专题1.1 有理数的相关概念（高效培优讲义）数学沪科版2024七年级上册

专题1.1 有理数的相关概念 教学目标 1.借助生活中的实例体会引入负数的必要性，并能用正、负数表示生活中具有相反意义的量。 2.会判断一个数是正数是负数 3.理解有理数的意义，并能对有理数进行分类。 4.能用正、负数解决有关实际问题，增强应用意识。 5.理解数轴的概念，能用数轴上的点表示有理数。 6.利用数轴理解绝对值和相反数的概念，知道互为相反数的两个数在数轴上的位置关系。 教学重难点 教学重点 有理数的概念与分类：理解有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）的统称，能准确对给定的数进行分类，明确 0 既不是正数也不是负数，是有理数分类中的关键部分。 数轴的概念与应用：掌握数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，理解所有有理数都可以用数轴上的点来表示，能利用数轴比较有理数的大小，体会数形结合的初步应用。 相反数与绝对值的概念：明确只有符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数是 0；理解绝对值的几何意义是数轴上表示数的点与原点的距离，代数意义是正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0，并能熟练求出一个数的相反数和绝对值。 教学难点 数轴的灵活运用：理解数轴上的点与有理数的关系，虽然所有有理数都能在数轴上表示，但数轴上的点不都表示有理数。 绝对值概念的深入理解：绝对值的几何意义涉及到距离，较为抽象，学生不易理解。数形结合思想的体会：有理数相关概念中蕴含着丰富的数形结合思想，如相反数和绝对值的几何意义等。但学生初次接触这种思想方法，难以自觉运用该思想去解决问题，需要教师在教学中不断引导，让学生逐步体会并掌握这种重要的数学思想方法。 知识点01 具有相反意义的量 1.日常生活中,表示相反意义的量的常用词语: 收入 盈利 上升 零上 增加 向东(南) … 支出 亏损 下降 零下 减少 向西(北) … 2.具有相反意义的量的规定 为了区别具有相反意义的量,用正数和负数分别表示具有相反意义的量,若规定其中的一种量为正(可任意选择),则它的相反意义的量为负.习惯上把“前进、上升、收人、零上”等规定为正,把“后退、下降、支出、零下”等规定为负. 3. 具有相反意义的量的“两要素” (1)具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能称为具有相反意义的量. (2)具有相反意义的量必须是同类量，只要求具有相反意义，不要求数量一定相等，所以与一个量具有相反意义的量不止一个 【即学即练】下列说法错误的是（ ） A．盈利2000元和亏损100元是相反意义的量 B．向西走5千米和向北走5千米是相反意义的量 C．增加20人和减少10人是相反意义的量 D．支出600元和收入800元是相反意义的量 知识点02 正数、负数的概念 1. 正数：像8 848.86，4，＋40 000，1.7这样的数是正数； 2.负数：像－80.97，－6 ，－10 000，－0.6这样的数是负数. 3.零：数0既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界 易错警示 (1)表示正负数时，正号可以省略不写，而负号不能省略. (2)0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界点，它小于所有正数，大于所有负数. 【即学即练】下面各数哪些是正数，哪些是负数？ ． 知识点03 用正数和负数表示具有相反意义的量 为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示 . 1. 像海拔高度这样，通过设置一个分界点，以此区分具有相反意义的量. 2. 用正数、负数表示具有相反意义的量，在描述变化的情况时，一般地，向指定方向变化用正数表示，向指定方向的相反方向变化用负数表示. 【即学即练】中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“+60元”，那么“支出40元”记作（　　） A．+40元 B．﹣40元 C．+20元 D．20元 知识点04 有理数的概念及分类 1.有理数：整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式， 2.有理数的分类： 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 【即学即练】把下列各数填入相应的大括号内上： ，0.618，-3.14，260，-2009，，-0.010010001…，，0，-1． 有理数集合：{                             …}； 整数集合：{                               …}； 非正数集合：{                             …}． 知识点05 数轴 1.数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 . 2. 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度.数轴的三要素缺一不可. 在解决具体问题时可以灵活选定原点的位置、正方向的朝向、单位长度的大小，但一经选定，就不能随意改变. 3.数轴的画法 (1) 画直线， 取原点： 画一条直线，在这条直线上任取一个点表示数 0，这个点叫作原点； (2) 标正方向： 通常规定直线上从原点向右为正方向，则相反方向为负方向； (3) 选取单位长度， 标数： 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2， 3，… ；从原点向左，用类似方法依次表示 －1， －2，－3，… . 【即学即练】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 知识点06 有理数与数轴上点的关系 一般地，任意一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示.但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如. 【即学即练】如图，点M表示的数可能是（　　） A．1.5 B． C．2.5 D． 知识点07 相反数 1.只有符号不同的两个数互为相反数，这就是说，其中一个数是另一个数的相反数，如 2 与 －2 互为相反数，即 2 的相反数是 －2， －2 的相反数是 2. 2. 数a的相反数是－a，这里a表示任意一个数，它可以是正数、负数或者0. 3. 任何一个数都有相反数，而且只有一个；正数的相反数是负数；负数的相反数是正数； 0 的相反数是 0. 【即学即练】填空： (1) －(－2.5)的相反数是 ；(2) 是-100的相反数；(3) 是 的相反数； (4) 的相反数是-1.1；(5)8.2和 互为相反数.（6）a和 互为相反数 . （7）______的相反数比它本身大， ______的相反数等于它本身． 知识点08 绝对值 1. 概念：一般地，数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值. 2. 表示方法：数a的绝对值记为|a|，读作“ a的绝对值”. 3.性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0 . 也可以表示为： 【即学即练】求下列各数的绝对值． ，-0.3，0， 题型01 用正负数表示具有相反意义的量 【例1】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如果水库水位上升记作，那么水库水位下降记作（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）我国是最早认识和使用负数的国家，早在公元3世纪，我国数学家刘徽就说：“今两算得失相反，要令正负以明之．”意思：在计算过程中遇到相反意义的量，要用正数和负数来区分它们．如果我们把收入5万元，记为，那么支出3万元，应记为 ． 【变式2】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）淮南淮河大坝的警戒水位为22.30米，取警戒水位作为0点．如果淮河水位为24米记作米，那么淮河水位为20米记作 米． 【变式3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）（九章算术）中有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫作正数与负数．若前进米记作米，则后退米记作 米． 题型02 用正负数表示误差范围 【例1】（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）我们在买薯片时，总会发现包装袋上标注有，的意思是 ． 【变式1】（22-23七年级上·安徽芜湖·期中）食品包装袋上的 “”表示这种食品的标准质量是，那么这种食品净含量最少为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图是某零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：），其中不合格的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（22-23七年级上·安徽亳州·期末）某商店出售的一种袋装大米，在包装上标有：，这袋大米最轻的重量是 kg． 题型03 有关正负数图表信息题 【例1】（22-23七年级上·安徽淮北·阶段练习）下表是某班5名同学某次数学测试成绩，根据信息回答问题： 姓名 王芳 刘兵 张沂 李聪 江文 成绩 89 84 与全班平均分之差 (1)把表格补充完整； (2)若不低于平均分的成绩是合格，求5名同学的合格率? 【变式1】某超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比的增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题： 月  份 1 2 3 4 5 6 比上年同月增长% 1.8 0 0.2 1.5 0.3 0.4 (1)该超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)2021年1月和4月比上年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)2021年上半年与2020年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪几个月？ 【变式2】某超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比的增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题： 月  份 1 2 3 4 5 6 比上年同月增长% 1.8 0 0.2 1.5 0.3 0.4 (1)该超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)2021年1月和4月比上年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)2021年上半年与2020年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪几个月？ 【变式3】（2022秋·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）下表是某班5名同学某次数学测试成绩，根据信息回答问题： 姓名 王芳 刘兵 张沂 李聪 江文 成绩 89 84 与全班平均分之差 (1)把表格补充完整； (2)若不低于平均分的成绩是合格，求5名同学的合格率? 【变式4】“十一”黄金周期间，某超市家电部大力促销，收银情况如下表，下表为当天与前一天的营业额的涨跌情况（上涨为正，下跌为负，单位：万元）．已知9月30日的营业额为26万元： 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 +4 +3 +2 0 ﹣1 ﹣3 ﹣5 （1）家电部黄金周内哪天收入最高，为多少万元？哪天收入最低，为多少万元？ （2）家电部黄金周内平均每天的营业额是多少万元？（精确到0.01万元） 题型04 正数、负数的规律探究题 【例1】观察下列数列，填上空缺的数． （1）1，，2，，3，______，______，______； （2）1，，3，，5，______，______，______． 编号法探究数组的排列规律探究 一组数的排列规律时，应全面分析题中所给的所有数据要从符号和数字两个方面进行观察，可以先把已知的数据按顺序编上序号，再分别确定符号和数字与序号的统一关系，进而确定数字排列规律与序号的关系，若数据是分数，还要分别观察分子和分母 【变式1】按照一定的规律填数： （1）1，，4，，16，______，______，______； （2）1，，3，4，，6，7，，9，______，______，…，______（第2017个数）． 【变式2】创新题·新题型 黑板上有10个互不相同的有理数，有四位同学对此作出如下描述： 小明说：“其中有6个整数.” 小红说：“其中有6个正数.” 点点说：“其中正分数与负分数的个数相等.” 训训说：“负数的个数不超过3个.” 请你根据这四位同学的描述，判断这10个有理数中共有___个负整数. 题型05 多重符号的化简 【例1】（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试） ， 【变式1】化简下列各数中的符号． （1） （2）-(+5) （3）-(-0.25) （4） （5）-[-(+1)] （6）-(-a) 【变式2】化简： （1）﹣{+[﹣（+3）]}； （2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）}． 【变式3】当+6前面有2011个正号时，化简结果为： ；当+6前面有2011个负号时，化简结果为： ；当+6前面有2012个负号时，化简结果为： . 题型06 相反数的几何意义的应用 【例1】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，为数轴上两点，且两点表示的数互为相反数，点表示的数是1，一个动点从点处出发，先向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度到达点，则点表示的数为 ．    【变式1】如图，数轴上的点M，P，N，Q分别表示四个有理数，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示正数的点的个数是 个．   【变式2】数形结合思想 如图，数轴的单位长度为1.请回答下列问题. (1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C 表示的数是多少？ (2)如果点D，B表示的数互为相反数，那么点C，D 表示的数分别是多少？ 题型07 绝对值的应用 【例1】真 实 情 境 [2025·合肥五十中月考] 世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数）． 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 0.1 0.2 0 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过的为优等品，超过但不超过的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 【变式1】正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由． 【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻? 