函数与方程、不等式2教学设计-2025届高三数学二轮复习

函数与方程、不等式 一、教学内容解析 函数、方程和不等式都是中学数学中非常重要的内容，用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法.本节课内容为高三二轮复习课，也为“函数与方程、不等式”这一单元的起始课——利用函数观点看方程和不等式问题.从学生课前自主命制的题目作为切口，展开对某一特定类型的方程和不等式进行研究，其上位知识为“二次函数与一元二次方程、不等式”（简称为“三个二次”），下位知识为其余类型的函数与方程、不等式的关系. 类比“三个二次”，用函数观点看方程、不等式，可以让学生在“三个二次”的相关内容的基础上，进一步理解一般函数与方程、不等式之间的联系，形成用函数统领方程和不等式的意识，进而体会数学的整体性. 从函数的观点来看方程，当函数值为 0 时就得到一个方程，解方程就是求“自变量为何值时，函数值为 0 ”.如果函数的图象与轴有交点，从函数的角度来看，交点的横坐标就是函数的零点，从方程的角度来看，交点的横坐标就是方程的实数解.同时，函数图象与轴的交点又将轴分成几部分，每一部分 (不含交点) 对应的函数图象都在轴同侧，也就是函数值都为正或者都为负，即或者.因此，从函数的观点看不等式，当函数值大于0（或者小于0）就得到一个不等式，不等式的解集就是使函数值大于0（或者小于0）的自变量的取值范围所构成的集合. 因此，可以利用函数的相关知识来判断方程根的存在性和根的个数，以及求解不等式相关的问题. 借助函数的相关知识研究方程与不等式，使研究方程和不等式的方法更具一般性.因此，从函数的角度来研究方程和不等式，体现数学的整体性，凸显函数的重要地位，其中涉及的数形结合、函数思想等都是数学中重要的思想方法. 由于方程和不等式均可以利用运算进行等价变形，所以当方程和不等式的形式结构发生变化时，选择的函数载体也会随之变化，进而为借助函数研究方程与不等式提供了更多样的选择. 基于以上分析，确定本单元的教学重点为：1.用函数的观点统一认识方程和不等式；2.根据三者的联系, 选择合适的函数载体研究方程或不等式的相关问题. 二、教学目标设置 1.单元目标： 1.经历从方程或不等式中抽象出其对应函数的过程，理解函数的核心作用. 2.借助函数的相关知识，了解函数与方程、不等式的联系，体会数学的整体性. 3.能够借助函数的相关知识，求解方程实数解或不等式解集的相关问题，并利用这些问题，提升直观想象和数学运算素养. 课堂教学目标： 1.通过对方程或不等式进行不同的代数变形，能从中抽象出不同的函数载体，并利用导数的方法，进一步理解函数与方程、不等式的内在联系，体会不同函数载体在处理同一个问题下的核心作用及区别. 2.通过类比“三个二次”的研究经验以及对方程和不等式相关问题的解决，会利用函数观点解决方程和不等式问题，体会转化与化归、数形结合等数学思想方法，体会数学的整体性. 3.能通过具体问题的归纳与概括得到用函数方法求方程实数解个数的基本过程，并能将这一过程所用的思想方法迁移到解决不等式的相关问题中来，提升直观想象和数学运算素养. 三、学生学情分析 1.在初中以及高一上学期阶段，学生已经学习了利用一次函数和二次函数的观点去看其对应的方程和不等式问题，这为将这种思想方法迁移到更具一般性的函数中来提供了基础. 2.由于在高一阶段，学生认识函数的工具受到了限制，无法对不同类型的函数与方程、不等式进行探究，所以利用函数观点去看方程和不等式这一问题就仅停留在了比较简单的二次类型上.到了高二阶段，导数的引入为研究函数与方程、不等式提供了更广阔的平台，学生可以利用导数的方法，进一步理解函数与方程、不等式的内在联系.而本单元是建立在学生对原函数与导函数之间有着较为深刻的理解的前提下，才能顺利的完成相应的学习目标，所以与导数相关的知识内容需要学生通过努力自己消除障碍. 3.