精品解析：河南省洛阳市强基联盟2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题

洛阳强基联盟高二5月联考 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（ ） A. 19 B. 20 C. 40 D. 200 2. 已知离散型随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 4. 设某制造公司进行技术升级后的第x个月（）的利润为y（单位：百万元），根据统计数据，求得y关于x的经验回归方程为，若时的观测值，则时的残差为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 6 5. 有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 96种 D. 144种 6. 两批同种规格的产品，第一批占，次品率为，第二批占，次品率为.将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是次品的概率为（ ） A. 0.036 B. 0.044 C. 0.966 D. 0.956 7. 篮球中三分球的投篮位置为三分线以外，若从3分投篮区域投篮命中计3分，没有命中得0分.已知某篮球运动员三分球命中的概率为0.4，设其投三分球一次的得分为，则（ ） A. 1.2 B. 2.4 C. 2.16 D. 2.52 8. 重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（ ） A. 8 B. 7或8 C. 9 D. 8或9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论错误的是（ ） A. 两个变量的相关性越强，相关系数越大 B. 利用样本点求经验回归方程，则样本点可能都不在回归直线上 C. 对于独立性检验，的观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越大 D. 在列联表中，若每个数据都变为原来的2倍，则变为原来的2倍） 10. 下列关于的二项展开式，说法正确的是（ ） A. 展开式共有10项 B. 展开式的二项式系数之和为1024 C. 展开式的常数项为8064 D. 展开式的第6项的二项式系数最大 11. 已知甲袋中有3个红球，乙袋中有2个黑球1个红球．从两袋中各随机摸出1个球，放入对方袋中，如此反复次，记甲袋中恰有2个红球的概率为，甲袋中恰有1个红球的概率为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则__________. 13. 已知，则__________. 14. 若，则的值被4除的余数为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学生想在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目. （1）若任意选择三门课程，求不同的选法总数； （2）若物理和历史不能同时选，求不同的选法总数. 16. 近年来，食品添加剂泛滥引起消费者关注，某媒体对消费者在购买预包装食品时是否关注配料表进行调查，调查了100名男性消费者与100名女性消费者，关注配料表的消费者共有80人，其中女性30人. （1）用列联表表示上述数据； （2）是否有99%的把握认为消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关？ 附：，其中. 0.1 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 17. 某校高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，已知测试成绩满分为100分，规定测试成绩在区间内为“体质优秀”，在内为“体质良好”，在内为“体质合格”，在内为“体质不合格”.现从这个年级中随机抽取6名学生，测试成绩如下： 学生编号 测试成绩 （1）若该校高二年级有600名学生，将样本频率视为概率，在高二年级学生中任意抽取2人，求在2人中至少有1人是“体质优秀”学生的前提下，恰有1人是“体质优秀”学生的概率. （2）若从这6名学生中随机抽取3人，记X为抽取的3人中“体质良好”的学生人数，求X的分布列与数学期望. 18. 随着智能网联汽车应用服务的推陈出新，智能网联汽车规模持续上升，下表为2021～2025中国智能网联汽车应用服务市场的规模及预测（表中2025年的数据为预测规模）． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模（单位：千亿元） 0.93 1.26 1.61 2.15 2.79 （1）小张同学根据上表数据求得关于的经验回归方程为，小王同学利用散点图发现，点的分布更像模型，利用变换，可将转换为线性模型，根据下面提供的数据及公式求出该回归方程； （2）利用相关系数可以判断两变量间线性相关性的强弱，|r|越大，线性相关性就越强，且当时，则认为经验回归方程有价值，否则无价值．用相关系数比较两模型哪一个更有价值？ 参考公式：． 参考数据：,(其中)． 19. 