21.2.3解一元二次方程——因式分解法（第2课时）（教学设计）数学人教版九年级上册

21.2.3因式分解法第二课时教学设计 1.教学内容 本课时是人教版九年级上册教材第二十一章一元二次方程，21.2解一元二次方程——21.2.3因式分解法第二课时，内容为灵活运用不同方法解一元二次方程。 2.内容解析 很多实际问题都需要通过列、解一元二次方程来解决。而我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法。解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，这就是降次。本节课进一步总结配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的基本原理并掌握其具体方法，灵活选择合适的方法解一元二次方程。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：选择合适的方法解一些一元二次方程。 1.教学目标 （1）理解配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的基本原理并掌握其具体方法。 （2）能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择解方程的方法，体会解决问题方法的多样性。 （3）通过探索用不同方法解一元二次方程的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。 2.目标解析 （1）通过配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程因式分解法的基本原理并掌握其具体方法。根据方程的特点，选择合适的解一元二次方程的方法。 （2）任何一个教学过程都是以传授知识、培养能力和激发兴趣为目的的。这就要求我们必须从学生的认知结构和心理特征出发。分析初中学生的心理特征，他们有强烈的好奇心和求知欲。 （3）当学生在解决实际问题时，学生自然会想进一步研究和探索用不同方法解方程。 学生已学习了配方法、公式法、因式分解法解一元二次的方程，从数学问题的一般研究思路来看，在解决了一般情况后，往往要看一下是否存在某些特殊情形。对特殊情形的研究，一方面可以看成是对问题认识的深化，另一方面也是为解决问题提供新的思路，怎样正确选择合适的方法是学生感到困难的问题。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为能够选择合适的解一元二次方程方法。 创设情景，引入新课 前面我们学习了解一元二次方程的不同的解法，我们如何选择不同的方法解一元二次方程呢？ (设计意图：提出问题引入新课) 探究点1 一元二次方程不同解法辨析 （一）配方法 （1）直接开方法。直接开方法是配方法的最简单情形，就是利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法。 应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根。 (活动方法：让学生自己尝试归纳，教师相机提醒，再给予总结) （2）配方法。将一元二次方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数的形式，再利用直接开平方法求解。 （3）用配方法解一元二次方程的一般步骤：①将原方程的未知数和常数项分别移到方程的左、右边的形式； ②将方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程化为左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解。 配方法适用任何一元二次方程，对于一些一元二次用配方来解运算大，比较烦琐。 (设计意图：进一步理解掌握配方法) 典例分析 例1.解一元二次方程，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，把常数项移到右边，两边都加上一次项系数一半的平方即可得到答案． 【详解】解： ∴ 则 ∴， 故选：A （二）公式法 （1）求根公式。一元二次方程，当时， 方程有两个不等的实数根，，. （2）根的判别式。当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根。反过来也成立。 （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤：①将原方程化为一般形式；②确定的值（要注意符号）；③求出值；④当时，则将的值代入公式，求出方程的解；当时，方程无实数根。 公式法是配方法的结果，适用于任何一个一元二次方程。 典例分析 例2 用公式法解方程 【分析】按照公式法的步骤解一元二次方程。 【详解】解：化为一般式，得 ∵，，， ∴， ∴， ∴，． （三）因式分解法 （1）因式分解法。用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；用分解因式法解一元二次方程应注意：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式，否则可能会漏掉方程的根。 （2）因式分解法解一元二次方程的步骤:①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。　　　　　 能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积。 典例分析 例3.因式分解法解方程：． 【分析】按照因式分解法的步骤解一元二次方程。 【详解】解：移项，得 ， 提取公因式，得 ， 即 ， ，． 探究点2 一元二次方程不同解法灵活应用 配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，这些方法各有优势和适用场景，选择合适的方法取决于方程的具体形式和求解者的偏好。解题时需要综合考虑，灵活运用。 典例分析 例4．我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请选用不同的方法解下列一元二次方程． 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法、公式法和因式分解法，根据方程特点灵活选择方法是解题的关键． ①变形后用因式分解法解方程即可；②用配方法解方程即可；③用公式法解方程即可；④用因式分解法解方程即可． 【详解】解：①； ∴， ∴， 则或， 解得，； ② ∴ ∴， ∴， 则，； ③ 由题意得， ∵， ∴， ∴； ④ ∴， 则或， 解得. 例5．