期末复习核心考点讲义 导数的综合运用-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

专题2  导数的综合应用【讲*人教A版】 构造函数解抽象不等式： 1.对于不等式，构造函数． 2.对于不等式，构造函数；对于不等式，构造函数； 一般的，对于不等式，构造函数；对于不等式，构造函数； 3.对于不等式，构造函数；对于不等式，构造函数； 一般的，对于不等式，构造函数；对于不等式，构造函数； 4.对于不等式（或），构造函数；对于不等式（或），构造函数. 【考向归类】 考向一：单调性与函数图象 【典例1】（24-25高一下·上海·期中） 1．下列函数图像所对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【备考提醒】 用导数进行图象识别有以下三个结论： 1.在导函数图象中，在x轴上方区域对应原函数单调递增区间，在x轴下方区域对应原函数单调递减区间； 2.在导函数图象中，图象由x轴上方到x轴下方与x轴的交点为极大值点；由x轴下方到x轴上方与x轴的交点为极小值点； 3.导函数与x轴的交点不一定是极值点，交点两侧导函数值可能恒正或者恒负，若交点是极值点，交点两侧导函数值必须异号． 【举一反三】 （24-25高二下·安徽·期中） 2．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． （24-25高二下·福建宁德·期中） 3．函数的部分图象大致是（   ） A． B． C． D． 考向二：单调性与比较大小 【典例2】（24-25高二下·重庆·期中） 4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【备考提醒】 1.利用导数比较大小，有时需要利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小的问题； 2.比较大小时，需关注函数的性质，如奇偶性、对称性，进而把自变量转移到同一区间，再利用单调性比较即可． 【举一反三】 （24-25高二下·河北·期中） 5．设.则（    ） A． B． C． D． （24-25高二下·广东深圳·期中） 6．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 考向三：单调性与解不等式 【典例3】（24-25高二下·四川资阳·期中） 7．设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例4】（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中） 8．已知函数，，是其导函数，若恒成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【典例5】（24-25高二下·山东济南·阶段练习） 9．定义在上的函数，是的导函数，且恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【备考提醒】 此类题型要求考生牢记构造不等式的几类形式，并对题目条件进行适当的转化变形，构造出所需函数进而判断单调性，最终解得答案. 【举一反三】 （24-25高二下·湖南长沙·期中） 10．已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． （24-25高二下·四川遂宁·期中） 11．已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【必备知识】 不等式恒（能）成立问题常用的转化规则 1.单变量不等式成立问题：一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立 （1）， （2）， （3）， （4）， 2.双变量不等式成立问题：一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集． 【考向归类】 考向一：导数与恒成立问题 【典例1】 （24-25高三下·湖南·阶段练习） 12．已知，若关于的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【备考提醒】 恒成立问题一定要注意最值的转化，牢记每一种情况的等价情况，否则可能与正确答案背道而驰！ 【举一反三】 （24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试） 13．已知函数，若对任意两个不相等的实数，，都有，则a的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D．0 （24-25高三下·浙江·开学考试） 14．设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 考向二：导数与能成立问题 【典例2】（24-25高二下·福建三明·期中） 15．已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【备考提醒】 能成立问题与恒成立问题处理方法基本一致，但要注意最值的理解，两者不能混淆. 【举一反三】 （24-25高二下·安徽阜阳·期中） 16．若不等式有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． （2025·河南·二模） 17．已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考向三：导数与双变量问题 【典例3】（2025·江西萍乡·一模） 18．设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 【备考提醒】 此类问题需要注意自变量的取值范围，注意函数本身的定义域. 【举一反三】 （24-25高三下·云南·阶段练习） 19．已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2025·天津红桥·二模） 20．已知向量是夹角为60°的单位向量，若对任意的 且 则取值范围是（   ） A． B． C． D． 【必备知识】 不等式证明的常用思路 1.移项构造法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； 2.