已知某次数学考试中试卷有11道选择题，其中8道单选题，3道多选题（此份试卷恰巧每个多选题都只有两个正确选项），单选题每题5分，选对得5分，选错得0分；多选题每题6分，全部选对的得6分，选对1个选项的得3分，有选错的得0分.甲、乙两位同学参加了此次数学考试，甲同学的试卷正常，而乙同学的试卷中选择题被打乱，无法分辨是单选题还是多选题，所以他认为11道选择题均是单选题，假设两人选对一个单选题的概率都是. （1）设此次考试中甲同学选对了X道单选题，求X的数学期望； （2）若对于多选题，乙同学选对1个选项的概率为，记此次考试中乙同学选择题的得分为Y，求Y的数学期望； （3）已知甲同学遇到3个多选题时，每个题只能判断出有一个选项是正确的，且甲同学最多再选1个其他选项，假设他选对剩下1个选项的概率是p（），请你帮甲同学制定回答3个多选题的策略，使得分的期望最高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛阳强基联盟高二5月联考 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在全球高铁技术竞争中，中国站到了前沿.全国政协委员、中国铁道科学研究院集团有限公司首席研究员赵红卫近日透露，全球最快的高铁列车CR450正在加紧试验，预计将在一年后投入商业运营.小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座4张，一等座10张，商务座5张，则小张的购票方案种数为（ ） A. 19 B. 20 C. 40 D. 200 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意用分类加法计数原理相加即可. 【详解】按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为. 故选：A. 2. 已知离散型随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知分布列，结合互斥事件的概率加法公式求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 故选：C. 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式计算作答. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：B. 4. 设某制造公司进行技术升级后的第x个月（）的利润为y（单位：百万元），根据统计数据，求得y关于x的经验回归方程为，若时的观测值，则时的残差为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用残差的定义求解. 【详解】解：因为时的预测值为， 所以残差为． 故选：B． 5. 有3名男生和3名女生去影院观影，他们买了同一排相连的6个座位，若3名女生必须相邻，则不同的坐法有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 96种 D. 144种 【答案】D 【解析】 【分析】先利用捆绑法将3名女生看成一个整体，再将女生整体和3名男生一起排列. 【详解】先把3名女生看成一个整体，有种排法， 再把这个整体与另外3名男生排列，有种排法， 则不同的坐法有种坐法. 故选：D. 6. 两批同种规格的产品，第一批占，次品率为，第二批占，次品率为.将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是次品的概率为（ ） A. 0.036 B. 0.044 C. 0.966 D. 0.956 【答案】B 【解析】 【分析】利用全概率公式即可求解. 【详解】设事件为“取到的产品是次品”，为“取到的产品来自第批”， 则，，，， 由全概率公式，可得. 所以这件产品是次品的概率为. 故选：B. 7. 篮球中三分球的投篮位置为三分线以外，若从3分投篮区域投篮命中计3分，没有命中得0分.已知某篮球运动员三分球命中的概率为0.4，设其投三分球一次的得分为，则（ ） A. 1.2 B. 2.4 C. 2.16 D. 2.52 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知列出的分布列，根据期望公式求解得出，进而代入方差公式计算即可得出答案. 【详解】由已知可得，的分布列为 0 3 所以，， . 故选：C. 8. 重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（ ） A. 8 B. 7或8 C. 9 D. 8或9 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项分布的概率公式列出不等式组，通过组合数公式化简不等式组，进而求解的取值范围，再结合为自然数确定的值． 【详解】若从参加活动的老人中随机抽取14人，且抽到的女性人数为，则， 若抽到名女性的可能性最大，则 即解得， 又，故或9． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论错误的是（ ） A. 两个变量的相关性越强，相关系数越大 B. 利用样本点求经验回归方程，则样本点可能都不在回归直线上 C. 对于独立性检验，的观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越大 D. 在列联表中，若每个数据都变为原来的2倍，则变为原来的2倍） 【答案】AC 【解析】 【分析】根据相关系数、回归方程、的实际意义判断A、B、C；利用卡方公式判断D. 【详解】A，两个变量的相关性越强，越大，A错误； B，由经验回归方程的实际意义，样本点有可能都不在直线上，B正确； C，的观测值越大，判断“两变量有关联”犯错误的概率越小，C错误； D，若，每个数据都变为原来的2倍， 则，D正确． 故选：AC 10. 下列关于的二项展开式，说法正确的是（ ） A. 展开式共有10项 B. 展开式的二项式系数之和为1024 C. 展开式的常数项为8064 D. 展开式的第6项的二项式系数最大 【答案】BD 【解析】 【分析】由二项展开式及性质可知A错误，B正确.利用二项展开式的通项公式求常数项和第6项可知C错误，D正确. 【详解】由题意可知，展开式共有11项，故A错误； 展开式的二项式系数之和为，故B正确； 展开式的通项为， 令，得，所以展开式的常数项为，故C错误； 当时，二项式系数最大，所以展开式的第6项的二项式系数最大，故D正确. 故选：BD. 11. 已知甲袋中有3个红球，乙袋中有2个黑球1个红球．从两袋中各随机摸出1个球，放入对方袋中，如此反复次，记甲袋中恰有2个红球的概率为，甲袋中恰有1个红球的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先分情况讨论时甲袋中球的组成，算出和.当，同样分三种情况分析甲袋中球的组成，得出的递推式，经变形得到与的关系，确定是等比数列，进而求出表达式和.再根据条件得出递推式，结合，依次算出、，逐个判断. 【详解】当时，甲袋中球的组成有甲袋中恰有3个红球、甲袋中恰有2个红球1个黑球两种情况， 所以； 当时，甲袋中球的组成有甲袋中恰有3个红球、甲袋中恰有2个红球1个黑球、甲袋中恰有1个红球2个黑球3种情况， 所以， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 所以C正确D错误； ， 又，所以，AB正确． 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项分布的性质求方差，再利用线性关系的性质来求解即可. 【详解】因为，所以， 则有， 故答案为：. 14. 若，则的值被4除的余数为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用赋值法，可得系数之和，根据二项式定理可得展开式，可得系数的正负，从而可得系数绝对值之和，结合二项式定理，可得答案. 【详解】令，得， 因为， 所以当为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即， 当为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即， 所以， 又， 故被4除余3． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学生想在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目. （1）若任意选择三门课程，求不同的选法总数； （2）若物理和历史不能同时选，求不同的选法总数. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用组合数来求解即可 （2）利用间接法，结合组合数来求解即可. 【小问1详解】 在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目， 若任意选择三门课程，则不同的选法总数有种； 【小问2详解】 在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目， 若物理和历史不能同时选，则不同的选法总数有种. 16. 近年来，食品添加剂泛滥引起消费者关注，某媒体对消费者在购买预包装食品时是否关注配料表进行调查，调查了100名男性消费者与100名女性消费者，关注配料表的消费者共有80人，其中女性30人. （1）用列联表表示上述数据； （2）是否有99%的把握认为消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关？ 附：，其中. 0.1 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1） 关注 不关注 合计 男性消费者 50 50 100 女性消费者 30 70 100 合计 80 120 200 （2）有. 【解析】 【分析】（1）根据给定的数据，列出列联表. （2）利用（1）中数据求出的观测值，再与临界值比对判断得解. 【小问1详解】 依题意，列联表如下： 关注 不关注 合计 男性消费者 50 50 100 女性消费者 30 70 100 合计 80 120 200 【小问2详解】由（1）得的观测值为 所以有99%的把握认为消费者购买预包装食品时是否关注配料表与性别有关. 17. 某校高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，已知测试成绩满分为100分，规定测试成绩在区间内为“体质优秀”，在内为“体质良好”，在内为“体质合格”，在内为“体质不合格”.