21.2.3解一元二次方程——因式分解法（第1课时）（教学设计）数学人教版九年级上册

21.2.3因式分解法第一课时教学设计 1.教学内容 本课时是人教版九年级上册教材第二十一章一元二次方程，21.2解一元二次方程——21.2.3因式分解法第一课时，内容为因式分解法解一元二次方程。 2.内容解析 很多实际问题都需要通过列、解一元二次方程来解决。而我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本策略是将其转化为一元一次方程，这就是降次。本节课由简到难的展开学习，使学生认识即配方法、公式法后又一种新的解法因式分解法的基本原理并掌握其具体方法。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：因式分解法解一些一元二次方程。 1. 教学目标 （1）了解因式分解法解一元二次方程的概念。 （2）会用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程。 （3）通过探索因式分解法解一元二次方程的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。 2.目标解析 （1）因式分解法是解某些一元二次方程的简便方法，先将方程一边化为0，另一边分解为两个一次因式的乘积，分别令每个因式等于0，就将一元二次方程化归为两个一次方程。它依据的是两个实数的积等于0的条件，即这两个实数中必有等于0的. （2）任何一个教学过程都是以传授知识、培养能力和激发兴趣为目的的。这就要求我们必须从学生的认知结构和心理特征出发。当他们在解决实际问题时，发现要解的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想进一步研究和探索解方程的方法，而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了完全平方公式、二次根式，用配方法公式法后，这就为我们继续研究用因式分解法解一元二次方程奠定了基础。 学生已学习了配方法、公式法解一元二次的方程，从数学问题的一般研究思路来看，在解决了一般情况后，往往要看一-下是否存在某些特殊情形。对特殊情形的研究，一方面可以看成是对问题认识的深化，另一方面也是为解决问题提供新的思路，分析初中学生的心理特征，他们有强烈的好奇心和求知欲。因式分解法就是针对那些容易分解为两个一次因式乘积的二次三项式方程的特殊，怎样正确选择因式分解的方法是学生感到困难的问题。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为能够正确选择因式分解的方法。 创设情景，引入新课 问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度为 (单位:m)，根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)? 追问1：物体经过落回地面，这时它离地面的高度为多少m？我们可以怎样列出方程？ 设物体经过落回地面，这时它离地面的高度为0m，即.① (设计意图：提出问题引入新课) 探究点1 因式分解法 思考　上面的方程①除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程? 追问1：方程①的右边为0，左边可以因式分解得到什么形式？ 追问2：在实数范围内，两个因式的积等于0时，这两个因式可以取什么值？ 追问3：根据上面的结论，怎样将方程①降次，转化为一元一次方程？怎样完成问题的解答？ 追问答案： 1. 方程①的右边为0，左边可以因式分解得到 2.如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0（，或)；反之，如果两个因式中任何一个为0（或，)；那么它们的积也等于0. 3. 方程①转化为，或.② 所以，方程①的两个根是，. 这两个根中，表示物体约在2.04s时落回地面，而x=0表示物体被上抛离开地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m。 思考　　解方程①时，二次方程是如何降为一次的? 通过因式分解，转化为每个一次因式等于0，得到两个一次方程. 总结 可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. (活动方法：通过追问的形式激发学生思考，通过复习如果，那么，或，引导学生先独立思考完成，然后再交流，务必使学生理解掌握因式分解法的依据.) (设计意图：理解因式分解法的依据) 典例分析 例1．方程 的正确解法是（    ） A．化为 B． C．化为 D．化为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法——因式分解法，解题时先把看做一个整体，然后移项后提公因式即可把方程化为的形式求解即可解决，解题关键是整体思想的应用. 【详解】根据因式分解法解一元二次方程的解法，先移项为，然后提公因式（x+1）可得. 故选C. (设计意图：巩固什么是因式分解法) 例2　　因式分解法解下列方程: ； . 答案：　；. (活动方法：引导学生先独立思考完成，然后再交流，使学生理解掌握因式分解法的方法.) (设计意图：巩固用因式分解法解一元二次方程) 探究点2 正确运用因式分解法解一元二次方程 问题 因式分解法解一元二次方程的基本思路 归纳 因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便。总之，解一元二次方程的基本思路是:将一元二次方程把方程化为的形式，即化为两个一次因式的积，转化为两个一元一次方程。 (活动方法：引导学生分组完成，然后再交流) (设计意图：总结归纳便于学生掌握运用不同方法解一元二次方程) 典例分析 例3.用因式分解法解方程： (1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元二次方程： （1）利用公式法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； 熟练掌握公式法及因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：（1），，， ， ， 解得：，． （2）移项得：， 因式分解得：， 即或， 解得：，． (活动方法：解方程让学生自己尝试解决，教师提醒学生确定a、b、c的值时，要注意它们的符号，学生解答完毕教师再给予总结) (设计意图：巩固用公式法解一元二次方程) 1.解方程组: 【详解】解: 由(2)得: ,代入(1)中得:( 解得: . 当时，, 当时，, ∴方程组的解为,或者,. (设计意图：拓展一元二次方程的综合运用) 1.（课本练习）解下列方程： . 2.如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径. 参考答案： 1. 2. . （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.(2024·四川凉山·中考真题)已知，则的值为___. 【详解】解:∵，∴ 将y代入, 得，，即，∴或, ∵∴舍去,∴. ,故答案为:3. 2.(2024·广东广州·中考真题)定义新运算: ，例如：，，若，则的值为____. 【详解】解: ∵ 而 ∴①当时，则有 解得， ②当时， 解得， 综上所述，的值是或. 故答案为是或. （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） （1）先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 （2）因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便，解一元二次方程的基本思路是:将一元二次方程化为的形式，即化为两个一次因式的积，转化为两个一元一次方程。 （3）感受因式分解法解方程的转化的数学思想；在合作探究中体会数学的严谨性与逻辑性。 （设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 1.必做题：习题21.2 第6、10题。 2.探究性作业：习题21.2 第12题. 主板书 21.2.3因式分解法第一课时 探究点1　因式分解法 探究点2　正确选择方法解一元二次方程 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$