专题02：因数和倍数-2025年五升六年级数学暑假专项提升（人教版）（解析版+学生版）

2025年五升六年级数学暑假专项提升（人教版） 专题02：因数和倍数 知识点01：认识因数和倍数 1、因数和倍数的概念 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 又如整数a能被b整除（a÷b=c）,那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 【注意】为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括 0）。 2、找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的两个因数都是此数的因数。 （2）列除法算式找：用此数除以大于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是此数的因数。 3、一个数的因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4、表示一个数的因数的方法 （1）列举法；（2）集合表示法。 5、找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 6、一个数的倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 7、表示一个数的倍数的方法 （1）列举法；（2）集合表示法。 知识点02：2、5、3的倍数的特征 1、2的倍数特征：个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。 （1）偶数：是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）； （2）奇数：不是2的倍数的数叫做奇数。 2、5的倍数特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。 3、3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4、既是2又是5的倍数特征：个位上是0。 5、既是2又是3的倍数特征：个位上是0, 2, 4, 6, 8并且各数位的数之和又是3的倍数。 6、既是5又是3的倍数特征：个位上是0或5,并且各数位的数之和又是3的倍数。 7、既是2和3的倍数，又是5的倍数特征：个位上是0,并且各数位的数之和是3的倍数。 知识点03：质数和合数 1、一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 2、一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 3、1不是质数，也不是合数。 4、最小的质数是2，最小的合数是4。 5、质数×质数＝合数 6、100以内的质数表（共25个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 知识点04：探究和的奇偶性 奇数＋奇数＝偶数 奇数＋偶数＝奇数 偶数＋偶数＝偶数 【规律】同奇偶加减必得偶数，异奇偶加减必得奇数。 1．两个质数的积一定是（    ）。 A．偶数 B．奇数 C．质数 D．合数 2．下列说法中，错误的是（    ）。 A．一个数最大因数是它本身。 B．在1、2、3、4、5…中，除了奇数以外都是偶数。 C．一个数的倍数有无数个。 D．在1、2、3、4、5…中，除了质数以外都是合数。 3．一个数既是8的倍数，又是24的因数，这个数可以是（    ）。 A．4 B．8 C．16 D．48 4．下面的数，因数个数最少的是（    ）。 A．16 B．36 C．40 D．49 5．既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小三位数是（ ）。 6．一个七位数，它个位上的数是最小的合数，百位上的数是最大的一位数，最高位上的数既是质数又是偶数，其余数位上的数均是0，这个数写作（ ），读作（ ）。 7．在2，7，9，1，16这五个数中，（ ）既是奇数又是合数，（ ）既是偶数又是质数，（ ）既不是质数也不是合数。 8．在下面的括号里填上一个适当的数字。 （1）既是2的倍数，又是3的倍数，47（ ）2。 （2）既是2的倍数，又是5的倍数，529（ ）。 （3）既有因数3，又有因数5，4（ ）5。 （4）同时是2、3、5的倍数，7（ ）（ ）。 9．1－20各数中，既是奇数又是合数的是（ ）和（ ）；既是2的倍数又是3的倍数的最小三位数是（ ）；既是2和3的倍数，又是5的倍数的最小三位数是（ ）。 10．在括号里填上适当的质数，不能重复。 23＝（ ）＋（ ）＋（ ）。 24＝（ ）＋（ ）＝（ ）＋（ ）＝（ ）＋（ ）。 11．著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于2的偶数，一定能写成两个质数的和。”