精品解析：北京市延庆区第五中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

北京市延庆区第五中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷 一、选择题 1. 已知函数，则（ ） A. -1 B. 2 C. 0 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】将代入式子计算，即可得解. 【详解】因为， 所以， 故选：D. 2. 设，向量，，，且，，则 ＝ A. B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：∵，∴，即，∵，∴，即， ∴，∴，∴． 考点：向量的垂直、平行的充要条件，向量的模． 3. 在中，为边上一点，，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由面积公式求出，即可得到为等腰三角形，则，在中由正弦定理求出，即可求出，最后由利用两角差的正弦公式计算可得. 【详解】因为，解得， 所以为等腰三角形，则， 在中由正弦定理可得，即，解得， 因为，所以为锐角，所以， 所以 . 故选：A 4. 设，，，则a、b、c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式将分别化为，构造函数，利用导数判断函数的单调性即可. 【详解】，， ， 令，则， 令，则， 所以在单调递减，所以，即， 所以在单调递减，因为，所以， 即，所以. 故选：D 5. 已知直线和平面，则下列判断中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线，平面的位置关系分析判断各个选项. 【详解】对于A，由，，则与可能平行，相交，异面，故A错误； 对于B，由，，则或，故B错误； 对于C，由，，则，故C正确； 对于D，由，，则或或，故D错误. 故选：C. 6. 在中，、、分别是内角、、所对的边，若，，，则边（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，，，由余弦定理可得， 即，即，解得或. 故选：C. 7. 在三棱锥中，，且．记直线，，与平面所成角分别为，，，已知，当三棱锥的体积最小时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到在平面内的投影，利用线面夹角关系，得到与的等量关系，以、中点为原点建立平面直角坐标系，根据等式关系发现，在平面内的投影在圆上，当最小时，高度最小，则三棱锥的体积最小，从而求出的值. 【详解】设点在平面内的投影为， 因为直线，，与平面所成角分别为，，，且，则， 根据线面夹角关系可知，， 所以，由阿波罗尼斯圆可知，投影在圆上运动，以为轴，过的中点作垂线，建立如图所示直角坐标系. 令，由题可知，. 则，化简得. 当最小时，最小，即三棱锥的体积最小，则此时，，， 所以. 故选：C 【点睛】方法点睛：本题考查了立体几何的建系求最值问题，空间动点问题常用做法，转换动点到某一平面内，进而用平面内容求解，做到化繁为简. 8. 已知函数图象的对称轴方程为，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的对称轴可得即可求得，利用函数的对称性可得，则，即可求得的值，得到函数解析式，代入即可求解． 【详解】当时，，又函数对称轴为，， 则函数周期，，函数，对称轴为，，与题干不符； 当时，，其中， 由函数图象的对称轴方程为，得的最小正周期，所以， 所以， 由函数图象的对称轴方程为，得， 令，得，即，得， 所以，则． 故选：C． 9. 在平面直角坐标系中，已知，长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面直角坐标系，设点，由题建立关系式， 令将问题转化利用参数方程求解 【详解】如图所示建立直角坐标系： 由题意设，其中， 所以 令 所以 所以 所以 所以 所以的取值范围是 故选：D. 10. 在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线上，则此时二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，作于，于，求得，，利用向量的夹角公式可求二面角的余弦值. 【详解】如图所示，作于，于. 在中，，， 在中，， ， 同理可得，，， 因为， 所以 ， 又因为， 所以. 因为与的夹角即为二面角的大小， 所以二面角的余弦值为. 故选：A. 二、填空题 11. 已知是平面内一组基底，，，则与所成角的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用换元结合数量积的运算以及夹角公式运算求解. 【详解】因为是平面内一组基底，即不共线， 设，显然、不共线，且均不为零向量， 设的夹角为，则，， 又因为，则， 即，整理得， 所以， 又因为，则， 所以与所成角的最大值为. 故答案为：. 12. 在中，G满足，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点.若，，则3m+n的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知为三角形的重心，利用三点共线可得，再由均值不等式即可求最值. 【详解】取中点，连接，如图， 由可得，即， 所以三点共线且，即为的重心， 所以， 因为三点共线， 所以， 又，， 所以，当且仅当， 即时，等号成立， 故答案为： 13. 若角的终边经过点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的定义来得到已知角的函数值，再用二倍角公式和诱导公式来求其它角的三角函数值. 【详解】根据已知条件可知：， 则 ， 故答案为：. 14. 已知空间四点，，，，则点到平面的距离为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】方法一：借助体积法求点到平面的距离. 方法二：利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】方法一：首先. 设到平面的距离为，则. 又为等边三角形，边长为，所以， 所以. 故答案为： 方法二：设平面的法向量为. 因为，， 由，取 在投影为：.即为点到平面的距离. 故答案为： 15. 某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，则该多面体的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，将一半的几何体分割成直三棱柱和四棱锥后结合体积公式可求几何体的体积. 【详解】先证明一个结论：如果平面平面，平面平面，平面，则. 证明：设，， 在平面取一点，， 在平面内过作直线，使得，作直线，使得， 因为平面平面，，故，而，故， 同理，而，故 . 下面回归问题. 连接，因为且，故，同理，， 而，故直角梯形与直角梯形全等， 故， 在直角梯形中，过作，垂足为， 则四边形为矩形，且为以为直角的等腰直角三角形， 故， 平面平面，平面平面，, 平面，故平面， 取的中点为，的中点为，的中点为，连接， 则，同理可证平面，而平面， 故平面平面，同理平面平面， 而平面平面，故平面， 故，故四边形为平行四边形，故. 在平面中过作，交于，连接. 则四边形为平行四边形，且，故， 故四边形为平行四边形， 而平面， 故平面，故平面平面， 而，故， 故几何体为直棱柱， 而，故, 因为，故平面， 而平面，故平面平面， 在平面中过作，垂足为，同理可证平面， 而，故，故， 由对称性可得几何体的体积为， 故答案为：. 三、解答题 16. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱的中点. （1）求异面直线AE和PD所成角的余弦值； （2）求点B到平面CDE的距离； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标，利用异面直线所成角的空间向量计算方法即可解答. （2）先求出平面CDE的法向量和；再根据点到直线距离的空间向量计算方法即可求解. 【小问1详解】 因为底面，， 所以以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，，是棱的中点， ， 则，，，，，. 则，. 所以，，. 设异面直线AE和PD所成角为， 则. 【小问2详解】 因为，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则，取，可得，，则. 又因为， 所以点B到平面CDE的距离为. 17. 某棒球场要举办大型活动，该活动要一块矩形场地，现对棒球场的扇形空地AOB进行改造．如图所示，矩形CDEF区域为活动区域，已知扇形AOB的半径为100米，圆心角为，现要探究在该扇形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大．一种方案是将矩形的一边CD放在OA上，另外两个顶点E，F分别在弧AB和OB上，其中（如图2所示）； （1）若按方案一来进行修建，求活动场地面积的最大值： （2）改造活动场地的另一种方案是，将矩形一边的两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点C，F分别在OA和OB上，有（如图3所示）．比较两种方案，哪种方案更优？ 【答案】（1）平方米 （2）方案一更优，理由如下： 如图，取ED中点为I，FC中点为J，连接OI，延长OI与弧BA交于点G， 则由对称性及垂径定理，可得O，J，I，G四点共线，平分， 可得，设，则， ，， 则， 则此时活动区域面积为： ， 又注意到.则， 则， 当且仅当时，活动区域面积最大为； 注意到，则，， 则选择方案1更好. 【解析】 【分析】（1）结合题意图形，可得活动区域面积关于的表达式，然后利用三角函数恒等变换知识可得答案； （2）如图，设，由题意及图形可得活动区域面积关于的表达式，利用三角函数恒等变换知识算出面积，比较即可得答案. 【小问1详解】 由题可得， ，， 则， 则此时活动区域面积为： ，又注意到. 则，则， 当且仅当时，活动区域面积最大为平方米； 【小问2详解】 略 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求的大小； （2）若，，直线PQ分别交AB，BC于P，Q两点，且把的面积分成相等的两部分，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和正弦和角公式求出，得到； （2）求出，设，，利用列出方程，求出，由余弦定理和基本不等式得到，得到答案. 【小问1详解】 ，由正弦定理得 ， 即， 因为，所以，故， 因为，所以； 【小问2详解】 因为，，， 所以， 设，， 故，令， 解得， 由余弦定理得， 由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 故. 19. 如图，四棱锥中，四边形ABCD为梯形，其中，，，平面平面. （1）证明：； （2）若，且PA与平面ABCD所成角的正弦值为，点F在线段PC上满足，求二面角的余弦值. 【答案】（1） 由题设，为等边三角形，则， 又四边形ABCD为梯形，，则， 在中，， 所以，即， 平面平面ABCD，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 故； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题可得，根据面面垂直的性质定理可得平面，进而即得； （2）利用坐标法，根据线面角的向量求法及面面角的向量求法即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若O为BD中点，，则， 平面平面ABCD，平面平面，平面， 则平面， 连接OC，则，且平面， 故， 综上，，，两两垂直， 以为原点，，，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系， 所以，，，， 设且，则， 而平面的一个法向量为，， 所以， 可得，故， 所以，，， 若是面的一个法向量，则， 取， 若是平面的一个法向量，则， 取， 所以， 所以二面角的余弦值. 20. 如图，在四棱锥中，平面，且，为的中点，平面与平面． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成的角． 【答案】（1）证明：∵为的中点，，∴， 又，∴四边形为平行四边形， ∴，又平面，平面，∴平面， 又∵平面平面，平面，∴， 又∵平面，平面，∴， 又∵，∴平面，∴平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，可得，再证明平面，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知四边形为平行四边形， 因为知，四边形为正方形，则， 故以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系， ∴， ∴，， ∵，∴， ∴， 设为平面的一个法向量，为与平面所成角， 则，即，令，得， ∴， 又，∴，即直线与平面所成的角为． 21. 已知向量，若与的夹角为． （1）求； （2）当为何值时，向量与向量互相垂直？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的数量积公式及计算即可； （2）两个向量垂直则这两个向量数量积为，把条件代入计算即可. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 当向量与向量互相垂直时，， 即，即，解得， 所以当时，向量与向量互相垂直. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市延庆区第五中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷 一、选择题 1. 已知函数，则（ ） A. -1 B. 2 C. 0 D. -2 2. 设，向量，，，且，，则 ＝ A. B. C. D. 10 3. 在中，为边上一点，，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则a、b、c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线和平面，则下列判断中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 在中，、、分别是内角、、所对的边，若，，，则边（ ） A. B. 或 C. 或 D. 7. 在三棱锥中，，且．记直线，，与平面所成角分别为，，，已知，当三棱锥的体积最小时，（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数图象的对称轴方程为，．则（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，已知，长度为2的线段AB的端点分别落在x轴和y轴上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线上，则此时二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 已知是平面内一组基底，，，则与所成角的最大值为______． 12. 在中，G满足，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点.若，，则3m+n的最小值为_______. 13. 若角的终边经过点，则__________. 14. 已知空间四点，，，，则点到平面的距离为_____． 15. 某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，则该多面体的体积为________． 三、解答题 16. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱的中点. （1）求异面直线AE和PD所成角的余弦值； （2）求点B到平面CDE的距离； 17. 某棒球场要举办大型活动，该活动要一块矩形场地，现对棒球场的扇形空地AOB进行改造．如图所示，矩形CDEF区域为活动区域，已知扇形AOB的半径为100米，圆心角为，现要探究在该扇形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大．一种方案是将矩形的一边CD放在OA上，另外两个顶点E，F分别在弧AB和OB上，其中（如图2所示）； （1）若按方案一来进行修建，求活动场地面积的最大值： （2）改造活动场地的另一种方案是，将矩形一边的两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点C，F分别在OA和OB上，有（如图3所示）．比较两种方案，哪种方案更优？ 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求的大小； （2）若，，直线PQ分别交AB，BC于P，Q两点，且把的面积分成相等的两部分，求的最小值． 19. 如图，四棱锥中，四边形ABCD为梯形，其中，，，平面平面. （1）证明：； （2）若，且PA与平面ABCD所成角的正弦值为，点F在线段PC上满足，求二面角的余弦值. 20. 如图，在四棱锥中，平面，且，为的中点，平面与平面． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成的角． 21. 已知向量，若与的夹角为． （1）求； （2）当为何值时，向量与向量互相垂直？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $