第04讲 空间向量及其运算的坐标表示（知识清单+易错+7必考题型）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（人教A版2019选修一）

第04讲 空间向量及其运算的坐标表示 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视夹角的意义而致错 题型方法 题型一 空间向量的坐标表示 题型二 空间向量线性运算的坐标表示 题型三 空间向量数量积的坐标表示 题型四 向量的模与两点间的距离 题型五 向量夹角 题型六 向量的平行与垂直 题型七 投影向量 知识清单 知识点01 空间直角坐标系及点的坐标 1．空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 2．相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 3．在空间直角坐标系Oxyz中， i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 4．空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) (0，y,0) (0,0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z) 注意点： (1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0. (2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. (3)建立的坐标系一般为右手直角坐标系． 知识点02 空间向量运算的坐标表示 1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 2.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 注意点： (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一致． (2)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (3)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量． 知识点03 夹角和距离的计算 1．空间两点间的距离公式： 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P1P2＝||＝ . 2．空间向量的夹角公式： 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉＝＝. 注意点： (1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆． (2)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，则||＝. 易错分析 【易错点一】忽视夹角的意义而致错 【例1】（24-25高二上·河北张家口·期末）已知空间向量，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】设与的夹角为， 所以. 则与的夹角的余弦值为. 故选：A. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·广东东莞·期中）已知向量，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量夹角余弦公式计算求角. 【详解】设与的夹角为, 所以,又因为,所以. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·安徽·期中）在空间直角坐标系中，已知，则是与夹角为锐角的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出与的夹角为锐角的的取值范围，与进行比较，根据充分必要条件的判定得解. 【详解】与的夹角为锐角，则要满足， 即且不等于1， 解得：且， 因为是的真子集， 所以是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件. 故选：B 【变式3】（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知向量，，则向量与的夹角为 . 【答案】 【分析】利用空间向量夹角的余弦公式可得结果. 【详解】∵，， ∴，，， ∴， ∴. 故答案为：. 题型方法 【题型一】空间向量的坐标表示 【例1】（24-25高二上·广东汕头·期末）已知空间直角坐标系中，O为坐标原点，点，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示得解. 【详解】依题意，. 故选：A 解题技巧 向量坐标的求法 (1)点A的坐标和向量 的坐标形式完全相同，其中O为坐标原点； (2)起点不在原点的向量，其坐标可以通过向量的运算求得． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·广东·期中）已知向量，，.若，，共面，则（   ） A．11 B． C．9 D．3 【答案】A 【分析】根据向量共面列方程，由此求得的值. 【详解】依题意，，，共面， 所以存在，使得， 即， 所以，解得. 故选：A 【变式2】（24-25高二上·北京丰台·期中）在空间直角坐标系中，若点关于轴的对称点为点，点关于平面的对称点为点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对称性求出点、的坐标，再利用空间向量的坐标运算可求得向量的坐标. 【详解】因为点关于轴的对称点为点，则， 因为点关于平面的对称点为点，则， 因此，. 故选：A. 【变式3】（23-24高二上·山东聊城·阶段练习）已知，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，为的中点，求的坐标.    【答案】. 【分析】利用空间坐标系中向量坐标求法，结合向量的运算进行求解. 【详解】易知的中线长为，则， ， 设分别是轴正方向上的单位向量，轴与的交点为， 则， . .    【题型二】空间向量线性运算的坐标表示 【例2】（24-25高二下·江苏扬州·期中）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案. 【详解】若，，则. 故选：D. 解题技巧 空间向量坐标运算的规律 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定． (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． (3)由条件求向量或点的坐标：把向量的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·广东深圳·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若，且三点共线，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据空间共线向量的坐标表示建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题意知，三点共线， 则存在实数，使得， 即，得，解得. 故选：A 【变式2】（23-24高二上·广东梅州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，然后由即可求解. 【详解】设，因为， 所以，得， 所以，故B正确. 故选：B. 【变式3】（22-23高二上·上海徐汇·期中）设正四面体ABCD的棱长为1，点M、N满足，，则 . 【答案】 【分析】 利用空间向量的坐标运算求两点间的距离. 【详解】 如图,将正四面体ABCD放在正方体中,则正方体的边长为, 因为，, 所以, 所以,所以. 故答案为：. 【题型三】空间向量数量积的坐标表示 【例3】（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知，，则的值为（    ） A．4 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：C 【举一反三】【变式1】（23-24高二下·江苏常州·期中）若，则（    ） A．10 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，求出、的坐标，再利用空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】因为，所以，， 则. 故选：D 【变式2】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知点，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设点，结合向量的数量积的运算公式，得到，根据二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为点在直线上运动，且，设点， 可得， 则， 根据二次函数的性质，可得时，取得最小值， 此时点的坐标为. 故选：A. 【变式3】（24-25高二上·山西阳泉·阶段练习）已知为坐标原点，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】由点在线上可知，向量共线，共线向量之间存在一个实数，使得两个向量相等，由此得出坐标，再分别求出和坐标，从而得出向量的数量积，再借助二次函数函数图像的性质，找到最小值点对应的，从而得出答案. 【详解】∵点在直线上运动，∴设（） ∴ ∴， ∴， 令 由二次函数的图形与性质可知：当，函数取最小值. 此时， ∴. 故答案为：. 【题型四】向量的模与两点间的距离 【例4】（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知空间中有两个动点，．则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】A 【分析】首先表示出，再由向量模的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：A 解题技巧 利用空间向量的坐标运算的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系． (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标． (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算． (4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题． 【举一反三】【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知平面，，，与平面成角，，则与之间的距离可能是（ ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】用空间向量的数量积及结合向量求距离的方法即可求解. 【详解】如图，因为，，所以． 作，垂足为，连接， 则或． 易知 . 因为， 所以原式. 若，则， 若，则， 故选：A 【变式2】（24-25高二上·新疆喀什·阶段练习）空间两点，间的距离是 . 【答案】 【分析】借助空间中两点间距离公式计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·江苏常州·期中）已知向量，，． (1)若，求； (2)若三个向量，，不能构成空间的一个基底，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据向量数量积的坐标运算求出的值，再求出的坐标，最后根据向量模的计算公式求出； （2）根据三个向量不能构成空间的一个基底可知这三个向量共面，利用向量共面的性质列出方程求解的值. 【详解】（1）已知，，可得,解得. 所以，则. 根据向量模的计算公式可得. （2）已知，，, 先求出. 因为三个向量不能构成空间的一个基底，所以这三个向量共面. 即存在实数，使得，则. 由此可得方程组.由可得，将其代入中，得到，解得. 把代入，可得. 再把，代入， 可得，解得. 【题型五】向量夹角 【例5】（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【详解】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出与，再根据计算可得. 【详解】因为， 所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以，即与的夹角为.故选：B 【变式2】（24-25高二上·福建·期中）已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用数量积大于0求解，即可去除同向共线时的情况求解. 【详解】若，则， 当时，则，解得，此时，方向相同， 故的夹角为锐角时，且， 故答案为： 【变式3】（22-23高二上·广东肇庆·阶段练习）已知空间三点，，，设，． (1)求，； (2)求与的夹角． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算即可； （2）根据空间向量夹角的坐标运算即可得到答案. 【详解】（1）由题意，，， （2）由（1）得：，； 所以， 又，所以，即与的夹角为. 【题型六】向量的平行与垂直 【例6】（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）设，向量，，，且，，则（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由有存在，即可解得，又得解得，进而求解. 【详解】由有存在，所以， 由有，所以，所以， 故选：D. 解题技巧 (1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解． (2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明． 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】求得，，结合，得到，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量，， 可得，， 因为，所以存在实数使得， 即，解得. 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知空间向量，，且满足，则 . 【答案】 【分析】由空间向量垂直向量的坐标表示求解即可. 【详解】，，且满足， 则，解得：. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）若，. (1)若，求实数k的值. (2)若，求实数k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用向量的坐标运算和向量共线的充要条件求出k的值； （2）直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件求出k的值． 【详解】（1）∵，， ∴ ， ∵， ∴，解得. （2）∵， ∴， 即， 解得. 【题型七】投影向量 【例7】（24-25高二上·云南昆明·期末）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的定义可得结果. 【详解】根根据空间中点的坐标确定方法知， 在空间中，点在坐标平面上的投影坐标，竖坐标为0，横坐标与纵坐标不变. 所以空间向量在坐标平面上的投影向量是：. 故选：C. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·河南新乡·期末）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量坐标运算求出数量积及模长，再结合投影向量公式计算即可. 【详解】由已知可得， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：D. 【变式2】（24-25高二上·福建福州·期中）已知空间向量，则向量在向量上投影向量的坐标是 . 【答案】 【分析】向量在向量上投影向量为，根据空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】向量在向量上投影向量为， 因为， 所以，， 所以向量在向量上投影向量的坐标为. 故答案为：. 【变式3】（21-22高二上·浙江·期中）已知点，，，向量. (1)若，求实数的值； (2)求向量在向量上上的投影向量. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由计算可得； （2）根据投影的定义计算出投影，再乘以同向的单位向量即可得． 【详解】（1），， 即，得； （2），，向量在上的投影为， 与同向单位向量为， 则向量在向量上上的投影向量为. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·陕西安康·期中）已知，则A，B两点间的距离为（    ） A． B． C．12 D．24 【答案】B 【分析】由空间两点间距离公式求解. 【详解】因为， 所以， 故选：B 2．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知由空间向量的坐标运算求得 ，根据数量积的运算律结合，即可得的值． 【详解】由已知，， 所以， 又，所以. 故选：D. 3．（24-25高二上·广西河池·期末）若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量求解公式进行计算，得到答案. 【详解】由于空间向量，， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：B 4．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知向量，，，若共面，则x等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理求解作答. 【详解】因为向量，，，且共面， 则存在实数，使得 ， 即， 所以，解得. 所以，即 故选：C 二、多选题 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．A，B，C三点共线 C． D．在上的投影向量为 【答案】AD 【分析】根据空间向量得出A选项，根据空间向量的平行得出B选项，根据空间向量数量积判断C，应用投影向量公式计算判断D. 【详解】对于A，由题意得，故A正确； 对于B，，不存在实数，使得， 所以三点不共线，故B错误； 对于C，，， 由， 即与不垂直，故C错误； 对于D，因，， 则在上的投影向量为，故D正确. 故选：AD. 6．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】AD 【分析】求出即可判断A，利用向量的数量积的坐标运算即可判断B，由在上的投影向量为计算即可判断C，计算夹角公式即可判断D. 【详解】，故A正确； ， 所以，所以与不垂直，故B错误； 在上的投影向量为，故C错误； ，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 7．（24-25高二下·甘肃·期中）已知向量，且，则 . 【答案】/2.5 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算即可. 【详解】因， 则， 解得. 故答案为：. 8．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 【答案】 【分析】根据题意，利用空间向量运算法则可求. 【详解】∵，∴， 即，解得. 故答案为：. 9．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】直接利用向量垂直的充要条件可求出的值，进而可求出的坐标，结合空间向量的模长公式可求出的值. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故，所以，故． 故答案为：． 10．（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为 . 【答案】 【分析】利用向量的数量积公式及投影向量的模的计算公式，即可求解. 【详解】因为向量，， 所以向量在向量上的投影向量，其模为. 故答案为： 11．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知空间四点，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】结合题意求出所需要的坐标和模长，再利用投影向量坐标公式求解即可. 【详解】由题意得，，，， 则，，， 设两向量所成的角为θ， 则向量在向量上的投影向量为 ， 故答案为： 四、解答题 12．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知向量. (1)求； (2)求； (3)求向量与的夹角． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解； （2）根据空间向量的数量积的坐标运算求解； （3）根据空间向量垂直的坐标表示计算即可得解. 【详解】（1）∵， ， . （2）， ， 则. （3）， ， ， 则， 所以向量与的夹角为. 13．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得出，可求出的值，求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值； （2）利用空间向量数量积的坐标运算可得出向量与夹角的余弦值. 【详解】（1）因为向量，，且，则，解得， 所以，，则， 故. （2）， 所以，. 因此，向量与夹角的余弦值为. 14．（24-25高二下·甘肃天水·期中）已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量AB在向量AC上的投影向量． 【答案】(1)的坐标为或 (2)； 【分析】（1）由已知可设，利用向量的模长公式求出的值，即可求出向量的坐标； （2）先求向量，再根据投影定义求. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为向量与平行， 所以可设，， 所以，因为， 所以， 所以， 所以或， 所以的坐标为或； （2）因为，，， 所以，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量， 所以. 15．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知. (1)求； (2)当时，求实数k的值. 【答案】(1)2 (2)－1 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示即可求解； （2）由平行得到，构造等式求解即可. 【详解】（1）， 所以 （2）因为， 若，则存在，使得 即， 所以，解得， 所以实数k的值为－1. 16．（21-22高二上·浙江·期中）已知点，，，向量. (1)若，求实数的值； (2)求向量在向量上上的投影向量. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由计算可得； （2）根据投影的定义计算出投影，再乘以同向的单位向量即可得． 【详解】（1），， 即，得； （2），，向量在上的投影为， 与同向单位向量为， 则向量在向量上上的投影向量为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 空间向量及其运算的坐标表示 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视夹角的意义而致错 题型方法 题型一 空间向量的坐标表示 题型二 空间向量线性运算的坐标表示 题型三 空间向量数量积的坐标表示 题型四 向量的模与两点间的距离 题型五 向量夹角 题型六 向量的平行与垂直 题型七 投影向量 知识清单 知识点01 空间直角坐标系及点的坐标 1．空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 2．相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 3．在空间直角坐标系Oxyz中， i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 4．空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) (0，y,0) (0,0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y,0) (0，y，z) (x,0，z) 注意点： (1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0. (2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. (3)建立的坐标系一般为右手直角坐标系． 知识点02 空间向量运算的坐标表示 1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 2.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． 注意点： (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一致． (2)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (3)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量． 知识点03 夹角和距离的计算 1．空间两点间的距离公式： 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P1P2＝||＝ . 2．空间向量的夹角公式： 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉＝＝. 注意点： (1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆． (2)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，则||＝. 易错分析 【易错点一】忽视夹角的意义而致错 【例1】（24-25高二上·河北张家口·期末）已知空间向量，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·广东东莞·期中）已知向量，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·安徽·期中）在空间直角坐标系中，已知，则是与夹角为锐角的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知向量，，则向量与的夹角为 . 题型方法 【题型一】空间向量的坐标表示 【例1】（24-25高二上·广东汕头·期末）已知空间直角坐标系中，O为坐标原点，点，则向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 解题技巧 向量坐标的求法 (1)点A的坐标和向量 的坐标形式完全相同，其中O为坐标原点； (2)起点不在原点的向量，其坐标可以通过向量的运算求得． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·广东·期中）已知向量，，.若，，共面，则（   ） A．11 B． C．9 D．3 【变式2】（24-25高二上·北京丰台·期中）在空间直角坐标系中，若点关于轴的对称点为点，点关于平面的对称点为点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二上·山东聊城·阶段练习）已知，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，为的中点，求的坐标.    【题型二】空间向量线性运算的坐标表示 【例2】（24-25高二下·江苏扬州·期中）若，，则（   ） A． B． C． D． 解题技巧 空间向量坐标运算的规律 (1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定． (2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． (3)由条件求向量或点的坐标：把向量的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·广东深圳·期末）在空间直角坐标系中，为坐标原点，若，且三点共线，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【变式2】（23-24高二上·广东梅州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（22-23高二上·上海徐汇·期中）设正四面体ABCD的棱长为1，点M、N满足，，则 . 【题型三】空间向量数量积的坐标表示 【例3】（24-25高二上·山西吕梁·期末）已知，，则的值为（    ） A．4 B．0 C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24高二下·江苏常州·期中）若，则（    ） A．10 B．8 C． D． 【变式2】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知点，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·山西阳泉·阶段练习）已知为坐标原点，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标是 ． 【题型四】向量的模与两点间的距离 【例4】（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知空间中有两个动点，．则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 解题技巧 利用空间向量的坐标运算的一般步骤 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系． (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标． (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算． (4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题． 【举一反三】【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知平面，，，与平面成角，，则与之间的距离可能是（ ） A． B． C．5 D． 【变式2】（24-25高二上·新疆喀什·阶段练习）空间两点，间的距离是 . 【变式3】（24-25高二下·江苏常州·期中）已知向量，，． (1)若，求； (2)若三个向量，，不能构成空间的一个基底，求实数的值． 【题型五】向量夹角 【例5】（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·福建·期中）已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是 ． 【变式3】（22-23高二上·广东肇庆·阶段练习）已知空间三点，，，设，． (1)求，； (2)求与的夹角． 【题型六】向量的平行与垂直 【例6】（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）设，向量，，，且，，则（   ） A．5 B．1 C． D． 解题技巧 (1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解． (2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明． 【举一反三】【变式1】（24-25高二下·甘肃庆阳·期中）已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知空间向量，，且满足，则 . 【变式3】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）若，. (1)若，求实数k的值. (2)若，求实数k的值. 【题型七】投影向量 【例7】（24-25高二上·云南昆明·期末）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·河南新乡·期末）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·福建福州·期中）已知空间向量，则向量在向量上投影向量的坐标是 . 【变式3】（21-22高二上·浙江·期中）已知点，，，向量. (1)若，求实数的值； (2)求向量在向量上上的投影向量. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·陕西安康·期中）已知，则A，B两点间的距离为（    ） A． B． C．12 D．24 2．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广西河池·期末）若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）已知向量，，，若共面，则x等于（    ） A． B．1 C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．A，B，C三点共线 C． D．在上的投影向量为 6．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 三、填空题 7．（24-25高二下·甘肃·期中）已知向量，且，则 . 8．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 9．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知，，且，则 ． 10．（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为 . 11．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知空间四点，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 . 四、解答题 12．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知向量. (1)求； (2)求； (3)求向量与的夹角． 13．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 14．（24-25高二下·甘肃天水·期中）已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量AB在向量AC上的投影向量． 15．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知. (1)求； (2)当时，求实数k的值. 16．（21-22高二上·浙江·期中）已知点，，，向量. (1)若，求实数的值； (2)求向量在向量上上的投影向量. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$