21.2.4一元二次方程根与系数关系（教学设计）数学人教版九年级上册

21.2.4一元二次方程根与系数关系教学设计 1.教学内容 本课时是人教版九年级上册教材第二十一章一元二次方程，21.2解一元二次方程——21.2.4一元二次方程根与系数关系，内容为一元二次方程根与系数关系。 2.内容解析 本节课内容是一元二次方程的根与系数的关系，属于数与代数领域方程主题的重要内容，是提升学生抽象能力、运算能力及代数推理能力的重要载体。学生掌握了一元二次方程的解法，而一元二次方程的解是由方程的系数决定的事实将引发学生的自然思考：一元二次方程的根与系数还有其他特殊的关系吗？一元二次方程的根与系数关系的本质即系数决定方程的根的情况。 本课通过对特殊系数的一元二次方程猜测结论，并在从特殊到一般的方法抽象证明中积累用符号进行一般性推理的经验，是培养学生代数推理能力的典型课例。同时本课中具体丰富的数学史背景，是引导学生理解数学严谨性，感悟数学发现之美的重要课例。当然，本课的探究将为学生打开视野，为学生探究其它方程的根与系数的关系提供思路。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：一元二次方程的根与系数的关系。 1.教学目标 (1)通过计算观察，猜测一元二次方程的根与系数的关系，了解根与系数关系定理，提升学生的抽象能力与运算能力。 (2)经历一元二次方程的根与系数关系的探究过程，体验合情推理猜想结论，演绎推理论证结论的全过程，通过多种不同的方式论证根与系数关系定理，发展学生的代数推理能力。 (3)会利用一元二次方程的根与系数的关系解决一些简单的问题；了解根与系数关系的发展史，感受数学文化的魅力，建立模型观念。 2.目标解析： (1)学生能通过具体的一元二次方程，经历从特殊到一般的计算推理过程，猜测根与系数的关系。 (2)学生能利用所学知识，用多种方法推理证明根与系数关系定理，感受数学转化思想的重要作用，理解根与系数关系定理的使用前提及本质。 (3)学生能根据具体问题的实际意义，将一元二次方程根的情况与一元二次方程根的判别式、根与系数关系相联系，了解根与系数关系定理的发展史。 学生在前期能较为熟练的掌握一元二次方程的解法，对“系数决定根”的事实有一定的感知，但要从一般形式上逻辑严谨的研究一元二次方程的根与系数的关系还没有经验。特别在证明过程中，需要用字母进行形式上的计算与推理，结论证明较为抽象且方法多元，这对学生的抽象能力、运算能力及代数推理能力要求较高，需要教师辅助学生拟定研究路径，并在探究的论证环节多加引领。 根据以上分析，本课的教学难点是根与系数关系定理的证明. 创设情景，引入新课 方程的求根公式，不仅表示可以由方程的系数决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗? (设计意图：提出问题引入新课) 探究点1 二次项系数为1的一元二次方程的根与系数关系 思考 从因式分解法可知，方程（，为已知数）的两根为和，将方程化为的形式，你能看出和与之间的关系吗? 追问1：把方程的左边展开，化成一般形式是什么？ 追问2：二次项系数为1的一元二次方程的两个根的和、积与系数有什么关系？ 追问答案：1. 化成一般形式，得方程。 2.方程的二次项系数为1，一次项系数，常数项。 于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系: ，。 (活动方法：通过追问的形式激发学生思考，通过比较，引导学生先独立思考完成，然后再交流，务必使学生理解二次项系数为1的一元二次方程的根与系数关系.) (设计意图：认识理解二次项系数为1的一元二次方程的根与系数关系) 典例分析 例1．已知一元二次方程的两根为，，则的值为 （    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，，从而即可求解。 【详解】解：由一元二次方程的两根分别为，， ∴，， ∴； 故选：C． (设计意图：巩固二次项系数为1的一元二次方程的根与系数关系) 探究点2 一元二次方程根与系数的关系 思考　　一般的一元二次方程中，二次项系数未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢? 追问1：一般的一元二次方程中两个根是什么？ 追问2：它的两个根的和、积是什么？与一元二次方程系数是什么关系？ 1.根据求根公式可知，， 2.， . 方程两个根的和、积与一元二次方程系数：，. 追问3：把方程的两边同除以，能否得出该结论? 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两个根的和等于一次项系数与二次项系 数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比. 介绍根与系数关系定理又称韦达定理的发展史 (活动方法：通过追问的形式激发学生思考，引导学生先计算独立思考完成，然后再交流，由于字母多，运算较繁，教师相机指导，务必使学生理解一元二次方程的根与系数关系.) (设计意图：理解一元二次方程根与系数的关系) 典例分析 例2.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根，的和与积： ；； 【详解】解：　　 方程转化为 (设计意图：巩固一元二次方程根与系数关系) 1．材料阅读： 根与系数的关系定理： 已知是一元二次方程的两个实数解，则 已知是一元二次方程 的两个实数根， (1)请用含的代数式表示 ___________；___________ (2)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值：者不存在， 请您说明理由； (3)直接写出使的值为整数的实数的整数值． 【分析】（1）根据根与系数的关系可得，再运用完全平方公式变形即可解答； （2）根据根与系数的关系可得，然后根据根与系数的关系、整式的混合运算即可解答； （3）结合（1）并结合分式的加减运算、完全平方公式可得，再根据为整数，可得或或，最后结合即可解答． 【详解】（1）解：， ，解得：， ∴． 故答案为：1，． （2）解：方程有两个实数根， ， 解得： 与矛盾 不存在的值，使成立． （3）解： 的值为整数 或或， 又， ∴或或． (设计意图：拓展一元二次方程根与系数关系的综合运用) 1.（课本练习）不解方程，求下列方程两个根的和与积 　　　　　 　　　　 参考答案： （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.(2024-四川眉山·中考真题)已知方程的两根分别为，则的值为____. 【详解】解:∵方程的两根分别为， ∴，， ∴. 故答案为: 2.(2024-四川内江·中考真题)已知关于x的一元二次方程 (为常数)有两个不相等的实数根. (1)填空: ______，______. (2)求， (3)已知，求的值. 【详解】(1)解:由[详解]（1）解:根与系数的关系得，，， 故答案为: ，1; (2)解:∵，， . ∵关于x的一元二次方程(P为常数)有两个不相等的实数根. ∴, ∴， ∴. (3)解:由根与系数的关系得，，， ∵ ∴ , ∴, ∴, 解得或， ∴一元二次方程为或, 当时，，不合题意，舍去; 当时，△，符合题意; ∴. （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） （1）任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。 (2)经历一元二次方程的根与系数关系的探究过程，体验合情推理猜想结论，演绎推理论证结论的全过程，通过多种不同的方式论证根与系数的关系定理，发展学生的代数推理能力。 (3)会利用一元二次方程的根与系数的关系解决一些简单的问题；了解根与系数关系的发展史，感受数学文化的魅力，建立模型观念。 （设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题： 1.习题21.2 第7题。 2.已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若此方程的一个实数根为1，求方程的另一个实数根． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：设方程另一个实数根为x， 由根与系数的关系可得：， 解得：， 则方程的另一个实数根为0． 探究性作业： 1.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根为，且，求的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴， 即，解得； （2）由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，， ∵， ∴的值为0． 主板书 21.2.4一元二次方程根与系数关系 探究点1　二次项系数为1的一元二次方程的根与系数关系 探究点2　一元二次方程的根与系数关系 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$