题型08 与数轴有关的探索与创新题 【例1】在数轴上A点表示，则在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数（    ） A． B．5 C．或 D．1 易错警示 绝对值的漏解( 多解)问题 已知一个数的绝对值求这个数时,容易只求出满足条件的正数,而漏掉负数。 【变式1】数轴上到原点距离为2个单位的点表示的数有______，是______；数轴上到表示1的点的距离为2个单位的点表示的数为______． 【变式2】数轴上表示的数是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的有多少个？ 一、单选题 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）下列数轴上仅有两点表示的数绝对值相等，这两点是（    ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（24-25七年级上·安徽黄山·期中）小明在超市购买了一种饼干，在其包装袋上发现该饼干的质量合格标识为“克”，则下列不合格的是（  ） A．克 B．克 C．克 D．克 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）规定：表示向东走，记作，则（）表示向西走，记作（   ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级上·安徽淮北·阶段练习）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“元”，那么“支出40元”记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法正确的是（   ） A．一个有理数不是正数就是负数 B．若，则a为正数 C．一定是负数 D．一个有理数不是整数就是分数 7．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法中正确的是（   ） A．0不是有理数 B．在有理数中有最小的数 C．有理数不是整数就是分数 D．若是有理数，则一定是负数 8．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）体育锻炼标准规定：13岁男生每分钟做22个仰卧起坐为达标，超过标准的个数用正数表示，不足的个数用负数表示．八位同学的成绩分别记录为：．这八位同学中达标的有（    ） A．7人 B．6人 C．5人 D．4人 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示．则“”所表示的数是（   ） A．223 B． C．262 D． 二、填空题 10．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若水位上升50米，记作米，则水位下降30米，记作 米． 11．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．如果盈利100元记为元，那么亏损200元记为 元． 12．（22-23七年级上·浙江台州·期中）在检测排球质量过程中，规定超过标准的克数为正数，不足的克数记为负数，根据下表提供的检测结果，你认为质量最接近标准的是 号排球． 排球编号 一号 二号 三号 四号 五号 检测结果 三、解答题 13．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）画出数轴并标出表示下列各数的点． 14．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）把下列各数填在相应的集合里： (1)正整数集合： ； (2)整数集合： ； (3)正分数集合： ； (4)非负有理数集合： ； 15．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）给出下列各数：，，0，，，2，，．把这些数分别填入相应的大括号内． (1)整数： ； (2)分数： ； (3)负数： ； (4)非负整数： ． 16．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）把下列各数分别填入图中相应的位置． ，，0，，，，8，，． 17．一辆货车从超市出发，向东走了到达小刚家，继续向东走了到达小红家，又向西走了到达小英家，最后回到超市． (1)请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示，画出数轴．并在数轴上标出小刚家、小红家、小英家的位置． (2)小英家距小刚家有多远？ (3)货车一共行驶了多少千米？ 18．已知有理数，所对应的点在数轴上的位置如图所示．    (1)在数轴上表示出，的相反数的位置； (2)若数对应的点与其相反数对应的点相距个单位长度，求的值； (3)在（）的条件下，若数对应的点与数的相反数对应的点相距个单位长度，求的值． 19．如图，一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得到木棒长为______． (2)由（1）的启发，请你借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，小丽问马老师年龄时，马老师说：“我像你这么大时，你只有1岁；等你到我这年龄的时候，我已经52岁了．”请求出小丽和马老师现在多少岁了？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 有理数的相关概念 教学目标 1.借助生活中的实例体会引入负数的必要性，并能用正、负数表示生活中具有相反意义的量。 2.会判断一个数是正数是负数 3.理解有理数的意义，并能对有理数进行分类。 4.能用正、负数解决有关实际问题，增强应用意识。 5.理解数轴的概念，能用数轴上的点表示有理数。 6.利用数轴理解绝对值和相反数的概念，知道互为相反数的两个数在数轴上的位置关系。 教学重难点 教学重点 有理数的概念与分类：理解有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）的统称，能准确对给定的数进行分类，明确 0 既不是正数也不是负数，是有理数分类中的关键部分。 数轴的概念与应用：掌握数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，理解所有有理数都可以用数轴上的点来表示，能利用数轴比较有理数的大小，体会数形结合的初步应用。 相反数与绝对值的概念：明确只有符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数是 0；理解绝对值的几何意义是数轴上表示数的点与原点的距离，代数意义是正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0，并能熟练求出一个数的相反数和绝对值。 教学难点 数轴的灵活运用：理解数轴上的点与有理数的关系，虽然所有有理数都能在数轴上表示，但数轴上的点不都表示有理数。 绝对值概念的深入理解：绝对值的几何意义涉及到距离，较为抽象，学生不易理解。数形结合思想的体会：有理数相关概念中蕴含着丰富的数形结合思想，如相反数和绝对值的几何意义等。但学生初次接触这种思想方法，难以自觉运用该思想去解决问题，需要教师在教学中不断引导，让学生逐步体会并掌握这种重要的数学思想方法。 知识点01 具有相反意义的量 1.日常生活中,表示相反意义的量的常用词语: 收入 盈利 上升 零上 增加 向东(南) … 支出 亏损 下降 零下 减少 向西(北) … 2.具有相反意义的量的规定 为了区别具有相反意义的量,用正数和负数分别表示具有相反意义的量,若规定其中的一种量为正(可任意选择),则它的相反意义的量为负.习惯上把“前进、上升、收人、零上”等规定为正,把“后退、下降、支出、零下”等规定为负. 3. 具有相反意义的量的“两要素” (1)具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能称为具有相反意义的量. (2)具有相反意义的量必须是同类量，只要求具有相反意义，不要求数量一定相等，所以与一个量具有相反意义的量不止一个 【即学即练】下列说法错误的是（ ） A．盈利2000元和亏损100元是相反意义的量 B．向西走5千米和向北走5千米是相反意义的量 C．增加20人和减少10人是相反意义的量 D．支出600元和收入800元是相反意义的量 【答案】B 【解析】B答案错误，向西走5千米和向东走5千米是相反意义的量． 【总结】考察正数、负数表示的意义． 知识点02 正数、负数的概念 1. 正数：像8 848.86，4，＋40 000，1.7这样的数是正数； 2.负数：像－80.97，－6 ，－10 000，－0.6这样的数是负数. 3.零：数0既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界 易错警示 (1)表示正负数时，正号可以省略不写，而负号不能省略. (2)0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界点，它小于所有正数，大于所有负数. 【即学即练】下面各数哪些是正数，哪些是负数？ ． 【答案】正数：5，0.56，，；负数：． 【详解】解：正数：5，0.56，，； 负数：． 知识点03 用正数和负数表示具有相反意义的量 为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示 . 1. 像海拔高度这样，通过设置一个分界点，以此区分具有相反意义的量. 2. 用正数、负数表示具有相反意义的量，在描述变化的情况时，一般地，向指定方向变化用正数表示，向指定方向的相反方向变化用负数表示. 【即学即练】中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“+60元”，那么“支出40元”记作（　　） A．+40元 B．﹣40元 C．+20元 D．20元 【解答】解：如果“收人60元”记作“+60元”，那么“支出40元”记作﹣40元． 故选：B． 知识点04 有理数的概念及分类 1.有理数：整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式， 2.有理数的分类： 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 【即学即练】把下列各数填入相应的大括号内上： ，0.618，-3.14，260，-2009，，-0.010010001…，，0，-1． 有理数集合：{                             …}； 整数集合：{                               …}； 非正数集合：{                             …}． 【详解】解：有理数集合：{}； 整数集合：{}； 非正数集合：{}． 知识点05 数轴 1.数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 . 2. 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度.数轴的三要素缺一不可. 在解决具体问题时可以灵活选定原点的位置、正方向的朝向、单位长度的大小，但一经选定，就不能随意改变. 3.数轴的画法 (1) 画直线， 取原点： 画一条直线，在这条直线上任取一个点表示数 0，这个点叫作原点； (2) 标正方向： 通常规定直线上从原点向右为正方向，则相反方向为负方向； (3) 选取单位长度， 标数： 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2， 3，… ；从原点向左，用类似方法依次表示 －1， －2，－3，… . 【即学即练】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 选项A中的数轴没有原点，因此选项A不符合题意； 选项B的数轴符合数轴的定义，因此选项B符合题意； 选项C中的数据标识不正确，因此选项C不符合题意； 选项D中的数轴单位长度不一致，因此选项D不符合题意； 知识点06 有理数与数轴上点的关系 一般地，任意一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示.但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如. 【即学即练】如图，点M表示的数可能是（　　） A．1.5 B． C．2.5 D． 【答案】D 【详解】解：由数轴可知点M表示的数在和之间，所以点M表示的数可能是； 知识点07 相反数 1.只有符号不同的两个数互为相反数，这就是说，其中一个数是另一个数的相反数，如 2 与 －2 互为相反数，即 2 的相反数是 －2， －2 的相反数是 2. 2. 数a的相反数是－a，这里a表示任意一个数，它可以是正数、负数或者0. 3. 任何一个数都有相反数，而且只有一个；正数的相反数是负数；负数的相反数是正数； 0 的相反数是 0. 【即学即练】填空： (1) －(－2.5)的相反数是 ；(2) 是-100的相反数；(3) 是 的相反数； (4) 的相反数是-1.1；(5)8.2和 互为相反数.（6）a和 互为相反数 . （7）______的相反数比它本身大， ______的相反数等于它本身． 【答案】（1）－2.5；（2）100；（3）；（4）1.1；（5）-8.2；（6）-a；（7）负数， 0 . 知识点08 绝对值 1. 概念：一般地，数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值. 2. 表示方法：数a的绝对值记为|a|，读作“ a的绝对值”. 3.性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0 . 也可以表示为： 【即学即练】求下列各数的绝对值． ，-0.3，0， 【答案与解析】 解法一：因为到原点距离是个单位长度，所以． 因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3． 因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0． 因为到原点的距离是个单位长度，所以． 解法二：因为，所以． 因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0.3)＝0.3． 因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0． 因为，所以． 题型01 用正负数表示具有相反意义的量 【例1】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如果水库水位上升记作，那么水库水位下降记作（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查正数与负数的意义．先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答即可． 【详解】解：∵水库水位上升记作， ∴水库水位下降记作． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）我国是最早认识和使用负数的国家，早在公元3世纪，我国数学家刘徽就说：“今两算得失相反，要令正负以明之．”意思：在计算过程中遇到相反意义的量，要用正数和负数来区分它们．如果我们把收入5万元，记为，那么支出3万元，应记为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反意义的量，根据题意收入记作正，则支出记作负，即可得出答案． 【详解】解：把收入5万元，记为，那么支出3万元，应记为， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）淮南淮河大坝的警戒水位为22.30米，取警戒水位作为0点．如果淮河水位为24米记作米，那么淮河水位为20米记作 米． 【答案】 【分析】此题考查了正负数的应用，首先要知道以谁为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负，由此用正负数解答问题．． 【详解】解：∵淮河水位为24米记作米， ∴淮河水位为20米记作米． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）（九章算术）中有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫作正数与负数．若前进米记作米，则后退米记作 米． 【答案】 【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键．在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据相反意义的量求解即可。 【详解】解：前进米记作米，则后退米记作米． 故答案为：． 题型02 用正负数表示误差范围 【例1】（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）我们在买薯片时，总会发现包装袋上标注有，的意思是 ． 【答案】重量在上下波动范围内意思正确即可 【分析】根据题意及“正”、“负”所表示的意义直接作答即可． 【详解】因为袋上标注有，表示这袋薯片最重为； 最轻为； 所以的意思是薯片质量介于 到 之间； 故答案为：重量在上下波动范围内意思正确即可． 【点睛】本题主要考查正负数的意义，正确理解正负数的意义是解题的关键． 【变式1】（22-23七年级上·安徽芜湖·期中）食品包装袋上的 “”表示这种食品的标准质量是，那么这种食品净含量最少为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】净含量，表示这种食品净含量最多是，最少是，据此计算即可． 【详解】解：根据题意可知，净含量，表示这种食品净含量最多是，最少是， 故选：． 【点睛】此题考查了运用正负数概念解决问题的能力，能准确理解正数和负数是表示一对意义相反的量，明确表示的净含量范围是解答本题的关键． 【变式2】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）如图是某零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：），其中不合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的实际应用，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键． 现根据图片信息得出零件直径的合格范围，在对比四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：，， ∴零件直径的合格范围是：零件直径， ∵， ∴不合格， 故选：A． 【变式3】（22-23七年级上·安徽亳州·期末）某商店出售的一种袋装大米，在包装上标有：，这袋大米最轻的重量是 kg． 【答案】 【分析】根据正负数的意义计算即可． 【详解】∵包装上标有：， ∴这袋大米最轻的重量是． 故答案为: ． 【点睛】本题考查了正负数的意义,正确理解是解题的关键． 题型03 有关正负数图表信息题 【例1】（22-23七年级上·安徽淮北·阶段练习）下表是某班5名同学某次数学测试成绩，根据信息回答问题： 姓名 王芳 刘兵 张沂 李聪 江文 成绩 89 84 与全班平均分之差 (1)把表格补充完整； (2)若不低于平均分的成绩是合格，求5名同学的合格率? 【答案】(1)86，78，82， (2) 【分析】根据有理数加减法在实际问题中的应用，可知高于基准为正，低于基准为负，有张沂可知，平均分为 分，由此即可求出其他同学的成绩，由合格人数除以总人数乘以百分比即可求出答案． 【详解】（1）解：由表格中张沂的信息可得出，平均分为84分， ∴刘兵成绩：（分），李聪成绩：（分），江文成绩：（分），王芳成绩：， 故答案是：86，78，82，； （2）解：平均分为 分，合格有刘兵，张沂，王芳， ∴合格率是：， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查有理数的加减法的应用，以及合格率的计算，解题的关键的找出“基准”，且“高于基准为正，低于基准为负”． 【变式1】某超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比的增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题： 月  份 1 2 3 4 5 6 比上年同月增长% 1.8 0 0.2 1.5 0.3 0.4 (1)该超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)2021年1月和4月比上年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)2021年上半年与2020年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪几个月？ 【答案】(1)3月，5月，6月是增长的 (2)负数表示降低，营业额下降 (3)没有增长的是1月，2月，4月 【分析】（1）根据正数表示增长，可得负数表示降低； （2）根据正数表示增长，可得负数表示降低； （3）根据正数表示增长，可得负数表示降低，0表示不变． 【详解】（1）由正数表示增长，该超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比，3月、5月、6月是增长的； （2）由负数表示降低，可得2021年1月和4月比上年同月增长率是负数，表示降低，营业额下降； （3）2021年上半年与2020年上半年同月相比，营业额没有增长即比上年同月增长%为0的有2月、1月、4月． 【点睛】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示． 【变式2】某超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比的增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题： 月  份 1 2 3 4 5 6 比上年同月增长% 1.8 0 0.2 1.5 0.3 0.4 (1)该超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)2021年1月和4月比上年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)2021年上半年与2020年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪几个月？ 【答案】(1)3月，5月，6月是增长的 (2)负数表示降低，营业额下降 (3)没有增长的是1月，2月，4月 【详解】（1）由正数表示增长，该超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比，3月、5月、6月是增长的； （2）由负数表示降低，可得2021年1月和4月比上年同月增长率是负数，表示降低，营业额下降； （3）2021年上半年与2020年上半年同月相比，营业额没有增长即比上年同月增长%为0的有2月、1月、4月． 【变式3】（2022秋·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）下表是某班5名同学某次数学测试成绩，根据信息回答问题： 姓名 王芳 刘兵 张沂 李聪 江文 成绩 89 84 与全班平均分之差 (1)把表格补充完整； (2)若不低于平均分的成绩是合格，求5名同学的合格率? 【答案】(1)86，78，82， (2) 【详解】（1）解：由表格中张沂的信息可得出，平均分为84分， ∴刘兵成绩：（分），李聪成绩：（分），江文成绩：（分），王芳成绩：， 故答案是：86，78，82，； （2）解：平均分为 分，合格有刘兵，张沂，王芳， ∴合格率是：， 【变式4】“十一”黄金周期间，某超市家电部大力促销，收银情况如下表，下表为当天与前一天的营业额的涨跌情况（上涨为正，下跌为负，单位：万元）．已知9月30日的营业额为26万元： 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 +4 +3 +2 0 ﹣1 ﹣3 ﹣5 （1）家电部黄金周内哪天收入最高，为多少万元？哪天收入最低，为多少万元？ （2）家电部黄金周内平均每天的营业额是多少万元？（精确到0.01万元） 【解答】解：（1）∵9月30日的营业额为26万元， ∴10月1日的营业额为26+4＝30万元， 10月2日营业额为30+3＝33万元， 10月3日营业额为33+2＝35万元， 10月4日营业额为35+0＝35万元， 10月5日营业额为35﹣1＝34万元， 10月6日营业额为34﹣3＝31万元， 10月7日营业额为31﹣5＝26万元， ∴10月7日最低，营业额为26万元；10月3日、4日为最高，营业额为35万元； （2）（30+33+35+35+34+31+26）÷7＝32.00（万元）， ∴家电部黄金周内平均每天的营业额是32.00万元． 题型04 正数、负数的规律探究题 【例1】观察下列数列，填上空缺的数． （1）1，，2，，3，______，______，______； （2）1，，3，，5，______，______，______． 【答案】（1）-3，4，-4；（2）-6，7，-8． 【解析】（1）从举出的数可以看出，两数之间互为相反数即可； （2）数字是1、2、3、4、5、6、7、8，偶数前面是负号，奇数前面是正号． 编号法探究数组的排列规律探究 一组数的排列规律时，应全面分析题中所给的所有数据要从符号和数字两个方面进行观察，可以先把已知的数据按顺序编上序号，再分别确定符号和数字与序号的统一关系，进而确定数字排列规律与序号的关系，若数据是分数，还要分别观察分子和分母 【变式1】按照一定的规律填数： （1）1，，4，，16，______，______，______； （2）1，，3，4，，6，7，，9，______，______，…，______（第2017个数）． 【答案】（1）-32，64，-128；（2）10，-11，2017． 【解析】（1）可找出规律：后面的数字是前面的数字的2倍，第奇数个数字为正数，第偶数个数字为负数．则 可得答案． （1）可找出规律：除了1之外，后面的符号规律是一负两正． 则第2017个数正数，为2017． 【总结】考察数字找规律． 【变式2】创新题·新题型 黑板上有10个互不相同的有理数，有四位同学对此作出如下描述： 小明说：“其中有6个整数.” 小红说：“其中有6个正数.” 点点说：“其中正分数与负分数的个数相等.” 训训说：“负数的个数不超过3个.” 请你根据这四位同学的描述，判断这10个有理数中共有___个负整数. 【解析】因为 10个有理数中有6个正数，所以非正数共有10−6=4 (个).因为负数的个数不超过3个，所以负数共有3个，其中负分数有(10−6)÷2=4÷2=2 (个)，所以负整数共有3−2=1 (个). 题型05 多重符号的化简 【例1】（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试） ， 【答案】 / 【分析】本题考查的是化简绝对值及化简多重符号，熟练掌握绝对值性质及化简多重符号的方法是解题关键，根据绝对值及相反数定义直接计算即可． 【详解】解：； ； ； ， 故答案为：，，，． 【变式1】化简下列各数中的符号． （1） （2）-(+5) （3）-(-0.25) （4） （5）-[-(+1)] （6）-(-a) 【答案】 (1) （2）-(+5)＝-5 （3）-(-0.25)＝0.25 （4） （5）-[-(+1)]＝-(-1)＝1 (6)-(-a)＝a 【解析】 (1) 表示的相反数，而的相反数是，所以 ； （2）-(+5)表示+5的相反数，即-5， 所以-(+5)=-5； （3）-(-0.25)表示-0.25的相反数，而-0.25的相反数是0.25，所以-(-0.25)＝0.25； （4）负数前面的“+”号可以省略，所以； （5）先看中括号内-(+1)表示1的相反数，即-1，因此-[-(+1)]＝-(-1)而-(-1)表示-1的相反数，即1，所以-[-(+1)]＝-(-1)=1；(6)-(-a)表示-a的相反数，即a． 所以-(-a)= a 【变式2】化简： （1）﹣{+[﹣（+3）]}； （2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）}． 【解析】 解：（1）原式=﹣{+[﹣3]}=﹣{﹣3}=3； （2）原式=﹣{﹣[﹣（﹣3）]}=﹣{﹣[+3]}=﹣{﹣3}=3． 【变式3】当+6前面有2011个正号时，化简结果为： ；当+6前面有2011个负号时，化简结果为： ；当+6前面有2012个负号时，化简结果为： . 【答案】6；-6；6 题型06 相反数的几何意义的应用 【例1】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，为数轴上两点，且两点表示的数互为相反数，点表示的数是1，一个动点从点处出发，先向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度到达点，则点表示的数为 ．    【答案】0 【分析】本题主要考查了相反数、用数轴上的点表示有理数、数轴上动点问题等知识，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．首先确定点表示的数是，再根据“向右移动，加；向左移动，减”的原则，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，为数轴上两点，且两点表示的数互为相反数， ∵点表示的数是1， ∴点表示的数是， 一个动点从点处出发，先向右移动5个单位长度， 此时该点表示的数为， 再向左移动4个单位长度到达点， 则点表示的数为． 故答案为：0． 【变式1】如图，数轴上的点M，P，N，Q分别表示四个有理数，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示正数的点的个数是 个．   【答案】3 【分析】本题考查了数轴、相反数的几何意义，解决本题的关键是判断出原点的位置． 先利用相反数的几何意义确定原点为线段的中点，再根据原点右边的数为正数进行判断解答即可． 【详解】解：点M，N表示的有理数互为相反数， ∴原点O在的中点处，如图， ∴图中在原点O右边的数为正数的点是P、N、Q三个点． 故答案为：3． 【变式2】数形结合思想 如图，数轴的单位长度为1.请回答下列问题. (1)如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C 表示的数是多少？ (2)如果点D，B表示的数互为相反数，那么点C，D 表示的数分别是多少？ 解：（1）点C表示的数是−1 . （2）点C表示的数是0.5，点D表示的数是−4.5 . 题型07 绝对值的应用 【例1】真 实 情 境 [2025·合肥五十中月考] 世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数）． 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 0.1 0.2 0 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过的为优等品，超过但不超过的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)在这六个乒乓球中，优等品是二号球、四号球、五号球，共3个；合格品是三号球、六号球，共2个；不合格品是一号球，共1个；理由见解析 【分析】本题考查了绝对值的意义及应用，熟练掌握相关知识是解题的关键； 判断质量、零件尺寸等是否合格，关键是看偏差的绝对值的大小，而与正、负数无关．由绝对值的几何定义可知，一个数的绝对值越小，离原点越近，将实际问题转化为距离标准质量越小，即绝对值越小，就越接近标准质量．据此进行判断即可． 【详解】（1）解：四号球，正好等于标准的质量， 五号球，，比标准球轻克， 二号球，，比标准球重克． （2）解：在这六个乒乓球中，优等品是二号球、四号球、五号球，共3个；合格品是三号球、六号球，共2个；不合格品是一号球，共1个； 理由如下：一号球，，不合格， 二号球，，优等品， 三号球，，合格品， 四号球，，优等品， 五号球，，优等品， 六号球，，合格品． 【变式1】正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由． 【答案】 因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛． 【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大． 【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻? 【答案】小虫爬行的总路程为： |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm) ． 答：小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) ． 题型08 与数轴有关的探索与创新题 【例1】在数轴上A点表示，则在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数（    ） A． B．5 C．或 D．1 【答案】C 【分析】本题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，在数轴上表示出A点，找到与点A距离2个长度单位的点所表示的数即可．此类题注意两种情况：要求的点可以在已知点的左侧或右侧．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 【详解】根据数轴可以得到在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数是：或．    故选：C． 易错警示 绝对值的漏解( 多解)问题 已知一个数的绝对值求这个数时,容易只求出满足条件的正数,而漏掉负数。 【变式1】数轴上到原点距离为2个单位的点表示的数有______，是______；数轴上到表示1的点的距离为2个单位的点表示的数为______． 【答案】2个；2和-2；3和-1 【解析】可利用画数轴得到答案． 【总结】考察对绝对值几何意义的理解及运用，注意两解的讨论． 【变式2】数轴上表示的数是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的有多少个？ 【答案】2018个或2017个 【解析】当A、B为整点时，线段AB=2017盖住的整点个数是2018个；当A、B分别不是整点时，线段AB=2017 盖住的整点个数是2017个． 【总结】考察数轴上有理数的表示，综合性较强，注意分类讨论． 一、单选题 1．（24-25七年级上·安徽六安·期中）下列数轴上仅有两点表示的数绝对值相等，这两点是（    ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上的点表示的数及绝对值的意义，两点表示的数绝对值相等，则这两点到原点的距离相等，观察数轴图可知到原点距离相等的点为点和点． 【详解】解：观察数轴图可知到原点距离相等的点为点和点，即点和点表示的数的绝对值相等， 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【知识点】有理数的定义 【分析】本题主要考查了有理数的定义，有理数是分数和整数的统称，据此可得答案． 【详解】解；在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有，，0，，，共5个， 故选：C． 3．（24-25七年级上·安徽黄山·期中）小明在超市购买了一种饼干，在其包装袋上发现该饼干的质量合格标识为“克”，则下列不合格的是（  ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】A 【知识点】正负数的实际应用 【分析】此题考查了正数和负数，计算饼干的质量合格标识的范围：在克和克之间，即从克到克之间，据此判断即可． 【详解】解：（克），（克）， 所以巧克力的质量标识范围是：在克到克之间． ，只有A选项在范围之外，其他选项都在范围之内， 故选：A． 4．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）规定：表示向东走，记作，则（）表示向西走，记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相反意义的量 【分析】本题主要考查了正负数的表示相反意义的量，理解正负数的意义是解题关键．根据正负数的意义进行解答即可． 【详解】解：根据题意，表示向东走，记作， 则（）表示向西走，记作． 故选：B． 5．（22-23七年级上·安徽淮北·阶段练习）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“元”，那么“支出40元”记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【知识点】相反意义的量 【分析】此题考查了相反意义的量．根据正负数的意义，直接写出答案即可． 【详解】解：如果“收入60元”记作“元”，那么“支出40元”记作“元”． 故选：B． 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法正确的是（   ） A．一个有理数不是正数就是负数 B．若，则a为正数 C．一定是负数 D．一个有理数不是整数就是分数 【答案】D 【知识点】有理数的分类、绝对值的几何意义、相反数的定义 【分析】本题考查了有理数的分类、绝对值的性质、相反数的定义，根据有理数的分类、绝对值的性质、相反数的定义逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、有理数包括正有理数、负有理数和0，故原说法错误，不符合题意； B、若，则a为正数或，故原说法错误，不符合题意； C、当时，，故原说法错误，不符合题意； D、一个有理数不是整数就是分数，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 7．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法中正确的是（   ） A．0不是有理数 B．在有理数中有最小的数 C．有理数不是整数就是分数 D．若是有理数，则一定是负数 【答案】C 【知识点】有理数的分类、有理数的定义 【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数的定义．有理数可以分为正数、0、负数或分为正有理数、0、负有理数，整数和分数统称有理数，根据上面两种分类方法去判断正误即可． 【详解】解：A、0是有理数，故A错误，不符合题意； B、在有理数中没有最小的数，故B错误，不符合题意； C、有理数不是整数就是分数，故C正确，符合题意； D、a是有理数，则不一定是负数，如时，，故D错误，不符合题意． 故选：C． 8．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）体育锻炼标准规定：13岁男生每分钟做22个仰卧起坐为达标，超过标准的个数用正数表示，不足的个数用负数表示．八位同学的成绩分别记录为：．这八位同学中达标的有（    ） A．7人 B．6人 C．5人 D．4人 【答案】C 【知识点】正负数的实际应用、正负数的定义 【分析】本题主要考查正负数的意义，用正负数表示意义相反的两种量：超过标准的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，由此求解即可． 【详解】解：由题意可知，达标的成绩有，共5人， 故选：C． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示．则“”所表示的数是（   ） A．223 B． C．262 D． 【答案】D 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了正数和负数，根据题意，结合正数和负数的意义即可得解，理解题意是解此题的关键． 【详解】 解：由题意可得：“”所表示的数是， 故选：D． 二、填空题 10．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若水位上升50米，记作米，则水位下降30米，记作 米． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正负数的实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据水位上升为正，则水位下降为负．即可得到答案． 【详解】解：若水位上升50米，记作米，则水位下降30米，记作米， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．如果盈利100元记为元，那么亏损200元记为 元． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正负数的应用，熟练掌握正数和负数表示相反意义的量是解题的关键．根据题意，如果盈利记为正，那么亏损记为负即可． 【详解】解：如果盈利100元记为元，那么亏损200元记为元． 故答案为：． 12．（22-23七年级上·浙江台州·期中）在检测排球质量过程中，规定超过标准的克数为正数，不足的克数记为负数，根据下表提供的检测结果，你认为质量最接近标准的是 号排球． 排球编号 一号 二号 三号 四号 五号 检测结果 【答案】五 【知识点】绝对值的几何意义、绝对值的其他应用 【分析】使用误差的绝对值作为评价标准，误差的绝对值越小数据越接近标准，即可判断． 【详解】根据表格检测结果的绝对值排序：，可知五号排球质量最接近标准， 故答案为：五． 【点睛】本题考查了绝对值的实际运用，关键要掌握绝对值的含义，以及在误差判断中运用． 三、解答题 13．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）画出数轴并标出表示下列各数的点． 【答案】见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查在数轴上表示有理数、化简多重符号、绝对值的性质，熟练掌握用在数轴上表示有理数的方法是解题的关键．先根据化简多重符号的方法和绝对值的性质进行化简，进而在数轴上表示即可． 【详解】解：， 如图，在数轴上表示各数如下： 14．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）把下列各数填在相应的集合里： (1)正整数集合： ； (2)整数集合： ； (3)正分数集合： ； (4)非负有理数集合： ； 【答案】(1)4， (2)4，，0，， (3)，， (4)， ，，，， 【知识点】带“非”字的有理数、有理数的分类 【分析】（1）先去绝对值符号，化简多重符号，然后根据正整数的定义解答即可； （2）根据整数的定义解答即可； （3）根据正分数的定义解答即可； （4）根据非负有理数的定义解答即可． 【详解】（1）解：，， 则正整数有：4，； （2）解：整数有：4，，0，，； （3）解：正负数有：，，； （4）解：非负有理数有：， ，，，，． 【点睛】本题考查的是有理数，熟知有理数的分类是解题的关键． 15．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）给出下列各数：，，0，，，2，，．把这些数分别填入相应的大括号内． (1)整数： ； (2)分数： ； (3)负数： ； (4)非负整数： ． 【答案】(1)0，，2，， (2)，， (3)，，， (4)0，2 【知识点】有理数的分类 【分析】本题主要考查了有理数的分类： （1）根据整数的定义求解即可； （2）根据分数的定义求解即可； （3）根据负数是小于0的数进行求解即可； （4）根据非负整数是大于等于0的整数进行求解即可． 【详解】（1）解：整数：0，，2，，； （2）解：分数：，， ； （3）解：负数：，，，； （4）解：非负整数：0，2． 16．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）把下列各数分别填入图中相应的位置． ，，0，，，，8，，． 【答案】答案见解析 【知识点】有理数的分类 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题关键是熟练掌握正数、负数和整数的定义．分别根据正数、负数和整数的定义，把各数填在相应的数集里即可； 【详解】解：如图， ． 17．一辆货车从超市出发，向东走了到达小刚家，继续向东走了到达小红家，又向西走了到达小英家，最后回到超市． (1)请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示，画出数轴．并在数轴上标出小刚家、小红家、小英家的位置． (2)小英家距小刚家有多远？ (3)货车一共行驶了多少千米？ 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了画数轴，数轴上两点间距离以及正负数的实际应用，绝对值的意义． （1）画出数轴，标出小刚家、小红家、小英家的位置即可； （2）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （3）求出四段路程的和即可解决问题． 【详解】（1）解：数轴如下图，    （2）小英家距小刚家有：； （3）货车一共行驶了：． 18．已知有理数，所对应的点在数轴上的位置如图所示．    (1)在数轴上表示出，的相反数的位置； (2)若数对应的点与其相反数对应的点相距个单位长度，求的值； (3)在（）的条件下，若数对应的点与数的相反数对应的点相距个单位长度，求的值． 【答案】(1)表示点见解析； (2)； (3)． 【知识点】相反数的定义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上表示数，两点间距离，相反数，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据相反数的几何定义可直接得出结论； （）由相反数的定义，结合数所对应的点的位置可得的值； （）先根据数对应的点与数的相反数对应的点相距个单位长度，求出可能的值，再由数轴可知，由此可得出的值． 【详解】（1）解：的相反数为，的相反数为，在数轴上表示如图所示： ； （2）解：数对应的点与其相反数对应的点相距个单位长度，且为负数， ∴； （3）解：由（）可知，则， ∵数对应的点与数的相反数对应的点相距个单位长度， ∴或， 由数轴可知， ∴． 19．如图，一根木棒放在数轴上，数轴的1个单位长度为，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得到木棒长为______． (2)由（1）的启发，请你借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，小丽问马老师年龄时，马老师说：“我像你这么大时，你只有1岁；等你到我这年龄的时候，我已经52岁了．”请求出小丽和马老师现在多少岁了？ 【答案】(1)6 (2)小丽现在18岁，马老师现在35岁 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数形相结合是解此题的关键． （1）由数轴观察可得三根木棒长，再列式计算即可得出答案； （2）在数轴上，设小丽的年龄为表示的数，马老师的年龄为表示的数，利用数形相结合的思想求解即可． 【详解】（1）解：由数轴观察可得：三根木棒长是， ∴木棒长为； （2）解：如图，设小丽的年龄为表示的数，马老师的年龄为表示的数， ∵马老师像小丽这么大时，小丽只有1岁；等小丽到马老师这年龄的时候，马老师已经52岁了． ∴马老师与小丽的3倍龄差为（岁）， ∴马老师与小丽的差为（岁）， ∴小丽的年龄为（岁）， ∴小丽的年龄为（岁）， ∴小丽现在18岁，马老师现在35岁． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$