第八章立体几何初步复习讲义（2）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

立体几何复习讲义（2）（解析版） 姓名___________ 班级___________学号____________ 本章知识框架 1、 知识梳理 空间点、直线、平面的位置关系 1.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β 性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 3.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质 如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线. 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 4.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角 (2)范围：; (3)斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角. (4)求解方法：①作垂线，定义法；②等体积法. 5.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB. (3)二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180° (4)作二面角的平面角的主要方法： a.定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角； b.三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角； c.垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角； d.面积射影法：利用面积射影公式，为平面角的大小. 6.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 1.平行垂直关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，但垂直于同一条直线的两条直线不一定平行； (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，但垂直于同一个平面的两个平面不一定平行; (3)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. 2.三种平行、垂直关系的转化 2、 典例分析 若底面半径为，母线长为的圆锥的表面积与直径为的球的表面积相等，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用圆锥表面积以及球的表面积公式构造方程即可. 【解答过程】易知圆锥的表面积为，球的表面积为， 故，即， 解得（负舍）. 故选：B. 正方体中，为的中点，则直线与直线所成角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用正方体的性质，通过平行至相交直线所成角，再利用余弦定理即可求解. 【解答过程】 如图，设为底面中心，为上底面中心，易得， 所以异面直线与所成的角就是或其补角， 设正方体的棱长为，可得，，， 由余弦定理得：， 所以，异面直线与所成的角是， 故选：C. 以P为顶点，圆O为底面的圆锥中，轴截面为等边三角形，M为底面圆O上一点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先得出异面直线OM与AP所成角即为（或其补角），在中利用余弦定理求解即可. 【解答过程】 如图，过点A作，交圆O于点N，连接ON，PN， 则即异面直线OM与AP所成角或其补角， 设 ,可知, 则， 因为轴截面PAB为等边三角形，所以， 在中，由余弦定理得， , 所以异面直线OM与AP所成角的余弦值为. 故选：D. 大小不同的两个圆台的底面圆周都在同一个球面上，并且两个圆台的公共底面圆周是球的大圆，若小圆台的高为，大圆台的高为，球的半径为，且，则小圆台与大圆台的体积比为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】作圆台与圆公共的轴截面，根据几何关系可得大小圆台的上地半径比例，进而根据圆台公式求解即可. 【解答过程】作圆台与圆公共的轴截面，设. 易得小圆台上底的半径，大圆台上底的半径， 则，. 故. 故选：D. 已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，是圆锥的轴截面，设圆锥的底面圆半径为. 若,所得截面面积最大值为,则,故不符合题意； 若，此时所得截面面积得最大值为，符合题意， 此时有，解得，又，则. 故选：D. 在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】B 【解析】在正方体中，取，， 连接，，，，，，如下图所示： 因为在正方体中，，分别是棱和上的点，，， 所以，且，则四边形为平行四边形，则，， 又因为，且，所以四边形为平行四边形， 则，， 所以，，所以为平行四边形， 则正方体中过点，，的截面形状为四边形. 故选：B 在长方体中，若分别为的中点，过点作长方体的一截面，则该截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，做出截面，然后分别计算各边长即可得到结果. 【解答过程】 连接，过点做交于点，连接，即可得到截面， 因为为中点，，所以， 因为，则，且， ， 所以截面的周长为 故选:D. 如图，在正三棱柱中，，直线与平面所成角的正切值为，则正三棱柱的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用线面角的正切求出，再求出正三棱柱的外接球半径，再得出球的表面积即可. 【解答过程】在正三棱柱中，取的中点，连接，如图， 则， 由平面，平面，得，又， 平面，因此平面， 所以是直线与平面所成的角， 则，由，得，而， 则，， 因此正三棱柱的外接球球心到平面的距离， 而的外接圆半径， 所以正三棱柱的外接球的半径， 所以. 故选：D. 在四棱锥中，平面，，，与平面所成角为，底面为直角梯形，，则点到平面的距离为（    ）    A． B．2 C． D． 【解题思路】利用线面角的定义求得，进而求得，再利用线面垂直的判定与性质定理证得平面，从而得解. 【解答过程】在平面中过作，垂足为，    因为平面， 所以为与平面所成角，则， 又平面，所以，又，所以， 所以，， 因为，则， 因为平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以为点到平面的距离，即所求为. 故选：C. 如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据棱台的体积公式，求出，即可解出. 【解答过程】设四棱台的高度为，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6， 则， 所以. 故选：D. （多选题）如图，在正方体中，为四边形内（含边界）的一个动点，且，则（ ） A．与一定是异面直线 B．三棱锥的体积为定值 C．平面 D．异面直线与所成角的范围为 【答案】BCD 【解析】对于A选项，连接、、、， 因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证， 因为，、平面，所以平面， 因为为四边形内（含边界）的一个动点， 故当时，平面，则，故点的轨迹为线段， 当点与点重合时，因为且，则四边形为平行四边形， 此时，A错； 对于B选项，连接、、、， 在正方体中，平面平面， 因为平面，所以，点到平面的距离为定值， 又因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值， 即三棱锥的体积为定值，B对； 对于C选项，连接， 因为且，故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，C对； 对于D选项，因为，所以异面直线与所成角等于直线与所成的角， 易知为等边三角形，如下图所示： 当点为的中点时，，此时，直线与所成的角取最大值， 当点与点或点重合时，直线与所成的角取最小值， 因此，异面直线与所成角的范围为，D正确. 故选：BCD 【变式8-2】（多选题）（2025·高三·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．点到平面的距离为定值 B．直线与所成角的取值范围为 C．的最小值为 D．若为线段上的动点，且平面，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】选项A：如图1，由题易知，因为平面，平面， 所以平面， 所以动点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，A正确. 选项B：直线与所成的角即直线与所成的角， 当为的中点时，所成的角最大，为， 当与（或）重合时，所成的角最小，为， 所以与所成角的取值范围为，B正确. 选项C：将沿直线翻折，使其与平面共面， 记翻折后点对应的点为，连接，如图2， 则，在中，由余弦定理可得： ， 即的最小值为，C错误. 选项D：如图3，过作于点，连接， 则，平面，平面，所以平面， 又平面，，，平面， 所以平面平面，则平面， 又平面，平面平面，所以. 设，则，，且， 所以， 当且仅当时等号成立，D正确. 故选；ABD （多选）*如图，已知菱形的边长为2，，将沿翻折为三棱锥，点为翻折过程中点的某一位置，则下列结论正确的是（   ） A．无论点在何位置，总有 B．点存在两个位置，使得成立 C．当平面平面时，异面直线与所成角的余弦值为 D．当时，为上一点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】选项A，设菱形对角线的交点为， 如图所示，无论点在何位置，总有，， 因为，，平面，平面，， 所以平面，又因为平面，所以成立，选项A正确； 选项B，点旋转到使得平面平面成立时，取得最大值， 其中 使得成立，只有平面平面成立时的一个点，选项B错误； 选项C，因为， 所以异面直线与所成角即为（或其补角）， 因为平面平面，且平面平面， ，所以平面，平面， 即有， 因为菱形的边长为2，， 所以， 所以， 在中，，选项C正确； 选项D，当时，易得，都为正三角形，取最小值时，点为中点，的最小值为，选项D不正确. 故选：ACD. 为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为，该雕塑内可容纳最大球的表面积为，该雕塑外接球表面积为，则 ， ．    【答案】 【解析】 如图，设两个正方形的中心为，连接，    因为旋转了45°，所以, 由对称性可设， ， 所以，则， 所以, 该雕塑底面可容纳的最大的圆的半径, 所以该雕塑可容纳的最大的球的半径也为， 外接球的半径为 , ， 故答案为：；. 已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 . 【答案】 【解析】如图所示，等腰梯形为圆台轴截面， 内接圆与梯形切于点，其中分别为上、下底面圆心， 则梯形的腰长，即圆台的母线长为， 所以该圆台的表面积为. 故答案为：. 在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为 【答案】 【解析】由题意得， 设球的半径为，的外接圆的圆心为，的中点为， 连接，则点在上，且， ， 因为平面，平面，所以， 所以， ， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，解得， 所以三棱锥的内切球的表面积为 . 故答案为：. 如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面. 下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为面，面， 所以面， 因为E在棱PD上且，即， 又因为， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面． (1)求证：为线段中点； (2)若点在棱上，猜想：当为何值时，有平面平面，并证明你的猜想． 【解题思路】（1）根据面面平行的性质定理证得，由此证得为线段中点. （2）当为中点时，由面面垂直上可得平面，进而可得平面，可得结论. 【解答过程】（1）依题意平面平面， 由于平面平面，平面平面， 所以，由于底面是平行四边形，点为的中点， 所以为线段中点. （2）存在，，即为中点时，平面平面， 证明如下：连接交于点，连接． 因为，所以四边形为平行四边形， 所以是的中点．又因为为中点，所以． 因为为等边三角形，点为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又，所以平面， 又平面，所以平面平面． 当时，有平面平面． 如图，平面，底面为矩形，于点于点．    (1)求证：平面； (2)设平面交于点，求证：． 【解析】（1）为矩形， 平面平面 ， 又与平面， 平面． 又平面 又与平面， 平面. （2）由（1）知，平面 又与平面 平面；平面，所以； 为矩形 平面是平面内两条相交直线 平面 平面 平面平面， . 如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【解析】（1）由O是的交点，又为正方形，则O为的中点，又D是中点， 在中，又面面，故平面. （2）三棱柱中，，且， 易知是等腰直角三角形，点D是棱的中点， 所以， 四边形为正方形，，则， 又，而，且，则， 由在面内，则面，面， 所以，而，在面内， 则面，面，故，所以， 由，则，又， 若到平面的距离为d，则，可得. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点． (1)求证：平面平面PAC； (2)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由． 【解题思路】（1）根据题意可得，，可得平面PAC，即可得面面垂直； （2）取的中点，可证平面CMN∥平面PAE，结合平行性质分析求解. 【解答过程】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，则， 又因为底面ABCD为菱形，则， 且，平面PAC，可得平面PAC， 由平面，可得平面平面PAC. （2）存在，理由如下： 取的中点，连接， 则∥，则平面PAE，平面PAE，则∥平面PAE， 因为分别为的中点，则∥，， 可知为平行四边形，则∥， 且平面PAE，平面PAE，则∥平面PAE， 又因为，平面CMN，可得平面CMN∥平面PAE， 由题意可知：平面，， 若CF∥平面PAE，则平面CMN，可知点即为点N， 所以存在点F为的中点，使得CF∥平面PAE. 如图，在四面体中，平面，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且． (1)求证：平面． (2)若三角形为边长为2的正三角形，，求异面直线和所成角的余弦值 ． 【解析】（1）如图所示，取中点O，且P是中点， ∴ ， 取的四等分点H，使，且， ∴ ， ∴， ∴ 四边形为平行四边形， ∴ ，在平面外，且平面， ∴ 平面． （2）取的中点E，连接，易知， 则或其补角为异面直线和所成的角， 因为平面，平面， 所以，即， 显然，所以为直角三角形， 通过解三角形可得， 即异面直线和所成角的余弦值为． 在如图所示的圆柱中，AB是底面圆的直径，PA是圆柱的母线，且，设点C（与不重合）是底面圆周上的动点． (1)求证：平面； (2)当二面角P-BC-A的大小为时，求点C到平面PAB的距离； (3)记点D是线段PB的中点，点E在线段PA上，若，求的最小值． 【解析】（1）由AB是圆柱底面圆的直径，是底面圆周上除外的点，得， 而平面，平面，则，又平面， 所以平面. （2）由（1）知，平面，平面，则，而， 于是为二面角的平面角，，在中，，， 设点到面的距离为，由，得， 即，则 所以点到面的距离. （3）延长至，使得，则 因此，当且仅当为与的交点时取等号， 取的中点，连接，由点D是线段PB的中点，得，则平面， 平面，于是，又，则， 所以的最小值为. 如图，在正四棱锥中，底面边长为2，高为4． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求二面角的余弦值． 【解析】（1）在正四棱锥中，连接，取中点，连接 则为正方形的中心，平面，是直线与平面所成的角， 由，得，而， 在中，， 即直线与平面所成角的正切值为； （2）在中，过作于，连接， 由≌，得，而， 则≌，，即， 因此是二面角的平面角，， ，， ，在中，，， 即二面角的余弦值为. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，面，是的中点，，. (1)证明：平面 (2)证明：平面平面； (3)求点到平面的距离. 【解析】（1） 取的中点，连接, 因为，所以, 因为分别是中点，得出 所以四边形是平行四边形， 所以平面,不在平面内, 所以平面. （2）因为平面,平面,, 因为，所以, 所以 因为,所以, 平面,平面, 所以平面,又平面, 所以平面平面. （3）设点到平面的距离为, 因为, 所以, 在中，， 又因为, 所以,即得. 如图，已知四棱台中，，，且，Q为线段中点，    (1)求证：平面； (2)若四棱锥的体积为 ①求证：平面； ②求与平面夹角的正弦值． 【解析】（1）分别延长线段，，，交于点，将四棱台补成四棱锥， 由，得，则，取的中点，连接，， 则，且，四边形为平行四边形. 因此，又平面，平面， 所以平面. （2）①由（1）得，， 又等腰梯形的高，其面积， 设到平面距离为，则，得， 而，平面，平面，则平面， 因此点D到平面的距离等于点C到平面的距离， 所以平面. ②在等腰梯形中，过作于，连接，，， 由①知，平面，则是与平面的夹角， ，则， 所以与平面夹角的正弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 立体几何复习讲义（2）（无答案版） 姓名___________ 班级___________学号____________ 本章知识框架 1、 知识梳理 空间点、直线、平面的位置关系 1.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 性质定理 一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 3.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 性质 如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线. 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 4.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角 (2)范围：; (3)斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角. (4)求解方法：①作垂线，定义法；②等体积法. 5.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB. (3)二面角的平面角α的范围：0°≤α≤180° (4)作二面角的平面角的主要方法： a.定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角； b.三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角； c.垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角； d.面积射影法：利用面积射影公式，为平面角的大小. 6.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 1.平行垂直关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，但垂直于同一条直线的两条直线不一定平行； (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，但垂直于同一个平面的两个平面不一定平行; (3)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. 2.三种平行、垂直关系的转化 2、 典例分析 1.若底面半径为，母线长为的圆锥的表面积与直径为的球的表面积相等，则（    ） A． B． C． D． 2.正方体中，为的中点，则直线与直线所成角为（    ） A． B． C． D． 3.以P为顶点，圆O为底面的圆锥中，轴截面为等边三角形，M为底面圆O上一点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4.大小不同的两个圆台的底面圆周都在同一个球面上，并且两个圆台的公共底面圆周是球的大圆，若小圆台的高为，大圆台的高为，球的半径为，且，则小圆台与大圆台的体积比为（    ） A． B． C． D． 5.已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（    ） A． B． C． D． 6.在正方体中，，分别是棱和上的点，，，那么正方体中过点，，的截面形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 7.在长方体中，若分别为的中点，过点作长方体的一截面，则该截面的周长为（    ） A． B． C． D． 8.如图1，在正三棱柱中，，直线与平面所成角的正切值为，则正三棱柱的外接球的表面积为（ ） A. B． C． D． 9.如图2，在四棱锥中，平面，，，与平面所成角为，底面为直角梯形，，则点到平面的距离为（    ） A． B．2 C． D． 图1 图2 10.如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 11.（多选）如图3，在正方体中，为四边形内（含边界）的一个动点，且，则（ ） A．与一定是异面直线 B．三棱锥的体积为定值 C．平面 D．异面直线与所成角的范围为 图3 图4 图5 12.（多选）如图5，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．点到平面的距离为定值 B．直线与所成角的取值范围为 C．的最小值为 D．若为线段上的动点，且平面，则的最小值为 13.（多选）*如图，已知菱形的边长为2，，将沿翻折为三棱锥，点为翻折过程中点的某一位置，则下列结论正确的是（   ） A．无论点在何位置，总有 B．点存在两个位置，使得成立 C．当平面平面时，异面直线与所成角的余弦值为 D．当时，为上一点，则的最小值为 14.为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为，该雕塑内可容纳最大球的表面积为，该雕塑外接球表面积为，则 ， ． 15.已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为 . 16.在三棱锥中，底面正三角形的边长为，侧棱长为，若球与三棱锥内切，则该三棱锥的内切球的表面积为____________. 17.如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 18.如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面． (1)求证：为线段中点； (2)若点在棱上，猜想：当为何值时，有平面平面，并证明你的猜想． 19.如图，平面，底面为矩形，于点于点． (1)求证：平面； (2)设平面交于点，求证：． 20.如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 21.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点． (1)求证：平面平面PAC； (2)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由． 22.如图，在四面体中，平面，M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且． (1)求证：平面． (2)若三角形为边长为2的正三角形，，求异面直线和 所成角的余弦值 ． 23.在如图所示的圆柱中，AB是底面圆的直径，PA是圆柱的母线，且， 设点C（与不重合）是底面圆周上的动点． (1)求证：平面； (2)当二面角P-BC-A的大小为时，求点C到平面PAB的距离； (3)记点D是线段PB的中点，点E在线段PA上，若，求的最小值． 24.如图，在正四棱锥中，底面边长为2，高为4． (1)求直线与平面所成角的正切值； (2)求二面角的余弦值． 25.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，， 面，是的中点，，. (1)证明：平面 (2)证明：平面平面； (3)求点到平面的距离. 26. 如图，已知四棱台中，，，且，Q为线段中点，  (1)求证：平面； (2)若四棱锥的体积为 ①求证：平面；②求与平面夹角的正弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$