利用函数观点去看方程和不等式问题，其关键所在应该是选择什么样类型的函数作为研究问题的载体，这就要求学生需要站在数学运算的角度上，处理好函数与方程、不等式三者之间的关系，即“在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题”.而每个学生对于运算对象理解的层次是不一样的，因此教师需要在学生能够对运算对象深入分析、结合运算对象灵活使用运算法则产生正确的运算思路上提供帮助和指引. 基于上述分析，确定本单元的教学难点为：1.利用导数进一步理解函数与方程、不等式之间的内在联系；2.理解方程或不等式这一运算对象，利用函数观点探究运算思路，求得运算结果. 为了突破教学难点，在创设教学情境的过程中需要选择一些综合性较强且利用导数来探究函数性质的问题，那么高考题就是一个很好的载体，但由于高考题目的综合性较强，对于一些同学难免在思维上和心理上均会产生一定的阻力，导致冲淡教学目标，所以在问题搭建上，采用了特殊到一般，静态到动态的问题序列设置，在解决高考题目之前，将高考题目中涉及到的参数特殊化，降低运算难度，符合学生最近发展区的同时，实现了教学效果. 在创设教学情境的过程中也需要设置一些开放性强的数学问题序列，这样才有更多的机会暴露学生的思维过程，取长补短，使学生之间的思维碰撞，为研究方程和不等式问题提供尽可能多的函数载体搭建好平台，体会利用不同的函数去解决同一个方程或不等式问题的区别. 为了使学生能够更好的理解运算对象，在教学中应该充分考虑学生对问题思考的生成性，预判学生可能出现的多种情况，在每一种情况下设置追问，使学生理解问题变得更加深刻，形成辩证性和批判性思维. 4、 教学策略分析 《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》强调高中数学教学要重视过程评价,聚焦素养,提高质量.通过评价,提高学生学习兴趣,帮助学生认识自我,增强自信;帮助教师改进教学,提高质量. 所以本节课采用“教 — 学 — 评”一体化的教学策略，以生为本,突出学生的主体地位,将原本被动地学转变为以学生为主导的主动地学,以学定教,学评统一. 在“教”的方面，采用类比的方式，通过“问题1”的设置，让学生利用原有的学习经验去解决问题，将“一次”和“二次”问题推广到一般问题；通过对“问题2”的解决，学生可以感受到用函数方法求方程实数解个数的基本过程，并能将这一过程所用的思想方法迁移到不等式的相关问题中去. 在“学”的方面，要充分发挥学生学习的主观能动性,以教学目标为引领开展课堂互动探究活动，学生在探究活动中主动地获取知识,反馈自己的学习.为了提高学生主动学习的欲望，可尝试设计开放性较强的探究活动,激发学习兴趣. 例如，借助“问题2”教师可在课前布置一项学习任务，让学生从命题和解题两个方面去思考问题，强化了学生对函数与方程之间的关系的认知，使自主探究味道更浓，实现将学习方式由被动变为主动，激发学生的学习兴趣；然后借助“问题2”的研究经验，通过“问题3”组织学生借助软件，利用函数观点自主命制与不等式相关的问题，激发学生学习的积极性,提高学生发现问题和提出问题的能力,发展学生的数学素养.接下来，在本节课“问题4”这一教学环节的设置中,教师可利用平板端的数据分析,充分调动学生学习的积极性和主动性，预判学生可能选择的函数载体都有哪几种形式，给与学生充足的时间对“问题4”进行探究，最后让学生提交他们所选择的函数载体是什么，由此精准的暴露学生的思维过程，并以此为基础安排下一步的教学活动. 在“评”的方面，分为课前评价、课中评价和课后评价三个方面. 1.课前评价,让课堂教学更有针对性 评价内容:请从中至少选择两项，利用“加、减、乘、除”四则运算构造出一个方程，并从函数角度去研究你所构造出的方程解的个数. 评价方式:答题评价. 具体操作:课前用平板搜集学生的答题情况,及时反馈学生在命题和解题时存在的问题,课堂上选择学生命制出来的优质题目进行展开研讨; 2.课中评价,提高课堂教学质量 评价内容：教学环节中的所有问题序列. 评价方式:（1）问答评价、学生展示评价.