3.1.1 平行线分线段成比例定理-【暑假大串联】2024-2025学年初升高数学衔接教材

OQ=2(t-1),连接QP,当QP⊥OP 时,有 PQ OQ= 2 5 ,∴PQ= 4 5 (t-1), 若PQ PB= 1 2 ,则有PQ PB= OD OA ,又∠QPB=∠DOA=90°,∴△BPQ∽△AOD, 此时,PB=2PQ,即25- 5 5t= 8 5 (t-1),10-t=8(t-1),∴t=2, 若PB PQ= 1 2 ,则有PB PQ= OD OA ,又∠BPQ=∠DOA=90°,∴△BPQ∽△DOA, 此时,PQ=2PB,即 4 5 (t-1)=2(25- 55t),4t-4=20-2t,∴t=4(不合题意,舍去). 当3.5≤t≤6时,QB=10-2(t-1)=12-2t,连接QP, 当QP⊥BP 时,则有∠PBQ=∠ODA,∠QPB=∠DOA=90°,所以△BPQ∽△DOA, 此时,BQ= 5PB,即12-2t= 5(25- 55t), 12-2t=10-t,∴t=2(不合题意,舍去), 当QP⊥BQ 时,同理△BPQ∽△DAO,此时PB= 5BQ, 即25- 5 5t= 5 (12-2t),所以t= 50 9 , 所以符合条件的t值为:t1=2,t2= 50 9. 第3章 直线与圆 3.1 相似形 3.1.1 平行线分线段成比例定理 1.解:设BF=xcm,∵DE∥BC,∴ DE BC= AD AB ,∴ x x+2= 5 8 ,x= 10 3 ,即BF= 10 3cm. 2.解:∵ AB AC= BD DC= 5 4 ,BD+DC=BC=7cm,∴BD= 35 9cm. 3.(1)证明:如图1,过点B 作BE∥AC 交AD 延长线于点E. ∵BE∥AC,∴∠E=∠CAE,∵∠BAE=∠CAE,∴∠BAE=∠E,∴BA=BE,∵BE ∥AC,∴△BDE∽△CDA,∴ BE AC= BD CD ,∴ AB AC= BD DC. ·41· 图1 图2 (2)解:如图2,∵AD 是∠BAC 的平分线,AB=7,AC=15,∴ BD CD= AB AC= 7 15.∵E 是BC 中点,∴ CE CD= 7+15 2 15 = 11 15 ,∵EF∥AD,∴ CF CA= CE CD= 11 15 ,∴CF= 11 15CA=11.∴AF=4. 3.1.2 相似形 1.D 2.(1)证明:∵M 为AD 中点,∴AM=DM,∵四边形ABCD 是矩形,∴AB∥CD,∴ EM FM = AM DM=1 ,即EM=FM.∵MG⊥EF,∴GE=GF,∴△EFG 是等腰三角形. (2)解:若点G 与点C 重合,∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A=∠ADC=90°,∴∠AEM+ ∠AME=90°.∵MG⊥EF,∴∠CME=90.∴∠CMD+∠AME=90°.∴∠AEM=∠CMD. ∴△MAE∽△CDM.∴ AM DC= AE DM.∵AE=1 ,AM=a,CD=3,DM=4-a,∴ a 3= 1 4-a ,解得 a=1或a=3.当a=1时,MG=32;当a=3时,MG= 10. (3)解:(i)当点M 在线段AD 上时,如图. 过M 作MH⊥BC 于H,则∠MHG=∠AMH=90°.∴∠AME+∠EMH=∠HMG+ ∠EMH=90°,∴∠HMG=∠AME.∴△HMG∽△AME.∴ MG ME = MH MA .∴ MG a2+1 = 3 a. ·51· 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 第3章 直线与圆 3.1 相似形 3.1.1 平行线分线段成比例定理 在解决几何问题时,我们常遇到一些线段 的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中, 我们发现平行线常能产生一些重要的长度比. 在一张方格纸上,我们作平行线l1,l2,l3 (如图1),直线a 交l1,l2,l3 于点 A,B,C, AB=2,BC=3,另作直线b 交l1,l2,l3 于点 A',B',C',不难发现 A'B' B'C'= AB BC= 2 3. 图1 我们将这个结论一般化,归纳出平行线分 线段成比例定理: 三条平行线截两条直线,所得的对应线段 成比例. 如图2,l1∥l2∥l3,有 AB BC= DE EF. 当然,也可 以得出AB AC= DE DF. 在运用该定理解决问题的过程 中,我们一定要注意线段之间的对应关系,是“对 应”线段成比例. 图2 【例1】 如图,l1∥l2∥l3,且AB=2,BC=3, DF=4,求DE,EF 的长. 【解】 ∵l1∥l2∥l3, ∴ AB BC= DE EF= 2 3 , ∴DE= 2 2+3DF= 8 5 ,EF= 3 2+3DF= 12 5. 【例2】 如图,在△ABC 中,D,E 为边AB, AC 上的点,DE∥BC. 求证:AD AB= AE AC= DE BC. 【证法一】 ∵DE∥BC, ∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB, ∴△ADE∽△ABC, ∴ AD AB= AE AC= DE BC. 【证法二】 如图,过A 作直线l∥BC, 75 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 ∵l∥DE∥BC,∴ AD AB= AE AC. 过 E 作 EF ∥AB 交 BC 于 点 F,得 ▱BDEF,因而DE=BF. ∵EF∥AB,∴ AE AC= BF BC= DE BC. ∴ AD AB= AE AC= DE BC. 【说明】 从上例可以得出如下结论:平行于三 角形的一边的直线截其他两边(或两边的延长 线),所得的对应线段成比例.平行于三角形的 一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的 三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 【例3】 如图,D,E 分别是△ABC 的边AB, AC 的中点,则S△ADE∶S△ABC= . 【分析】 先判断△ADE∽△ABC,再求出相 似比后,利用“相似三角形的面积比等于相似 比的平方”解题. 【解】 由题意可知:DE 为△ABC 的中位线, ∴DE∥BC, DE BC= 1 2. ∴△ADE∽△ABC, ∴S△ADE∶S△ABC= ( DE BC ) 2 = ( 1 2) 2 = 1 4. 【说明】 题目给出的是三角形中位线定理的基 本图形,对于常见的一些基本图形中各部分的 关系要弄清楚,不仅仅限于定理本身,也包括拓 展所得的结论,比如图中各部分的面积比. 【例4】 如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的 平分线.求证: AB AC= BD DC. 【证明】 过 C 作CE∥AD,交 BA 延 长 线 于E, ∵AD∥CE,∴ BA AE= BD DC , ∵AD 平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD. 由AD∥CE 知,∠BAD=∠E,∠DAC= ∠ACE,∴∠ACE=∠E,∴AC=AE, ∴ AB AC= BD DC. 【说明】 例4的结论也称为角平分线性质定 理,可叙述为角平分线分对边成比例(等于该 角的两边之比). 1.如 图,DE ∥BC,EF ∥AB,AD = 5cm,DB=3cm,FC=2cm,求BF 的长. 85 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 2.如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC 的 平分线,AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求 BD 的长. 3.聪明好学的亮亮看到一课外书上有个 重要补充: 【角平分线定理】三角形一个内角的平分 线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边 对应成比例. 于是他就和其他同学研究一番,写出了已 知、求证如下: “已 知,如 图 1,△ABC 中,AD 平 分 ∠BAC 交BC 于点D,求证: AB AC= BD CD. ” 可是他们依然找不到证明的方法,于是, 老师提示: 过点B 作BE∥AC 交AD 延长线于点 E,于是得到△BDE∽△CDA,从而打开思路. (1)请你按老师的提示或你认为其他可行 的方法帮亮亮完成证明. (2)利用角平分线定理解决如下问题: 如图2,△ABC 中,E 是BC 中点,AD 是 ∠BAC 的平分线,EF∥AD 交AC 于F,AB =7,AC=15,求AF 的长. 图1 图2 95