期末复习专题8——三角形的中位线 提升练习 2024-2025学年苏科版数学八年级下册

期末复习专题8——三角形的中位线 提升练习 2024-2025学年苏科版数学八年级下册 一、选择题 1．如图，在中，是的中线，分别是的中点，连接．已知，则的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，在中，的平分线交AB于点G，E是GB的中点，F是DG的中点，，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，，平分交于点，点F，G分别是，的中点，则的长为(　　) A． B．B. C． D． 4．如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的两点间的距离，同学们在外选择一点，测得两边中点的距离，则两点间的距离是(　　) A． B． C． D． 5．如图，矩形的对角线与相交于点O，，P，Q分别为，的中点，则的长度为（　　） A． B．2 C．3 D．4 6．如图，跷跷板的支柱经过它的中点O，且垂直于地面于点C，当它的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（　　） A．0.6m B．1m C．1.1m D．1.2m 7．如图，在边长为的正方形中，为对角线，平分，于点，交于点，点为的中点，连接，则的长为（　　）． A． B． C． D． 8．如图， 在 中， 于点 ， 点 在 上， ， 若点 分别为 的中点，连结 ， 则 的长为（ ） A．4 B． C． D．5 二、填空题 9．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD=4，CD=6，则EO的长为　 　. 10．如图，在中，，，，点分别平分线段，则的长为　 　． 11． 如图，在平行四边形ABCD中， BE⊥CD，点 G，H分别为 DE，BC 中点，BE=5，AB=12，则GH=　 　. 12．已知中，D为的中点．按以下步骤作图：①分别以点A、点C圆心，以大于长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交于点；③连接．若的周长为，则的周长为　 　． 13．如图，在矩形中，，，平分交于点，点、分别为、的中点，则　 　． 14．如图，在四边形中，，，，，四边形沿着翻折，使点落在点，、、分别是、、的中点，则的长度为　 　 15．在菱形中，，边长为8，点E，F分别是，的中点；连结，，Q，P分别是，的中点，则　 　． 16．如图，在平行四边形中，E为边上的点，连接，F、G分别为、的中点．若，则的长为　 　． 三、解答题 17．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，F为边CD的中点，E为矩形ABCD外一动点，且∠AEC=90°，求线段EF的最大值． 18．如图，在Rt△ABC中，∠LACB=90° ，AB=13，AC=5，点D是AB上一动点，作DE∥AC，且DE=2，连结BE，CD，P，Q分别是BE，DC的中点，连结PQ，求PQ的长． 19．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=10，P是AB上一动点，M，N，E分别是PD，PC，CD的中点． （1）求证：四边形PMEN是平行四边形． （2）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由． 20．如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点E、F分别是、的中点，，°，求的度数． 21．如图，在矩形中，点，分别是四边的中点； （1）判断四边形的形状，并给出理由； （2）当，时，四边形的面积等于　 　． 22．如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点． （1）求∠FGH度数； （2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD=8，CE=6，求GM的长． 23．如图，在中，对角线的垂直平分线交于点，交于点，连接，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，，求四边形的面积． 24．已知：如图，点E为 中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，猜想：AB与OF的关系，并证明你的结论． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：是的中线，， ， ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ， 故选A． 【分析】根据中线可得，再根据三角形中位线定理解答即可． 2．【答案】A 【解析】【解答】解：连接，过点H作，如图所示， ， ， ， ，， ， E是的中点，F是的中点， ， 故答案为：A. 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CH，再根据勾股定理求出BH，进而求出BD，最后根据三角形的中位线定理求出EF即可. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：如图，连接DE， 在矩形中， AB∥CD，AD=BC=3，∠A=90° ∴∠BEC=∠DCE， ∵平分， ∴∠BCE=∠DCE， ∴∠BEC=∠BCE， ∴BE=BC=3， ∴AE=AB -BE=5-3=2， ∴DE==， ∵ 点，G分别是，的中点， ∴GF=DE=. 故答案为：D. 【分析】连接DE，由平行线的性质及角平分线的定义可推出∠BEC=∠BCE，可得BE=BC=3，可求 AE=AB -BE=2，由勾股定理求DE=，再利用三角形中位线定理即可求解. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：∵D、E分别是AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∵DE=10m ∴AB=2DE=20m， 即A、B两点间的距离为20m. 故答案为：C. 