3.2 三角形的“四心”-【暑假大串联】2024-2025学年初升高数学衔接教材

第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 3.2 三角形的“四心” 三角形是最重要的基本平面图形,很多较 复杂的图形问题可以划归为三角形的问题. 如图1,在三角形ABC 中,有三条边AB, BC,CA,三个角∠A,∠B,∠C,三个顶点 A, B,C. 图1 在三角形中,角平分线、中线、高(如图2) 是三角形中的三种重要线段. 图2 三角形的三条中线相交于一点(如图3), 这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在 三角形的内部,恰好是每条中线的三等分点. 图3 三角形的三条角平分线相交于一点(如图 4),是三角形的内心.三角形的内心在三角形 的内部,它到三角形的三边的距离相等. 图4 【例】 已知:△ABC 中,AD⊥BC 于D,BE ⊥AC 于E,AD 与BE 交于点H. 求证:CH⊥AB. 【证明】 连接CH 交AB 于点F,连接DE. ∵AD⊥BC 于D,BE⊥AC 于E, ∴∠HDC=∠HEC=90°. ∴D,E 在以CH 为直径的圆上, ∴∠FCB=∠DEH. 同理,E,D 在以AB 为直径的圆上, 可得∠BED=∠BAD. ∴∠BAD=∠BCF, 又△ABD 与△BCF 有公共角, ∴∠BFC=∠ADB=90°,即CH⊥AB. 【说明】 过不共线的三点A,B,C 有且只有 一个圆,该圆是△ABC 的外接圆,圆心O 为 三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距 离相等,是各边的垂直平分线的交点. 1.如图,三条公路相交于A,B,C 三点, 若在三条公路附近建一个蔬菜加工厂,使它到 三条公路的距离相等,则满足条件的点有 ( ) 36 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.观察下列图形,则第n 个图形中三角 形的个数是 ( ) A.2n+2 B.4n+4 C.4n-4 D.4n 3.如图,在△ABC 中,BE 平分∠ABC,DE ∥BC,∠ABE=35°,则∠DEB= ,∠ADE = . 4.如图,在△ABC 中,∠A=α.∠ABC 与∠ACD 的 平 分 线 交 于 点 A1,得 ∠A1; ∠A1BC 与∠A1CD 的平分线相交于点A2, 得∠A2;……;∠A2008BC 与∠A2008CD 的平 分 线 相 交 于 点 A2009,得 ∠A2009.则 ∠A2009 = . 5.在△ABC 的边AB,BC,CA 上分别取 点P,Q,S.求证:以△APS,△BQP,△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. 46 ∴MG= 3 a2+1 a . 由(1)知, FM EM= DM AM ,∴ FM a2+1 = 4-a a ,∴FM= (4-a)a2+1 a ,∴EF= EM+FM= 4 a2+1 a .∴S= 1 2 ·EF·MG= 1 2 ·4 a 2+1 a ·3 a 2+1 a = 6(a2+1) a2 . (i)当点M 在线段AD 延长线上时,如图,过M 作MH⊥BC 于 H,则∠MHG=∠AMH=90°.同(i)可得 MG= 3 a2+1 a ,由DF∥ AE,得 FM EM = DM AM ,∴ FM a2+1 = a-4 a ,∴FM= (a-4)a2+1 a ,∴ EF=EM-FM= 4 a2+1 a ,∴S= 1 2 ·EF·MG= 1 2 ·4 a 2+1 a ·3 a 2+1 a = 6(a2+1) a2 . 综 上所述,△EFG 的面积S= 6(a2+1) a2 =6+ 6 a2.S 的最小整数值为7. 3.2 三角形的“四心” 1.D 解析:分别作三角形ABC 内角和外角的平分线,共有4个交点. 2.D 解析:第1个图形有4个三角形;第2个图形在第1个图形基础上增加4个,所以是 8个三角形;每增加一个正方形,三角形就多4个.所以第n 个图形中三角形的个数是4n. 3.35° 70° 解析:“平行线+角平分线”构造相等的角,可得∠DEB=∠ABE=35°, ∠ADE=35°+35°=70°. 4. α 22009 解析:由题意得∠A=180°-∠ABC-∠ACB.∠A1= 180°-∠ABC-∠ACB 2 ; ∠A2= 180°-∠ABC-∠ACB 22 ;……,所以∠A2009= 180°-∠ABC-∠ACB 22009 = α 22009. 5.证明:设O1,O2,O3是△APS,△BQP,△CSQ 的外心,作出六边形O1PO2QO3S 后再 由外心性质可知:∠PO1S=2∠A,∠QO2P=2∠B,∠SO3Q=2∠C.∴∠PO1S+∠QO2P +∠SO3Q=360°.从而又知∠O1PO2+∠O2QO3+∠O3SO1=360°.将△O2QO3绕着O3点 旋转到△KSO3,易判断△KSO1≌△O2PO1,同时可得△O1O2O3≌△O1KO3.∴∠O2O1O3 =∠KO1O3= 1 2∠O2O1K= 1 2 (∠O2O1S+∠SO1K)= 1 2 (∠O2O1S+∠PO1O2)= 1 2∠PO1S=∠A ;同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC. ·61·