2025年高一数学暑假作业（11）空间向量及其运算-人教B版（2019）选择性必修第一册

（11）空间向量及其运算 【新知学习】 一、空间向量的概念 1.空间向量及空间向量的模：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. 2.空间向量的表示：用字母a，b，c，…表示，或用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为或. 3.零向量：规定长度为0的向量叫零向量，记为0. 4.单位向量：模为1的向量叫单位向量. 5.相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为-a. 6.共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量. 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有. 7.相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. 二、空间向量的运算律 1.空间向量的加法、减法及数乘运算： （1）； （2）； （3）当时，； 当时，； 当时，. 2.空间向量线性运算的运算律： 交换律：； 结合律：，； 分配律：，.（其中，） 三、共线向量和共面向量 1.共线向量：对任意两个空间向量a，b（），的充要条件是存在实数，使. 2.直线的方向向量：O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得.把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量. 3.共面向量：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l. 如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量a平行于平面.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量. 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使. 四、空间向量的数量积运算 1.空间向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作，，则叫做向量a，b的夹角，记作. 如果，那么向量a，b互相垂直，记作. 2.空间向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作.即. 特别地，零向量与任意向量的数量积为0. 由向量的数量积定义，可以得到：；. 3.空间向量数量积的运算律：，；（交换律）；（分配律）. 【预习自测】 1.已知四棱柱的底面ABCD是平行四边形，且，，，则( ). A. B. C. D. 2.在斜三棱柱中，( ) A. B. C. D. 3.如图，在四面体PABC中，E是AC的中点，，设，，，则( ) A. B. C. D. 4.在棱长为1的正方体中，( ) A.1 B. C. D.2 5.已知空间向量a，b，c满足，，且，则a与b的夹角大小为( ) A. B. C. D. 6.如图所示，在空间四边形OABC中，，且，则的值为( ) A. B.0 C. D. 7.（多选）已知a，b为空间中的任意两个非零向量，则下列各式正确的有( ) A. B. C. D. 8.在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量的模是__________. 9.对于空间中的非零向量，，，有下列各式： ①； ② ③； ④. 其中一定不成立的是_________.（填序号） 10.如图，在棱长为2的正方体中，F是的中点，则______________. 答案以及解析 1.答案：B 解析：. 2.答案：C 解析：三棱柱中，. 故选：C. 3.答案：B 解析：由题意，得.故选B. 4.答案：B 解析：.故选B. 5.答案：C 解析：由题意知，则，所以.又，可得，即.故选C. 6.答案：B 解析：在空间四边形OABC中，，，， ，.故选B. 7.答案：AD 解析：由数量积的性质和运算律可知AD是正确的. 8.答案： 解析：在棱长为1的正方体中，向量与向量的夹角为，所以，即向量在向量上的投影向量的模是. 9.答案：② 解析：根据空间向量的加、减运算法则可知，对于①，恒成立； 对于③，当，，方向相同时，有； 对于④，当，方向相同且与，方向相反时，有. 只有②一定不成立. 10.答案：6 解析：棱长为2的正方体中， 连接，则是边长为的等边三角形， . 学科网（北京）股份有限公司 $$