【分析】三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，据此解答即可. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OB=OC=OD=4. ∵P、Q分别为AO、AD的中点， ∴PQ为△AOD的中位线， ∴PQ=OD=×4=2. 故答案为：B. 【分析】由矩形的性质可得OA=OB=OC=OD=4，根据题意可得PQ为△AOD的中位线，则PQ=OD，据此计算. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：过点B作交的延长线于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 【分析】过点B作交的延长线于D，根据直线平行判定定理可得可得，则，再根据三角形中位线定理即可求出答案. 7．【答案】A 【解析】【解答】解：平分， ， 于点 ， ， 在和中， ， ， ，， 正方形的边长为， ，， ， ， ，点为的中点， 是的中位线， ， 故答案为：A． 【分析】根据角平分线和垂直的定义得，，从而推出，进而得 出，，然后根据正方形的性质得，，于是利用勾股定理求出的长，即可求出的长，最后根据三角形中位线定理即可求出的长． 8．【答案】C 【解析】【解答】 解：∵ 点 分别为 的中点 ∴，HE∥BC 同理：，HG∥AD ∵ ∴HE⊥HG ∴ 故选C. 【分析】 先根据中位线的性质定理，得出：，HE∥BC，，HG∥AD，最后在根据勾股定理：即可. 9．【答案】1 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，点O是BD的中点，AB=CD=6， ∴∠CDP=∠APD， ∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠CDP， ∴∠ADP=∠APD， ∴AP=AD=4， ∴BP=AB-AP=2， ∵点E是PD的中点，点O使BD的中点， ∴OE=PB=1. 故答案为：1. 【分析】由平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分得CD∥AB，点O是BD的中点，AB=CD=6，由二直线平行，内错角相等得∠CDP=∠APD，结合角平分线的定义可推出∠ADP=∠APD，由等角对等边得AP=AD=4，由线段的和差算出BP=2，进而根据三角形的中位线等于第三边的一半得OE=PB=1. 10．【答案】2 【解析】【解答】解：∵， ∴， 在平行四边形中，，， ，， ∴， ∵点分别平分线段， 是的中位线， ∴． 故答案为：． 【分析】 先由勾股定理求出AD，再利用三角形中位线定理计算即可． 11．【答案】 【解析】【解答】解：过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点F，连接AE，BF，如图所示： ∵AB=12，BE=5，BE⊥AB， ∴AE=13. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD，AB=CD. ∵BE⊥CD， ∴∠ABE=∠BEF=∠F=90°， ∴四边形AFEB是矩形， ∴AE=BF=13，AB=EF， ∴FE=DC， ∴EF－DE=DC－DE，即FD=EC. ∵点G是DE的中点， ∴DG=GE， ∴DG+FD=GE+EC，即FG=GC， ∵ 点 H为 BC 中点， ∴GH为△BCF的中位线， ∴. 故答案为：. 【分析】过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点F，连接AE，BF。利用勾股定理可得AE的长；证明四边形AFEB是矩形，可得AE=BF=13，AB=EF=DC，继而可得FD=EC.证明GH为△BCF的中位线，利用中位线的性质即可得GH的值. 12．【答案】 【解析】【解答】解：根据作图可知：垂直平分， ∴E为的中点， ∵D为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长为周长的2倍， ∵的周长为， ∴的周长为． 故答案为：． 【分析】根据中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”得，然后根据的周长为即可求解． 13．【答案】 【解析】【解答】解：如图，连接， 平分交于点， ， 四边形是矩形，， ，，， ， ， ， ， ， 点、分别为、的中点， ， 故答案为：． 【分析】 由角平分线定义得，再由矩形的性质得，，，利用平行线的性质得，代换得到，则，所以，根据勾股定理得，根据三角形的中位线定理得，计算即可解答． 14．【答案】 【解析】【解答】解：∵，， ∴由翻折的性质可知，， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】根据翻折的性质得，，然后根据三角形中位线的性质可得出，，，，从而根据平行线的性质可求出，，进而得出，最后再根据勾股定理求解即可． 15．【答案】 【解析】【解答】连接交于点，连接，设与交于点， ∵四边形是菱形， ，，， ∵点分别是的中点， ∴ ∵点P是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 同理，， ∴， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：. 【分析】连接交于点，连接，设与交于点，利用菱形的性质可证得，，然后得到是的中位线，可求出OP、OQ的长，同时可证得，然后利用角的直角三角形的性质求出PQ的长. 16．【答案】3 【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵F、G分别为、的中点． ∴是的中位线， ∴ 故填：3． 【分析】根据平行四边形的性质得再由三角形中位线定理即可得出答案． 17．【答案】解：如图，连结AC，OE，OF，取AC的中点O，如图： 在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∠B=90°，F为CD的中点， ∴AC= =10． ∵AO=OC，CF=FD， ∴OF=AD=BC=4． ∵∠AEC= 90° ， ∴OE=AC=×10=5．由三角形的三边关系，得O，E，F三点共线时EF最大，此时EF的最大值为4+5=9． 