专题03：长方体和正方体-2025年五升六年级数学暑假专项提升（人教版）（解析版+学生版）

2025年五升六年级数学暑假专项提升（人教版） 专题03：长方体和正方体 知识点01：长方体和正方体的认识 1、长方体 （1）一般是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。 两个面相交的边叫做棱。 三条棱相交的点叫做顶点。 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 （2）长方体特征： ①面：长方体有6个面，这6个面一般是长方形的，特殊情况有两个相对的面是正方形；相对的面完全相同。 ②棱：长方体有12条棱，相对的棱长度相等。长方体12条棱可以分成3组，分别有4条长、4条宽、4条高。 ③顶点：长方体有8个顶点。 （3）长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4 ＝长×4＋宽×4＋高×4 长＝棱长总和÷4－宽－高 宽＝棱长总和÷4－长－高 高＝棱长总和÷4－长－宽 2、正方体 （1）由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。 （2）正方体特征： ①正方体有12条棱，它们的长度都相等。有8个顶点。 ②正方形的6个面是完全相同的正方形。 ③正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 （3）正方体的棱长总和＝棱长×12 正方体的棱长＝棱长总和÷12 3、长方体和正方体的异同点 4、长方体和正方体的关系：正方体是长、宽、高都相等的长方体。 知识点02：长方体和正方体的表面积 1、表面积 长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2、长方体的表面积 长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 用字母表示：S＝（ab＋ah＋bh）×2 3、正方体的表面积 正方体的表面积＝棱长×棱长×6 用字母表示：S＝6a2 知识点03：长方体和正方体的体积 1、长方体的体积公式 长方体的体积＝长×宽×高 如果用字母V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高可以写成：V＝abh。 2、正方体的体积公式 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 如果用字母V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，那么正方体的体积计算公式可以写成：V＝a3。 3、长方体或正方体底面的面积叫作底面积。 长方体（或正方体）的体积＝底面积×高 如果用字母S表示底面积，上面的公式可以写成：V＝Sh。 4、体积单位间的进率 （1）每相邻两个体积单位之间的进率是1000。 1dm³＝1000cm³；1m³＝1000dm³ （2）体积单位间的换算 （1）高级单位换成低级单位，乘进率，小数点向右移动。 （2）低级单位换成高级单位，除以进率，小数点向左移动。 5、容积和容积单位 （1）容器所能容纳物体的体积，叫做它们的容积。 （2）计量容积一般用体积单位：立方厘米、立方分米和立方米。但计量液体的体积，如水、油等，常用升和毫升（即L和ml）。 （3）容积单位和体积单位间的关系：1L＝1dm³；1mL＝1cm³；1L＝1000mL 1．如图，皮皮的身高是1.5m，在他的身旁有一个正方体集装箱，该集装箱的体积大约是（    ）。 A．8m3 B．18m3 C．27m3 D．54m3 【答案】C 【分析】看图可知，集装箱的高度大约是2个皮皮的身高，皮皮的身高×2＝正方体集装箱棱长，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出集装箱的体积即可。 【详解】1.5×2＝3（m） 3×3×3＝27（m3） 该集装箱的体积大约是27m3。 故答案为：C 2．下面图形中，不是正方体表面展开图的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体11种展开图进行分析，是正方体11种展开图里的情况即可。 【详解】A．1－4－1型正方体展开图； B．不是正方体展开图； C．1－4－1型正方体展开图； D．2－2－2型正方体展开图。 不是正方体表面展开图的是。 故答案为：B 3．挖一个长10米、宽6米、深4米的游泳池，它占地面积是（    ）平方米。 A．24 B．40 C．60 D．248 【答案】C 【分析】因为游泳池为长方体，求它的占地面积，实际求长方体的底面面积，底面是个长方形，根据公式：长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。 【详解】10×6＝60（平方米） 即它占地面积是60平方米。 故答案为：C 4．一辆冷藏车内部长4.2米、宽2.2米、高1.8米，货物放在棱长为1米的正方体泡沫箱中装车运输，冷藏车一次最多可以装（    ）箱货物。 A．8 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】根据长方体中长、宽、高分别可以放棱长为1米的正方体个数，将长、宽、高分别除以1得出有余数的答案，则得到的商相乘得到最多可以装货物的箱数。 【详解】长：4.2÷1＝4（箱）⋯⋯0.2（米） 宽：2.2÷1＝2（箱）⋯⋯0.2（米） 高：1.8÷1＝1（箱）⋯⋯0.8（米） 则最多可以装货物的箱数为：4×2×1＝8（箱） 故答案为：A 5．下图是一个长方体纸盒的上面，这个长方体纸盒有两个相对面是正方形。这个长方体纸盒的棱长总和最大是（    ）cm。 A．126 B．96 C．76 D．56 【答案】C 【分析】长方体一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。由此可知长方体的长8cm，宽和高都是3cm，也有可能长和高是8cm，宽是3厘米，根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，选择长和高是8cm，宽是3厘米，计算出棱长总和即可。 【详解】（8＋3＋8）×4 ＝19×4 ＝76（cm） 这个长方体纸盒的棱长总和最大是76cm。 故答案为：C 6．下图是一个正方体的展开图，与“2”相对的是“（ ）”。 【答案】5 【分析】正方体有6个面，都是完全一样的正方形，相对的面之间一定隔着一个正方形；想象把正方体展开图折成正方体，取相对的面即可。 【详解】把这个正方体纸盒展开图折成正方体，可以想象成： “4”是下面，“3”是后面，“2”是左面，“1”是前面，“5”是右面，“6”是上面。上与下相对，左与右相对，前与后相对。 所以，与“2”相对的是“5”。 7．一瓶洗衣液有750毫升，4瓶这样的洗衣液有（ ）升。 【答案】3 【分析】由题意得，一瓶洗衣液有750毫升，求4瓶这样的洗衣液有多少毫升，用乘法计算。然后根据1000毫升＝1升来化单位即可。 【详解】750×4＝3000（毫升），3000毫升＝3升 故一瓶洗衣液有750毫升，4瓶这样的洗衣液有3升。 8．7升50毫升＋600毫升＝（ ）升（ ）毫升   2升200毫升－800毫升＝（ ）升（ ）毫升 【答案】 7 650 1 400 【分析】根据1升＝1000毫升进行单位换算。 （1）50毫升加600毫升等于650毫升，所以7升50毫升＋600毫升＝7升650毫升； （2）1升等于1000毫升，2升200毫升－800毫升＝1升1200毫升－800毫升＝1升400毫升。 【详解】7升50毫升＋600毫升＝7升650毫升   2升200毫升－800毫升＝1升1200毫升－800毫升＝1升400毫升 9．一个长方体的长是5厘米，宽是2厘米，高是2厘米，它的棱长总和是（ ）。 【答案】36厘米/36cm 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可解答。 【详解】（5＋2＋2）×4 ＝9×4 ＝36（厘米） 即它的棱长总和是36厘米。 10．一根长2m的长方体木料，横截面是边长为3dm的正方形，木料的体积是（ ）dm3。 【答案】180 【分析】根据题意可知，长方体木料的长是2dm，宽是2dm，高是2m，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 【详解】2m＝20dm 3×3×20 ＝9×20 ＝180（dm3） 木料的体积是180dm3。 11．一根长（ ）厘米的铁丝，正好能做成一个棱长是7厘米的正方体框架。 【答案】84 【分析】这根铁丝的长就是正方体的棱长总和。根据正方体有12条棱且长度都相等，用棱长×12即可。 【详解】7×12＝84（厘米） 一根长84厘米的铁丝，正好能做成一个棱长是7厘米的正方体框架。 12．一个长方体沙坑，长8m、宽2.5m、高0.5m，这个沙坑的占地面积是（ ）m2；如果填满沙坑，需要沙子（ ）m3。 【答案】 20 10 【分析】占地面积指的是底面积，用沙坑的长乘宽即可求出这个沙坑的占地面积，求需要沙子的数量，即求沙坑的容积，根据长方体体积＝长×宽×高，列式计算即可。 【详解】8×2.5＝20（m2） 8×2.5×0.5 ＝20×0.5 ＝10（m3） 这个沙坑的占地面积是20m2；如果填满沙坑，需要沙子10m3。 13．有一个底面是正方形的纸箱，如果把它的侧面展开后，可以得到一个边长是80厘米的正方形，做这样一个纸箱，至少需要（ ）平方分米的纸板。 【答案】72 【分析】根据题意，这个长方体侧面展开是一个正方形，根据正方形的特点，长方体的底面周长等于长方体的高，即底面的周长是80厘米，根据底面正方形的周长＝边长×4，得出边长是20厘米，即这个纸盒是一个长是20厘米，宽是20厘米，高是80厘米的长方体，根据，将数据打入计算。注意最后单位换算，低级单位转化为高级单位除以两个单位之间的进率，1平方分米＝100平方厘米。 【详解】80÷4＝20（厘米） （20×80＋20×80＋20×20）×2 ＝（1600＋1600＋400）×2 ＝3600×2 ＝7200（平方厘米） 7200平方厘米＝72平方分米 则做这样一个纸箱，至少需要72平方分米的纸板。 14．桌面上平放着一个高3厘米，正面和侧面的面积都是12平方厘米的长方体，这个长方体的体积是（ ）立方厘米。 【答案】48 【分析】由题可知，正面和侧面的面积都是12平方厘米的长方体，则正面、侧面面积相等，说明长与宽一样长，用长方体侧面的面积除以高，求出长方体的长和宽，再根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据求出长方体的体积即可。 【详解】12÷3＝4（厘米） 4×4×3 ＝16×3 ＝48（立方厘米） 这个长方体的体积是48立方厘米。 15．一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，棱长总和扩大到原来的（    ）倍，表面积扩大到原来的（    ）倍，体积扩大到原来的（    ）倍。 A．8；2；6 B．6；8；4 C．4；6；8 D．2；4；8 【答案】D 【分析】设原来正方体棱长为1，扩大后正方体的棱长为1×2＝2；根据正方体棱长公式：棱长总和＝棱长×12；表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，分别求出原来正方体的棱长总和，表面积，体积以及扩大后正方体棱长总和，表面积，体积，再用扩大后正方体的棱长总和÷原来正方体棱长总和；扩大后正方体表面积÷原来正方体表面积；扩大后正方体的体积÷原来正方体体积，即可解答。 【详解】设原来正方体棱长为1；扩大后正方体的棱长为1×2＝2。 （2×12）÷（1×12） ＝24÷12 ＝2 （2×2×6）÷（1×1×6） ＝（4×6）÷（1×6） ＝24÷6 ＝4 （2×2×2）÷（1×1×1） ＝（4×2）÷（1×1） ＝8÷1 ＝8 一个正方体的棱长扩大到原来的2 倍，棱长总和扩大到原来的2倍，表面积扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的8倍。 故答案为：D 16．图1的烧杯中有1个大球和3个大小相同的小球，再放入2个同样的小球后，水面上升了（如图2）。根据图中的信息，1个小球的体积最有可能是（    ）立方厘米。    A．100 B．98 C．51 D．49 【答案】D 【分析】观察图2和图1，图2水面上升的体积就是放入的2个小球的体积，图2刻度－图1刻度＝2个小球的体积，2个小球的体积÷2＝1个小球的体积，据此分析。 【详解】图2刻度不到400毫升。 （400－300）÷2 ＝100÷2 ＝50（毫升） ＝50（立方厘米） 因为图2刻度不到400毫升，因此1个小球的体积一定小于50立方厘米，最有可能是49立方厘米。 故答案为：D 17．从一个长方形铁皮的四个角各剪下一个边长是2分米的正方形，按图中的线折起来焊成一个长方体无盖水箱（如图）。这个水箱长（ ）分米，宽（ ）分米，最多可盛水（ ）升。 【答案】 8 5 80 【分析】这道题首先要明确长方形铁皮的原始长是1.2米即12分米，宽是0.9米即9分米。因为从四个角各剪下边长2分米的正方形，所以水箱的长就等于长方形铁皮的长减去两个正方形的边长，即12－2×2＝8（分米）。水箱的宽同理，用长方形铁皮的宽9分米减去两个正方形的边长，即9－2×2＝5（分米）。水箱的高就是剪下的正方形的边长2分米。然后根据长方体体积公式，体积＝长×宽×高，算出水箱体积为8×5×2＝80（立方分米），又因为1立方分米＝1升，所以能盛80升水。 【详解】（1）单位换算。 因为1米＝10分米，所以1.2米＝1.2×10＝12分米，0.9米＝0.9×10＝9分米 （2）求水箱的长。 长方形铁皮长为12分米，从四个角各剪下一个边长是2分米的正方形，那么水箱的长为12－2×2 ＝12－4 ＝8（分米） （3）求水箱的宽。 长方形铁皮的宽为9分米，从四个角各剪下一个边长是2分米的正方形，那么水箱的宽为9－2×2 ＝9－4 ＝5（分米） （4）求水箱的体积。 水箱的高为剪下的正方形的边长，即2分米，水箱的体积为长×宽×高，即 8×5×2 ＝40×2 ＝80（立方分米） 因为1立方分米＝1升，所以80立方分米＝80升 这个水箱长8分米，宽5分米，最多可盛水80升。 18．将7.6立方米的沙子铺在一个长5米、宽38分米的沙坑里，可以铺多厚？ 【答案】0.4米 【分析】先统一单位，然后根据长方体的高＝体积÷长÷宽，代入数据即可解答。 【详解】38分米＝3.8米 7.6÷5÷3.8 ＝1.52÷3.8 ＝0.4（米） 答：可以铺0.4米厚。 19．为了喜迎“六一儿童节”，不断丰富孩子们的动手实践能力，5月30日，民二小学开展“创意无限捏出精彩”的捏橡皮泥活动。君君参加这次活动时，将一个棱长是8厘米的正方体橡皮泥改捏成一个长10厘米、宽4厘米的长方体作为自己作品的底座。 （1）捏成的这个长方体底座的高是多少厘米？ （2）君君的作品快要完成时，她决定将长方体底座的各个面涂成红色，需要涂色的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）12.8厘米 （2）438.4平方厘米 【分析】（1）根据体积的意义可知，把正方体橡皮泥捏成长方体后体积不变，正方体的体积公式：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，根据长方体的体积＝长×宽 ×高可知长方体的高＝体积÷（长×宽），据此代入数据计算即可； （2）根据长方体的表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入公式解答即可。 【详解】（1）8×8×8÷（10×4） ＝64×8÷40 ＝512÷40 ＝12.8（厘米） 答：捏成的这个长方体底座的高是12.8厘米。 （2）（10×4＋10×12.8＋4×12.8）×2 ＝（40＋128＋51.2）×2 ＝219.2×2 ＝438.4（平方厘米） 答：需要涂色的面积是438.4平方厘米。 20．如图，有一个长5分米、宽和高都是3分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆两道，竖着捆一道，打结处共用2分米。一共要用绳子多长？ 【答案】42分米 【分析】观察可知，横着捆就是2条宽与2条高的和，有两道则乘2，竖着捆就是2条长与2条高的和，最后把横着捆、竖着捆与打结长度加起来即可得解。 【详解】 （分米） 答：一共要用绳子42分米长。 21．如图，西红柿的体积是多少立方厘米？ 【答案】150立方厘米 【分析】看图可知，水面上升的体积就是西红柿的体积，长方体容器的底面积×水面上升的高度＝西红柿的体积，据此列式解答。 【详解】10×10×（10－8.5） ＝100×1.5 ＝150（立方厘米） 答：西红柿的体积是150立方厘米。 22．一块长方体木块刚好截成两个一样的小正方体，表面积之和增加了18平方分米，原来长方体的表面积是多少平方分米？ 【答案】90 【分析】根据题意可知，一刀增加2个面，已知表面积之和增加了18平方分米，说明2个正方形面的面积是18平方分米，用18÷2即可求出1个正方形面的面积，再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出1个小正方体的表面积，进而求出2个小正方体的表面积，然后减去18平方分米即可。 【详解】18÷2＝9（平方分米） 9×6×2 ＝54×2 ＝108（平方分米） 108－18＝90（平方分米） 答：原来长方体的表面积是90平方分米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年五升六年级数学暑假专项提升（人教版） 专题03：长方体和正方体 知识点01：长方体和正方体的认识 1、长方体 （1）一般是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。 两个面相交的边叫做棱。 三条棱相交的点叫做顶点。 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 （2）长方体特征： ①面：长方体有6个面，这6个面一般是长方形的，特殊情况有两个相对的面是正方形；相对的面完全相同。 ②棱：长方体有12条棱，相对的棱长度相等。长方体12条棱可以分成3组，分别有4条长、4条宽、4条高。 ③顶点：长方体有8个顶点。 （3）长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4 ＝长×4＋宽×4＋高×4 长＝棱长总和÷4－宽－高 宽＝棱长总和÷4－长－高 高＝棱长总和÷4－长－宽 2、正方体 （1）由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。 （2）正方体特征： ①正方体有12条棱，它们的长度都相等。有8个顶点。 ②正方形的6个面是完全相同的正方形。 ③正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 （3）正方体的棱长总和＝棱长×12 正方体的棱长＝棱长总和÷12 3、长方体和正方体的异同点 4、长方体和正方体的关系：正方体是长、宽、高都相等的长方体。 知识点02：长方体和正方体的表面积 1、表面积 长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2、长方体的表面积 长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 用字母表示：S＝（ab＋ah＋bh）×2 3、正方体的表面积 正方体的表面积＝棱长×棱长×6 用字母表示：S＝6a2 知识点03：长方体和正方体的体积 1、长方体的体积公式 长方体的体积＝长×宽×高 如果用字母V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高可以写成：V＝abh。 2、正方体的体积公式 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 如果用字母V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，那么正方体的体积计算公式可以写成：V＝a3。 3、长方体或正方体底面的面积叫作底面积。 长方体（或正方体）的体积＝底面积×高 如果用字母S表示底面积，上面的公式可以写成：V＝Sh。 4、体积单位间的进率 （1）每相邻两个体积单位之间的进率是1000。 1dm³＝1000cm³；1m³＝1000dm³ （2）体积单位间的换算 （1）高级单位换成低级单位，乘进率，小数点向右移动。 （2）低级单位换成高级单位，除以进率，小数点向左移动。 5、容积和容积单位 （1）容器所能容纳物体的体积，叫做它们的容积。 （2）计量容积一般用体积单位：立方厘米、立方分米和立方米。但计量液体的体积，如水、油等，常用升和毫升（即L和ml）。 （3）容积单位和体积单位间的关系：1L＝1dm³；1mL＝1cm³；1L＝1000mL 1．如图，皮皮的身高是1.5m，在他的身旁有一个正方体集装箱，该集装箱的体积大约是（    ）。 A．8m3 B．18m3 C．27m3 D．54m3 2．下面图形中，不是正方体表面展开图的是（    ）。 A． B． C． D． 3．挖一个长10米、宽6米、深4米的游泳池，它占地面积是（    ）平方米。 A．24 B．40 C．60 D．248 4．一辆冷藏车内部长4.2米、宽2.2米、高1.8米，货物放在棱长为1米的正方体泡沫箱中装车运输，冷藏车一次最多可以装（    ）箱货物。 A．8 B．16 C．20 D．24 5．下图是一个长方体纸盒的上面，这个长方体纸盒有两个相对面是正方形。这个长方体纸盒的棱长总和最大是（    ）cm。 A．126 B．96 C．76 D．56 6．下图是一个正方体的展开图，与“2”相对的是“（ ）”。 7．一瓶洗衣液有750毫升，4瓶这样的洗衣液有（ ）升。 8．7升50毫升＋600毫升＝（ ）升（ ）毫升   2升200毫升－800毫升＝（ ）升（ ）毫升 9．一个长方体的长是5厘米，宽是2厘米，高是2厘米，它的棱长总和是（ ）。 10．一根长2m的长方体木料，横截面是边长为3dm的正方形，木料的体积是（ ）dm3。 11．一根长（ ）厘米的铁丝，正好能做成一个棱长是7厘米的正方体框架。 12．一个长方体沙坑，长8m、宽2.5m、高0.5m，这个沙坑的占地面积是（ ）m2；如果填满沙坑，需要沙子（ ）m3。 13．有一个底面是正方形的纸箱，如果把它的侧面展开后，可以得到一个边长是80厘米的正方形，做这样一个纸箱，至少需要（ ）平方分米的纸板。 14．桌面上平放着一个高3厘米，正面和侧面的面积都是12平方厘米的长方体，这个长方体的体积是（ ）立方厘米。 15．一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，棱长总和扩大到原来的（    ）倍，表面积扩大到原来的（    ）倍，体积扩大到原来的（    ）倍。 A．8；2；6 B．6；8；4 C．4；6；8 D．2；4；8 16．图1的烧杯中有1个大球和3个大小相同的小球，再放入2个同样的小球后，水面上升了（如图2）。根据图中的信息，1个小球的体积最有可能是（    ）立方厘米。    A．100 B．98 C．51 D．49 17．从一个长方形铁皮的四个角各剪下一个边长是2分米的正方形，按图中的线折起来焊成一个长方体无盖水箱（如图）。这个水箱长（ ）分米，宽（ ）分米，最多可盛水（ ）升。 18．将7.6立方米的沙子铺在一个长5米、宽38分米的沙坑里，可以铺多厚？ 19．为了喜迎“六一儿童节”，不断丰富孩子们的动手实践能力，5月30日，民二小学开展“创意无限捏出精彩”的捏橡皮泥活动。君君参加这次活动时，将一个棱长是8厘米的正方体橡皮泥改捏成一个长10厘米、宽4厘米的长方体作为自己作品的底座。 （1）捏成的这个长方体底座的高是多少厘米？ （2）君君的作品快要完成时，她决定将长方体底座的各个面涂成红色，需要涂色的面积是多少平方厘米？ 20．如图，有一个长5分米、宽和高都是3分米的长方体硬纸箱，如果用绳子将箱子横着捆两道，竖着捆一道，打结处共用2分米。一共要用绳子多长？ 21．如图，西红柿的体积是多少立方厘米？ 22．一块长方体木块刚好截成两个一样的小正方体，表面积之和增加了18平方分米，原来长方体的表面积是多少平方分米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$