己知关于x的两个一元二次方程：方程①：；方程②： (1)证明方程①总有实数根， (2)若方程②有两个相等的实数根，求k的值． (3)若方程①和②有一个公共根a，求代数式的值． 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． （1）根据题意证明即可； （2）由方程②有两个相等的实数根，由二次项系数不为0及根的判别式等于0可得到关于的方程则可求得的值； （3）把分别代入两个方程，整理即可求得所求代数式的值． 【详解】解：（1） ∴无论k为何值时，方程总①有实数根 （2）∵方程②有两个相等的实数根， 且， 则， 则， ， ， ； （3）根据a是方程①和②的公共根， ③，④ 得：⑤， 得：， 代数式． 故代数式的值为5． 1．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程一定有两个实数根； (2)如果a为整数且方程的两个根均为整数，求a的值． 【分析】本题主要考查根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． （1）计算方程根的判别式，判断其符号即可； （2）求方程两根，结合条件则可求得a的值． 【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程． ∴， ∴方程总有两个实数根； （2）解：， ， 解得：或， 方程的两个根均为整数， 为整数， ，即， a为整数，， 或0． 1．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C． D．且 【分析】本题考查一元二次方程的定义及根与判别式的关系，根据一元二次方程有实数根得到，，即可得到答案 【详解】 解：∵一元二次方程有实数根， ∴，， 解得：且， 故选：A． 2.下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务． 解方程：． 解： 第一步 ， 第二步 ， 第三步 ， 第四步 ，． 第五步 (1)任务一： ①杨老师解方程的方法是； A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 ②第二步变形的依据是； (2)任务二：请你按要求解下列方程： ①；（公式法） ②．（因式分解法） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键． （1）①根据配方法解一元二次方程进行判断即可；②根据等式的基本性质进行判断即可； （2）①按照公式法解方程的步骤求解即可；②按照因式分解法的步骤求解即可． 【详解】（1）解：任务一：①解方程用到的方法是配方法，故选：B； ②第二步变形的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质． （2）解：①（公式法） ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 或， ∴，． ②（因式分解法） ， ， ， ， 或， ，． （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．（2025九年级上·河南新乡·阶段测试）用配方法解方程时，则下列配方正确的是 （   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程方程，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先移项合并，再配方求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：D． 2．（2025九年级上·甘肃定西·阶段测试）三角形的两边长分别是3和4，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．13 B．11 C．9或11 D．14和12 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用因式分解法求出方程的解得到第三边长，即可求出此时三角形的周长． 【详解】解：方程， 分解因式得：， 可得或， 解得：， 当时，三边长为2，3，4，此时三角形周长为； 当时，三边长分别为3，4，4，此时三角形周长为． 故三角形的周长为：9或11． 故选：C． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 配方法的一般步骤：①将原方程的未知数和常数项分别移到方程的左、右边的形式； ②将方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 公式法的一般步骤：①将原方程化为一般形式；②确定的值（要注意符号）；③求出值；④当时，则将的值代入公式，求出方程的解；当时，方程无实数根。、 因式分解法解的步骤:①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。　　　　　 配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，这些方法各有优势和适用场景，选择合适的方法取决于方程的具体形式和求解者的偏好。解题时需要综合考虑，灵活运用。 （设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题： 1．关于x的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能确定 【详解】解： ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 2.复习题21　第1题1、3、5、7小题 探究性作业： 1.解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式等知识，利用换元法解一元二次方程是解题关键． （1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值； （2）根据已知条件设求出的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或（舍去）， 即， ∴，； （2）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或， 当时，可有，解得，， 当时，可有， ∵， ∴该方程无解， ∴原方程的解为，． 主板书 21.2.3因式分解法第二课时 探究点1　一元二次方程不同解法辨析 探究点2　一元二次方程不同解法灵活应用 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$