21.2.1解一元二次方程——配方法（第1课时）（教学课件）数学人教版九年级上册

第二十一章 一元二次方程 第一课时 21.2.1 配 方 法 学 习 目 标 1 2 3 理解方程 x²=p的解需要分类讨论,这个过程直接利用平方根的意义就能完成。将一个一元二次方程转化为 x²=p的形式，从而利用直接开平方法求解。 在将一个一元二次方程转化为 x²=p形式的基础上，通过转化为 （x+n）²=p来解一元二次方程 使学生认识到本节课学习的解方程是学习配方法是后续学习（求根公式、二次函数）的重要基础，激发进一步学习的兴趣，在合作探究中体会数学的严谨性与逻辑性 知识回顾 一个数x的平方等于p，这个数x叫做p的平方根 即　x²=p（p≥0），则x叫做p的平方根，表示为： 1、平方根定义 2.完全平方公式： a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a2－2ab＋b2＝(a－b)2 (1) x2–4x+____=(x–____)2 (2) x2+12x+____=(x+____)2 (3) y2–8y+____=(y–____)2 4 2 36 6 16 4 完成填空 导入新课 一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 盒子的棱长 盒子的表面积 列出方程 等量关系 6x2 dm2 10个盒子的表面积= 1500 dm2 10× 6x2= 1500 10×6x2=1500 由此可得 x2=25 即 x1=5，x2=－5 可以验证，5和－5是方程 ① 的两根，但是棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm． 解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程 x dm 求25的平方根 新知探究 探究点1 转化为 x²=p型 解： 下列方程是一元二次方程吗？ 思考： 你能利用平方根定义解求出这些方程的解吗？ ∴ 方程无解 （3）x²= ∴ x=±7 （1）对于一般形式的一元二次方程x²=p如何解呢？ 讨论： （2）当常数p是负时方程有解吗？ 新知探究 探究点1 转化为 x²=p型 非负数的平方根性质 常数 p的值分为 p＞0，p＝0，p＜0三种情况 一般地，对于方程x²=p （1）当 p＞0时， 方程x²=p有两个不等的实数根x1=,x2=-. （2）当 p＝0时， 方程x²=p有两个不等的实数根 x1=x2=0 （3）当 p＜0时， ∵对任意实数x ，都有 x²≥0 ∴方程x²=p无实数根。 6 典例分析 探究点1 转化为 x²=p型 例1．解下列方程 （2） （3） （1） ∴方程的两根为: 解： ∴方程的两根为: （1）整理，得 x1=,x2=- （2）整理，得 （3）整理，得 ∴方程无实数解 新知探究 探究点2 转化为 （x+n）²=p型 解方程：(x + 3)2 = 5 类 比 解方程：x 2 = 5 x1=,x2=- 直接开平方 x1=,x2=-3- x+3=± x=± 得方程的解 整体思想 一元二次方程 降次 转化思想 一元一次方程 “降次”是解一元二次方程的基本策略， x²=p 和（x+n）²=p 两种形式的方程都可以直接开方转化为两个一元一次方程。 新知探究 探究点2 转化为 （x+n）²=p型 形如(x+n)2=p的形式一元二次方程解题步骤： (1)当p>0时， 方程有两个不等的实数根 x1=﹣n﹣ ， x2=﹣n﹢ ； (2)当p=0时， 方程有两个相等的实数根x1=x2=﹣n; (3)当p＜0时， 因为对于任意实数x，都有(x+n)2≥0，所以方程无实数根. 典例分析 探究点2 转化为 （x+n）²=p型 例2．将一元二次方程 （x-6）² = 25转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x-6=5 ，则另一个一元一次方程是( ) A． x-6=-5 B． x-6=5 C． x+6=-5 D． x+6=5 A x-6=± 例3、 解方程3（x-1）² -6= 0 方程两根为： 解： 整理，得 （x-1）² = 2 x-1=± x1=, x2=1- x-1= 或 x-1=- 即： 拓展提升 探究点2 转化为 （x+n）²=p型 1．某商品经过两次降价，售价由原来的每件100元降到每件64元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A． 30% B． 25% C． 20% D．15% 解：设每次降价的百分率为x，由题意得： 100（1-x）² = 64 ， （1-x）² = 0.64 ， 1-x = ±0.8 解得：x1=, x2=1.8（舍） ∴每次降价的百分率为x=20 % C 巩固练习 教材P6练习 解下列方程： 方程的两根为: 解： 方程的两根为: （3）移项 x＋6=3 或x＋6=－3, 方程的两根为： x1 =－3, x1 =－9. 巩固练习 教材P6练习 解下列方程： 方程两根为： 方程的两根为： 方程的两根为： 真题感知 1．（2023上·广西来宾·九年级统考期中）如图，这是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（　　） A． x1=2，x2=－2 B．x1=3，x2=－3 C． x1=3，x2=－1 D． x1=-3，x2=1 解：由题意得： 2（x-1）² = 8 整理得： （x-1）² = 4 直接开平方得： x-1= 2 或 x-1=- 2 解得 ： x1=3，x2=－1 C 2.(2024·重庆·中考真题)随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元，2023 年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是_ __. 真题感知 解:设平均增长率为x ，由题意得: 40（1+x）² = 48.4 整理得： （1+x）² = 12.1 直接开平方得： 1+x=1.1或 1 +x= - 1.1 解得 ： x1=0.1=10%，x2=－2.1 (不符合题意，舍去); ∴年平均增长率是10% 10% 课堂小结 开方 求解 变形 将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常数的形式； 利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程； 解一元一次方程，得出方程的根． 1．形如x²=p一元二次方程的解法步骤： 2．两种数学思想： 整体思想、转化思想． 探究性作业 课后作业 1．方程x2＋m＝0有实数根的条件是( ) A．m＞0 B．m≥0 C．m＜0 D．m≤0 2．下列方程能用直接开平方法求解的是( ) A．5x2＋2＝0 B．4x2－2x＋1＝0 C．x2－2＝4 D．3x2＋4＝2 D C 3.若关于 x 的方程 (x-2)2=a-5 有解，则 a 的取值范围为 ． a≥5 探究性作业 课后作业 4．自由下落物体的高度h(米)与下落的时间t(秒)的关系为h＝4.9t2，现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落，到达地面需要多少秒？ 解：当h＝19.6时，4.9t2＝19.6. ∴t1＝2，t2＝－2(不合题意，舍去). ∴t＝2. 答：到达地面需要2秒 $$