21.1一元二次方程（教学课件）数学人教版九年级上册

第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程 学 习 目 标 1 2 3 能准确叙述一元二次方程的定义，独立写出一般形式；能识别方程中的二次项系数、一次项系数和常数项；能根据实际问题列出简单的一元二次方程。 经历“实际问题→数学建模→概念生成”的过程，培养抽象能力；通过辨析实例强化对概念关键特征（a≠0 、整式方程）的理解。 感受方程在解决现实问题中的价值，增强应用意识；在合作探究中体会数学的严谨性与逻辑性。 新知导入 雷锋雕像 在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感。 数学里的美 新知导入 A C B 2m 设雕像上部的高度AC，下部的高度BC，AB=2米 设雕像下部高 x m，得方程： x2=2(2－x) 整理得：x2＋2x－4=0 ① 要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米? = 由题意可得： BC²=AC•AB=2AC 这个方程与我们学过的一元一次方程不同，如何解这类方程? 如何用这类方程解决一些实际问题? 新课探究 探究点1 认识一元二次方程 观 察 x2＋2x－4=0 这一方程有什么特征？ 方程等号两边都是整式 有一个未知数x x 的最高次数是2. 特征 一元 二次 像这样的方程应用很广泛 新知探究 探究点1 认识一元二次方程 如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm²，那么铁皮各角应切去多大的正方形? 问题1 长100cm 宽50cm 3600 cm² 小组讨论： （1）为了制作无盖方盒，铁皮各角切去的正方形的形状大小应该如何？ 铁皮各角切去的正方形应大小相同 （2）设切去的正方形的边长为 xcm，则盒底的长、宽各为多少？ xcm 盒底的长为（100-2x）cm ， 盒底的宽为（50-2x）cm 新知探究 探究点1 认识一元二次方程 如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm²，那么铁皮各角应切去多大的正方形? 问题1 长100cm 宽50cm 3600 cm² 小组讨论： xcm （3）根据方盒的底面积为3600cm² ，得什么方程？方程整理后得到什么方程？ （100-2x）•（50-2x）=3600 整理方程得：x²-75x+350=0 ② （4）这一方程有什么特征？ 方程两边都是整式， 有一个未知数 x， x的最高次数是2. 新知探究 探究点1 认识一元二次方程 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛? 小组讨论： （1）这种比赛形式也叫做单循环比赛，其比赛场次的特点是什么？ 比赛场次的特点是任何两队之间都要比赛一场，而且只比赛一场。 （2）全部比赛的场数为多少场？ 全部比赛的场数为: 4×7=28（场） 新知探究 探究点1 认识一元二次方程 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛? 小组讨论： （3）设应邀请x个队参赛， 每个队要与其他（ ）个队各赛一场； 共比赛（ ）场； 可以得到（ ）方程；整理方程后得到（ ）方程； x - 1 x (x -1) x (x -1)=28 x2 - x = 56 ③ （4）方程两边都是（ ）， 有一个未知数（ ），未知数的最高次数是（ ） 2 整式 x 新知探究 探究点1 认识一元二次方程 方程 ① ② ③ 有什么共同点？ (1) 方程的两边都是_____； (2) 都只含_____个未知数； (3) 未知数的最高次数都是__. x2 - 75x＋350 = 0 ② x2 + 2x - 4 = 0 ① x2 - x = 56 ③ 整式 1 2 一元二次方程 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。(quadratic equation in one unknown) 典例分析 探究点1 认识一元二次方程 例1．下列方程中，属于一元二次方程的是(     ) A． ax²+x=2 B． x²-2x-3=0 C． x²-xy=2 D． 2（x-1）=x 解： A、当 a≠0时， 是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、 x²-2x-3=0是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； C、 x²-xy=2含有两位未知数，故该选项不符合题意； D、 2（x-1）=x 是一元一次方程，故该选项不符合题意． B 新知探究 探究点 认识一元二次方程一般形式和结构 辨一辨 一元二次方程的一般形式 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为 ax²+bx+c=0的形式, 为什么要限制ax²+bx+c=0 中a≠0，b,c可以为零吗？ ax²+bx+c=0 (a, b, c为常数，a ≠ 0） 一元二次方程的一般形式. 当ax²+bx+c=0 中a=0，方程左边没有二次项，方程变为一元方程，但b,c可以为零。 x2 - x = 0 c=0 x2 - 81 = 0 b=0 x2 = 0 b=0,c=0 新知探究 探究点2 认识一元二次方程一般形式和结构 a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) 二次项系数 一次项系数 一元二次方程的一般形式 二次项 一次项 常数项 典例分析 探究点2 认识一元二次方程一般形式和结构 例2: 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项． 　3x2 －3x = 5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式： 3x2-8x-10=0. 二次项系数 a= 3，一次项系数b=－8，常数项为c=－10.　　　　　　　 解：去括号，得 系数和项均包含前面的符号. 注意 新知探究 探究点3 一元二次方程的解（根） 什么是一元一次方程解？类比你能得出什么是一元二次方程的解吗？ 交流讨论 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 使一元一次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，一元一次方程的解也叫做一元一次方程的根. 典例分析 探究点3 一元二次方程的解（根） 例3．已知m 是一元二次方程x2-3x-1=0 的一个根， 则 2023-m2+3m的值是（ ） A． -2023 B． 2023 C． 2022 D． 2024 解：∵ m是一元二次方程x2-3x-1=0 的一个根， ∴ m2-3m=1 ∴ 2023-m2+3m = 2023-(m2-3m） =2023-1 =2022 C 求代数式的值注意观察，有时需用到整体思想——求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值 整体代入求值 拓展提升 1．关于x的方程a（x+m）²+b=0的解是想x1=-3，x2=2（ a,b,m均为常数，a≠0 ，则方程a（x+m+2）²+b=0的解是（ ） A． x1=-3，x2=2 B． x1=-5，x2=2 C． x1=-1，x2=-4 D．无法求解 探究点3 一元二次方程的解（根） 解：根据题意得： 方程 a（x+m+2）²+b=0看作关于x+2 的一元二次方程， ∵关于x的方程a（x+m）²+b=0的解： x1=-3，x2=2 ， ∴关于x+2 的一元二次方程a（x+m+2）²+b=0的解： x1+2=-3，x2+2=2 ， 解得x1=-5，x2=2 B 整体思想 巩固练习 教材P4练习 1. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项: （1）一般式： 二次项系数为５，一次项系数－4，常数项－1. （2）一般式： 二次项系数为4，一次项系数0，常数项－81. （3）一般式： 二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25. （4）一般式： 二次项系数为3，一次项系数－7，常数项1. 解： 巩固练习 教材P4练习 2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： （3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x； （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x； （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x； 解：（1）设其边长为x，则面积为x2 （2）设长为x，则宽（x－2） x(x－2)=100. x2－2x－100=0. （3）设其中的较短一段为x，则另较长一段为（1－x） x2－3x＋1=0. x·1 = (1－x)2 4x2=25 巩固练习 3.某市2023年投入教育经费2 亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均x为 ，从 2023年到 2025年共投入教育经费7.28亿元，则下列方程正确的是（ ） A． 2 x2=7.28 B． 2（1+x）=7.28 C． 2（1+x)2=7.28 D． 2+ 2（1+x） +2（1+x)2=7.28 解：设教育经费的年平均增长率为x ， 则2024年度的教育经费为： 2（1+x） 万元， 2025年度的教育经费为： 2（1+x)2 万元， 依题意可得方程： 2+ 2（1+x） +2（1+x)2=7.28 D 真题感知 1.(2024·四川眉山·中考真题)眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x ，则可列方程为( ) B． D． A． C． D 2.（2023·湖北孝感·一模）已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ． 3.（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程的一个根为1，则 ． 真题感知 4.（2024·四川凉山·中考真题） 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． A 解: 是关于x的一元二次方程，≠0 ，即 ≠ ① ，代入 可得 ，解之得= ； ② 由①②得 （1）学习了一元二次方程的定义及一般形式； 能识别方程中的二次项系数、一次项系数和常数项； 能根据实际问题列出简单的一元二次方程。 （2）经历“实际问题→数学建模→概念生成”的过程，培养抽象能力；通过辨析实例提升了对概念关键特征（𝒂≠、整式方程）的理解。 （3）感受方程在解决现实问题中的价值，增强应用意识；在合作探究中体会数学的严谨性与逻辑性。 课堂小结 一元二次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是 2 一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)， 其中 a ≠ 0 是一元二次方程的必要条件 根 使方程左右两边相等的未知数的值 课堂小结 $$