专题1.1 集合的概念（高效培优讲义）数学人教A版2019高一必修第一册

专题1.1 集合的概念 教学目标 1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用. 2.理解集合中元素的基本属性，初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，会用集合的两种表示方法表示一些简单集合. 3.感知数学知识与实际生活的密切联系，培养学生解决实际的能力； 教学重难点 1.重点 元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合. 2.难点 集合中元素的特性及应用. 知识点01 集合的有关概念 元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为________，元素常用小写的拉丁字母________表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母________表示． 【即学即练】 下面给出的四类对象中，构成集合的是（       ） A．某班视力较好的同学 B．长寿的人 C．的近似值 D．倒数等于它本身的数 知识点02 集合的元素特征 元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为________． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为________． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为________． 【即学即练】 已知集合，，则集合B中元素的个数是（       ） A．6 B．3 C．4 D．5 知识点03 元素与集合的关系 元素与集合的关系 (1)属于：如果是集合的元素，就说________集合，记作． (2)不属于：如果不是集合的元素，就说________集合，记作． 【即学即练】 1.已知集合，若，则（       ） A．-1 B．0 C．2 D．3 2.已知集合，若，则实数a的值为（       ） A．1 B．1或0 C．0 D．或0 知识点04 常用集合及其表示 常用数集及其表示 非负整数集(或自然数集)，记作___ 正整数集，记作___ 整数集，记作___ 有理数集，记作___ 实数集，记作___ 【即学即练】 1.用符号“”和“”填空： （1）______N；       （2）1______；       （3）______R； （4）______；       （5）______N． 2.下列关系中正确的个数是（     ） ①，②，     ③，   ④ A． B． C． D． 知识点05 集合的表示方法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：(1)元素与元素之间必须用________隔开．(2)集合中的元素必须是________．(3)集合中的元素________． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条________，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 【即学即练】 1.用列举法法表示下列集合：（1）B={（x，y）|x+y=4，x∈N*，y∈N*}；（2）不小于1且不大于17的质数组成的集合A；(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C； 2.直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（       ） A． B．或 C． D． 题型01 集合的含义 【典例1】以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 【变式1】下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【变式2】给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【变式3】已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（   ） A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集； B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集； C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集； D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集 题型02 元素与集合的关系 【典例1】集合，且，则有（   ） A． B． C． D．不属于中的任意一个 判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可。 （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征。 【变式1】下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 【变式3】若，则，就称A是伙伴关系集合．集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是（   ） A． B． C． D． 题型03 集合中元素的特性及应用 【典例1】已知集合，且，求x的值. 根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤： 【变式1】若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式2】设是实数，集合，若，则 . 【变式3】已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 题型04 用列举法表示集合 【典例1】已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 用列举法表示集合的三个步骤： 1.求出集合的元素；2.把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；3.用花括号括起来。 【变式1】下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 【变式2】方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 【变式3】下面四个说法中不正确的是（ ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．0与表示同一个集合. 题型05 用描述法表示集合 【典例1】集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 描述法表示集合的2个步骤： 【变式1】已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 【变式3】一次函数与的图象的交点组成的集合是（    ） A． B． C． D． 1．已知集合，则的元素个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 2．已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 3．已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 4．已知集合，则集合中元素的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．方程组的解集为 . 6．对于数集，定义，若集合，求集合中所有元素之和． 7．已知集合，若，则的值为 . 8．用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 ． 9．下列集合中有限集的个数为（   ） （1）二次方程的实数解组成的集合； （2）能被3整除的整数组成的集合； （3）一年之中四个季节的名称组成的集合； （4）偶数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．集合的另一种表示为（   ） A． B． C． D． 11．若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 12．设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 13．已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 14．给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（   ） A． B． C． D． 15．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 集合的概念 教学目标 1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用. 2.理解集合中元素的基本属性，初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，会用集合的两种表示方法表示一些简单集合. 3.感知数学知识与实际生活的密切联系，培养学生解决实际的能力； 教学重难点 1.重点 元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合. 2.难点 集合中元素的特性及应用. 知识点01 集合的有关概念 元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母…表示． 【即学即练】 下面给出的四类对象中，构成集合的是（       ） A．某班视力较好的同学 B．长寿的人 C．的近似值 D．倒数等于它本身的数 【答案】D 【详解】对于A，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合； 对于B，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合； 对于C， 的近似值没有明确近似到小数点后面几位， 不是明确的定义，故不能构成集合； 对于D，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合； 故选：D. 知识点02 集合的元素特征 元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【即学即练】 已知集合，，则集合B中元素的个数是（       ） A．6 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】集合中的元素有，，，共4个，故选：C. 知识点03 元素与集合的关系 元素与集合的关系 (1)属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作． (2)不属于：如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作． 【即学即练】 1.已知集合，若，则（       ） A．-1 B．0 C．2 D．3 【答案】C 【详解】因为，所以或，而无实数解，所以.故选：C. 2.已知集合，若，则实数a的值为（       ） A．1 B．1或0 C．0 D．或0 【答案】C 【详解】若，即时，，不符合集合元素的互异性，舍去； 若，即（舍去）或时，，故.故选：C. 知识点04 常用集合及其表示 常用数集及其表示 非负整数集(或自然数集)，记作N 正整数集，记作N*或N+ 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 【即学即练】 1.用符号“”和“”填空： （1）______N；       （2）1______；       （3）______R； （4）______；       （5）______N． 【答案】                              【详解】由所表示的集合，由元素与集合的关系可判断 （1）（2）（3）（4）（5）.故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）. 2.下列关系中正确的个数是（     ） ①，②，     ③，   ④ A． B． C． D． 【答案】B 【详解】①错误②正确③错误④正确 故选：B 知识点05 集合的表示方法 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的．(3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 【即学即练】 1.用列举法法表示下列集合：（1）B={（x，y）|x+y=4，x∈N*，y∈N*}；（2）不小于1且不大于17的质数组成的集合A；(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C； 【解析】（1）B={（x，y）|x+y=4，x∈N*，y∈N*}.（2） (3)绝对值不大于3的所有整数只有，用列举法表示：； 2.直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（       ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中， 选项中除去的是四条线； 选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意； 选项，则且，即除去两点､，符合题意； 选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点．故选：C 题型01 集合的含义 【典例1】以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由集合元素三要素逐个判断即可. 【详解】（1）（2）（5）的元素不确定，不能构成集合． （3）（4）（6）符合集合概念， 故选：B 判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 【变式1】下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 【变式2】给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【分析】根据集合的性质逐项分析判断即可. 【详解】对于①：接近于的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误； 对于②：年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题是确定的，且互不相同，可以构成集合，故②正确； 对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误； 对于④：不大于的自然数为0，1，2，3，能构成集合，故④正确； 对于⑤：因为，不能构成一个集合，故⑤错误； 故选：D. 【变式3】已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（   ） A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集； B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集； C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集； D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集 【答案】C 【分析】分析和两种情况解方程组，结合选项逐项分析判断即可. 【详解】由方程组可得：，即， 若，则，不成立，方程组无解； 若，则，可得，即方程组只有一组解. 对于A：存在无数个实数k（），使得方程组的解集是单元素集，故A正确； 对于B：有且仅有一个实数，使得方程组的解集为空集，故B正确； 对于C：不存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集，故C错误； 对于D：如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集，故D正确； 故选：C. 题型02 元素与集合的关系 【典例1】集合，且，则有（   ） A． B． C． D．不属于中的任意一个 【答案】B 【详解】由题知P表示偶数集，Q表示奇数集，R表示所有被4除余1的整数，所以当时，则a为偶数，b为奇数，则一定为奇数． 判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可。 （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征。 【变式1】下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的意义进行判断. 【详解】根据的意义,, 故选：C. 【变式2】已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 【答案】BC 【分析】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B. 【详解】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误， 对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确， 对于，因为，所以，因为，所以，故正确， 对于，若，则，故错误， 故选：. 【变式3】若，则，就称A是伙伴关系集合．集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据伙伴关系集合的定义，结合集合子集的定义求解即可. 【详解】因为伙伴关系集合满足与， 所以集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是，BCD符合题意， 而不是的子集，不符合题意． 故选：BCD. 题型03 集合中元素的特性及应用 【典例1】已知集合，且，求x的值. 【答案】或 【分析】根据元素与集合的关系，建立方程，结合集合元素的互异性，可得答案. 【详解】∵，∴或，∴或. 当时，，满足集合元素的互异性，∴符合题意； 当时，，也满足集合元素的互异性，∴也符合题意. 综上，x的值为或. 根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的3个步骤： 【变式1】若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意得，或，或，分别求解，再由集合元素的互异性验证即可. 【详解】因为， 所以，或，或， 当时，得，此时集合为，不合题意，舍去， 当时，得，此时集合为， 当时，得无解， 综上，. 故选：A 【变式2】设是实数，集合，若，则 . 【答案】 【分析】根据元素与集合关系及互异性求参数即可. 【详解】若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则（正值舍），此时，满足； 综上，. 故答案为： 【变式3】已知集合若，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】B 【分析】根据或，结合集合中元素满足互异性即可求解. 【详解】因为 所以或， 当时，，此时，，故舍去： 当时，解得或（舍去）， 综上． 故选：B 题型04 用列举法表示集合 【典例1】已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接解出集合即可； （2）解方程，对实数的取值进行分类讨论，求出集合，根据集合的元素之和为进行检验或求出的值，即可得解. 【详解】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． 用列举法表示集合的三个步骤： 1.求出集合的元素；2.把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；3.用花括号括起来。 【变式1】下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 【答案】BD 【分析】A选项，解方程，得到方程的解，故用列举法表示为，故A正确；B选项，表示实数集，实数集为错误表示，故B错误；C选项，根据描述法定义得到C正确；D选项，两集合一个为数集，一个为点集，D错误. 【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1， 所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，因为花括号本身就具有所有的意义， 所以在描述内容中不能再出现“所有”这样的字眼， 另外表示实数集，实数集为错误表示，故B错误； 对于C，根据描述法表示集合可得集合为，故C正确； 对于D，集合为的取值集合，为数集， 集合表示抛物线上点的集合，为点集， 所以两个集合不是同一个集合，故D错误． 故选：BD 【变式2】方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组，用集合表示即可判断. 【详解】由方程组，解得，所以该方程组的解集为， 而. 故选：D. 【变式3】下面四个说法中不正确的是（ ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．0与表示同一个集合. 【答案】CD 【分析】结合集合元素的特征检验各选项即可判断. 【详解】10以内的质数组成的集合是，故A正确； 由集合元素的无序性可知，2，3组成的集合可表示为或，故B正确； 根据集合的互异性可知，的所有解组成的集合是，故C错误； 0是元素，不表示集合，为集合，二者不一样，故D错误. 故选：CD. 题型05 用描述法表示集合 【典例1】集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合中的限制条件，得到，，利用列举法表示集合即可做出判定. 【详解】因为，所以． 又因为，所以， 所以． 故选：B. 描述法表示集合的2个步骤： 【变式1】已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求出集合，利用元素与集合的关系判断. 【详解】依题意可得，所以. 故选：A. 【变式2】下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 【答案】ACD 【分析】根据描述法的特点逐项分析即可. 【详解】对A，奇数集可以表示为，故A正确； 对B，“小于10的整数”构成的集合可以表示为，故B错误； 对C，表示大于2的全体实数，故C正确； 对D，不等式的解集表示为，故D正确. 故选：ACD. 【变式3】一次函数与的图象的交点组成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】通过联立方程组的方法来求得正确答案. 【详解】解方程组，解得， 故一次函数与的图象的交点组成的集合是： 或. 故选：BC 1．已知集合，则的元素个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【分析】根据题意求集合，即可判断元素个数. 【详解】由题意可得：， 可知有3个元素. 故选：B 2．已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】讨论对应元素，结合集合中元素的互异性确定参数值即可. 【详解】若，显然时不符合集合元素的互异性； 若，不符合集合元素的互异性； 若或，不符合集合元素的互异性； 综上，. 故选：C 3．已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】首先求出x的值，然后代入分别求出y的值即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，可得，所以x可能取值为 当时：代入得，又， 所以，此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，.，， 此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，所以， 此时得到元素； 满足条件的元素分别为： ，，，，共11个， 故选：C 4．已知集合，则集合中元素的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】分别讨论当时的取值，进而可得元素个数. 【详解】当时，可能取值为， 当时，可能取值为， 当时，可能取值为. 故可能取值为，共6个. 故选：A 5．方程组的解集为 . 【答案】 【分析】解原方程组，可得其解集. 【详解】解方程组得，故原方程组的解集为. 故答案为：. 6．对于数集，定义，若集合，求集合中所有元素之和． 【答案】 【分析】由题意，理解新定义，求得，通过定义，进而求得所有元素之和. 【详解】集合，则由定义可得，所以， 则可知所有元素的和为. 7．已知集合，若，则的值为 . 【答案】 【分析】分类讨论和，注意元素的互异性. 【详解】因为，所以或， 当，即时，，此时集合中有重复元素3，所以不符合题意，舍去； 当时，解得或（舍去），此时当时，符合题意， 综上可知，， 故答案为：. 8．用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 ． 【答案】且． 【分析】根据描述法的定义求解． 【详解】用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为：且． 故答案为：且． 9．下列集合中有限集的个数为（   ） （1）二次方程的实数解组成的集合； （2）能被3整除的整数组成的集合； （3）一年之中四个季节的名称组成的集合； （4）偶数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由集合的性质逐个判断即可； 【详解】二次方程的实数解组成的集合，有一个，两个或无，所以为有限集； 能被3整除的整数有无穷多个，所以组成的集合为无限集； 一年之中四个季节的名称为春季，夏季，秋季，冬季，所以组成的集合为有限集； 偶数组成的集合为无限集合； 所以有限集合共有2个， 故选：C. 10．集合的另一种表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据描述法转化为列举法得解. 【详解】由集合的描述法知，， 故选：C 11．若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】当时，，符合题意. 当时，. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 12．设集合，，已知且，则a的取值集合为 . 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系，分类讨论与两种情况，结合集合的相关性质进行检验即可得解. 【详解】因为，，且， 若，解得或， 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，此时， 此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，，解得或， 前面已经分析不满足要求， 当时，此时， 此时集合，，满足集合元素的性质， 综上，，所以的取值集合为. 故答案为：. 13．已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可. 【详解】由题意，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B. 14．给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依次判断出各数所属于的数域范围，再利用元素与集合的关系判定即可. 【详解】对于命题①，，所以命题①错误， 对于命题②，，所以命题②错误， 对于命题③，因为是无理数，，所以命题③错误， 对于命题④，因为，所以命题④正确， 对于命题⑤，因为是无限循环小数，是有理数，即，所以命题⑤正确， 故选：C. 15．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值性质分析可得，运算求解即可. 【详解】对于不等式， 因为，可得，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A. 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$