如：8＝5＋3，请你把24写成两个质数的和：24＝（ ）＋（ ）或24＝（ ）＋（ ）。 12．3，6，9，12…这些数中的每个数都是（ ）的倍数，其中有（ ）个质数。 13．根据，我们就说（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）的倍数。 14．如果“数”、“学”代表不同的质数，且满足关系式：3×数＋5×学＝31，那么数＋学的结果可能是（    ）。 A．3 B．5 C．9 15．把一张长为24厘米，宽为16厘米的长方形卡纸正好剪成若干个小正方形，剪成的正方形的边长不可能是（    ）厘米。 A．8 B．6 C．4 16．食品店运来77个面包，下面哪种装法可以正好装完（    ）。 A．7个装一袋 B．5个装一袋 C．2个装一袋 17．一个四位数103□，它既是3的倍数，又是5的倍数，□里应填（ ）。 18．“99腾讯公益活动”中，长沙县某校五年级一班捐款1□2□元，这个四位数既是3的倍数，又含有因数2和5，五年级一班最多捐款（ ）元。 19．小明今年的年龄是2和7的倍数，爸爸今年的年龄是小明的倍数，也是42的因数。小明和爸爸今年各多少岁？ 20．一个长方形的长和宽都是以厘米为单位的质数，并且周长是48厘米，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？ 21．文具店运来45块橡皮擦，如果每2块装一盒，能正好装完吗？如果每3块装一盒，能正好装完吗？如果每5块装一盒，能正好装完吗？请说明理由。 22．为了规范共享单车的摆放，整体提升城市形象，城市管理部门在公共区域指定了一个长方形场地作为专用停车场。规划后发现这个场地的长和宽的数值正好都是质数，并且周长是36米，这个长方形停车场的面积最大是多少平方米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年五升六年级数学暑假专项提升（人教版） 专题02：因数和倍数 知识点01：认识因数和倍数 1、因数和倍数的概念 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 又如整数a能被b整除（a÷b=c）,那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 【注意】为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括 0）。 2、找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的两个因数都是此数的因数。 （2）列除法算式找：用此数除以大于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是此数的因数。 3、一个数的因数的特征 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4、表示一个数的因数的方法 （1）列举法；（2）集合表示法。 5、找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 6、一个数的倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 7、表示一个数的倍数的方法 （1）列举法；（2）集合表示法。 知识点02：2、5、3的倍数的特征 1、2的倍数特征：个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。 （1）偶数：是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）； （2）奇数：不是2的倍数的数叫做奇数。 2、5的倍数特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。 3、3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4、既是2又是5的倍数特征：个位上是0。 5、既是2又是3的倍数特征：个位上是0, 2, 4, 6, 8并且各数位的数之和又是3的倍数。 6、既是5又是3的倍数特征：个位上是0或5,并且各数位的数之和又是3的倍数。 7、既是2和3的倍数，又是5的倍数特征：个位上是0,并且各数位的数之和是3的倍数。 知识点03：质数和合数 1、一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 2、一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 3、1不是质数，也不是合数。 4、最小的质数是2，最小的合数是4。 5、质数×质数＝合数 6、100以内的质数表（共25个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 知识点04：探究和的奇偶性 奇数＋奇数＝偶数 奇数＋偶数＝奇数 偶数＋偶数＝偶数 【规律】同奇偶加减必得偶数，异奇偶加减必得奇数。 