具体操作为每位同学回答问题或分享思路结束后，采用生生互评或教师给与点评.（2）即时统计数据,精准评价.具体操作为学生完成题目后,将所选择的函数载体输入平板,教师即时获得数据精准诊断学情,精准靶向教学,总结共性，分析个性，更好地落实目标,提高课堂效率. 3.课后评价,形成教学闭环 评价内容：课后作业. 评价方式:答题评价.具体操作:课后用平板查看学生的答题情况,及时反馈学生在课后作业中存在的问题,实现点对点教学，提高教学效率. 总之，本节课应以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，通过创设数学情境，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，完成教学目标，落实核心素养，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程. 五、教学过程 问题1：回顾这两张表格，你能谈一谈一般函数与方程、不等式之间的关系是怎样的么？ 【设计意图】原有的学习经验为研究一般函数与方程、不等式之间的关系提供了研究方向，指明了研究方法，体现了单元教学内容的整体性，方法的一致性，便于提高学生的学习能力. 问题2：（课前）请从中至少选择两项，利用“加、减、乘、除”四则运算构造出一个方程（可以用常数对方程进行调整），并从函数角度去研究你所构造出的方程实数解的个数. 【设计意图】1.从命题和解题两个方面去思考问题，强化了学生对函数与方程之间的关系的认知，实现将学习方式由被动变为主动，激发学生的学习兴趣；2.在教学中引导学生通过对方程进行不同的代数变形，从中抽象出不同的函数载体，并利用导数的方法，可以使学生进一步理解函数与方程的内在联系，体会不同函数载体在处理同一个方程问题下的作用及区别；3.经历用函数方法求方程实数解个数的过程，并将这一过程用到的思想方法迁移到函数与不等式相关内容的研究上，为利用函数观点解不等式的相关问题做好指导. 问题3：借助函数，能否编制一道不等式相关的问题.（通过作图验证，不必从数的角度给出严格的论证） 【设计意图】通过作图验证，可从形的角度，感受函数与不等式之间的关系，深化对函数与不等式之间关系的理解，进而为问题4的解决提供了相同的研究方法和路径. 问题4：当时，证明：. 预判学生可能选择的函数载体： ①与 ② ③与 ④ ⑤ ⑥ ⑦ 【设计意图】1.学生通过对不等式进行不同的代数变形，从中抽象出不同的函数载体，并利用导数的方法，可以进一步理解函数与不等式的内在联系，体会不同函数载体在处理同一个不等式问题下的作用及区别，逐步建立利用函数观点解决不等式相关问题的模型，积累做数学、学数学、用数学的经验；2.本题目为高考的改编题目，是将高考题目中涉及到的参数特殊化，降低了运算难度，符合学生最近发展区，使得不同层次的学生均可得到发展，实现了教学效果的落地，同时也为“问题5”的解决提前做好了铺垫. 问题5：（2024年全国甲卷理科第21题第（2）问） 已知函数．当时，，求的取值范围． 预判学生可能选择的函数载体： ①（含参讨论） ②（直曲分离） ③（分离参数） ④（二阶导探路） 【设计意图】1.本题是在“问题4”的基础上引入参数，让学生能够在熟悉的问题情境中，模仿学过的数学方法解决问题；2.随着题目综合性变得更强，问题的解决可以促使学生对运算对象的理解更深刻，更好的明晰解决问题的思路，进而掌握解决一类问题的通性通法. 课后作业： A组：借助函数，能否编制一道不等式相关的问题，并给与解答. B组：2021年全国乙卷理科第20题 设函数，已知是函数的极值点. （1）求； （2）设函数.证明：. 【设计意图】丰富的作业形式可提高作业的质量，并为不同层次的学生搭建好提升能力的平台，有针对性和时效性，既起到了巩固知识、训练技能的作用，又强化了学生利用函数观点看方程和不等式的能力与意识，帮助学生领悟转化与化归思想，逐步发展学生数学运算的核心素养. 学科网（北京）股份有限公司 $$