【解析】【分析】连结AC，OE，OF，取AC的中点O，根据已知条件并利用勾股定理即可求出AC的长度，然后根据三角形的中位线定理得到进而求出OE的长度，最后根据三角形的三边关系，得O，E，F三点共线时，EF最大，进而即可求解. 18．【答案】解：在△ACB中，∠ACB=90°，AB=13，AC=5， ∴BC= =12． 如图，取BD的中点F，连接PF，QF， ∵ P，Q分别是BE， DC的中点， ∴PF是△BDE的中位线， FQ是△BCD的中位线， ∴PF ∥ ED，PF=DE=1，FQ∥BC，FQ=BC=6． ∵DE∥AC，AC⊥BC， ∴PF⊥FQ， ∴PQ=． 【解析】【分析】取BD的中点F，连接PF，QF，在中，利用勾股定理求出BC的长度，然后根据三角形中位线定理得到：进而得到：最后在中利用勾股定理即可求出PQ的长. 19．【答案】（1）证明：∵M，N，E分别是PD，PC，CD的中点， ∴ME，NE是△PDC的中位线， ∴ME∥PC，EN∥PD，即ME∥ PN， EN∥ PM， ∴四边形PMEN是平行四边形． （2）解：四边形PMEN有可能是矩形． 若四边形PMEN是矩形，则∠DPC=90° ，设PA=x，则PB=10-x， DP=，CP=． 在△DPC中，DP2 +CP2 =DC2， ∴16+x2+16+(10-x)2=102 ，解得x=2或x=8． 故当AP=2或8时，四边形PMEN是矩形． 【解析】【分析】(1)利用三角形的中位线定理可得ME∥ PN， EN∥ PM，故四边形PMEN是平行四边形． (2)设PA=x，则PB=10-x，由勾股定理可得DP=，CP=，若四边形PMEN是矩形，则有DP2 +CP2 =DC2，解得x=2或x=8，故当AP=2或8时，四边形PMEN是矩形． 20．【答案】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB、CD的中点， ∴ PF、PE分别是△BCD与△ABD的中位线， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 故△PEF是等腰三角形， ∵ ， ∴ ． 【解析】【分析】由三角形中位线定理得PF=BC，PE=AD，结合AD=BC可得PE=PF，进而根据等边对等角可得出∠PFE的度数. 21．【答案】（1）解：四边形为菱形， 理由如下：连接、， ∵四边形为矩形， ∴， ∵点，分别是四边的中点 ∴，， ∴， ∴四边形为菱形 （2）24 【解析】【解答】解：（2）连接EG、HF，如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AD∥BC，AB=CD，AB∥CD， ∵E、F、G、H是AB、BC、CD、AD的中点， ∴AE=BF，AE=DG， ∴四边形ABFH与四边形AEGD都是平行四边形， ∴AD=EG=8，AB=FH=6， ∵四边形EFGH是菱形， ∴四边形EFGH的面积为×EG×FH=×6×8=24. 故答案为：24. 【分析】（1） 四边形EFGH为菱形， 理由如下：连接AC、BD， 根据矩形的对角线相等得AC=BD，由三角形的中位线定理得EF=HG=AC，EH=FG=BD，则EF=FG=GH=HE，从而根据四边相等的四边形是平行四边形可得结论； （2）连接EG、HF，如图，由矩形的性质得AD=BC，AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，根据中点定义得AE=BF，AE=DG，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ABFH与四边形AEGD都是平行四边形，则AD=EG=8，AB=FH=6，进而根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半可得答案. 22．【答案】解：（1）∵F、G、H分别是DE、BE、BC的中点， ∴FG∥DB，GH∥EC． ∴∠DBE=∠FGE，∠EHG=∠AEG． ∠FGH=∠FGE+∠EGH=∠ABE+∠BEA=180°﹣∠A=180°﹣90°=90°． （2）如图所示：连接FM、HM． ∵M、H分别是BC和DC的中点， ∴MN∥BD，MN=． 同理：GF∥BD，GF=． ∴四边形FGHM为平行四边形． ∵G、H、M分别是BE、BC、DC的中点， ∴GH==3，HM=， 由（1）可知：∠FGH=90°， ∴四边形FGHM为矩形． ∴∠GHM=90°． ∴GM==5． 【解析】【分析】（1）首先证明FG∥DB，GH∥EC，由平行线的性质可知∠DBE=∠FGE，∠EHG=∠AEG，从而可证明∠FGH=90°； （2）连接FM、HM．首先证明四边形FGHM为矩形，然后利用勾股定理求解即可． 23．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， 在中，，，，则， 由勾股定理可得 ∴OF∥AD， O是BD的中点， OF是△ABD底边AD的中位线 ∴OF= EF=2OF=4， 菱形的面积 【解析】【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理、三角形中线等知识（1）根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，先求证OE=OF，从而得出是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形可推出菱形； （2）根据平行四边形的性质求出，解直角三角形求出，，根据菱形的面积公式(对角线乘积的一半）求出 四边形的面积 ． （1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 是的垂直平分线， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在中，，，，则， 由勾股定理可得， 在菱形中，， 在菱形中，，， ，， 在中，，，，设 ，则 ， ， ， 菱形的面积． 24．【答案】解：OF∥AB，OF＝ AB. 理由：∵ ABCD中AC，BD相交于点O， ∴OA＝OC，AB∥CD， ∴∠ABF＝∠ECF. ∵CE＝DC，DC＝AB， ∴AB＝CE. 又∵∠AFB＝∠EFC， ∴△ABF ≌△ECF， ∴BF＝FC， ∴OF是△ABC的中位线. ∴OF∥AB，OF＝ AB. 【解析】【分析】先求出 ∠ABF＝∠ECF，再证明△ABF ≌△ECF ，最后进行求解即可 学科网（北京）股份有限公司 $$