1．两个质数的积一定是（    ）。 A．偶数 B．奇数 C．质数 D．合数 【答案】D 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数是偶数，个位上是1、3、5、7、9的数是奇数。因数只有1和本身的数是质数。除了1和本身还有别的因数的数，是合数。据此可通过举例子的方式解题。 【详解】2和3均是质数，2×3＝6，6是偶数，也是合数； 3和5均是质数，3×5＝15，15是奇数，也是合数； 5和7均是质数，5×7＝35，35是奇数，也是合数； 所以，两个质数的积可能是奇数，也可能是偶数。两个质数的积一定是合数。 故答案为：D 2．下列说法中，错误的是（    ）。 A．一个数最大因数是它本身。 B．在1、2、3、4、5…中，除了奇数以外都是偶数。 C．一个数的倍数有无数个。 D．在1、2、3、4、5…中，除了质数以外都是合数。 【答案】D 【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是本身； 2的倍数是偶数，不是2的倍数的数是奇数； 一个数的最小倍数是本身，没有最大倍数。一个数的倍数是无限的； 因数只有1和本身的数是质数。除了1和本身还有别的因数的数，是合数。1既不是质数也不是合数。 【详解】A．一个数的最大因数是它本身，比如2的最大因数是2。原说法正确； B．非0自然数中，不是奇数就是偶数。原说法正确； C．一个数的倍数有无数个。原说法正确； D．1既不是质数也不是合数。原说法错误。 故答案为：D 3．一个数既是8的倍数，又是24的因数，这个数可以是（    ）。 A．4 B．8 C．16 D．48 【答案】B 【分析】8的倍数包括8、16、24…，‌而24的因数包括1、2、3、4、6、8、12、24。‌据此可知既是8的倍数，又是24的因数是8和24。 【详解】一个数既是8的倍数，又是24的因数，这个数可以是8和24。 故答案为：B 4．下面的数，因数个数最少的是（    ）。 A．16 B．36 C．40 D．49 【答案】D 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此找出每个数的因数，再比较即可。 【详解】A．16＝1×16＝2×8＝4×4 16的因数有5个； B．36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 36的因数有9个； C．40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8 40的因数有8个； D．49＝1×49＝7×7 49的因数有3个。 3＜5＜8＜9 因数个数最少的是49。 故答案为：D 5．既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小三位数是（ ）。 【答案】120 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小三位数是120。 6．一个七位数，它个位上的数是最小的合数，百位上的数是最大的一位数，最高位上的数既是质数又是偶数，其余数位上的数均是0，这个数写作（ ），读作（ ）。 【答案】 2000904 二百万零九百零四 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。据此确定各数位上的数，写出这个数；整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，读完万级读一个万字，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续几个0都只读一个“零”。 【详解】最小的合数是4，最大的一位数是9，2是质数中唯一的偶数，这个数是2000904；2000904读作：二百万零九百零四。 一个七位数，它个位上的数是最小的合数，百位上的数是最大的一位数，最高位上的数既是质数又是偶数，其余数位上的数均是0，这个数写作2000904，读作二百万零九百零四。 7．在2，7，9，1，16这五个数中，（ ）既是奇数又是合数，（ ）既是偶数又是质数，（ ）既不是质数也不是合数。 【答案】 9 2 1 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】在2，7，9，1，16这五个数中，9既是奇数又是合数，2既是偶数又是质数，1既不是质数也不是合数。 8．在下面的括号里填上一个适当的数字。 （1）既是2的倍数，又是3的倍数，47（ ）2。 （2）既是2的倍数，又是5的倍数，529（ ）。 （3）既有因数3，又有因数5，4（ ）5。 （4）同时是2、3、5的倍数，7（ ）（ ）。 