分离法：若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题． 在证明过程中，等价转化是关键，此处恒成立．从而f（x）>g（x），但此处与取到最值的条件不是同一个“x的值”； 3.放缩法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论. 【考向归类】 考向一：构造法证明不等式 【典例1】（2025·甘肃白银·二模） 21．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，且在上单调递增，求的取值范围； (3)证明：当时，. 【备考提醒】 证明，可以构造函数，根据的最值证明不等式. 【举一反三】 （2025·吉林长春·模拟预测） 22．已知函数． (1)若恒成立，求实数a的取值范围； (2)证明：当时，． （2025·河南南阳·模拟预测） 23．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：，． 考向二：分离法证明不等式 【典例2】 （24-25高二下·四川遂宁·期中） 24．已知函数， (1)令函数. ① 讨论函数的单调性； ② 当且时，若有两个零点，求a的取值范围. (2)证明：. 【备考提醒】 若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形分拆，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的． 【举一反三】 （24-25高二下·福建莆田·期中） 25．已知函数. (1)求函数的最小值； (2)若，，证明. （2025·河北邯郸·二模） 26．已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)证明：. 考向三：放缩法证明不等式 【典例3】（24-25高二下·广东·期中） 27．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)求证：． 【备考提醒】 放缩法证明不等式： 一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论. 【举一反三】 （2025·江西新余·模拟预测） 28．函数，. (1)方程有两解，，求证：； (2)证明：. （2025·贵州遵义·模拟预测） 29．已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)设，讨论函数的零点个数； (3)证明：，． 考向四：隐零点与不等式证明 【典例4】（24-25高二下·四川南充·期中） 30．已知函数，． (1)求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若且时，求证． 【备考提醒】 在分析一个函数 的极值情况时，我们往往会通过求导的方法来分析，这个时候它的导函数对应的零点，就是 的极值点，也就是说 的极值是 ， 如果我们把导函数的零点式中一部分代回，来使得 变得更好分析，那么此时便称这个步骤为隐零点. 【举一反三】 （2025·河北秦皇岛·三模） 31．设函数． (1)求在点处的切线方程； (2)证明：． （24-25高二下·湖北宜昌·期中） 32．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求证：． 考向五：极值点偏离与不等式证明 【典例5】（24-25高二下·广东广州·期中） 33．已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)已知函数有两个零点，， ①求实数的取值范围； ②证明：． 【备考提醒】 极值点偏移问题是数学中的一个重要且有趣的现象，通常出现在导数与函数图像关系的考察中，以下是两种常见的极值点偏移问题解法： 一、对称构造函数法 1.适用情况‌：适用于函数图像左右对称或需证明与两个极值点之和、积相关的不等式的情况. 2.解题步骤‌： ①定函数‌：首先确定函数的极值点，这通常通过求导并令导数等于0来实现； ②构造函数‌：根据极值点构造对称函数； ③判断单调性‌：利用导数讨论的单调性； ④比较大小‌：判断函数在某段区间上的正负，从而得出与的大小关系； ⑤转化‌：利用函数的单调性，将与的大小关系转化为x与之间的关系，进而得到所证或所求. 二、代换法（包括比值代换和差值代换） 1.适用情况‌：适用于含参数的极值点偏移问题，通过代换简化问题. 2.解题步骤‌： ①建立关系‌：根据已知条件建立极值点之间的关系. ②代换变量‌：利用两个极值点之比（或差）作为新变量t，将原问题转化为关于t的函数问题. ③求解新函数‌：对新函数进行求解或证明. 【举一反三】 （24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习） 34．已知函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若恰有两个极值点． ①求的取值范围； ②证明：． （24-25高三上·甘肃兰州·期中） 35．已知函数， (1)当时，恒成立，求a的取值范围； (2)设，为上不同的两点，设AB两点所在直线的斜率为K，证明： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2  导数的综合应用【讲*人教A版】 构造函数解抽象不等式： 1.对于不等式，构造函数． 2.对于不等式，构造函数；对于不等式，构造函数； 一般的，对于不等式，构造函数；对于不等式，构造函数； 3.对于不等式，构造函数；对于不等式，构造函数； 一般的，对于不等式，构造函数；对于不等式，构造函数； 4.对于不等式（或），构造函数；对于不等式（或），构造函数. 【考向归类】 考向一：单调性与函数图象 【典例1】（24-25高一下·上海·期中） 1．下列函数图像所对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性，结合函数值的特征利用排除法判断即可. 【详解】对于A：函数的定义域为，又，， 所以，且当时，而， 所以，当或时，所以，则， 又，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，符合题意，故A正确； 对于B：函数的定义域为，故排除B； 对于C：函数的定义域为， 且，所以为非奇非偶函数， 且当或时，所以，故排除C； 对于D：函数的定义域为， 且，所以为非奇非偶函数， 且当或时，所以，故排除D； 故选：A 【备考提醒】 用导数进行图象识别有以下三个结论： 1.在导函数图象中，在x轴上方区域对应原函数单调递增区间，在x轴下方区域对应原函数单调递减区间； 2.在导函数图象中，图象由x轴上方到x轴下方与x轴的交点为极大值点；由x轴下方到x轴上方与x轴的交点为极小值点； 3.导函数与x轴的交点不一定是极值点，交点两侧导函数值可能恒正或者恒负，若交点是极值点，交点两侧导函数值必须异号． 【举一反三】 （24-25高二下·安徽·期中） 2．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而排除A、C，再根据时函数值的特征排除B. 【详解】由题意得，函数的定义域为，， 所以当或时，当或时， 所以在和上单调递增，在和上单调递减，故排除A、C； 当时，，所以，故排除B. 故选：D. （24-25高二下·福建宁德·期中） 3．函数的部分图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数和图象的区别结合函数值正负和借助导数得到函数单调性即可判断得解. 【详解】根据题意，函数的定义域为， 当时，，所以．排除BC. 当时，， 所以在上单调递增，排除D. 故选：A. 考向二：单调性与比较大小 【典例2】（24-25高二下·重庆·期中） 4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造函数，再根据函数的导函数得出函数单调性即可判断大小. 【详解】设， 所以单调递增；单调递减； 所以. 故选：A. 【备考提醒】 1.利用导数比较大小，有时需要利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小的问题； 2.比较大小时，需关注函数的性质，如奇偶性、对称性，进而把自变量转移到同一区间，再利用单调性比较即可． 【举一反三】 （24-25高二下·河北·期中） 5．设.则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，求导确定单调性，进而可比较大小. 【详解】构造函数，其中，则， 令， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以当时，， 所以在上单调递增，所以， 又， 所以. 故选：B. （24-25高二下·广东深圳·期中） 6．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到，再由，即可得解. 【详解】令，， 则，因为，所以，所以， 则，所以， 所以，所以在上单调递减， 所以，即，即，即， 又，， 所以. 故选：B 考向三：单调性与解不等式 【典例3】（24-25高二下·四川资阳·期中） 7．设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先构造函数，再利用函数单调性解不等式． 【分析】令，因为函数在上是可导的偶函数， 所以，所以， 所以在上也是偶函数, ， 又当时，，， ，在上是增函数 由得 ，，． 故选：C． 【典例4】（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中） 8．已知函数，，是其导函数，若恒成立，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造新函数，利用导数判断的单调性，再将不等式变形，借助的单调性即可求解. 【详解】令，则，所以在上单调递增． 又不等式，等价于， 即，所以，所以不等式的解集为． 故选：A 【典例5】（24-25高二下·山东济南·阶段练习） 9．定义在上的函数，是的导函数，且恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，构造函数，利用导数判断函数的单调性，比较函数值的大小即可. 【详解】因为时，， 所以可化为， 设，， 则， 所以函数在上的单调递减， 因为，所以， 所以，即， 对于A：因为，A选项不一定成立； 对于B：因为，B选项不一定成立； 对于C：成立； 对于D：，D选项不成立； 故选：C. 【备考提醒】 此类题型要求考生牢记构造不等式的几类形式，并对题目条件进行适当的转化变形，构造出所需函数进而判断单调性，最终解得答案. 【举一反三】 （24-25高二下·湖南长沙·期中） 10．已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数分析函数单调性，再判断函数的对称性，可得原不等式转化为，利用单调性解不等式即可. 【详解】的定义域为， ，所以， 所以的图象关于对称， 由，所以， 即， 由于，所以在上单调递增， 所以，解得， 故选：A （24-25高二下·四川遂宁·期中） 11．已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，求导后判断的单调性，然后根据单调性解不等式即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递减，则原不等式等价于， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 【必备知识】 不等式恒（能）成立问题常用的转化规则 1.单变量不等式成立问题：一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立 （1）， （2）， （3）， （4）， 2.双变量不等式成立问题：一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集． 【考向归类】 考向一：导数与恒成立问题 【典例1】 （24-25高三下·湖南·阶段练习） 12．已知，若关于的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】先将不等式变形可得，然后通过分析可得，代入，通过求导求解函数的最值即可求解. 【详解】将不等式变形，可得， 要使不等式恒成立，需满足： 当时，，因此需， 当时，，因此需，若同时满足上述两个要求，则， 下面验证时，恒成立， 当时，，所以， 所以， 当时，，所以， 所以， 当时，， 所以时，不等式恒成立， 所以，令，所以， 令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最大值，最大值为， 所以的最大值为. 故选：. 【备考提醒】 恒成立问题一定要注意最值的转化，牢记每一种情况的等价情况，否则可能与正确答案背道而驰！ 【举一反三】 （24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试） 13．已知函数，若对任意两个不相等的实数，，都有，则a的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】B 【分析】结合单调性定义可得函数单调递增，则恒成立，即恒成立，构造函数，借助导数研究其单调性从而得其最值即可得解. 【详解】不妨设，因为，所以， 构造函数，则，所以单调递增， 恒成立，即恒成立， 令函数，， 当时，，当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，故． 故选：B. （24-25高三下·浙江·开学考试） 14．设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】先判断，由和的符号可确定，故，构造，利用导数求最小值即可. 【详解】由题意函数的定义域为， 当时，，则由则恒成立， 因的值域为，故不可能恒成立，故不成立； 当时，由得，由得， 由得，由得， 因，故，即， 故，设，则， 当时，，在上递减； 当时，，在上递增， 故， 故选：A 考向二：导数与能成立问题 【典例2】（24-25高二下·福建三明·期中） 15．已知函数的导函数为，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得即求出解析式，利用导数研究其单调性和极值与最值，结合图像即可求解. 【详解】即， 所以，则， 所以， 因为，所以， 所以， ， 由得，则在上单调递增， 由得或，则在和上单调递减， 所以时，取得极大值为， 当时，取得极小值， 又因为，，， 且时，，时， 的解集中恰有两个整数等价于在下方的图像只有2个横坐标为整数的点，结合函数图像可得： 则，解得， 所以时，的解集中恰有两个整数， 故实数的取值范围是. 故选：D. 【备考提醒】 能成立问题与恒成立问题处理方法基本一致，但要注意最值的理解，两者不能混淆. 【举一反三】 （24-25高二下·安徽阜阳·期中） 16．若不等式有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求导研究其单调性，进而求其最小值，使即可. 【详解】令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因不等式有解，则，得， 则实数m的取值范围为. 故选：C （2025·河南·二模） 17．已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导函数得出函数的单调性得出函数值范围计算即可求参. 【详解】因为函数，若存在实数，使得成立， 当时，存在，所以； 当时，不成立； 当时，存在，所以成立， 令，， 当单调递增； 当单调递减； 所以时，，，，所以； 综上得：或. 故选：D. 【点睛】方法点睛：解题的方法是分类讨论三种情况结合函数值域及导函数求参单调性计算求解即可. 考向三：导数与双变量问题 【典例3】（2025·江西萍乡·一模） 18．设函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将问题转化为，求出，然后参变分离，构造函数，利用导数求最值即可. 【详解】由题意，，当时，，，所以； 当时，，，所以， 等号仅当时成立，所以. 所以对，即，即. 令，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，因此. 故答案为： 【备考提醒】 此类问题需要注意自变量的取值范围，注意函数本身的定义域. 【举一反三】 （24-25高三下·云南·阶段练习） 19．已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数求在上的值域记作集合，利用二次函数的单调性求在上的值域记作集合，根据题意可得，可得关于的不等式组，解不等式即可. 【详解】由可得， 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增， 所以，，， 所以在上的值域为，记 的对称轴为，，， 且在上单调递减，所以， 记， 若对任意的，存在唯一的，使得， 则，所以，解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：B （2025·天津红桥·二模） 20．已知向量是夹角为60°的单位向量，若对任意的 且 则取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的运算，求得模长，整理不等式，构造函数研究其单调性，利用导数，可得答案. 【详解】已知向量的夹角为的单位向量，则， 所以， 所以对任意的，且，则， 所以，即， 设，即在上单调递减， 又时，，解得， 所以在上单调递增； 在上单调递减，所以， 故选：A． 【必备知识】 不等式证明的常用思路 1.移项构造法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； 2.分离法：若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题． 在证明过程中，等价转化是关键，此处恒成立．从而f（x）>g（x），但此处与取到最值的条件不是同一个“x的值”； 3.放缩法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论. 【考向归类】 考向一：构造法证明不等式 【典例1】（2025·甘肃白银·二模） 21．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，且在上单调递增，求的取值范围； (3)证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）先确定是上的增函数.再由在上恒成立，得到，即可求解； （3）由，将问题转化成，构造函数，确定其在上单调递增.进而转化成恒成立，进而可求证. 【详解】（1）当时，，则， ，则， 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）令， 则， 因为，所以， 所以恒成立， 所以是上的增函数. 因为在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以只需，又， 故. （3））因为，所以要证， 只需证， 令，该二次函数的图象的对称轴为直线， 令，则， 令，则，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以在上单调递增. 问题可转化为证明，即证， 即证. 令， 则， 令， 则， 所以在上单调递减，且， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，证毕. 【备考提醒】 证明，可以构造函数，根据的最值证明不等式. 【举一反三】 （2025·吉林长春·模拟预测） 22．已知函数． (1)若恒成立，求实数a的取值范围； (2)证明：当时，． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，分离参数并构造函数，利用导数求出函数的最大值即可, （2）由（1）可得，再作商构造函数，利用导数求出最大值小于1即可得证. 【详解】（1）函数定义域为， 不等式， 令函数，依题意，对恒成立， ，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数a的取值范围是. （2）由（1）知，当时，不等式恒成立，则恒成立， 因此，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以当时，. （2025·河南南阳·模拟预测） 23．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：，． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义求导得切线斜率，再确定切点纵坐标，从而得切线方程. （2）构造函数求导确定单调性即可得，再设，求导确定单调性，从而可得，结合指数与对数运算即可证得结论. 【详解】（1）函数，求导得，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）设，求导得， 函数在上单调递减，恒成立，即，因此， 设，求导得，函数在上单调递增， 则，则，即， 所以，即. 考向二：分离法证明不等式 【典例2】 （24-25高二下·四川遂宁·期中） 24．已知函数， (1)令函数. ① 讨论函数的单调性； ② 当且时，若有两个零点，求a的取值范围. (2)证明：. 【答案】(1)①答案见解析；② (2)证明见解析 【分析】（1）①求出函数的导函数，分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调性；②分、两种情况讨论，结合函数的单调性，求出参数的取值范围； （2）方法一 ：依题意即证，，构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可证明；方法二：即证，令，，，利用导数证明；方法三：首先证明，当时，，从而转化为证明，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明. 【详解】（1）①因为  所以， 所以， 当时，当时，，即在上单调递增； 时，，即在上单调递减； 当时，当时，，即在，上单调递增； 当时，，即在上单调递减. 当时，当时，，即在，上单调递增； 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 综上可得：当时在上单调递增，在上单调递减； 当时在，上单调递增，在上单调递减； 当时在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. ②i.当时，在上单调递增，在上单调递减， 则， 因为，，且， 所以，即. ii.当时，在，上单调递增，在上单调递减， 在时取得极大值，且 ， 因为，所以，则， 所以在只有一个零点； 综上，的取值范围为. （2）方法一 ：，，则. 要证，即证，. 令，， 则. 令，，则， 所以当时，，所以在上单调递增. 因为，， 所以在上存在唯一零点，且当时，；当时，. 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以. 由，得，所以. 两边取对数，得，所以， 所以，即. 因为，所以，即. 方法二：要证，即证，即证. 令，，，. 易得，则令，得；令，得. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 易得. 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，故. 方法三： 令，所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即， 当且仅当时等号成立，所以当时，， 要证，即证， 若，即，则. 令，，所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，即证得成立. 【备考提醒】 若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形分拆，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的． 【举一反三】 （24-25高二下·福建莆田·期中） 25．已知函数. (1)求函数的最小值； (2)若，，证明. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出，分、讨论可得答案； （2）根据转化为证明，构造函数、，利用导数判断可得的答案. 【详解】（1）函数的解析式为，则， ①当时恒成立，函数单调递增，无最值； ②当时，令，则， 当，函数单调递减， 当，函数单调递增， 在处取最小值，即， 函数的最小值为； （2）若时，， 即证明， 因为，所以，则， 则只需证明， 令，则， 当即，，单调递增， 当即，，单调递减， 所以，可得， 令，则， 当， ，单调递减， 当，，单调递增， 所以，可得， 因为与取等号的条件不同，所以， 所以. （2025·河北邯郸·二模） 26．已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)证明：. 【答案】(1)当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）由函数的解析式可知函数的定义域为及导函数，对分和两类讨论即可求解； （2）由（1）知当时，，即，进而可得.令，对函数求导可知在上单调递增，可得，故，原不等式得证. 【详解】（1）由题知：，其定义域为，. 当时，则，在上单调递减； 当时，令，解得；令，解得， ∴函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）要证，即证. 由（1）知：当时，在上单调递减，在上单调递增， ∴，即， ，. 令，， ∴在上单调递增， ∴当时，，即， ∴，即， ∴原不等式成立. 【点睛】本题考查利用导数讨论含参函数的单调性，证明函数不等式恒成立问题，属于难题. 研究含参函数的单调性常用分类讨论的数学思想； 对于函数不等式的证明，常采用放缩法，如本题中，证明不等式恒成立的问题关键在于不等式的等价转化. 考向三：放缩法证明不等式 【典例3】（24-25高二下·广东·期中） 27．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)求证：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）代入，对函数求导，求得斜率即可写出直线方程；（2）对函数求导，分，两种情况讨论； （3）由第二问的单调性可知，通过放缩即可证得不等式成立. 【详解】（1）当时，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2），则． 对于方程． 当，即时，，函数在上单调递减； 当，即时，方程有两不等根， ，且， 所以当或时，；当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，函数的单调递增区间为， 单调递减区间为，． （3）证明：由（2）知，当时，函数在上单调递减， 又，所以当时，， 即当时，． 因为，所以，所以， 即， 所以， ， ， … ， 累加可得 ， 即， 所以． 【备考提醒】 放缩法证明不等式： 一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论. 【举一反三】 （2025·江西新余·模拟预测） 28．函数，. (1)方程有两解，，求证：； (2)证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由函数解释式求导，分情况可求得恒成立，整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，可得答案； （2）由（1）所得不等式，利用累加法以及裂项相消，可得答案. 【详解】（1）证明：，定义域为，则 因为方程有两解，，所以，不妨设. 要证，即证， ①若，则. ②若，由知， 当时，，当时，. 在上单调递减，在上单调递增，有. 综合①②知，，所以只需证（*）. 又，， 两式相减，整理得，代入（*）式，得， 化简得，令，则只需证， 令，则需证当时，. 因为在上恒成立， 所以在上单调递增，所以当时，，所以成立. （2）由（1）知，故， 取，，，，则， 所以. （2025·贵州遵义·模拟预测） 29．已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)设，讨论函数的零点个数； (3)证明：，． 【答案】(1)递增区间是，递减区间是； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间. （2）求出函数的导数，按讨论单调性，借助零点存在性定理及函数最值情况分类得解. （3）由（2）可得，再利用不等式性质及累加法推理得证. 【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间是，递减区间是. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大，则函数存在唯一零点； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 当时，，当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大， 当趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，函数有2个零点； 当时，，函数存在唯一零点； 当时，，函数无零点，即零点个数为0， 所以当或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点； 当时，函数有0个零点. （3）由（2）知，当时，，当且仅当时取等号， 取，则， 因此， 所以. 考向四：隐零点与不等式证明 【典例4】（24-25高二下·四川南充·期中） 30．已知函数，． (1)求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若且时，求证． 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数求出函数的极值. （2）求出函数的导数，分类讨论求出函数的单调区间. （3）根据所证不等式构造函数，利用导数求出最小值即可得证. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 时，，时，， 所以函数在处取得极小值，无极大值. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，，不等式， 令函数，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而，则存在，使，即， 此时，，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 所以当时，. 【备考提醒】 在分析一个函数 的极值情况时，我们往往会通过求导的方法来分析，这个时候它的导函数对应的零点，就是 的极值点，也就是说 的极值是 ， 如果我们把导函数的零点式中一部分代回，来使得 变得更好分析，那么此时便称这个步骤为隐零点. 【举一反三】 （2025·河北秦皇岛·三模） 31．设函数． (1)求在点处的切线方程； (2)证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）在时，利用导数分别证明不等式与成立即可. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以的图象在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 由（1）知，函数在上单调递增， 而， 则存在，使得，即，当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 函数在上单调递减，则，于是； 令函数，求导得，函数在上单调递增， 则，即， 因此， 所以. （24-25高二下·湖北宜昌·期中） 32．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分、两种情况研究的正负性即可； （2）构造函数，研究其单调性，只需满足即可. 【详解】（1）定义域为， ， 令得和-1 ①若，则在上恒成立，则在单调递增； ②若，则由解得，解得， 则在上单调递减，在单调递增， 综上所述，时，在单调递增； 时，在上单调递减，在单调递增. （2）当时，， 欲证，只需证， 即证， 令， 则 又，则， 设，则，则在上单调递增， 又， 所以，使得，即，即， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以在单调递减，在上单调递增， 所以 所以，故命题得证. 考向五：极值点偏离与不等式证明 【典例5】（24-25高二下·广东广州·期中） 33．已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)已知函数有两个零点，， ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程； （2）①首先判断函数的单调性，以及极值，根据函数的零点个数判断，再通过构造函数，根据函数的单调性，以及零点，求解不等式的解集；②根据函数的单调性，转化为证明，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，即可证明. 【详解】（1）当时，， 则，所以，， 所以函数在点处的切线方程为，即； （2）①函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，在上单调递增，所以不可能有2个零点； 当时，当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时，，当时，， 所以要满足函数有2个零点，只需， 即， 整理得， 设，函数的定义域为， 则，所以在定义域上单调递增， 且，则不等式的解集为， 所以的取值范围为； ②由①知，，则， 要证明，即证明， 不妨设， 因为，所以， 又，函数在上单调递增， 此时需证明， 当，时， 可得， 因为，即证明， 设，函数的定义域为， 则 ， 所以在单调递增，则， ，所以， 所以， 即，命题得证. 【备考提醒】 极值点偏移问题是数学中的一个重要且有趣的现象，通常出现在导数与函数图像关系的考察中，以下是两种常见的极值点偏移问题解法： 一、对称构造函数法 1.适用情况‌：适用于函数图像左右对称或需证明与两个极值点之和、积相关的不等式的情况. 2.解题步骤‌： ①定函数‌：首先确定函数的极值点，这通常通过求导并令导数等于0来实现； ②构造函数‌：根据极值点构造对称函数； ③判断单调性‌：利用导数讨论的单调性； ④比较大小‌：判断函数在某段区间上的正负，从而得出与的大小关系； ⑤转化‌：利用函数的单调性，将与的大小关系转化为x与之间的关系，进而得到所证或所求. 二、代换法（包括比值代换和差值代换） 1.适用情况‌：适用于含参数的极值点偏移问题，通过代换简化问题. 2.解题步骤‌： ①建立关系‌：根据已知条件建立极值点之间的关系. ②代换变量‌：利用两个极值点之比（或差）作为新变量t，将原问题转化为关于t的函数问题. ③求解新函数‌：对新函数进行求解或证明. 【举一反三】 （24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习） 34．已知函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若恰有两个极值点． ①求的取值范围； ②证明：． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后结合二次函数的性质与极值点定义计算即可得；结合韦达定理可将证明转化为证明函数在上恒成立，借助导数结合零点的存在性定理可得存在，使，即，即可得，再利用对勾函数性质计算即可得. 【详解】（1）当时，， ，则 则的图象在处的切线方程为，即. （2）， 令，由恰有两个极值点， 则有两个不同实数根，且， 则有，即； 由知，，且， 则 ， 则要证，即证， 即， 令， ， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减， 又， 故存在，使，即， 则当时，时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 由，则， 即，即， 即可得证：. 【点睛】方法点睛：结合韦达定理可将证明转化为证明函数在上恒成立，借助导数结合零点的存在性定理可得存在，使，即，即可得，再利用对勾函数性质计算即可得. （24-25高三上·甘肃兰州·期中） 35．已知函数， (1)当时，恒成立，求a的取值范围； (2)设，为上不同的两点，设AB两点所在直线的斜率为K，证明： 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）将给定不等式作等价变形并分离参数，构造函数，利用导数求出最大值即可. （2）利用斜率的坐标公式求出，利用不等式的等价变形结合导数证明，利用不等式的等价变形结合（1）中信息证明即得. 【详解】（1）当时，不等式恒成立， 令，求导得，令， 求导得，函数在上单调递减，则，即， 函数在上单调递减，，于是， 所以a的取值范围是. （2）依题意，当时，， 不等式， 令， 于是函数在上单调递增，，因此； 要证，即证 ， 由（1）知，当，时，， 而，则，因此， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$