专题1.1 空间向量及其运算（高效培优讲义）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

专题1.1 空间向量及其运算 教学目标 1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解. 2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断. 3．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解. 教学重难点 1.重点 空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算. 2.难点 空间向量的共线定理、共面定理及推论. 知识点01 空间向量的有关概念 1．空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：空间向量的大小．(3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. 【即学即练】 1.【多选】给出下列命题，其中正确的命题是（       ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量，，满足，，则 【解析】依据向量相等的概念，选项A判断错误； 若向量是向量的相反向量，则.选项B判断正确； 依据向量相等的概念，在正方体中，.选项C判断正确； 依据向量相等的概念，若空间向量，，满足，，则.选项D判断正确. 故选：BCD. 2.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 【解析】对于A，与的方向相反，因而不是相等向量，所以A错误； 对于B，与的方向相反，因而不是相等向量，所以B错误； 对于C，与的方向不同，因而不是相等向量，所以C错误； 对于D，与的方向相同，大小相等，是相等向量，因而D正确．故选D 知识点02 空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律:结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【即学即练】 已知正方体ABCD­A1B1C1D1，则下列各式运算结果不是的为(　　) A．＋＋ B．＋＋ C．＋＋ D．＋＋ 【解析】选项A中，＋＋＝＋＝；选项B中，＋＋＝＋(＋)＝＋＝；选项C中，＋＋＝＋＝；选项D中，＋＋＝＋(＋)＝＋≠.故选D. 知识点03 共线问题 共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 【即学即练】 1.已知空间四边形ABCD，点E､F分别是AB与AD边上的点，M､N分别是BC与CD边上的点，若，，，，则向量与满足的关系为（       ） A． B． C． D． 【解析】由，，得，所以共线，同理，由，，得，所以共线，所以共线，即. 故选：B. 2.在下列命题中： ①若向量共线，则所在的直线平行； ②若向量所在的直线是异面直线，则一定不共面； ③若三个向量两两共面，则三个向量一定也共面； ④已知三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为. ⑤若与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面． 其中正确命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】此题考查向量的知识点；对于①：根据两向量共线定义知道，两向量共线有可能两向量所在的直线重合，所以此命题错误；对于②：两个向量可以平移到一个平面内，所以此命题错误；对于③：若三个向量两两共面，这三个向量有可能不共面，所以此命题错误；对于④：根据空间向量的基本定理知道，这三个向量要不共面才可以，所以此命题错误，对于⑤,若与是平面上互不平行的向量，即与可以作为平面上的一组基底，点，点，但是直线可以平行平面，则与、共面，故⑤错误． 所以选A 知识点04 向量共面问题 共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. 【即学即练】 1.下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面； 对于B选项，，，所以点与、、三点不共面； 对于C选项，，，所以点与、、三点不共面； 对于D选项，，,所以点与、、三点共面.故选：D. 2.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（       ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AB 【详解】，A选项中向量共面；，B选项中向量共面；假设，，共面，则存在实数使得，则共面，与已知矛盾，因此C选项中向量不共面；同理D选项中向量也不共面．故选：AB． 知识点05 空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 【即学即练】 如图，在三棱锥中，平面，，，． (1)确定在平面上的投影向量，并求； (2)确定在上的投影向量，并求． 【答案】(1)在平面上的投影向量为，；(2)在上的投影向量为，. (1)因为平面，所以在平面上的投影向量为， 因为平面，面，可得，所以，因为，所以， 所以. (2)由（1）知：，，所以在上的投影向量为： ， 由数量积的几何意义可得：. 知识点06 利用数量积证明空间垂直关系 当a⊥b时，a·b＝0. 【即学即练】 如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求；(2)求与的夹角的大小余弦值；(3)判断与是否垂直． 【解析】(1)正方体中， ,故; (2)由题意知, , , ，故， 故 ，故与的夹角的大小余弦值为 ； (3)由题意， , , 故与垂直. 知识点07 夹角问题 1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：，那么空间两个向量、的夹角的余弦。 2.利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 【即学即练】 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求: (1)的长; (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)(2) (1)，，故，所以的长为； (2) ，由（1）知：， 设直线与所成角为∴， ∴直线与所成角的余弦值为. 知识点08 空间向量的长度 1.定义：在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广：；。 2.利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 【即学即练】 1.如图，棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形），是棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，. (1)用向量，，表示；(2)求. 【答案】(1).(2). 【解析】(1)解：，所以； (2)解：因为 .又因为四面体是正四面体， 则，， ，所以. 2.如图，在平行四边形中，且，将沿折起，使与所成的角为60°． (1)求；(2)求点，间的距离． 【答案】(1)2或-2(2)或 (1)解：由已知得，翻折后与所成的角为60°，所以或120°， 所以，或． (2)解：连接，由已知得，， 则， 所以或5，解得或，即点，间的距离为或． 题型01 空间向量的有关概念及线性运算 【典例1】在长方体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用 空间向量的线性运算结合向量相等即可求解. 【详解】. 故选：C. 在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换． 【变式1】下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】ABC 【分析】根据空间向量的定义直接判断. 【详解】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误； B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误； C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小； D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确； 故选：ABC. 【变式2】已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减运算法则和相反向量的概念判断即可 【详解】 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C 【变式3】下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【答案】D 【分析】根据相等向量的概念判断A；根据空间向量的概念判断B；根据空间向量模的定义判断C；根据共线向量的定义判断D. 【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确； 对于C，向量的模是一个非负实数，因此C不正确； 对于D，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确. 故选：D. 题型02 共线向量定理的应用 【典例1】在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，当 时，． 【答案】1 【分析】将点P和点Q满足的向量式转化，分析得出P,Q的位置，然后利用线面垂直的判定以及性质即可求得答案. 【详解】，又， 所以点P在射线上； ，又， 所以点Q在射线上；    因为当变化时，平面，故只需考虑过且与平面垂直的线， 因为正方体有平面，而平面，所以 又，平面，所以平面， 平面，所以， 所以当点Q在上时，即时， 故答案为：1. 利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 【变式1】已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【分析】根据三点共线的推理即可求得，. 【详解】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 【变式2】如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（    ）    A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为线段 C．存在，使得 D．存在，使得平面 【答案】ABC 【分析】利用向量的线性运算逐一计算判断即可. 【详解】对于A：由，得点在侧面内（含边界）， 若，则，故点的轨迹为线段，故A正确； 对于B：若，则，所以，即， 又，故点的轨迹为线段，故B正确； 对于C：分别取棱的中点，连接，由题意易证平面， 当点在线段上时，，故存在，使得，故C正确； 对于D：若使平面，则点必在棱上，此时，故不存在， 使得平面，故D错误. 故选：ABC.    【变式3】向量与非零向量平行的充要条件是（    ） A． B． C．存在实数k，使 D．存在实数k，使 【答案】D 【详解】如果，则，不成立，故A错误， 如果，则，故平行，但不成立，因为无意义，故B错误. 对于C，不成立，因为是向量，而是实数，故C错误. 对于D，由向量共线定理可得： 向量与非零向量平行等价于存在实数k，使， 故D成立，故选：D. 题型03 共面向量及应用 【典例1】在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算法则得到，再由空间共面定理的推论得到方程，解得即可. 【详解】因为， 所以，即， 又点M是平面内一点，所以，解得.故选：B 1．解决向量共面的策略 (1)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． (2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示． 2．证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论 (1) ＝x＋y；(2)对空间任一点O，＝＋x＋y； (3)对空间任一点O，＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)；(4)∥ (或∥或∥)．　　　　 【变式1】在正四棱锥中，已知分别为的中点，，则下列说法正确的有（    ） A． B．不存在，使得平面 C．若平面平面，则 D．若四点共面，则 【答案】ACD 【详解】对A，连接交于点，连接，因为在正四棱锥中，底面为正方形， 所以，又因为，为中点，所以，又因为，平面， 所以平面，又因为平面，所以，A正确； 对B， 因为，为中点，所以，因为为正方形，所以， 又因为，平面，所以平面， 则平面，所以当，即点与重合时，平面，B错误； 对C，连接，因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以根据面面平行的性质定理可知， 又因为分别为的中点，所以为中点，所以，C正确； 对D，因为四点共面，所以四边形为平面四边形，所以连接交于点， 在中，因为共线，所以， 由于对称性可知，为中点， 又因为所以, 所以， 所以，解得，D正确；故选：ACD. 【变式2】已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间共面向量定理的推论可求的值. 【详解】由得，即， 由空间向量共面定理的推论可知，，解得. 故选：B. 【变式3】如图，三棱柱中，为的中点，满足，过作三棱柱的截面交于，且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由四点共面，，由，求出的值. 【详解】因为，E为中点，. 又因为四点共面，设， 即 所以 ，所以.故选：A． 题型04 空间向量的数量积 【典例1】在空间四边形ABCD中， M、N分别是AB、CD的中点， 且.设 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算可求得，可判断AB；，可判断C；由，可得，进而计算可得，可判断D. 【详解】，故AB错误； 因为，所以，所以不一定等于，故C错误； 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以，故D正确. 故选：D. 向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算． 【变式1】已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为点分别为棱的中点，且四面体所有棱长均为2， 则，所以 . 故选：D 【变式2】已知为正方体，下列说法正确的是（   ） A．B． C．向量与向量的夹角是D．正方体的体积为 【答案】AB 【详解】 对于A，由向量的加法运算得到， ，，故A正确；对于B，，，故B正确；对于C，是等边三角形，，又，异面直线与所成的角为，但是向量与向量的夹角是，故C错误；对于D，，，则，故D错误．故选：AB． 【变式3】如图，在长方体中，设，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】由长方体的性质知，，，，， 所以． 故选：A 题型05 利用空间向量的数量积求两向量的夹角 【典例1】如图，在平行六面体中，向量，，的模长均为2，且它们彼此的夹角都是动点在棱上，则（   ） A．B．直线BD与直线AP所成角为90° C．平面与平面ABCD的夹角为60°D．多面体的外接球体积为 【答案】ABD 【详解】在平行六面体中， ， 向量，，的模长均为2，且它们彼此的夹角都是 所以 ，即，故A正确； 对于B，连接AC交BD于O，连接， 由题知，，所以为等边三角形，四边形为菱形， ， 同理可得，也为等边三角形，即也为等边三角形，， 又，平面，平面，即平面， 平面，，故B正确； 对于C，连接交于，连接，， 平面，平面，， 又，平面平面，所以就是平面与平面ABCD的夹角， 在平行六面体中，，，为等边三角形， ，，，故C错误； 对于D，连接交于，为、中点， 又，，所以四边形为正方形， ，又， 所以，即， 所以多面体外接球球心在中点处，半径，体积，故D正确； 故选：ABD. 1、求两个向量的夹角有两种方法： ①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围； ②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求出cos〈a，b〉的值，最后确定〈a，b〉的值． 2、利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 注：求两向量夹角，必须特别关注两向量方向，应用向量夹角定义确定夹角是锐角、直角还是钝角． 【变式1】已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则 . 【答案】 【详解】 . 故答案为： 【变式2】如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为3，且它们彼此的夹角都是，则对角线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，由已知，，， ∵，∴ ，∴，即，故选：A. 【变式3】已知直三棱柱的底面ABC为正三角形，且，则异面直线与的夹角余弦值为 . 【答案】/ 【详解】因为， 所以，所以， 由三棱柱的结构特点可知，所以异面直线与的夹角即为（锐角）， 因为，所以， 所以，所以异面直线与的夹角的余弦值为，故答案为：. 题型06 利用空间向量的数量积求线段的长度 【典例1】如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以. 故选：C 空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。 【变式1】在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们两两所成夹角都是，则线段的长度为 . 【答案】 【分析】将用表示，再求出，得到. 【详解】因为， 所以 ， 则，    故答案为： 【变式2】如图，这是缠线用的线拐子，在结构简图中，线段AB与线段CD所在直线异面垂直，E，F分别为AB，CD的中点，且，．使用线拐子时使丝线从点A出发，依次经过D，B，C，又回到点A．这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，这称为“束丝”．若图中，则丝线缠一圈的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，所以， 因为，所以， 所以，同理可得，，， 所以丝线缠一圈的长度为， 故选：A 【变式3】如图，已知平面与平面的夹角为，在平面与平面的交线上有两点，线段分别在平面与平面内，且都垂直于直线，若，，，则线段的长度为 .    【答案】或 【分析】得到，两边平方后代入求值即可. 【详解】，两边平方得， ， 因为，，，线段都垂直于直线，平面与平面的夹角为， 所以或， 即或. 故答案为：或 题型07 利用空间向量的数量积证垂直 【典例1】在四面体中，，四面体的顶点均在球的表面上，则（    ） A．当平面平面时， B．球的表面积随二面角的大小变化而变化 C．异面直线与不可能垂直 D．与平面所成角的最大值为 【答案】ACD 【详解】对于A，由题意得，所以， 分别过作的垂线，垂足分别为，   则，且， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 故 ，所以，故A正确； 对于B，因为，故的中点到的距离相等， 故球心为的中点，且球的半径为1，故球的表面积为，为定值，故B错误； 对于C，假设，又平面， 所以平面，又平面，所以， 所以是以为斜边的直角三角形，所以，与已知矛盾， 所以异面直线与不可能垂直，故C正确； 对于D，设与平面所成角为，点到平面的距离为， 则，所以当点到平面的距离最大时，与平面所成角最大， 当平面平面时，点到平面的距离最大， 此时，即，所以，故D正确.故选：ACD. 利用空间向量解决垂直问题的方法 (1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直． (2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积并判断是否为0.　 【变式1】如图所示，正三棱柱的所有棱长均为1，点P、M、N分别为棱、AB、的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（   ） A．直线与直线CP可能相交 B．直线与直线CP始终异面 C．直线与直线CP可能垂直 D．直线与直线BP不可能垂直 【答案】B 【详解】在正三棱柱中，因为点M、N分别为棱AB、的中点，所以， 又平面，平面，所以平面，因为平面，，，所以四点不共面，所以直线与直线CP始终异面，故A错误，B正确； 对于C，设， 则，， 若直线与直线CP垂直，则， 即， 所以， 即，解得， 因为，所以不存在点使得直线与直线CP垂直，故C错误； 对于D，连接， 因为为的中点，所以，又因平面，平面， 所以，因为平面，所以平面， 又平面，所以， 所以当点在的位置时，直线与直线BP垂直，故D错误. 故选：B. 【变式2】如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求；(2)判断与是否垂直． 【答案】(1)(2)垂直 【详解】（1）正方体中，，故. （2）由题意， ， ， 故与垂直. 【变式3】如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求；(2)求与的夹角的余弦值(3)判断与是否垂直． 【答案】(1)(2)(3)垂直 【详解】（1）正方体中，，故. （2）由题意知，， ， ， 故，故 . （3）由题意， ， ，故与垂直. 1．已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（   ） A．0 B．5 C．9 D． 【答案】D 【分析】根据空间的基底的概念可知，，，三向量共面，从而不能构成基底. 【详解】根据空间基底的概念，当，，三向量不能构成空间向量的一组基底时， ，，三向量共面，根据共面向量的条件，即存在，且， 即，解得. 故选：D 2．如图，在正六棱柱中.    （1）化简： ； （2）化简： . 【答案】 【分析】由题意，根据空间向量的线性运算分别计算即可求解. 【详解】（1） . （2） 故答案为： 3．若空间任意一点和不共线的三点有关系式，则（   ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．四点共面 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算可得，可得四点共面． 【详解】由，得， ，即，四点共面． 故选：B. 4．如图，在平行六面体中，，相交于点，为的中点，已知，，，则（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】在平行六面体中，为的中点， 则. 故选：C. 5．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点. (1)证明：；（用向量方法证明） (2)求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算易得，，进而结合空间向量的数量积计算即可； （2）利用空间向量的数量积的定义求解即可. 【详解】（1）证明：由题意，因为，， 所以， 所以，即. （2）由（1）知，， 所以， 又， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 6．已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1)； (2). 【答案】(1)，图示见解析；(2)，图示见解析. 【分析】根据平行六面体基本性质及空间向量基本运算化简每个小题即可. 【详解】（1）， 设P是线段的中点， 则， 向量如图所示. （2）， 设Q是线段的中点， 则， 向量如图所示. 7．如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【分析】取，，，由向量的线性运算得与、共面可得答案. 【详解】取，，，则 所以与共面，又，， 所以与、共面， 所以四点共面． 8．已知，，不共面，若，，且三点共线，则 【答案】2 【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案． 【详解】因为三点共线，所以，因为，，不共面，三点共线， 所以有， 故，解得，所以．故答案为：2 9．已知两非零向量，，且与不共线，设（、，且、），则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与，共面 D．以上三种情况均有可能 【答案】C 【分析】先假设与共线即，从而得，进而推出矛盾，与同理，从而可判断选项ABD，再由向量共面的充要条件结合已知条件、和即可判断C. 【详解】假设与共线，则， 所以即，又、， 所以与共线，这和与不共线相矛盾，故假设不成立， 则A不正确，同理B不正确，则D不正确； 因为、，，所以与，共面，故C正确. 故选：C. 10．下列命题是假命题的是（    ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．若向量，满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则与共线 【答案】ABC 【分析】对于A，根据空间向量的性质分析判断，对于B，根据相等向量的定义分析判断，对于C，根据向量的性质分析判断，对于D，根据共线向量的定义分析判断. 【详解】对于A，因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，所以A是假命题； 对于B，由知，，且与同向，但A与C，B与D不一定重合，所以B是假命题； 对于C，空间向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，所以C是假命题； 对于D，因为，所以，故与共线，所以D是真命题． 故选：ABC 11．已知是不共面向量，，，，若，、三个向量共面，则实数 ． 【答案】 【分析】由题意可得存在实数，满足，然后建立方程即可求解． 【详解】若，，三个向量共面，则存在实数，满足， 即， 所以，解得， 故答案为：． 12．已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】先建立方程，再用表示，接着用表示，最后判断当时取最小值并求点的坐标. 【详解】因为点在直线上运动，， 所以，则，则，则，， 所以， 时，取最小值，此时， 故答案为： 13．在棱长均为1的平行六面体中，，，则（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【分析】直接由公式即可建立方程求解. 【详解】 设，注意到， 所以，所以. 故选：D. 14．在空间四面体中，对空间内任意一点，满足，则下列条件中可以确定点与，，共面的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量四点共面列式即可得解. 【详解】因为， 所以点与，，共面等价于，即. 故选：A. 15．如图（1），在长方形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，连接AF，CE，分别交BD于点M，N，将沿直线BD折起到的位置，如图（2），则下列说法正确的是（   ）    A．在翻折的过程中，恒有平面PEN B．若G为直线PN上一点，则点G到直线AM的最短距离为 C．当二面角的大小为时， D．当平面平面ABD时，三棱锥外接球的表面积为 【答案】ABD 【详解】在长方形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点， 计算可得，，易知， 又，所以，则，， 所以，所以，同理可得． 对于A，由上述过程可知在翻折的过程中，，而， 因为，PN，平面PEN，所以平面PEN，故A正确； 对于B，与A同理可得平面AMF，因为平面AMF，所以， 由平面PEN，平面PEN，可得， 所以MN为AM，PN的公垂线段，所以点G到直线AM的最短距离为MN， 而，故B正确； 对于C，因为，二面角的大小为， 则， 所以 ， 所以，故C错误； 对于D，因为和都是直角三角形，且BD为公共边， 所以BD的中点为其所在三角形的外心，同时也是三棱锥外接球的球心， 所以外接球半径， 所以三棱锥外接球的表面积，故D正确． 故选：ABD. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 空间向量及其运算 教学目标 1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解. 2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断. 3．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解. 教学重难点 1.重点 空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算. 2.难点 空间向量的共线定理、共面定理及推论. 知识点01 空间向量的有关概念 1．空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：空间向量的大小．(3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母_________表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：_____，其模记为|a|或||. 【即学即练】 1.【多选】给出下列命题，其中正确的命题是（       ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量，，满足，，则 2.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 知识点02 空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的_________． 当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律:结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【即学即练】 已知正方体ABCD­A1B1C1D1，则下列各式运算结果不是的为(　　) A．＋＋ B．＋＋ C．＋＋ D．＋＋ 知识点03 共线问题 共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量_________，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是__________________. (4)O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，__________________. 【即学即练】 1.已知空间四边形ABCD，点E､F分别是AB与AD边上的点，M､N分别是BC与CD边上的点，若，，，，则向量与满足的关系为（       ） A． B． C． D． 2.在下列命题中： ①若向量共线，则所在的直线平行； ②若向量所在的直线是异面直线，则一定不共面； ③若三个向量两两共面，则三个向量一定也共面； ④已知三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为. ⑤若与是平面上互不平行的向量，点，点，则与、一定不共面． 其中正确命题的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 知识点04 向量共面问题 共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使__________________. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有__________________. 【即学即练】 1.下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（       ） A． B． C． D． 2.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（       ） A．，， B．，， C．，， D．，， 知识点05 空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 【即学即练】 如图，在三棱锥中，平面，，，． (1)确定在平面上的投影向量，并求； (2)确定在上的投影向量，并求． 知识点06 利用数量积证明空间垂直关系 当a⊥b时，a·b＝0. 【即学即练】 如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求；(2)求与的夹角的大小余弦值；(3)判断与是否垂直． 知识点07 夹角问题 1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：__________________，那么空间两个向量、的夹角的余弦。 2.利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向_________得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的______。 【即学即练】 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求: (1)的长; (2)直线与所成角的余弦值. 知识点08 空间向量的长度 1.定义：在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：_________ 将其推广：；。 2.利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用_________来求解。 【即学即练】 1.如图，棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形），是棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，. (1)用向量，，表示；(2)求. 2.如图，在平行四边形中，且，将沿折起，使与所成的角为60°． (1)求；(2)求点，间的距离． 题型01 空间向量的有关概念及线性运算 【典例1】在长方体中，（   ） A． B． C． D． 在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换． 【变式1】下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【变式2】已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 【变式3】下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 题型02 共线向量定理的应用 【典例1】在棱长为2的正方体中，点满足，点满足，其中，当 时，． 利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 【变式1】已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【变式2】如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（    ）    A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为线段 C．存在，使得 D．存在，使得平面 【变式3】向量与非零向量平行的充要条件是（    ） A． B． C．存在实数k，使 D．存在实数k，使 题型03 共面向量及应用 【典例1】在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 1．解决向量共面的策略 (1)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． (2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示． 2．证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论 (1) ＝x＋y；(2)对空间任一点O，＝＋x＋y； (3)对空间任一点O，＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)；(4)∥ (或∥或∥)．　　　　 【变式1】在正四棱锥中，已知分别为的中点，，则下列说法正确的有（    ） A． B．不存在，使得平面 C．若平面平面，则 D．若四点共面，则 【变式2】已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，三棱柱中，为的中点，满足，过作三棱柱的截面交于，且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 题型04 空间向量的数量积 【典例1】在空间四边形ABCD中， M、N分别是AB、CD的中点， 且.设 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算． 【变式1】已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式2】已知为正方体，下列说法正确的是（   ） A．B． C．向量与向量的夹角是D．正方体的体积为 【变式3】如图，在长方体中，设，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 题型05 利用空间向量的数量积求两向量的夹角 【典例1】如图，在平行六面体中，向量，，的模长均为2，且它们彼此的夹角都是动点在棱上，则（   ） A．B．直线BD与直线AP所成角为90° C．平面与平面ABCD的夹角为60°D．多面体的外接球体积为 1、求两个向量的夹角有两种方法： ①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围； ②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求出cos〈a，b〉的值，最后确定〈a，b〉的值． 2、利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 注：求两向量夹角，必须特别关注两向量方向，应用向量夹角定义确定夹角是锐角、直角还是钝角． 【变式1】已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则 . 【变式2】如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为3，且它们彼此的夹角都是，则对角线长为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知直三棱柱的底面ABC为正三角形，且，则异面直线与的夹角余弦值为 . 【典例1】如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（    ）．    A． B． C． D． 空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。 【变式1】在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们两两所成夹角都是，则线段的长度为 . 【变式2】如图，这是缠线用的线拐子，在结构简图中，线段AB与线段CD所在直线异面垂直，E，F分别为AB，CD的中点，且，．使用线拐子时使丝线从点A出发，依次经过D，B，C，又回到点A．这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，这称为“束丝”．若图中，则丝线缠一圈的长度为（    ）    A． B． C． D． 【变式3】如图，已知平面与平面的夹角为，在平面与平面的交线上有两点，线段分别在平面与平面内，且都垂直于直线，若，，，则线段的长度为 .    题型07 利用空间向量的数量积证垂直 【典例1】在四面体中，，四面体的顶点均在球的表面上，则（    ） A．当平面平面时， B．球的表面积随二面角的大小变化而变化 C．异面直线与不可能垂直 D．与平面所成角的最大值为 利用空间向量解决垂直问题的方法 (1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直． (2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积并判断是否为0.　 【变式1】如图所示，正三棱柱的所有棱长均为1，点P、M、N分别为棱、AB、的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（   ） A．直线与直线CP可能相交 B．直线与直线CP始终异面 C．直线与直线CP可能垂直 D．直线与直线BP不可能垂直 【变式2】如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求；(2)判断与是否垂直． 【变式3】如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求；(2)求与的夹角的余弦值(3)判断与是否垂直． 1．已知，，，若，，三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（   ） A．0 B．5 C．9 D． 2．如图，在正六棱柱中.    （1）化简： ； （2）化简： . 3．若空间任意一点和不共线的三点有关系式，则（   ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．四点共面 4．如图，在平行六面体中，，相交于点，为的中点，已知，，，则（    ） A．B．C．D． 5．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点. (1)证明：；（用向量方法证明） (2)求直线与所成角的余弦值. 6．已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1)； (2). 7．如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 8．已知，，不共面，若，，且三点共线，则 9．已知两非零向量，，且与不共线，设（、，且、），则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与，共面 D．以上三种情况均有可能 10．下列命题是假命题的是（    ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．若向量，满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则与共线 11．已知是不共面向量，，，，若，、三个向量共面，则实数 ． 12．已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是 ． 13．在棱长均为1的平行六面体中，，，则（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 14．在空间四面体中，对空间内任意一点，满足，则下列条件中可以确定点与，，共面的为（    ） A． B． C． D． 15．如图（1），在长方形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，连接AF，CE，分别交BD于点M，N，将沿直线BD折起到的位置，如图（2），则下列说法正确的是（   ）    A．在翻折的过程中，恒有平面PEN B．若G为直线PN上一点，则点G到直线AM的最短距离为 C．当二面角的大小为时， D．当平面平面ABD时，三棱锥外接球的表面积为 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$