【答案】（1）2/5/8 （2）0 （3）0/3/6/9 （4） 2/5/8 0 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数； 3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数； 5的倍数特征：个位上是0、5的数； 既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数； 既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数； 同时是2、3、5的倍数：个位上的数字一定是0且各个数位上的数字的和是3的倍数。 据此解答即可。 【详解】（1）47（    ）2，个位是2，是2的倍数；4＋7＋2＝13，13＋2＝15，13＋5＝18，13＋8＝21，所以括号里可以填2、5、8； （2）既是2又是5的倍数，个位数字为0，只有5290符合题意； （3）4（    ）5，个位是5，是5的倍数；4＋5＝9，9＋0＝9，9＋3＝12，9＋6＝15，9＋9＝18，所以括号里可以填0、3、6、9； （4）同时是2、3、5的倍数：个位上的数字一定是0，这个三位数为7（    ）0，7＋2＝9，7＋5＝12，7＋8＝15，故答案为2、5、8。 9．1－20各数中，既是奇数又是合数的是（ ）和（ ）；既是2的倍数又是3的倍数的最小三位数是（ ）；既是2和3的倍数，又是5的倍数的最小三位数是（ ）。 【答案】 9 15 102 120 【分析】整数中，不是2的倍数的数叫奇数；一个数除了1和它本身外，还有其他的因数，这个数叫做合数；2的倍数特征：末尾是0、2、4、6或8；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数； 5的倍数特征：末尾是0或5；据此解答。 【详解】由分析可得： 1－20各数中，既是奇数又是合数的是9和15；既是2的倍数又是3的倍数的最小三位数是102；既是2和3的倍数，又是5的倍数的最小三位数是120。 10．在括号里填上适当的质数，不能重复。 23＝（ ）＋（ ）＋（ ）。 24＝（ ）＋（ ）＝（ ）＋（ ）＝（ ）＋（ ）。 【答案】 3 7 13 11 13 17 7 19 5 【分析】一个数除了1和它本身，没有其它因数，这样的数是质数，据此即可填空。 【详解】由分析可知：23＝3＋7＋13 24＝11＋13＝17＋7＝19＋5 11．著名的哥德巴赫猜想是：“任意一个大于2的偶数，一定能写成两个质数的和。”如：8＝5＋3，请你把24写成两个质数的和：24＝（ ）＋（ ）或24＝（ ）＋（ ）。 【答案】 5 19 7 17 【分析】20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19。自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）。据此解答即可。 【详解】24＝5＋19或24＝7＋17 把24写成两个质数的和为：24＝5＋19或24＝7＋17。（答案不唯一） 12．3，6，9，12…这些数中的每个数都是（ ）的倍数，其中有（ ）个质数。 【答案】 3 1 【分析】根据3的倍数特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 质数的意义：一个自然数只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，除以1和它本身两个因数，还有其他因数，这样的数叫做合数；据此解答。 【详解】3的倍数3，6，9，12，所以3，6，9，12…这些数中的每个数都是3的倍数。 3，6，9，12，质数是3，只有1个。 3，6，9，12…这些数中的每个数都是3的倍数，其中有1个是质数。 13．根据，我们就说（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）的倍数。 【答案】 5和69 345 345 5和69 【分析】根据因数和倍数的意义：如果整数a能被整数b整除（b≠0），即a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数，据此进行解答即可。 【详解】根据345÷5＝69，我们就说5和69是345的因数，345是5和69的倍数。 14．如果“数”、“学”代表不同的质数，且满足关系式：3×数＋5×学＝31，那么数＋学的结果可能是（    ）。 A．3 B．5 C．9 【答案】C 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。 因为“数”、“学”代表不同的质数，根据奇偶性，如果质数都是奇数，左边应该是和为偶数，事实上31是奇数，所以必然有一个质数是偶数，只能是2，所以，显然有：数＝2，学＝5或者数＝7，学＝2，则和为7或9。 【详解】3×2＋5×5＝6＋25＝31 3×7＋5×2＝21＋10＝31 2＋5＝7 7＋2＝9 数＋学的结果可能是7或9。 故答案为：C 15．把一张长为24厘米，宽为16厘米的长方形卡纸正好剪成若干个小正方形，剪成的正方形的边长不可能是（    ）厘米。 A．8 B．6 C．4 【答案】B 【分析】长方形卡纸正好剪成若干个小正方形，剪成的正方形的边长既是长的因数，也是宽的因数，据此分析。 【详解】A．8是24的因数，也是16的因数，正方形的边长可能是8厘米； B．6是24的因数，不是16的因数，正方形的边长不可能是6厘米； C．4是24的因数，也是16的因数，正方形的边长可能是4厘米。 故答案为：B 16．食品店运来77个面包，下面哪种装法可以正好装完（    ）。 A．7个装一袋 B．5个装一袋 C．2个装一袋 【答案】A 【分析】想正好装完，77应该是每袋里面面包个数的倍数，验证各选项的倍数是不是77即可。 【详解】A．77÷7＝11（袋），77是7的倍数，可以正好装完； B．个位是0或5的数是5的倍数，77不是5的倍数，无法正好装完； C．个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数，77不是2的倍数，无法正好装完。 故答案为：A 17．一个四位数103□，它既是3的倍数，又是5的倍数，□里应填（ ）。 【答案】5 【分析】5的倍数特征：个位上是0或5的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】一个四位数103□是5的倍数，则个位上应是0或5； 如果□里填0，则1＋0＋3＋0＝4，不是3的倍数； 如果□里填5，则1＋0＋3＋5＝9，是3的倍数； 所以，一个四位数103□，它既是3的倍数，又是5的倍数，□里应填5。 18．“99腾讯公益活动”中，长沙县某校五年级一班捐款1□2□元，这个四位数既是3的倍数，又含有因数2和5，五年级一班最多捐款（ ）元。 【答案】1920 【分析】一个数既是3的倍数，又含有因数2和5，那么这个数的个位一定是0。因为这个四位数的个位是0，所以它各个数位上的数字之和是3的倍数。千位是1，个位是0，百位和十位数字之和是3的倍数。百位最大是9，此时十位数字是2，这个数是1920。 【详解】首先，因为这个数含有因数2和5，所以其个位必须是0。然后，考虑这个数是3的倍数，已知千位是1，个位是 0，那么百位和十位数字的和应该是3的倍数。百位数字可以从0到9中选择，要使捐款最多，百位应选9。此时百位数字是9，数字和为1＋9＋十位数字＋0＝10＋十位数字，当十位数字是2时，数字和12是3的倍数，所以这个数最大是1920元。 19．小明今年的年龄是2和7的倍数，爸爸今年的年龄是小明的倍数，也是42的因数。小明和爸爸今年各多少岁？ 【答案】小明14岁；爸爸42岁 【分析】列举出42的因数、2的倍数、7的倍数，从2、7的倍数中找出既是2的倍数又是7的倍数的数，再从中找出既是14的倍数又是42的因数的数，即可求解。 【详解】42的因数：1，2，3，6，7，14，21，42； 2的倍数：2，4，6，8，10，12，14，16，18，…； 7的倍数：7，14，21，28，35，42，49，56，…； 既是2的倍数又是7的倍数有：14，28，42，…； 其中既是14的倍数，又是42的因数的数是42。 所以小明今年14岁，爸爸今年是42岁。 答：小明今年14岁，爸爸今年42岁。 20．一个长方形的长和宽都是以厘米为单位的质数，并且周长是48厘米，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？ 【答案】143平方厘米 【分析】根据长方体的周长＝（长＋宽）×2，用48÷2即可求出长与宽的和，也就是24厘米，将24拆分成2个质数相加，然后求出所有可能的长方形的面积，最后再比较即可。 【详解】48÷2＝24（厘米） 24＝5＋19＝7＋17＝11＋13 5×19＝95（平方厘米） 7×17＝119（平方厘米） 11×13＝143（平方厘米） 143＞119＞95 答：这个长方形的面积最大是143平方厘米。 21．文具店运来45块橡皮擦，如果每2块装一盒，能正好装完吗？如果每3块装一盒，能正好装完吗？如果每5块装一盒，能正好装完吗？请说明理由。 【答案】不能；能；能 【分析】45的个位是5，所以它不是2的倍数；4＋5＝9，所以45是3的倍数；45的个位是5，所以45是5的倍数。据此再结合题意，解题即可。 【详解】答：每2块装一盒，不能正好装完； 每3块装一盒，能正好装完； 每5块装一盒，能正好装完。 因为45是3和5的倍数，不是2的倍数。 22．为了规范共享单车的摆放，整体提升城市形象，城市管理部门在公共区域指定了一个长方形场地作为专用停车场。规划后发现这个场地的长和宽的数值正好都是质数，并且周长是36米，这个长方形停车场的面积最大是多少平方米？ 【答案】77平方米 【分析】根据长方形的周长公式：C＝（a＋b）×2，据此求出长方形的长与宽的和，然后根据质数的定义找出长方形的长与宽，最后根据长方形的面积公式：S＝ab，据此解答即可。 【详解】36÷2＝18（米） 18＝7＋11＝5＋13 5×13＝65（平方米） 11×7＝77（平方米） 65＜77 答：这个长方形停车场的面积最大是77平方米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$