现从这个年级中随机抽取6名学生，测试成绩如下： 学生编号 测试成绩 （1）若该校高二年级有600名学生，将样本频率视为概率，在高二年级学生中任意抽取2人，求在2人中至少有1人是“体质优秀”学生的前提下，恰有1人是“体质优秀”学生的概率. （2）若从这6名学生中随机抽取3人，记X为抽取的3人中“体质良好”的学生人数，求X的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）X的分布列为： 0 1 2 【解析】 【分析】（1）利用二项分布求出2人中至少有1人是“体质优秀”学生的概率，结合条件概率公式可求2人中至少有1人是“体质优秀”学生的前提下，恰有1人是“体质优秀”学生的概率. （2）利用超几何分布可求X的分布列，再由前者可求期望. 【小问1详解】 高二年级随机抽取的6名学生中，“体质优秀”的有3人，优秀率为， 若将样本频率视为概率，在高二年级学生中任意抽取1人， 此人是“体质优秀”学生的概率为. 设2人中至少有1人是“体质优秀”学生为事件A，恰有1人是“体质优秀”学生为事件B， 则，， 所以，，即所求的概率为. 【小问2详解】 高二年级抽取的6名学生中“体质良好”的有2人，非“体质良好”的有4人. 所以的可能取值为0，1，2， ，，， 所以随机变量X的分布列为： 0 1 2 . 18. 随着智能网联汽车应用服务的推陈出新，智能网联汽车规模持续上升，下表为2021～2025中国智能网联汽车应用服务市场的规模及预测（表中2025年的数据为预测规模）． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模（单位：千亿元） 0.93 1.26 1.61 2.15 2.79 （1）小张同学根据上表数据求得关于的经验回归方程为，小王同学利用散点图发现，点的分布更像模型，利用变换，可将转换为线性模型，根据下面提供的数据及公式求出该回归方程； （2）利用相关系数可以判断两变量间线性相关性的强弱，|r|越大，线性相关性就越强，且当时，则认为经验回归方程有价值，否则无价值．用相关系数比较两模型哪一个更有价值？ 参考公式：． 参考数据：,(其中)． 【答案】（1） （2）模型更有价值 【解析】 【分析】（1）将两边取对数，只需结合所给公式求出的值即可得解； （2）只需计算出两个相关系数，然后它们和0.75这三个数之间比较大小即可作出结论. 【小问1详解】 将两边取对数，得，令， 由题意得， 所以， 所以， 所以，即， 所以． 【小问2详解】 因为回归直线方程为， 所以， 所以， 所以． 因为，所以该经验回归方程有价值． 因为， 所以， 所以与线性相关性强，其经验回归方程有价值， 又， 所以模型更有价值. 19. 已知某次数学考试中试卷有11道选择题，其中8道单选题，3道多选题（此份试卷恰巧每个多选题都只有两个正确选项），单选题每题5分，选对得5分，选错得0分；多选题每题6分，全部选对的得6分，选对1个选项的得3分，有选错的得0分.甲、乙两位同学参加了此次数学考试，甲同学的试卷正常，而乙同学的试卷中选择题被打乱，无法分辨是单选题还是多选题，所以他认为11道选择题均是单选题，假设两人选对一个单选题的概率都是. （1）设此次考试中甲同学选对了X道单选题，求X的数学期望； （2）若对于多选题，乙同学选对1个选项的概率为，记此次考试中乙同学选择题的得分为Y，求Y的数学期望； （3）已知甲同学遇到3个多选题时，每个题只能判断出有一个选项是正确的，且甲同学最多再选1个其他选项，假设他选对剩下1个选项的概率是p（），请你帮甲同学制定回答3个多选题的策略，使得分的期望最高. 【答案】（1）2 （2） （3）当时，此时每道多选题选2个选项的得分比只选1个选项高，所以建议甲同学3个多选题全部选2个选项； 当时，此时每道多选题选2个选项的得分与只选1个选项一样，所以甲同学每道多选题选择1个选项或2个选项都可以； 当时，此时每道多选题只选1个选项的得分比选2个选项高，所以建议甲同学3个多选题全部只选1个选项. 【解析】 【分析】（1）应用二项分布计算数学期望即可； （2）结合二项分布的数学期望及数学期望的性质计算求解； （3）列出对应概率后根据3和的大小关系分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意，得，所以，即的数学期望为2. 【小问2详解】 由题意，对于单选题，乙同学每个单选题做对的概率为，对于多选题，乙同学选对1个选项的概率为. 设乙同学做对单选题的个数为，多选题得3分的个数为，则，， 所以，. 又此次考试中乙同学选择题的得分为， 所以. 【小问3详解】 对于每一道多选题，甲同学每个题只能判断出有一个选项是正确的，先把这个正确选项选上，如果甲同学不继续选其他选项，肯定能得3分；如果甲同学继续选其他选项的话，设此题的最终得分为，则的所有可能取值为0，6， 所以的分布列为 0 6 所以此题的得分期望是， 所以我们只需要比较3和的大小关系即可， 当，即时，此时每道多选题选2个选项的得分比只选1个选项高，所以建议甲同学3个多选题全部选2个选项； 当，即时，此时每道多选题选2个选项的得分与只选1个选项一样，所以甲同学每道多选题选择1个选项或2个选项都可以； 当，即时，此时每道多选题只选1个选项的得分比选2个选项高，所以建议甲同学3个多选题全部只选1个选项. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $