如图，AB＝4cm，BC＝5cm，AC＝3cm，将△ABC沿BC方向平移a cm（0＜a＜5），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为 　12　cm． 解：由平移的性质可知：DE＝AB＝4cm，AD＝BE＝a cm， ∴EC＝（5﹣a）cm， ∴阴影部分的周长＝AD+EC+AC+DE＝a+（5﹣a）+3+4＝12（cm）， 故答案为：12． 题型14：作图-平移变换 【典例精讲】（2023春•海沧区校级期中）如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，将三角形ABC沿直线BC向右平移2cm得到三角形DEF，连接AE，有以下结论： ①AD∥BE；②∠B＝∠ADE；③DE⊥AC；④BE＝AD， 其中正确的有 　①②③④　． 解：∵三角形ABC沿直线BC向右平移2cm得到三角形DEF， ∴AD∥BE，BE＝AD，故①④正确； ∵AD∥BE，BE＝AD， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴∠B＝∠ADE，故②正确； ∵∠BAC＝90°， ∴∠EDF＝90°， ∴ED⊥DF， ∵AC∥DF， ∴DE⊥AC，故③正确． 故答案为：①②③④． 实战演练 一、单选题 1．如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 利用平行线的判定方法对各选项逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，不能判定，故选项符合题意； B、，根据同位角相等两直线平行，可判定，故选项不符合题意； C、，根据同位角相等两直线平行，可判定，故选项不符合题意； D、，根据同位角相等两直线平行，可判定，故选项不符合题意； 故选：A． 2．下列说法中，错误的有（    ） ①两点确定一条直线； ②如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行； ③如果两个角相加等于180°，那么这两个角互余； ④如果两条直线没有公共点，那么这两条直线一定平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由直线的定义：两点确定一条直线；补角定义：如果两角和为180度，那么这两个角互补；余角定义：如果两角和为90度，那么这两个角互余；平面图形和立体图形的特征判断； 【详解】解：①正确； ②同一平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，故错误； ③如果两个角相加等于180°，那么这两个角互补，故错误； ④同一平面内，如果两条直线没有公共点，那么这两条直线一定平行，故错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平面图形的性质和特征，平行的性质和判定，补角余角的定义，熟记定义是解答本题关键． 3．下列四种说法中，正确说法的个数是（    ） ①若，则； ②是三次二项式 ③垂直于同一条直线的两条直线平行； ④一个有理数不是整数就是分数 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质，多项式，平行线公理，有理数的分类，逐项判断即可求解． 【详解】解：①若，则，故①错误； ②是三次二项式，故②正确； ③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故③错误； ④一个有理数不是整数就是分数，故④正确； 故选：C 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，多项式，平行线公理，有理数的分类，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4．、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与（   ） A．一定不平行 B．一定平行 C．一定互相垂直 D．可能相交或平行 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线的位置关系，在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交． 根据关键语句“若与不平行， 与不平行，”画出图形，图形有两种情况，根据图形可得答案． 【详解】根据题意可得图形： 根据图形可知：若与不平行，与不平行，则与可能相交或平行， 故选：D． 5．如图，下列说法正确的是（    ）    A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是同位角 【答案】A 【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，根据同位角，内错角，同旁内角的定义判断即可． 【详解】解：A选项，与是同位角，故该选项符合题意； B选项，与是内错角，故该选项不符合题意； C选项，与是同旁内角，故该选项不符合题意； D选项，与不是同位角，故该选项不符合题意； 故选：A． 6．如图，下列说法错误的是（    ） A．与是内错角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与不是同旁内角 【答案】D 【分析】此题主要考查了三线八角，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角分别进行分析可得答案． 【详解】解：A、与是内错角，原说法正确，不符合题意； B、与是同位角，原说法正确，不符合题意； C、与是同旁内角，原说法正确，不符合题意； D、与是同旁内角，原说法错误，符合题意； 故选：D． 7．下列命题是真命题的是（    ） A．直角都相等 B．若，则 C．相等的角是对顶角 D．同位角相等 【答案】A 【分析】根据直角定义，平方根的定义，对顶角定义，同位角定义直接逐个判断即可得到答案． 【详解】解：根据等于的角叫直角得到A是真命题，符合题意； 根据平方根定义可得若，则，故B是假命题，不符合题意； 根据对顶角的定义可得相等的角不一定是对顶角，故C是假命题，不符合题意； 根据同位角的定义可得同位角不一定相等，故D是假命题，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查命题真假判断，解题的关键是熟练掌握直角定义，平方根的定义，对顶角定义，同位角定义． 8．如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，连接CD、CE，若△ACD的面积为6，则△BCE的面积为（    ） A．5 B．6 C．10 D．3 【答案】D 【分析】根据平移的性质可得AB=BD，推出再由平行线间同底三角形的面积关系求解即可． 【详解】解：∵△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置， ∴AB＝BD， ∴＝＝3， ∵DEBC， ∴＝3． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平移，平行线，熟练掌握平移的性质，平行线的判定和平行线间同底三角形面积性质，是解题的关键． 9．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的性质推出，，由三角形内角和定理求出的度数，即可得到的度数. 本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，关键是由平行线的性质推出，． 【详解】解: ， ， ， ， ， ． 故选：． 10．如图，长方形的长，宽，其中，将这个长方形先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到长方形，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘法的应用、图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得长方形与长方形的重叠部分的长为，宽为，再根据多项式乘法的法则计算即可得． 【详解】解：∵将长方形先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∴长方形与长方形的重叠部分的长为，宽为， 则阴影部分的面积是 ， 故选：B． 11．下列说法：（1）经过两点有且只有一条直线；（2）点到直线的距离就是指这点到这条直线的垂线段；（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）在立体空间里，垂直于同一条直线的两条直线平行；（5）周角是一条射线，平角是一条直线．其中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行公理以及其推论和垂线的定义、点到直线的距离的定义等，根据相关知识进行判断即可. 【详解】解：（1）经过两点有且只有一条直线，选项说法正确； （2）点到这条直线的垂线段的长度才是点到直线的距离，故选项说法错误； （3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选项说法正确； （4）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故选项说法错误； （5）角是由一个公共端点发出的两条射线组成，即两射线所在的直线重合，也不能认为是一条射线或直线，故说法错误． 综上可知，（1）（3）正确， 故选：B 12．如图，，点C在上，平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义，根据平行线的性质得到，由角平分线得到，再由平行线的性质得到即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 二、填空题 13．如图，在四边形中，．若，则的度数为________． 【答案】 【解析】略 14．学习了平行线后，小强同学想出了“过直线外一点画一条已知直线的平行线”的新方法，他的作图步骤如图所示．老师说小强的作图方法是正确的，其中能够说明两条直线平行的依据是___________________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】略 15．如图，将直角三角形沿点到点的方向平移到三角形的位置．若，，平移距离为6，则阴影部分面积为_________． 【答案】48 【详解】由平移的性质可知，，，．，． 16．如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把三角形先向右平移格，再向下平移格，就能与三角形拼合成一个四边形，那么的值为_________． 【答案】4或5或6 【详解】①当三角形平移到如图①所示的位置时，，，； ②当三角形平移到如图②所示的位置时，，，； ③当三角形平移到如图③所示的位置时，，，． 综上所述，的值为4或5或6． 三、解答题 17．综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)A，C (2)建造绿化地的费用为11400元 (3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算， ，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为700元． 18．三角形ABC在网格（每个小方格的边长均为1个单位长度）中的位置如图所示，请根据下列提示完成作图：将三角形ABC先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到三角形，试画出三角形． 【答案】见解析 【详解】解：如图，三角形即为所求． 19．填写推理理由，将过程补充完整： 如图，已知于点D，于点F，AD平分． 求证：． 证明：，（已知）， （垂直的定义）， ________（________________）， ________（________________）， ________（________________）． 又平分（已知）， = ， （等量代换）． 【答案】；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；； 【详解】解：  同位角相等，两直线平行   两直线平行，内错角相等   两直线平行，同位角相等    20．如图，直线AB，CD相交于点O，，点O为垂足，OF平分，且，求的度数． 【答案】 【详解】解：，． 设，． ， ，解得， ，． OF平分，． ， ． 21．已知直线，OF平分且，，求的度数． 【答案】 【详解】解：，， ． ，，． OF平分，， ． 22．已知的两边与的两边分别平行，即，，试探究： (1)如图①，与的关系是________； (2)如图②，写出与的关系，并说明理由； (3)根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)见解析 【详解】解：（1）如图①，，．，，． （2）． 理由如下：如图②，，． ，，． （3）归纳：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 23．如图，，点M，N分别在AB，CD上，点P，Q分别在，的内部，连接MP，PQ，QN，NQ平分． (1)若，求的大小； (2)若，求证：MP平分． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：，， ． 又平分，． （2）证明：，，． 平分，． 又，， ， MP平分． 24．【问题背景】在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》． 【实践操作】 （1）小明将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板ADE的直角顶点E落在BC上，已知，，且，则的度数为________； （2）如图②，小红将一个三角板ABC放在一组直线MN与PQ之间（其中），并使直角顶点A在直线MN上，顶点C在直线PQ上，现测得，，请判断直线MN与PQ是否平行，并说明理由； （3）现将三角板ABC按图③方式摆放（其中），使顶点C在直线MN上，直角顶点A在直线PQ上，若，请写出与之间的关系式，并说明理由． 【答案】（1）75（2），理由见解析（3），理由见解析 【详解】解：（1），， ， ． 故答案为． （2）． 理由如下：，， ． ，， ， ，． （3）． 理由如下：，． ， ，． 又，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $