精品解析：河南省部分名校联盟2024-2025学年高一下学期第三次月考数学试卷

2024—2025学年高一第三次月考试卷 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数z满足，则复数z的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求出复数，即得其虚部. 【详解】由可得， 故复数z的虚部是. 故选：B. 2. 若向量，且，则（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标公式计算即得. 【详解】由可得，解得. 故选：A. 3. 在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且则 sin A=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理求出边的值，再根据正弦定理求出的值. 【详解】在中，，，，  所以，所以. 因为，，， 所以 故选：D. 4. 设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且.下述说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若，则或 D. 若b与α，β所成的角相等，则a⊥b 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面关系利用相关平行的判定定理和性质定理可推出B项正确，通过作图推理可逐一排除其他选项. 【详解】对于A，因，由，则有或，故A错误； 对于B，如图所示，因，经过直线和平面内一点可做一个平面， 使，则，又因，同理可做平面，使，则， 故，又因，则得，因，故得，故，即B正确； 对于C，如图，在长方体中，，显然有，但与平面都不垂直，故C错误； 对于D，如图在长方体中，若，取直线为直线， 平面为平面，平面为平面，则直线即直线， 因，故和即b与平面α，β所成的角， 显然，但直线与不垂直，故D错误. 故选：B. 5. 在中，若 ，则的形状一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】应用向量数量积的运算律得，即，即可得三角形的形状. 【详解】由题设，则， 而的数量关系无法确定，所以一定是直角三角形，且. 故选：A 6. 已知是夹角为的两个单位向量，则向量与的夹角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积定义及运算律，结合向量夹角公式求解. 【详解】由是夹角为60°的两个单位向量，得， ，， ， 因此，而， 所以. 故选：C 7. 《九章算术》中将正四棱台体(棱台的上下底面均为正方形)称为方亭.如图，现有一方亭，，侧面积为，则该方亭的体积为（ ） A. B. C. D. 56 【答案】A 【解析】 【分析】根据侧面积公式求出斜高，再通过构建直角三角形求出棱台的高，最后根据体积公式计算体积. 【详解】已知正四棱台中，，侧面积. 因为正四棱台的侧面是四个全等的等腰梯形，设斜高为， 根据侧面积公式，将，，代入可得：  ，解得. 设正四棱台的高为，过上底面的一个顶点作于点，过作底面，垂足为，连接. 则是与边长差的一半，即. 在中，，， 根据勾股定理，可得： . 已知上底面边长，则上底面面积；下底面边长，则下底面面积. 棱台的高，根据正四棱台体积公式，可得：  . 该方亭的体积为. 故选：A. 8. 在中，，是上一动点，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设，将用与表示出来，再根据向量数量积的运算律求出关于的表达式，最后根据二次函数的性质求出最小值. 【详解】设，因为，所以.  因为，所以. 则， 因为，  . 所以.  令， 这是一个二次函数，二次项系数，函数图象开口向上，对称轴为. 因为，所以当时，取得最小值， . 即的最小值为.  故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数z在复平面内对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若 则 B. 若 则 C. 若z=3-2i，则复数在复平面内对应的点位于第四象限 D. 若1≤|z-i|≤2，则点 Z 的集合所构成的图形的面积为3π 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A：举，例子，算出模相等，但平方不等，说明A错误.  对于选项B：设，，由推出，，即，B正确.  对于选项C：由得，对应点在第四象限，C错误.  对于选项D：设，由得，图形是圆环，用大圆面积减小圆面积得，D正确. 【详解】令 则 不满足 故A错误； 设 若 则 所以，即 故B正确； 易知 复数z在复平面内对应的点位于第一象限，故C错误； 记，则 所以 圆 的面积为，圆 的面积为，所以点 Z 的集合所构成的图形的面积为，故 D 正确. 故选： BD. 10. 在△ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是锐角三角形 C. 若，则外接圆的半径为 D. 若，则 内切圆的半径为 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A：由正弦定理得出三边比例，设参数表示三边，进而求出、、的比例.  选项B：大边对大角，最大则最大，用余弦定理算，小于说明是钝角.  选项C：先求，再用正弦定理计算.  选项D：用面积公式和联立求解. 【详解】在△ABC中，根据正弦定理知 得 则 所以，故A正确； 易知角C为最大角，则 因为，所以 ，所以角C 为钝角，故是钝角三角形，故B错误； 设外接圆的半径为R，则由正弦定理得，解得 故C错误； 设内切圆的半径为r，，， 则由正弦定理得 解得 故D正确. 故选： AD. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，P 是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与直线所成角的大小为 B. 二面角的大小为定值 C. 若Q是对角线上一点，则 的长度的最小值为 D. 若R 是线段上一动点，则直线 PR 可能与直线平行 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：由正方体性质，垂直平面，在平面内，所以垂直，异面直线所成角为. 对于B：平面即平面，它与平面所成二面角是定值. 对于C：将平面沿翻折，过作$CP$垂直确定、点，通过角度计算等得出最小值不是所给值，所以错误. 对于D：先证垂直平面，确定二面角平面角，用余弦定理判断角度，再说明在上存在点使二面角为 . 【详解】对于A，由正方体的性质可知，平面，又平面， 所以，异面直线 与直线 所成的角为，A正确. 对于B，平面即为平面，平面与平面所成的二面角，其为定值，B正确. 对于C，将平面 沿直线. 翻折到平面 内，平面图如图1， 过点C作 ，此时， 的值最小. 由题可知， ， 则 故 又，所以的长度的最小值为 ，C错误. 对于 D，在正方体 中，易证. ， 设 则 即为二面角 的平面角， 又正方体的边长为1，所以 则 由余弦定理得 则 ， 同理 ，所以在上必然存在一点 E，使得二面角 为 ， 即平面平面，如图2，平面与平面的交线为，则， 过点 P 作的垂线，此时，又平面，所以，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为___________.(用坐标表示) 【答案】 【解析】 【分析】根据向量投影的计算公式求出向量在向量方向上的投影，再结合投影向量的定义求出投影向量. 【详解】根据向量投影的计算公式，向量在向量方向上的投影为. 已知，，则. . 所以向量在向量方向上的投影为.  根据投影向量的定义，向量在向量方向上的投影向量为. 将，，代入可得： .  故答案为：. 13. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a为最大边且 则角A的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用余弦定理推出，再根据条件，结合三角形内角和得出，即得角A的取值范围. 【详解】因为 由余弦定理，可得 故 ， 又因为最大边且 ，则有且，故 即故得 故答案为：. 14. 已知圆锥的侧面积为6π，高为3.若该圆锥可整体放入某球内，则该球体积的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥侧面积公式及勾股定理可得圆锥半径与母线长，求该圆锥的外接球体积即可. 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则，解得， 由题意知当球为圆锥的外接球时，体积最小，设外接球的半径为R， 则 ，解得， 所以该球体积的最小值为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. （1）求的值； （2）若关于x 的一元二次方程 的一个根是 其中，是虚数单位，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）先对和进行化简，再根据指数幂运算法则计算； （2）将根代入方程，根据复数相等列出方程组求解、的值即可计算. 【详解】（1） （2）由题意得 因为，所以 解得 所以 16. 如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅锤平面内，在点A 测得，，在点 B 测得，，，测得. （1）求点A 和点 N 之间的距离； （2）求两山顶M，N间的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在里，已知两角一边，先由三角形内角和求出，再用正弦定理算出  （2）在中，根据已知两角求出，再用正弦定理算出在中，已知，用余弦定理算出，再开方得 【小问1详解】 由题意可得，，所以 在中，根据正弦定理可知 所以 则 【小问2详解】 在中，，所以， 由正弦定理可得 则. 在中，， 由余弦定理得 ， 所以 故两山顶M，N间的距离为 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为 的中点，且 平面 （1）证明：平面 （2）求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）因为，所以 即 ， 因为平面，平面，所以， 由四边形为矩形，可得.因为平面，所以平面， 又平面，所以，因为平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先由线线垂直证明平面，得到，结合，再由线线垂直证明线面垂直即得. （2）取AD 的中点E，证明，由（1）已得平面，可得平面，则为直线BM 与平面所成的角，解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取AD 的中点E，连接ME，BE， 因为M为PD 的中点，所以， 又 平面，所以平面， 所以为直线BM 与平面所成的角. 又 ，所以 18. 已知在中，内角、、所对的边分别是、、，且满足 （1）求角； （2）若点在线段上，且平分，，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式可得出，结合角的取值范围可得出角的值； （2）设，则，利用正弦定理得出，结合余弦定理可得出、，解出的值，由此可得出的周长. 【小问1详解】 因为，所以， 由，得，所以，故. 【小问2详解】 由题可知，设，则，，. 由正弦定理得 ，， 即 ，，解得，则. 由余弦定理得，解得， 又，所以 所以， 由余弦定理得，即解得，则，. 故的周长为 19. 已知在平面直角坐标系中，点，点，为坐标原点. （1）如图1，设为线段 的中点， 求的值； （2）如图2，设点 是线段的等分点， 其中，，，当时，求 的值； （3）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据图形用向量将向量表示出来，然后用将向量表示出来，进而可求出的值. （2）首先根据题意用向量将向量表示出来，进而可以发现向量相加的规律性，从而可以将结果求出来. （3）首先对原式进行化简，然后结合图形找出最小值的点的位置，进而可求出最小值. 【小问1详解】 因为 ， 而 为线段 的中点，所以 得 【小问2详解】 由题意得 ， ，所以 ， 事实上，对任意正整数，且，有 ， 所以 ， 所以 【小问3详解】 线段AB 上存在一点M，使得 且存在点 则 所以 即线段上存在一点，其到点和点的距离之和最小， 作点关于线段 的对称点 如图所示， 则最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高一第三次月考试卷 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数z满足，则复数z的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 若向量，且，则（ ） A. B. 6 C. D. 3. 在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且则 sin A=（ ） A. B. C. D. 4. 设为两个不同的平面，为两条不同的直线，且.下述说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若，则或 D. 若b与α，β所成的角相等，则a⊥b 5. 在中，若 ，则的形状一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 6. 已知是夹角为的两个单位向量，则向量与的夹角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 7. 《九章算术》中将正四棱台体(棱台的上下底面均为正方形)称为方亭.如图，现有一方亭，，侧面积为，则该方亭的体积为（ ） A. B. C. D. 56 8. 在中，，是上一动点，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数z在复平面内对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若 则 B. 若 则 C. 若z=3-2i，则复数在复平面内对应的点位于第四象限 D. 若1≤|z-i|≤2，则点 Z 的集合所构成的图形的面积为3π 10. 在△ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是锐角三角形 C. 若，则外接圆的半径为 D. 若，则 内切圆的半径为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，P 是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与直线所成角的大小为 B. 二面角的大小为定值 C. 若Q是对角线上一点，则 的长度的最小值为 D. 若R 是线段上一动点，则直线 PR 可能与直线平行 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为___________.(用坐标表示) 13. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a为最大边且 则角A的取值范围是__________. 14. 已知圆锥的侧面积为6π，高为3.若该圆锥可整体放入某球内，则该球体积的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. （1）求的值； （2）若关于x 的一元二次方程 的一个根是 其中，是虚数单位，求的值. 16. 如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅锤平面内，在点A 测得，，在点 B 测得，，，测得. （1）求点A 和点 N 之间的距离； （2）求两山顶M，N间的距离. 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为 的中点，且 平面 （1）证明：平面 （2）求直线与平面所成角的正切值. 18. 已知在中，内角、、所对的边分别是、、，且满足 （1）求角； （2）若点在线段上，且平分，，，求的周长. 19. 已知在平面直角坐标系中，点，点，为坐标原点. （1）如图1，设为线段 的中点， 求的值； （2）如图2，设点 是线段的等分点， 其中，，，当时，求 的值； （3）若，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $