第04讲 充分条件与必要条件（知识清单+3易错+3必考题型）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（人教A版2019必修一）

第04讲 充分条件与必要条件 题型梳理 易错分析 易错点一 条件判断不全面而致误 易错点二 不能正确区分命题的条件与结论而致误 易错点三 条件探求中忽视要求而致误 题型方法 题型一 充分条件与必要条件的判断 题型二 充分条件与必要条件的探究 题型三 充分条件与必要条件的应用 知识清单 知识点01 充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 注意点： (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件或q是p的必要条件，或q的充分条件是p或p的必要条件是q. (3)充分、必要条件不唯一． 知识点02 充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且q⇏p 充分不必要条件 q⇒p，且p⇏q 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 p⇏q，且q⇏p 既不充分也不必要条件 注意点： (1)充要条件的判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件． (2)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价． 易错分析 【易错点一】条件判断不全面而致误 【例1】（25-26高一上·全国）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由推不出，例如，；由可得，或，，当，时不能推出，例如，，所以“”是 “”的既不充分也不必要条件. 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件定义判断即可. 【详解】当时，，且当时，，即当时，不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 【变式2】（24-25高一上·陕西·期末）若，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的定义判断. 【详解】由，可以推出，而等价于或，不能推出， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3】（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知为实数，且．则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用必要、充分条件的定义判断即可． 【详解】，推不出，例如：此时推不出“”， 反之，，推不出，例如：此时推不出“”， 所以是既不充分也不必要条件. 故选：D 【易错点二】不能正确区分命题的条件与结论而致误 【例2】（21-22高三上·江苏泰州·阶段练习）设，已知两个非空集合，，满足，则下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，可以判断是的子集，从而得出是的充分条件. 【详解】解：因为，非空集合，满足， 所以是的子集，即， 所以是的充分条件， 故选：A. 【举一反三】【变式1】（多选）（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知关于的方程，则下列说法正确的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为1 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个不等正根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【答案】BCD 【分析】根据根的判别式、韦达定理及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A：当时，则， 方程无实数根，故A错误； 对于B：若方程无实数根，则，解得， 所以方程无实数根的一个必要条件是，故B正确； 对于C：若方程有两个不等正根，则，解得， 故方程有两个不等正根的充要条件是，故C正确； 对于D：若方程有一个正根和一个负根，则，解得， 所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是，故D正确. 故选：BCD 【变式2】（多选）（20-21高一上·浙江·阶段练习）已知s是p的必要不充分条件，p是q的充分条件，q是r的充分条件，p是r的必要条件，则下列说法正确的是（    ） A．p是q的充要条件 B．q是r的充要条件 C．s是r的必要不充分条件 D．s是q的必要不充分条件 【答案】ABCD 【分析】先弄清楚，，，之间相互关系，再逐个查看选项． 【详解】解：s是p的必要不充分条件，p是q的充分条件，q是r的充分条件，p是r的必要条件； 所以有，，，，且推不出 由此得且， 所以是的充要条件，故A正确；是的充要条件，故B正确； 是的必要不充分条件，故C正确；是的必要不充分条件，故D正确； 故选：ABCD 【点睛】本题主要掌握必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于中档题． 【变式3】（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【答案】证明见解析. 【分析】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可. 【详解】充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 【易错点三】条件探求中忽视要求而致误 【例3】（24-25高一上·重庆·期中）命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的根为正实数，求得，即可根据真子集关系求解. 【详解】关于x的方程的根为正实数， 则需满足或，解得， 因此“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件设为， 则， 结合选项可知满足， 故选：B 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·广东河源·阶段练习）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】由命题“，”为真命题 可得，恒成立， 即可得，则可推得，必要性成立 而推不出，充分性不成立， ，”为真命题的一个必要不充分条件是； 故选：A 【变式2】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有解可得，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 【变式3】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知，.若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】． 【分析】确定命题，根据必要不充分条件，按和分类讨论列不等式解之． 【详解】由已知命题：， p是q的必要不充分条件，则或， 解得或，综上，． 故答案为：． 题型方法 【题型一】充分条件与必要条件的判断 【例1】（23-24高一上·北京·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解绝对值不等式，结合充分、必要性定义判断条件间的关系即可. 【详解】由，可得，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 解题技巧 　充分、必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立． (2)也可利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·贵州·期中）设，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义，结合条件间的推出关系判断充分、必要关系. 【详解】当时，满足，但不满足且，充分性不成立； 当且时，必有，必要性成立； 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 【变式2】（21-22高一上·河北唐山·期中）下列说法正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的必要条件 C．四边形对角线互相垂直是四边形为菱形的充要条件 D．“”是“” 的充分不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件对选项一一分析即可. 【详解】对于A，当时，满足，此时存在，故A错误； 对于B，，等价于或，故是的充分不必要条件，故B错误； 对于C，四边形对角线互相垂直是四边形为菱形的必要不充分条件，故C错误； 对于D，“”是“” 的充分不必要条件，故D正确； 故选：D 【变式3】（23-24高一上·河北唐山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．是的必要不充分条件 B．是的充分不必要条件 C．若，则p是q的充分条件 D．一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，反之，若，则不一定成立，例如， 所以是的必要不充分条件，正确； 对于B，若，则，反之，若，则不一定成立，例如， 所以是的必要不充分条件，错误； 对于C，若，则p是q的必要条件，错误； 对于D，若一个四边形是矩形，则它是平行四边形， 反之，若一个四边形是平行四边形，则它不一定是矩形， 所以一个四边形是矩形的必要条件是它是平行四边形，错误. 故选：A. 【题型二】充分条件与必要条件的探究 【例2】（24-25高一上·云南德宏·期末）等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对已知等式两边平方，根据绝对值的定义可得等式成立的充要条件. 【详解】因为， 两边平方得：， 所以，即， 所以等式成立的充要条件是. 故选：B 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·安徽合肥·期末）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据充分不必要条件的判定可得 【详解】各选项中，只有为或的真子集，其余均不为真子集， 故“”是“或”的一个充分不必要条件， 故选:C 【变式2】（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 【答案】 【分析】首先写成充要条件，再证明即可. 【详解】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 【变式3】（2023高一·全国·专题练习）若集合，，试写出： (1)的一个既充分也必要条件； (2)的一个必要条件但不是充分条件. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据集合，求出参数的取值范围， （2）由（1）即可求出的一个必要条件但不是充分条件. 【详解】（1）（1）因为集合，， 若，则， 故的一个既充分也必要条件是. （2）由（1）知的充要条件是， 所以的一个必要条件但不是充分条件可以是.（答案不唯一）. 【题型三】充分条件与必要条件的应用 【例3】（24-25高一上·江西赣州·期末）命题“”为真命题的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分不必要条件的定义判断可得答案. 【详解】要求命题“”为真命题的充分不必要条件， 只需要求是的非空真子集即可， 由选项可知，只有B满足题意， 故选：B. 解题技巧 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·上海松江·阶段练习）“”为“”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据必要不充分条件的定义求解即可. 【详解】由题意得是的真子集，故. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一上·云南玉溪·期中）已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由构造不等式即可求解； （2）由构造不等式即可求解； 【详解】（1）非空集合．可得：，解得： 由是的必要条件，可得：, 所以，解得：，综上实数的取值范围； （2）存在，由是的充分条件，则, 所以，解得：，所以实数的取值范围 【变式3】（24-25高一上·江西宜春·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合，再求即可； （2）由命题是命题的必要不充分条件得集合是集合的真子集，再分、讨论可得答案. 【详解】（1）， 若，则集合， 所以， 则=； （2）∵命题是命题的必要不充分条件， ∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，或， 解得， 综上所述，实数的取值范围为． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽·期中）使成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分不必要条件的判定即可得到答案. 【详解】设，则使成立的一个充分不必要条件是集合的真子集． 对照选项知只有B符合题意. 故选：B． 2．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】因为，若，由不等式的性质知，，即可以推出， 若，则有，所以，得到，即可以推出， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C. 3．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知实数，，则“”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】举例说明证明充分性，根据不等式的性质证明必要性，即可下结论. 【详解】若，令，则且不成立，故充分性不成立； 若且，则，故必要性成立， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 4．（21-22高二上·新疆和田·期末）下列语句中，不能成为命题的是（    ） A． B． C．若，则 D．三角形的三条中线交于一点 【答案】B 【分析】根据命题的定义判断即可. 【详解】由命题是用语言、符号、式子表达，可判断真假的陈述句知：A、C、D均为命题， 对于B，无法判断真假，故不是命题； 故选：B 5．（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，将充分不必要条件转化为真子集关系，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】设集合，集合， 因为的充分不必要条件是，所以是的真子集， 则，解得. 故选：D 6．（22-23高一上·湖北·期中）设：p：，q：，则p是q成立的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可. 【详解】令，， 由集合间的包含关系可知：集合是集合的真子集， 所以p是q的必要不充分条件， 故选：C. 二、多选题 7．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知集合，，若是的充分条件，则实数m的值可能为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】CD 【分析】分析得，再分是空集和不是空集讨论即可. 【详解】由题意得， 若是空集，显然满足题意，此时，解得， 若不是空集，则，解得， 综上，实数m的取值范围为或. 对比选项可知CD符合题意. 故选：CD. 8．（24-25高一上·海南儋州·期中）以下是的必要条件但不是充分条件的是（    ） A．：“是分数”，：“是有理数” B．：“”，：“” C．：“”，：“” D．：“”，：“” 【答案】BD 【分析】根据充分条件与必要条件的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，一方面若“是分数”，则必定有“是有理数”； 另一方面若“是有理数”，则不一定有“是分数”， 因为“可能是整数”， 所以“是分数”是“是有理数”的充分条件但不是必要条件，故A不符合题意； 对于B，若，则， 所以“”是“”的必要条件但不是充分条件，故B符合题意； 对于C，因为当且仅当，而当且仅当， 所以“”是“”的充要条件，故C不符合题意； 对于D，一方面设，则，但， 这说明了“”不是“”的充分条件， 另一方面若，则，这说明了“”是“”的必要条件， 结合以上两方面可知“”是“”的必要条件但不是充分条件，故D符合题意． 故选：BD. 9．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先解出不等式，再根据必要条件的定义判断即可. 【详解】由，解， 当满足时，必满足和， 而不一定满足和. 故选：AD. 10．（24-25高一上·湖南怀化·期中）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】ABD 【分析】利用充要条件的判断方法逐一判断即可，对于错误命题，只需举反例即可说明. 【详解】对于A：当时，；由解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，A正确； 对于B：由，可得则，可得； 而当时，，即由“”推不出“ ”， 故“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对于C：若，因时，无意义， 故“”不是“”的充分条件，即C不正确； 对于D：若，当时，不成立； 若，当时，不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 11．（24-25高一上·福建泉州·期中）集合，，则的一个充分不必要条件为 .（用表示） 【答案】（的范围为集合的真子集即可） 【分析】（只要能推出即可）. 【详解】因为集合，，且，则， 故使得的一个充分不必要条件为“”. 故答案为：（的范围为集合的真子集即可）. 12．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知命题甲：，命题乙：，则甲是乙的 条件. 【答案】必要不充分 【分析】根据题意，利用充分条件、必要条件的判定法方法，结合特例和不等式的性质，即可求解. 【详解】当时，满足命题甲：，此时命题乙不成立，即充分性不成立； 反之：若命题乙：成立时，可得命题甲一定成立，即必要性成立， 所以命题甲是命题乙成立的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 13．（24-25高一上·河北·期中）已知，，则是的 条件（在“充要”“充分不必要”“必要不充分”中选一个填入）. 【答案】充分不必要 【分析】求得，，根据充分条件和必要条件的概念可得结论. 【详解】由，得， 由，可得，显然由可以推出，由推不出， 所以是的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 14．（24-25高一上·上海·期中）设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】把充分关系转化为子集关系，即可求解. 【详解】由是的充分条件，且：，：， 可得：是的子集， 所以：. 故答案为：. 15．（24-25高一上·天津西青·阶段练习）已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】通过集合关系即可求解. 【详解】由是成立的一个充分不必要条件， 可知：， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 四、解答题 16．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分别求出，，再根据集合的交集运算即可； （2）由于是的必要不充分条件，可知是的真子集，再根据集合关系求出的范围即可． 【详解】（1）， 当时，或． ． （2）因为，或． 是的必要不充分条件，所以或， 所以或． 17．（20-21高一上·重庆九龙坡·期中）若集合，，试写出： （1）的一个充要条件； （2）的一个必要不充分条件. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）首先求出集合，再根据集合，求出参数的取值范围， （2）由（1）即可求出的一个必要不充分条件； 【详解】解：因为集合， 所以集合，， （1）若，则， 故的一个充要条件是. （2）由（1）知的充要条件是， 所以的一个必要不充分条件可以是.（答案不唯一） 18．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知：关于的方程有实数根，. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题是真命题，可得命题是假命题，再借助，求出的取值范围作答. （2）由命题是命题的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答. 【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题， 即关于的方程无实数根， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，若命题是真命题，则， 因为命题是命题的必要不充分条件， 则是的真子集， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 19．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 20．（24-25高一上·河南漯河·期中）已知集合，. (1)当时，求实数的范围； (2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，运算求解即可； （2）分析可知集合B是集合A的真子集，分和两种情况，结合包含关系列式求解. 【详解】（1）当，则，解得， 所以实数的范围为. （2）因为是的必要不充分条件，可知集合B是集合A的真子集， 若时，则，解得，符合题意； 若时，则，解得； 综上所述：实数的范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 充分条件与必要条件 题型梳理 易错分析 易错点一 条件判断不全面而致误 易错点二 不能正确区分命题的条件与结论而致误 易错点三 条件探求中忽视要求而致误 题型方法 题型一 充分条件与必要条件的判断 题型二 充分条件与必要条件的探究 题型三 充分条件与必要条件的应用 知识清单 知识点01 充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 注意点： (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件或q是p的必要条件，或q的充分条件是p或p的必要条件是q. (3)充分、必要条件不唯一． 知识点02 充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且q⇏p 充分不必要条件 q⇒p，且p⇏q 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 p⇏q，且q⇏p 既不充分也不必要条件 注意点： (1)充要条件的判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件． (2)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价． 易错分析 【易错点一】条件判断不全面而致误 【例1】（25-26高一上·全国）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高一上·陕西·期末）若，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式3】（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知为实数，且．则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【易错点二】不能正确区分命题的条件与结论而致误 【例2】（21-22高三上·江苏泰州·阶段练习）设，已知两个非空集合，，满足，则下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件 【举一反三】【变式1】（多选）（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知关于的方程，则下列说法正确的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为1 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个不等正根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【变式2】（多选）（20-21高一上·浙江·阶段练习）已知s是p的必要不充分条件，p是q的充分条件，q是r的充分条件，p是r的必要条件，则下列说法正确的是（    ） A．p是q的充要条件 B．q是r的充要条件 C．s是r的必要不充分条件 D．s是q的必要不充分条件 【变式3】（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【易错点三】条件探求中忽视要求而致误 【例3】（24-25高一上·重庆·期中）命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·广东河源·阶段练习）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·甘肃兰州·阶段练习）已知，.若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 . 题型方法 【题型一】充分条件与必要条件的判断 【例1】（23-24高一上·北京·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解题技巧 　充分、必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立． (2)也可利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·贵州·期中）设，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式2】（21-22高一上·河北唐山·期中）下列说法正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的必要条件 C．四边形对角线互相垂直是四边形为菱形的充要条件 D．“”是“” 的充分不必要条件 【变式3】（23-24高一上·河北唐山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．是的必要不充分条件 B．是的充分不必要条件 C．若，则p是q的充分条件 D．一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形 【题型二】充分条件与必要条件的探究 【例2】（24-25高一上·云南德宏·期末）等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·安徽合肥·期末）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2】（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 【变式3】（2023高一·全国·专题练习）若集合，，试写出： (1)的一个既充分也必要条件； (2)的一个必要条件但不是充分条件. 【题型三】充分条件与必要条件的应用 【例3】（24-25高一上·江西赣州·期末）命题“”为真命题的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 解题技巧 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·上海松江·阶段练习）“”为“”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围为 ． 【变式2】（23-24高一上·云南玉溪·期中）已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【变式3】（24-25高一上·江西宜春·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽·期中）使成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·四川泸州·期中）已知实数，，则“”是“，且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（21-22高二上·新疆和田·期末）下列语句中，不能成为命题的是（    ） A． B． C．若，则 D．三角形的三条中线交于一点 5．（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知：，，若的充分不必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·湖北·期中）设：p：，q：，则p是q成立的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 7．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知集合，，若是的充分条件，则实数m的值可能为（    ） A． B． C．0 D． 8．（24-25高一上·海南儋州·期中）以下是的必要条件但不是充分条件的是（    ） A．：“是分数”，：“是有理数” B．：“”，：“” C．：“”，：“” D．：“”，：“” 9．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·湖南怀化·期中）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的既不充分也不必要条件 三、填空题 11．（24-25高一上·福建泉州·期中）集合，，则的一个充分不必要条件为 .（用表示） 12．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知命题甲：，命题乙：，则甲是乙的 条件. 13．（24-25高一上·河北·期中）已知，，则是的 条件（在“充要”“充分不必要”“必要不充分”中选一个填入）. 14．（24-25高一上·上海·期中）设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 . 15．（24-25高一上·天津西青·阶段练习）已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 16．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）已知集合，或 (1)当时，求； (2)若，或，且p的必要不充分条件是q，求实数m的取值范围. 17．（20-21高一上·重庆九龙坡·期中）若集合，，试写出： （1）的一个充要条件； （2）的一个必要不充分条件. 18．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知：关于的方程有实数根，. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 19．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 20．（24-25高一上·河南漯河·期中）已知集合，. (1)当时，求实数的范围； (2)设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$