专题27：探索规律（复习课件）-2025年小升初数学复习讲练测（通用版）

专题27：探索规律 小升初数学 【考点一】算式的规律 【考点二】数字排列的规律 【考点三】图形的变化规律 【考点四】数表中的规律 【考点五】简单间隔、周期规律 知识点01：算式的规律 1、常见类型 （1）运算符号规律：如算式中加号、减号交替出现，或乘除运算按特定顺序排列。 （2）数字变化规律：加数或因数变化：一个加数或因数按一定规律递增或递减。 （3）结果规律：算式结果呈现周期性或等差、等比变化。 2、解题方法 （1）观察分析：仔细观察算式中数字、运算符号的变化特点。 （2）尝试推理：根据观察到的特点，尝试推测下一个算式的形式。 （3）验证规律：用推测出的规律去验证后续算式是否符合。 【例1】22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，则102－92＝（ ）＋（ ）。 根据题意可知，两个连续自然数的平方差等于这两个自然数的和，即n2－（n－1）2＝n＋（n－1）。 10 9 【例2】已知：1×7＋1＝8，12×7＋2＝86，123×7＋3＝864，1234×7＋4＝8642；那么：12345×7＋5＝（ ）。 观察算式可知，乘法算式第一个因数依次为1、12、123、1234、12345，因数的位数每次递增一位且它们是连续自然数，乘法算式的第二个因数都是7，加号后面的数字依次为1、2、3、4、5，它们是从1开始的连续自然数，算式的结果依次为8、86、864、8642，算式结果的位数每次递增一位，且它们是从8开始依次递减的连续偶数，所以12345×7＋5的结果是一个五位数，前四位数字是8642，最后一位数字是0。 86420 【例3】找出下面算式的规律：22－12＝2＋1；42－32＝4＋3；62－52＝6＋5； （1）请你再写一个这样的算式：（ ）。 （2）运用规律计算：1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－12＝（ ）。 （1）观察题意可知，两个相邻的数的平方差等于这两个数的和，也就是（n＋1）－n＝ n2－（n－1）2 （n为自然数）； （2）1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－12 ＝100＋99＋98＋97＋96＋…＋1 ＝（100＋1）×50 ＝101×50 ＝5050 结果是5050。 72－62＝7＋6 5050 知识点02：数字排列的规律 1、常见类型 （1）等差数列：相邻两项的差值相等，这个差值称为公差。 （2）等比数列：相邻两项的比值相等，该比值称为公比。 （3）平方数列：数列中的数是连续自然数的平方。 （4）立方数列：数列为连续自然数的立方。 （5）斐波那契数列：从第三项起，每一项都等于前两项之和。 2、解题技巧 （1）计算差值或比值：判断数列是等差还是等比数列。 （2）分解数字：对于复杂数列，将数字分解因数或拆分成几个部分，寻找规律。 （3）特殊数列记忆：牢记常见特殊数列的规律，便于快速识别。 【例4】有6个数，从第3个数起每个数都是前面两个数的和，如果用纸片盖住了其中4个数，请你在纸片上写出盖住的数。 当前两个数是1和4，第四个数是9，第五个数是23－9＝14，所以盖住的数是1，4，9，14； 当前两个数是4和1，第四个数是6，第五个数是23－6＝17，所以盖住的数是4，1，6，17； 当前两个数是2和3，第四个数是8，第五个数是23－8＝15，所以盖住的数字是2，3，8，15； 当前两个数是3和2，第四个数是7，第五个数是23－7＝16，所以盖住的数字是3，2，7，16。 【例5】一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6…按这样的顺序排列下去，第30个数是（ ），前47个数中，有（ ）个正数。 观察数列可知，去掉负号后这列数为从1开始的自然数，第奇数个数为负数，第偶数个数为正数，30是偶数，则第30个数为30； 前47个数中，负数的个数比正数的个数多1，计算前46个数中正数的个数即可。 （47－1）÷2 ＝46÷2 ＝23（个） 30 23 【例6】“142857”是个很神奇的数，有人将它有顺序地排列成：142857142857142857…从左往右数，第40个数字是（ ），前40个数字的和是（ ）。 每6个数字一循环，计算第40位数字是第几组循环零几个数字，即可判断是多少。40÷6＝6（组）……4（个）。 根据组数和每组数的和计算前40位数字的和。 （1＋4＋2＋8＋5＋7）×6＋1＋4＋2＋8 ＝27×6＋15 ＝162＋15 ＝177 8 177 知识点03：图形的变化规律 1、常见类型 （1）数量变化：图形的个数、边数等数量按规律增减。 （2）形状变化：图形的形状、大小、颜色等发生规律性改变。 （3）位置变化：图形进行平移、旋转、对称等变换。 （4）组合变化：多个图形按一定规律组合或拆分。 2、解题技巧 （1）全面观察：从数量、形状、位置等多个角度观察图形。 （2）标注记录：对于数量变化的图形，标注每个图形的相关数量。 （3）模拟操作：通过在纸上画出图形的变化过程，直观感受规律。 【例7】摆一摆，找规律。 …… 摆第7个图形需要（ ）根小棒，摆第（ ）个图形需要31根小棒。 每增加一个正方形需要增加3根小棒，则摆n个图形需要（3n＋1）根小棒。 摆第7个图形需要小棒的根数： 3n＋1＝3×7＋1 ＝21＋1 ＝22 22 3n＋1＝31 3n＋1－1＝31－1 3n＝30 3n÷3＝30÷3 n＝10 10 【例8】按下图的规律，用小三角形摆图形，摆第⑤个图形共需要小三角形（ ）个，摆第n个图形共需要小三角形（ ）个。 小三角形的个数等于序数的平方，即两个相同的数相乘，由此找到规律。 摆第⑤个图形共需要小三角形的个数为：5×5＝25（个） 摆第n个图形共需要小三角形n2个。 25 n2 【例9】如图，按这样的规律接着画下去，第六个图形中有（ ）个■。 A．30 B．36 C．42 D．48 看图可知，第一个图形有8个黑色正方形，第二个图形有16个黑色正方形，第三个图形有24个黑色正方形。以此列推，可以得出规律：第一个图形有8×1个黑色正方形，第二个图形有8×2个黑色正方形，第三个图形有8×3个黑色正方形，所以第n个图形有8×n个黑色正方形。第六个图形中的黑色正方形有：8×6＝48（个）。 D 知识点04：数表中的规律 1、常见类型 （1）横行规律：同一行数字的大小变化、运算关系等规律。 （2）纵列规律：同一列数字的变化特点。 （3）斜向规律：数表中斜着方向上数字的规律。 （4）整体规律：数表整体呈现的规律。 2、解题方法 （1）行列对比：分别对横行和纵列数字进行分析，寻找规律。 （2）特殊位置观察：关注数表的角落、对角线等特殊位置的数字。 （3）规律验证：根据发现的规律，计算数表中其他位置的数字，看是否符合。 【例10】仔细观察图中数的排列规律。照这样排下去，处在（6，4）位置的数是（ ）。 第一行依次是1、4、9、16，即相邻自然数的平方；第二行依次是2、3、8、15；第三行依次是5、6、7、14；第四行依次是10、11、12、13；则第6列第1行是6的平方：36；由此可得：25的上面的数依次是：24、23、22、21，36的上面的数依次是：35、34、33、32、31，再根据数字循环往复排列的规律可得：（6，4）位置的数是33。 33 【例11】找规律，填数。 观察每个图形中3个数字的排列，，，，可发现规律：用每个图片数字组合中前两个数相除，即可求出下面那个数字；用最下面的数字乘上边第二个数字，即可求出第一个数字。 ， 。 【例12】将自然数按下图的规律排列，则2011所在的位置是第（ ）行第（ ）列。 观察发现，第一行的第1、3、5列的数分别为1、9、25，为所在列数的平方，然后向下每一行递减1至与列数相同的行止，第一列的第2、4、6行的数分别为4、16、36，为所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，因为452＝2025，2025－2011＋1＝15，所以自然数2011在左起第45列，上起第15行。 15 45 知识点05：简单间隔、周期规律 1、间隔规律 （1）植树问题： 两端都植树：棵数=间隔数+1。 两端都不植树：棵数=间隔数-1。 一端植树一端不植树：棵数=间隔数。 （2）锯木问题：锯的次数=段数-1。 2、周期规律 （1）周期概念： 事物按一定顺序循环出现，循环一次的数量就是周期。 （2）解题方法： 用总数除以周期数，根据余数判断结果。若余数为 0，则是周期的最后一个；若余数不为 0，则是周期内的第几个。 【例13】学校在运动场边挂起了一排彩灯，从第一盏开始按照3盏红灯，2盏黄灯，1盏绿灯，2盏蓝灯重复地排下去，第2022盏灯是（ ）灯。 每（3＋2＋1＋2）盏一循环，计算第2022盏是第几组循环零几盏，即可判断其颜色。 2022÷（3＋2＋1＋2） ＝2022÷8 ＝252（组）……6（盏） 第2022盏灯是绿灯。 绿 【例14】毕业考试的考场按学生的准考证上的号码编排。每25人一个考场，即1－25号在第一考场，26－50号在第二考场，以此类推。王娟同学的准考证号是228号，她应该在第（ ）考场。 A．10 B．11 C．9 要求准考证号是228号应该在第几考场，就用228÷25，如果能整除，商是几就在几考场，如果不能整除，就在商的基础上加1，就是王娟同学所在的考场。 228÷25＝9⋯⋯3 9＋1＝10 所以王娟同学在第10考场。 A 【例15】某条道路上，每隔900米有一个红绿灯，所有的红绿灯都按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的时间周期同时重复变换，一辆汽车在第一个路口处遇到绿灯后，要想在所有的红绿灯路口都遇到绿灯，则他最快该以每小时（ ）千米的速度行驶。 把每次红绿灯的变化看成一个周期，先求出路灯循环一个周期是多少秒，再化成小时；只要行驶的时间是一个周期即可，用路程除以一个周期的时间就是这辆车的速度。 30＋5＋25＝60（秒） 60秒＝小时 900米＝0.9千米 0.9÷＝54（千米） 54 【例16】红球与黄球大小相同，要使摸到红球的可能性为，盒子里应放（ ）个黄球。 已知盒子里有24个球，要使摸到红球的可能性为，那么红球的数量就是24×＝6个；再用总数减去红球数量就是黄球数量：24－6＝18（个），所以盒子里应放18个黄球。 18 每一份努力，都将在学习中得到最好的回报。加油！ $$