第一部分 牵手高中数学-【暑假大串联】2024-2025学年初升高数学衔接教材

录 第一部分牵手高中数学………… 第二部分数学基础知识……… 第1章数与式………………5 1.1绝对值……… 5 1.2乘法公式…………………………8 1.3十字相乘法…… 1.4分式…………… 1.5二次根式*……………16 16因式分解……… 19 1.7等差与等比数列…………………… 22 第2章方程、不等式与函数… 24 21一元二次方程…24 2.1】一元二次方程根的判别式…24 2.1.2一元二次方程根与系数的关系…………………27 2.2二元二次方程组……30 2.2.1由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组…30 22,2由两个二元二次方程组成的方程组… 33 2.3分式方程和无理方程……36 23.1复杂的分式方程的解法………36 232简单的无理方程的解法…… 40 2.4不等式………………42 2.4.1一元二次不等式的解法… 42 2.42一元二次不等式、一元二次方程、二次函数的关系…44 2.4.3分式不等式…47 25二次函数…49 2.51二次函数的图像与二次方程的解…49 2.5.2二次函数的极值………………………51 2.5.3二次函数的综合应用…54 第3章直线与圆………57 3.1相似形… 57 3.1.1平行线分线段成比例定理………57 3.1.2相似形………………………………………………………… 60 32三角形的“四心”……………… 63 33圆…………… 65 3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系………… 65 3.3.2点的轨迹… 67 第三部分衔接达标检测…70 衔接达标检测卷………70 参考答案（单独成册）第 一 部 分 牵 手 高 中 数 学 第一部分 牵手高中数学 愉快的九年义务教育结束了,迎接我们的 将是一个新的征途———高中数学,这对同学们 来说是一个全新的挑战与尝试.但是我发现, 从初中到高中,学生一下子不适应高中教材的 跨度,老师对学生以前的基础知识结构、能力 结构也不是很了解。这时,一个重要的课题就 摆在我们面前:如 何 做 好 初 高 中 数 学 衔 接 教学. 一、知己知彼,百战不殆 1.立方和与差的公式初中已删去不讲, 而高中的运算还在用. 2.因式分解初中一般只限于二次多项式 且二次项系数为“1”的分解,对系数不为“1”的 涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解 几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要 用到,如解方程、不等式等. 3.二次根式中对分子、分母有理化初中 不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不 等式常用的解题技巧. 4.初中教材对二次函数要求较低,学生 处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终 的重要内容.配方、作简图、求值域、解二次不 等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区 间上函数最值等是高中数学必须掌握的基本 题型与常用方法. 5.二次函数、二次不等式与二次方程的 联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不作 要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不 大的应用题型,而在高中,二次函数、二次不等 式与二次方程相互转化被视为重要内容,高中 教材却未安排专门的讲授. 6.图像的对称、平移变换,初中只作简单 介绍,而在高中讲授函数后,对其图像的上、 下、左、右平移,两个函数关于原点、轴、直线的 对称问题必须掌握. 7.含有参数的函数、方程、不等式,初中 不作要求,只作定量研究,而高中这部分内容 视为重难点.方程、不等式、函数的综合考查常 成为高考综合题. 8.几何部分很多概念(如重心、垂心等) 和定理(如平行线分线段成比例定理、射影定 理、相交弦定理、弦切角定理等)初中大都没有 学习,而高中都要涉及. 另外,像配方法、换元法、待定系数法初中 教学大大弱化,不利于高中知识的讲授. 二、夯实基础,应对高中 模块 具体衔接内容与要求 常用乘法公式与因式 分解方法 立方和公式、立方差 公式、两数和立方公 式、两数差立方公式、 三个数的和的平方公 式,推导及应用(正用 和逆用),熟练掌握十 字相乘法、简单的分 组分解法,高次多项 式分解(竖式除法) 分类讨论 含字母的绝对值,分 段解题与参数讨论, 含字母的一元一次 不等式 1 第 一 部 分 牵 手 高 中 数 学 二次根式 二次根式、最简二次 根式、同类根式的概 念与运用,根式的化 简与运算 代数式运算与变形 分子(母)有理化,多 项式的除法(竖式除 法),分式拆分,分式 乘方 方程与方程组 简单的无理方程,可 化为一元二次方程 的分式方程,含绝对 值的方程,含有字母 的 方 程,双 二 次 方 程,多 元 一 次 方 程 组,二 元 二 次 方 程 组,一元二次方程根 的判别式与韦达定 理,巩固换元法 一次分式函数 在反比例函数的基础 上,结合初中所学知 识(如平移和中心对 称)来定性作图研究 函数y= cx+d ax+b 的图 像和性质,巩固和深 化数形结合能力 三个“二次” 熟练掌握配方法,掌 握图像顶点和对称 轴公式的记忆和推 导,熟练掌握用待定 系数法求二次函数 的解析式,用根的判 别式研究函数的图 像与性质,利用数形 结合解决简单的一 元二次不等式 平行与相似 介绍平行的传递性, 平行线等分线段定 理,梯形中位线,合 比定理,等比定理, 有关简单的相似命 题的证明,截三角形 两边或延长线的直 线平行于第三边的 判定定理 直角三角形中的计算 和证明 补充射影的概念和 射影定理,巩固用特 殊直角三角形的三 边的比来计算三角 函数值,识记特殊角 的三角函数值,补充 简单的三角恒等式 证明,三角函数中的 同角三角函数的基 本关系式 2 第 一 部 分 牵 手 高 中 数 学 图形 补充三角形面积公 式(两边夹角、三边) 和平行四边形面积 公式,正多边形中有 关边长、边心距等计 算公式,简单的等积 变换,三角形四心的 有关概念和性质,中 点公式,内角平分线 定理,平行四边形的 对角线和边长间的 关系 圆 圆的有关定理:垂径 定理及逆定理,弦切 角 定 理,相 交 弦 定 理,切割线定理,两 圆连心线性质定理, 两圆公切线性质定 理;相切作图,简单 的有关圆命题证明, 介绍四点共圆的概 念及圆内接四边形 的性质,巩固圆的性 质,介绍圆切角、圆 内 角、圆 外 角 的 概 念,等分圆周,三角 形 的 内 切 圆,轨 迹 定义 其他 介绍锥度、斜角的概 念,空间直线、平面的 位置关系,画频数分 布直方图 三、调整方法,奋勇迎战 1.学习方法的差异 (1)初中课堂教学量小、知识简单,教师课 堂教的速度慢,争取让学生全面理解知识点和 解题方法,课后老师布置作业,然后通过课堂 内、外练习、课外指导达到对知识的反复理解, 直到学生掌握.而高中教学的学习随着课程开 设增多(有九门课学生同时学习),每天至少上 六节课,自习时间三节课,这样各科学习时间将 大大减少,而教师布置课外题量相对初中减少, 这样集中数学学习的时间相对比初中少,数学 教师将很难像初中那样监督每个学生的作业和 课外练习,把知识让每个学生掌握后再进行 新课. (2)模仿与创新的区别:初中学生模仿做 题,他们模仿老师思维推理较多,而高中学生也 模仿做题和推理思维,但随着知识的难度加大 和知识面越来越广泛,学生不能全部模仿,即使 学生全部模仿训练做题,也不能开拓自我思维 能力,数学成绩也只能是一般程度.现在高考数 学考查,旨在考查学生能力,避免学生高分低 能,避免定式思维,提倡创新思维和培养学生的 创造能力.初中学生大量地模仿做题造成思维 定式,给高中学习带来了保守的、僵化的思想, 封闭了学生丰富的创新精神.如学生在解决:比 较a与2a 的大小时要不就错,要不就答不全 面,有的学生不会分类讨论. 2.学生自学能力的差异 初中学生自学能力低,大凡考试中所用的 解题方法和数学思想,在初中教师基本上已反 复训练,教师把要学生自己高度深刻理解的问 题,都集中表现在他的耐心讲解和大量训练 中,而且学生的听课只需要熟记结论就可以做 题(不全是),学生不需自学.但高中的知识面 广,要教师训练完高考中的习题类型是不可能 的,只有通过较少的、较典型的一两道例题讲 解去融会贯通这一类型习题,如果不自学,不 3 第 一 部 分 牵 手 高 中 数 学 靠大量的阅读理解,将很难理解这一类型习题 的解法.另外,科学在不断发展,考试在不断改 革,高考也随着全面改革不断深入,数学题型 的开发在不断多样化,近年来提出了应用型 题、探索型题和开放型题,只有靠学生的自学 去深刻理解和创新才能适应现代科学的发展. 其实,自学能力的提高也是一个人生活的 需要,它从一个方面也代表了一个人的素养, 人的一生只有18~24年时间是有导师的学 习.最精彩的人生是人在一生中靠自学最终达 到了自强. 3.思维习惯上的差异 初中学生由于学习数学知识的范围小,知 识层次低,知识面窄,对实际问题的思维受到 了局限,就几何来说,我们接触的是现实生活 中的三维空间,但初中只学了平面几何,那么 就不能对三维空间进行严格的逻辑思维和判 断.代数中数的范围只限定在实数中思维,就 不能深刻地解决方程根的类型等.高中数学知 识的多元化和广泛性,将会使学生全面、细致、 深刻、严密地分析和解决问题,也将培养学生 高素质思维,提高学生的思维递进性. 4.定量与变量的差异 初中数学中,题目、已知和结论用常数给 出的较多,一般地,答案是常数和定量.学生在 分析问题时,大多是按定量来分析问题,这样 的思维和问题的解决过程,只能片面地、局限 地解决问题.在高中数学学习中,我们将会大 量地、广泛地应用代数的可变性去探索问题的 普遍性和特殊性.如求解一元二次方程时我们 采用对方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解,讨 论它是否有根和有根时的所有根的情形,使学 生很快掌握了对所有一元二次方程的解法.另 外,在高中学习中我们还会通过对变量的分 析,探索出分析、解决问题的思路和解题所用 的数学思想. 当你了解了这些,你是否有了自己的思 想? 赶快行动吧! 4