精品解析：江苏省如东高级中学2024-2025学年高一下学期2月阶段测试数学试卷

江苏省如东高级中学高一(下)数学检测 2025.2.22 班级：___________学号：___________姓名：___________ 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 平面向量满足，如果，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数乘的坐标运算法则计算即可. 【详解】因为平面向量满足，且， 所以． 故选:D 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若 ， ，则 C. 长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量 D. 单位向量都相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的相关性质逐项分析. 【详解】对于A，若，只能说明两个向量的模长相等，但是方向不确定，所以A错误； 对于B，如果，结论B不正确； 对于C，根据平行向量的定义，C正确； 对于D，单位向量长度相等，但是方向不确定，所以D错误； 故选：C. 3. 设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】 如果两个向量共线便不能作为基底，从而找为共线向量的一组即可，可根据共面向量基本定理进行判断． 【详解】解：、是平面内所有向量的一组基底， 与，不共线，可以作为基底， 与，不共线，可以作为基底， 与不共线，可以作为基底， 与，存在实数，使得，所以和共线，不可以作为基底， 故选：． 4. 已知平面上三点,,满足,,,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理判断三角形为直角三角形,然后进行向量的数量积运算,即可求得答案. 【详解】,, 故为直角三角形,且 故选:D. 【点睛】本题主要考查了向量的运算,解题关键是掌握向量的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 5. 在中，M是的中点，，点P在上且满足，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据向量的加法求出，然后求出，进而可直接求解. 【详解】因为M是的中点，所以， 又因为点P在上且满足，，所以， 所以. 故选：A. 6. 如图，已知是的中线，点在边上，且，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为基底，通过向量的线性运算，把用基底表示. 【详解】由，则 则. 故选：D. 7. 如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据和三点共线，可得和，利用平面向量线性运算可用表示出，由此可得方程组求得，进而得到的值. 【详解】连接，， 三点共线，可设，则， ； 三点共线，可设，则， ； ，解得：，，即. 故选：B. 【点睛】思路点睛：本题考查平面向量基本定理的应用，基本思路是根据为两线段交点，利用两次三点共线，结合平面向量基本定理构造出方程组求得结果. 8. 已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件可知△ABC为直角三角形，向量在向量上的投影向量为． 【详解】如图， 由知为中点， 又为外接圆圆心，，， ， ，，， ∴在向量上的投影为：， 向量在向量上的投影向量为：． 故选：D． 二、多选题:本题共3小题，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在边长为1的正方形中，分别为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算及数量积的运算律分别计算即可. 【详解】对于A，， 所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D， ，故D正确. 故选：ABD. 10. 在中，分别是边中点，下列说法正确的是（    ） A. B. C. 是的平分线所在直线的方向向量 D. 若点是线段上的动点（不与重合），且，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用平面向量的加减法可判断AB；利用单位向量的定义以及平面向量的加法法则可判断C；设，由得，再由判断D. 【详解】对于A，，错误； 对于B， ，正确； 对于C， 分别表示的单位向量， 由平面向量的加法法则知，为的平分线的方向向量，正确； 对于D，如图所示，因为点是线段上的动点，即三点共线， 设，，又，所以， 因为，则，即， 当时，的最大值为，正确. 故选：BCD. 11. 在中，，，，AD是三角形的中线．E，F分别是AB，AC边上的动点，，（x，），线段EF与AD相交于点G．已知的面积是的面积的2倍，则（ ） A. B. x＋y的取值范围为 C. 若，则的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角形面积公式即可得到，利用对勾函数的性质和基本不等式即可判断B，利用共线向量定理的推论即可判断C，利用转化法计算即可判断D. 【详解】对A，， ， 又因为，即， 解得，故A正确， 对B，因为，，则，解得，则， 则， 当且仅当时等号成立， 根据对勾函数的图象与性质可知当或1时，，则，故B错误， 对C，因为，，所以， 因为点三点共线， 则存在，使得 则有，则，，故C正确； 对D，，， 则 ， 因为，则，则，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题较难的CD选项的判定，需要利用共线向量定理的推论，从而得到，然后解出，从而得到其范围；对于D选项，则利用转化法来计算，最后得到，再进行消元转化为单变量表示即可得到其范围. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 已知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由中点坐标以及向量坐标，可得答案. 【详解】点P为线段AB的中点，所以，则， 故答案为：. 13. 设两向量、，满足，，它们的夹角为60°，若向量与向量夹角为钝角，则实数t的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】向量与向量夹角为钝角，则它们的数量积为负，去除方向相反的情形即可． 【详解】由题意， 与向量的夹角为钝角，则， 即，解得， 又由，得，∴所求的范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查向量的夹角与数量积的关系，在用两向量数量积为负，表示向量夹角为钝角时，要注意去除两向量共线的情形． 14. 如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点.若，则的值是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值. 【详解】如图，过点作，交于点，由，为中点， 知，. 又，故， 得即，故. 【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足AE＝AB，AF＝AD，BG＝BC，设，. （1）用，表示，； （2）若EF⊥EG，，求角A的值. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】 (1)以，为基底，进行向量加减运算，即得结果； (2) 以，为基底，结合EF⊥EG进行数量积运算，再利用，得的关系式，即解得角A. 【详解】（1）由平面向量的线性运算可知， . （2）由题意，因为EF⊥EG，所以 ，解得， 所以，则可化简上式为，解得，又，故. 16. 已知与的夹角为. （1）求在方向上的投影向量; （2）求的值; （3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据投影向量的概念求解； （2）通过展开计算； （3）根据，且与不共线计算求解. 【小问1详解】 在方向上的投影向量为； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 因为向量与的夹角为锐角， 所以，且与不共线， 对于， 得， 解得， 若与共线， 则存在，得，解得， 所以若向量与的夹角为锐角，实数的取值范围为. 17. 如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边交于两点（点与点不重合），设， （1）求的值； （2）求的最小值，并求此时的值. 【答案】（1） （2）时，的最小值. 【解析】 【分析】（1）结合向量的线性运算，根据平面向量基本定理列式求解； （2）结合（1）的结论，利用基本不等式常数代换技巧求解最值即可. 【小问1详解】 如图所示，延长交于，已知点是的重心， 故为中点，所以， 所以， 所以，①. 因为三点共线，设，即， ②， 由①②得， 所以，即. 【小问2详解】 由题意可知，且. 所以， 当且仅当，即时取等号， 又因为，所以时，的最小值. 18. 已知函数，是函数图象上的一点，M，N是函数图象上一组相邻的最高点和最低点，在x轴上存在点T，使得，且四边形PMTN的面积的最小值为 （1）求函数的解析式; （2）若，，求； （3）已知，过点H的直线交PM于点Q，交PN于点K，，，问是否是定值？若是，求出定值，若不是，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）是定值， 【解析】 【分析】（1）先求得的最小正周期，由此求得，根据点坐标求得，从而求得的解析式. （2）通过化简来求得的值. （3）以为平面一组基底表示向量，根据和共线列方程，化简求得. 【小问1详解】 因为M，N是函数图象上一组相邻的最高点和最低点， 故MN的中点在x轴上，且为函数的一个零点，因为， 故四边形PMTN为平行四边形， 平行四边形PMTN的面积最小时，为一个周期长度， 平行四边形PMTN的面积，所以， 故，解得. 所以， ，， 所以，所以. 【小问2详解】 由，得：， 即，因为， 所以. 【小问3详解】 存在定值3，使得，原因如下： 因为，， ， 因为和共线，所以， 即， ，整理得，即 19. 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． （1）若，求实数x，y的值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算以为基底表示，进而求解； （2）根据向量的线性运算以为基底表示,又因为两向量共线所以具有倍数关系，求出的值； （3）根据向量的线性运算以为基底表示，又因为三点共线，所以系数之和为1，得出，然后应用基本不等式中1的代换求出的最小值. 【小问1详解】 因为所以， 所以, 所以. 【小问2详解】 由题意可知：， ， 又因为三点共线，所以存在实数使得, ， 所以，解得：， 所以. 【小问3详解】 易知， 由（2）知， 又因为三点共线,所以，又， 所以：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省如东高级中学高一(下)数学检测 2025.2.22 班级：___________学号：___________姓名：___________ 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 平面向量满足，如果，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若 ， ，则 C. 长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量 D. 单位向量都相等 3. 设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 已知平面上三点,,满足,,,则( ) A. B. C. D. 5. 在中，M是的中点，，点P在上且满足，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知是的中线，点在边上，且，则向量（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在边长为1的正方形中，分别为的中点，则（ ） A. B. C. D. 10. 在中，分别是边中点，下列说法正确的是（    ） A. B. C. 是的平分线所在直线的方向向量 D. 若点是线段上的动点（不与重合），且，则的最大值为 11. 在中，，，，AD是三角形的中线．E，F分别是AB，AC边上的动点，，（x，），线段EF与AD相交于点G．已知的面积是的面积的2倍，则（ ） A. B. x＋y的取值范围为 C. 若，则的取值范围为 D. 的取值范围为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 已知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为___________． 13. 设两向量、，满足，，它们的夹角为60°，若向量与向量夹角为钝角，则实数t的取值范围是_____. 14. 如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点.若，则的值是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足AE＝AB，AF＝AD，BG＝BC，设，. （1）用，表示，； （2）若EF⊥EG，，求角A的值. 16. 已知与的夹角为. （1）求在方向上的投影向量; （2）求的值; （3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 17. 如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与边交于两点（点与点不重合），设， （1）求的值； （2）求的最小值，并求此时的值. 18. 已知函数，是函数图象上的一点，M，N是函数图象上一组相邻的最高点和最低点，在x轴上存在点T，使得，且四边形PMTN的面积的最小值为 （1）求函数的解析式; （2）若，，求； （3）已知，过点H的直线交PM于点Q，交PN于点K，，，问是否是定值？若是，求出定值，若不是，说明理由. 19. 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． （1）若，求实数x，y的值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $