精品解析：上海市浦东新区上海师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

2024学年度上海师范大学附属中学高一第二学期5月教学质量调研 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1. 带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具. 2. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟 一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 已知，且，则实数的值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用向量加法的坐标运算公式及向量共线的坐标公式即可解得. 【详解】, 又， ， 故答案为：2. 2. 已知向量，，则在方向上的投影向量为______（用坐标表示）. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出， ，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，，所以， ， 所以在方向上的投影为. 故答案为： 3. 已知某扇形的周长为2，则该扇形的面积最大为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据扇形周长为2得出半径和弧长的关系，写出扇形的面积公式利用二次函数性质即可求得最大值. 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，根据题意知， 即， 由扇形面积，得 易知当时，面积取最大值为. 故答案为： 4. 已知三边上的高分别为、、，且，则此三角形最大角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形面积公式，将高之比转化为对应边长之比，利用余弦定理即可求得. 【详解】因的面积，则，故， 显然角为最大角，不妨设（），则， 由余弦定理，. 故答案为：. 5. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先对不等式进行化简，然后根据的范围和正弦函数的性质计算的取值范围即可. 【详解】因为，， 所以. 所以. 因为，所以. 所以，所以，. 所以为了满足不等式恒成立，则. 故答案为：. 6. 若函数与的图象交于两点,则_______. 【答案】 【解析】 【分析】画出与图像,可得与关于点对称,进而求解即可 【详解】由题,画出与的图像,如图所示, 则与关于点对称, 所以, 所以, 故答案为: 【点睛】本题考查余弦函数与正切函数的图像的应用,考查向量的模,考查数形结合思想 7. 如图所示的平行四边形ABCD中，为DC的中点，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】先用的线性组合表示出，然后根据向量的数量积运算结合向量模长以及夹角求解出的值. 【详解】因为为中点，所以， 所以， 所以， 故答案为：. 8. 在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积求得，根据两不等式恒成立，判断，，再由，结合三角形和三角形面积公式，推出和，最后根据向量数量积的定义式即可求得. 【详解】因的面积为10，且，则有，解得， 由图知表示直线上一点到点的向量， 而则表示直线上一点到点 的距离， 由对任意恒成立可知，的长是点到直线上的点的最短距离， 故易得，此时,同理可得. 如图所示,因，由可得：， 由可得：， 由锐角可得是锐角，故是钝角， 于是， 于是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题主要考查不等式恒成立和向量数量积的计算，属于较难题. 处理恒成立问题，一般可考虑分类讨论法，参变分离法，结合图形几何意义判断法等方法；对于数量积运算，可考虑定义法，基向量表示法和向量坐标法来解决. 9. 已知方程，则当时，该方程所有实根的和为________． 【答案】 【解析】 【分析】作出，的图象，通过图象的对称性可得方程所有实根的和. 【详解】方程，即， 令，， 的图象可由的图象向右平移1个单位得到，故关于点对称， 同时也是的一个对称中心； 作图可得，的图象，观察它们在时的图象， 可知二者的图象都关于点成中心对称且，图象在上共有8个交点， 这8个交点两两成对关于点对称， 每一对关于对称的交点的横坐标的和为， 故所有8个交点的横坐标的和为， 即方程所有实根的和为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：（1）转化法，方程的根的问题，转化为，的图象的交点问题； （2）数形结合：作出函数，的图象，判断其对称性，从而求解问题. 10. 函数的最小正周期为___________. 【答案】 【解析】 【分析】当，时，，证明是的最小正周期；当是大于2的偶数时，分析证明的最小正周期是. 【详解】当时，， 所以是的一个周期， 令，可得，即，解得， 下面证明是的最小正周期， 当，且，取，则，而， ，所以不是的周期. 当时，取， 则，， 所以不是的周期. 综上，当时，的最小正周期是. 当时，， 所以是的一个周期. 下面证明是的最小正周期. 当时，取，则， 所以，， ， 而，所以， 所以不是的周期. 综上，当时，的最小正周期是. 综上所述，当时，的最小正周期是； 当时，的最小正周期是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：根据题意，当是正奇数时，易发现是的一个周期，再任取一个内的数，证明其不是周期；当是不为2的正偶数时，易发现是的一个周期，在内任取一个数，证明其不是周期. 11. 八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭图形，它有八条边、八个角．八边形可分为正八边形和非正八边形．如图所示，在边长为2正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积的几何意义，向量在另一向量上的投影的模长与另一个向量的模长的乘积，就是向量的数量积，找出投影向量模长的最大值和最小值即可求出数量积的范围. 【详解】 由题意可知，且，所以, 则, 为在上的投影,当点在线段上时，投影模长最大，因为正八边形外角为，边长为2，此时投影模长为，数量积为， 当点在线段上时，此时投影为负值，模长为，数量积为， 则的取值范围是. 故答案为：. 12. 已知函数（），其图像的一个对称中心是，将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像.若对任意，当时，都有，则实数的最大值为____________. 【答案】 【解析】 分析】根据函数的对称性求出的值，利用图象变换关系求出，构造函数，将条件转化为当,，为增函数，利用函数的单调性进行求解即可． 【详解】一个对称中心是， ，，即，， ，当时，，即， 将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像， 即， 由，得， 设，则不等式等价为当时，， 即若对任意,，为增函数． ， 当,时，,，所以,， 因为对任意,，为增函数， 所以，所以，所以， 即的最大值为． 故答案为：． 二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（cm）和时间t（s）的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，则（ ） A. B. π C. D. 2π 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦型函数的性质画出函数图象，并确定连续三次位移为的时间，，，即可得，可求参数. 【详解】由正弦型函数性质，函数示意图如下： 所以，则，可得. 故选：B 14. 设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦函数性质，由已知条件得出最小正周期的范围，从而得的范围，再由函数值为0得出的关系式，从而得出，，取出可能的，确定出值，即可得结论． 【详解】且在上为严格减函数，则， 又，，因此，， 又，所以，即， 由，则且，， ，， 因此，， 若，则，取，满足题意， 若，则，取，满足题意， 的值有2个． 故选：D． 15. 已知平面向量满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加减法的平行四边形法则作图，问题转化为求的最值，利用外接圆数形结合可求最值. 【详解】设，如图， 由题意，即在平行四边形中，，， 求的最大值. 延长至，使，则， 由正弦定理，三点所在外接圆的直径， 所以，设圆心为，如图， 所以可知，又， 所以由余弦定理可得， 则由图象可知， 故选：C 16. 将函数的图像向下平移个单位，得到的图像，若，其中，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质求得x1的最大值和x2的最小值，可得的最大值． 【详解】将函数f（x）=2的图象向下平移1个单位， 得到g（x）=2﹣1图象， g（x） 若g（x1）g（x2）=9，则g（x1）=g（x2）=﹣3， 则 sin（3x1）=﹣1=sin（3x2）， ∵x1，x2∈[0，4π]，3x1∈[，]，3x2∈[，]， 3x2最小值为，3x1的最大值为， 故x1的最大值为，x2的最小值为， 则的最大值为， 故答案为9． 【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题． 三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，（），，四边形的面积为． （1）求的最大值及此时的值； （2）设点的坐标为，，在（1）的条件下，求的值． 【答案】（1）最大值是，此时. （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数定义可得点坐标，根据向量数量积可得，根据向量加法几何意义得四边形为平行四边形，可得求解析式，根据配角公式将函数化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数性质求最大值以及对应自变量； （2）由三角函数定义可得的正切值，结合两角和的正切公式可得． 【小问1详解】 由题意知的坐标分别为，． ， . 由题意可知. ，. 所以，故时， 的最大值是，此时. 【小问2详解】 ，， . 18. 随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某区的一条健康步道，为线段，是以为直径的半圆，km，km. （1）求的长度； （2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道（在两侧），其中为线段.若，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少长度？ 【答案】（1）km （2）km 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求得，从而求得的长度 （2）利用余弦定理和基本不等式求得新建健康步道的最长路程，由此求得增加的长度. 【小问1详解】 联结，在中，由余弦定理可得， ， 所以，即的长度为； 【小问2详解】 记，则在中，由余弦定理可得： ，即， 从而 所以，则，当且仅当时，等号成立； 新建健康步道的最长路程为， 故新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加 19. 在中，角所对的边分别为，且 （1）若成等比数列，求角的大小； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用数量积的定义化简得到，再由余弦定理得到，结合，求得，即可求解； （2）由（1）知，根据题意，利用正弦定理可得，联立方程组求得的值，结合余弦定理求得，得到，利用面积公式，即可求解. 【小问1详解】 因为， 根据向量的数量积的定义，可得， 由余弦定理可得，整理得， 因为成等比数列， 所以，解得 所以为等边三角形，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知， 又由，根据正弦定理可得， 联立方程组，解得， 因为，所以，， 由余弦定理可得，所以， 所以的面积为. 20. 在中，. （1）如图1，若点为的重心，试用、表示； （2）如图2，若点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（包含、两个端点），且，设，求的取值范围； （3）如图3，若点为外接圆的圆心，设，求的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3）2. 【解析】 【分析】（1）延长交于，利用向量中线公式求出，再由为的重心，即可表示； （2）以为原点，建立平面直角坐标系，表示出，，， 利用向量的坐标表示得到，利用三角函数求最值即可 （3）由，利用平面向量基本定理得到m、n的关系：利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）延长交于，则是中点，所以 因为点为的重心， 所以； （2）以为原点，建立如图坐标系， 则，， 设， 因为， 所以， 所以 所以 因为，所以， 所以，所以； （3）因为，所以 由可得 即 平方可得 ，即 根据平行四边形法则可知，令，则， 根据基本不等式可得， 所以，解得或 所以，所以，所以的最小值是2. 【点睛】在几何图形中进行向量运算: (1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则； (2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算. 21. 已知函数，其中． （1）若，，求的对称中心； （2）若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； （3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意为，存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知确定最小正周期，可得，即可求出函数解析式，再利用整体代入法求的对称中心； （2）由图象平移变换得到函数，结合和，得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值； （3）根据已知，在上，的值域是值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式示结果. 【小问1详解】 因为函数， 若，则与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为，又，所以，解得， 所以， 令，解得，此时， 所以的对称中心为. 【小问2详解】 依题意可得， ， ，所以或 解得或，又， 得， 所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有8个零点，则， 要使最小，则恰好为的零点， 的最小值为. 【小问3详解】 由（2）知，， 设在上的值域为，在上的值域为， 若对任意，存在，使得成立，则， 当， ，，则， 当，，，则， 由可得，又，解得， 所以实数a的取值范围为. 【点睛】方法点睛： 1. 若在上恰好有8个零点，要使最小，则需要恰好为的零点； 2. ，存在，使得，则在定义区间内的值域是值域的子集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年度上海师范大学附属中学高一第二学期5月教学质量调研 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1. 带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具. 2. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟 一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 已知，且，则实数的值为______. 2. 已知向量，，则在方向上的投影向量为______（用坐标表示）. 3. 已知某扇形的周长为2，则该扇形的面积最大为________. 4. 已知三边上的高分别为、、，且，则此三角形最大角的余弦值为______. 5. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为______． 6. 若函数与图象交于两点,则_______. 7. 如图所示的平行四边形ABCD中，为DC的中点，则____________. 8. 在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则___________. 9. 已知方程，则当时，该方程所有实根的和为________． 10. 函数的最小正周期为___________. 11. 八边形是数学中的一种图形，由八条线段首尾相连围成的封闭图形，它有八条边、八个角．八边形可分为正八边形和非正八边形．如图所示，在边长为2正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是__________． 12. 已知函数（），其图像的一个对称中心是，将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像.若对任意，当时，都有，则实数的最大值为____________. 二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（cm）和时间t（s）的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，则（ ） A. B. π C. D. 2π 14. 设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 15. 已知平面向量满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 16. 将函数的图像向下平移个单位，得到的图像，若，其中，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 如图，点是单位圆与轴正半轴交点，点在单位圆上，（），，四边形的面积为． （1）求最大值及此时的值； （2）设点的坐标为，，在（1）的条件下，求的值． 18. 随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某区的一条健康步道，为线段，是以为直径的半圆，km，km. （1）求的长度； （2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道（在两侧），其中为线段.若，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少长度？ 19. 在中，角所对边分别为，且 （1）若成等比数列，求角的大小； （2）若，且，求的面积． 20. 在中，. （1）如图1，若点为的重心，试用、表示； （2）如图2，若点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（包含、两个端点），且，设，求的取值范围； （3）如图3，若点为外接圆的圆心，设，求的最小值. 21. 已知函数，其中． （1）若，，求对称中心； （2）若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； （3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意为，存在，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $