第10讲 三角形中的几条重要线段（1知识点+10考点+过关检测）（暑假预习讲义）新八年级数学新教材沪科版

第10讲 三角形中的几条重要线段 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.理解三角形的高、中线与角平分线的概念； 2.利用三角形的高、中线与角平分线的性质进行相关计算； 3.会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线 知识点 1 三角形的高、中线、角平分线 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图示 作法 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC “三线”的交点：一个三角形有三条中线、三条角平分线、三条高，它们所在直线都分别相交于一点： 线的名称 线的位置 交点位置 高 锐角三角形：三条高都在三角形内部 垂心 直角三角形：其中两条高恰好与两条直角边重合 钝角三角形：其中两条高在三角形外部 中线 三条中线都在三角形内部 重心 角平分线 三条角平分线都在三角形内部 内心 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在综合实践课上，嘉淇通过折纸得到折痕（其中是点C的对应点），则是的（    ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．无法确定 2．（21-22七年级下·全国·单元测试）三角形的三条高、三条角平分线、三条中线都分别相交于一点，且交点一定在三角形内部的是（     ） A．角平分线、高 B．中线、高 C．角平分线、中线 D．以上都不对 3．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．高线、中线、角平分线 D．角平分线、中线、高线 4．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏无锡·二模）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【题型 1 三角形的高、中线与角平分线的概念】 1．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）下列结论正确的是（   ） A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部 B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部 C．三角形的重心是三角形三条中线的交点 D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点 2．（24-25七年级下·四川甘孜·期中）如图，在中，关于高的说法正确的是（　　） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 3．（24-25九年级下·甘肃白银·开学考试）在综合实践课上，同学们进行折纸活动，根据下列折纸的示意图（其中是点C的对应点），其中线段一定是的中线的是（ ） A．B．C．D． 4．（2025·吉林长春·二模）如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定是的角平分线的是（    ） A．B．C．D． 5．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 6．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 【题型 2 画三角形的高、中线或角平分线】 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 2．（24-25八年级上·北京顺义·期中）已知，分别画出此三角形的高，中线，角平分线． 3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在中，是钝角． (1)画出的平分线； (2)画出边上的中线； (3)画出边上的高； (4)若，边上的高，求的面积． 4．（24-25八年级上·吉林·期中）图①、图②、图③均是的长方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．请在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，画出的边上的高． (2)在图②中，画出的中线． (3)在图③中，画出的角平分线． 【题型 3 网格中计算三角形的面积】 1．（24-25八年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，小方格都是边长为1的正方形，则的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·天津河西·期中）三角形三个顶点的坐标分别为，则三角形的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 3．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，则的面积为 ． 4．（22-23七年级上·广西防城港·开学考试）如图中每个小方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是 ． 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，用表示A点位置，用表示B点的位置． (1)画出平面直角坐标系，并写出点E的坐标； (2)若点在轴上，且与点在直线的同侧，当的面积等于的面积时，求点P的坐标． 6．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于的面积与的面积的大小说法正确的是（   ）    A． B． C． D．无法比较 【题型 4 等底同高的三角形的有关的计算】 1．（23-24八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，在四边形中，，与相交于点O，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·重庆江北·期中）如图，方格纸中小正方形的边长为1．，两点在格点上，请在图中格点上找到点，使得的面积为2．满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 3．（23-24八年级下·青海西宁·期末）如图，直线，和的面积分别为和，则（　　）    A． B． C． D．不能确定 4．（23-24七年级下·上海长宁·期末）在梯形中，， 连接、， 已知梯形的面积为16，的面积为12，那么的面积 ． 5．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）小孙和小悟同学在探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分时，遇到了困难，于是两位同学想到了先从三角形研究起． 【问题思考】（1）如图1，是的中线，试判断：_________（请填 “”、“”或“”）； （2）如图2，，试判断：_________（请填“”、“”或“”）； 【深入思考】有了这样思考问题的经历，于是小孙同学对探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分给出一种思路：如图3，小孙同学的辅助线：①连接对角线，②作交的延长线于；③取的中点，则直线为所求直线．小孙同学还尝试从理论上给予说明，请你帮助将说理过程补充完整： ∵，∴_________（由问题2的结论得） ∴_________，即_________， ∵是的中点，∴_________（由问题1的结论得） ∴平分的面积，即平分四边形的面积． 【推广探究】小悟同学又给出另一种思路：如图4，小悟同学的辅助线：①连接对角线和；②取的中点，③连接、；④过点作的平行线与四边形的边交点于，则直线则为所求直线． 请你独立尝试完成小悟同学的说理过程． 【题型 5 与三角形高有关的计算】 1．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，是边上的高，是边上的高，点F是两条高线的交点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在中，，是高，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在直角中，，，若，则的面积为（   ） A．9 B．18 C．36 D．72 4．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图中，，是高，， ． 5．（24-25八年级上·青海海东·期末）在等腰中，，，则的面积是 ． 【题型 6 利用三角形的中线计算三角形的周长】 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，中，，，点是边上的中点，连接，若的周长为20，则的周长是（   ） A．22 B．18 C．28 D．20 2．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，已知是的中线，且的周长比的周长大，则与的差为（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，是的中线，，，若的周长比的周长小4，则的周长为 ． 4．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，是的边上的中线，若，，则的取值范围为 ． 【题型 7 利用三角形的中线计算三角形的面积】 1．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，为的中线，若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连接，．若的面积是8，则的面积是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，点，，分别是线段，，的中点，若的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，分别为的中线和高线，的面积为6，，则的长为 ． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16． （1）的面积为 ； （2）设的面积为m，的面积为n，则 ． 【题型 8 与角平分线有关的角度计算】 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线交于点．若，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，将沿折叠，使点C落在边上的点D处，且恰好是的角平分线，若，则（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，中，，点在上，于点．若，，则 ．    4．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，，点，是两条边上的任意两点，和的平分线交于点，则的度数为 ． 【题型 9 应用等面积法求线段长】 1．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，若在三角形内有一点到各边的距离相等，则的长为 ． 2．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则（   ） A．5 B．10 C．8 D．6 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）某数学兴趣小组在学完勾股定理的证明后，发现运用“同一图形的面积用不同方式计算结果相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为“等面积法”．如图1，在等腰三角形中，，边上的高记为，是底边上的任意一点，到腰、的距离、分别记为、． (1)兴趣小组现需要证明，请根据所学知识帮助其完成如下证明过程（将正确答案填在相应的横线上）． 证明：连接，由题意得，，， ∵ ，， ，， ∴， 又∵， ∴（ ）， ∴． (2)当点在延长线上时（点在点的右边），、、之间又有什么样的结论，请你写出结论，并说明理由（可利用图2作图进行证明）． (3)利用以上结论解答：如图3，在平面直角坐标系中有两条直线：，：，若上的一点到的距离是，请直接写出点的坐标． 【题型 10 探究三角形的边、角、线】 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图1，在中，，是边上的高线，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)根据（1）的计算结果，猜想与和之间的等量关系（直接写出结论，不需要证明）； (3)如图2，若是钝角，上述猜想的结论是否仍然成立？并说明理由． 2．（24-25八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，是边上的中线，，，的周长是15．请写出图中所有的等腰三角形，并选择其中一个进行证明． 3．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）在中，，D为直线上任意一点，连结，于点E，于点F． 【画图】（1）如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高； 【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为__________；为了说明之间的数关系，小明是这样做的： 证明：∵__________，∴__________．∵，∴__________． 【运用】（3）如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展】（4）如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 4．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，平分，，请判断的形状，并证明． 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）在中，作边上的高，正确的是（    ） A．  B．  C．  D．   2．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，是的中线，点，分别为，的中点，若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北邢台·期中）若一个三角形三条高线交点始终在其内部，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 4．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别是的高线、中线，若，则高线长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，，分别是的高、中线、角平分线，则下列线段中，最短的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，中，三条中线相交于点，若的面积是36，则的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（23-24八年级上·河北邯郸·期中）已知在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，均在格点上，则点是的（   ） A．三条角平分线交点 B．三条中线交点 C．三边垂直平分线交点 D．无法确定 9．（21-22八年级上·贵州遵义·期末）如图，分别是的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（   ） A．60 B．120 C．90 D．100 11．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，在中，，，分别是，，边上的中点，连接，，．已知的面积为4，则阴影部分的面积为（   ） A．1 B．3 C．2 D． 12．（2022九年级上·吉林长春·学业考试）下列图中的都表示一块质地均匀的木板．图中，点、、分别是、、的中点：图中，、、分别是的三条高线；图中，、、别是的三条角平分线；图中，、、分别是的三边的垂直平分线．用一根细针顶住点，能使三角形木板保持平衡的图是（   ） A．B．C． D． 13．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，三角形被分成7块面积相等的小三角形，其中，，则的长度为 ． 14．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）如图，与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，B、C、D、F在同一条直线上，点与点重合，其中，，．将沿射线方向平移到的位置，连接，若，则的面积是 ． 15．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，以为高的三角形有 个． 16．（2024八年级上·山东·专题练习）如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点连接并延长交于点．若，，，则的值为 ． ‍ 17（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形的每一个顶点都在格点上，则格点四边形的面积为 ． 18．（22-23八年级上·广西河池·期中）如图，是的中线，的周长为，求的长． 19．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，与相交于点E， ，． (1)若，求的度数； (2)取线段的中点F，连结．若，．求证：平分． 20．（24-25七年级上·福建泉州·期末）某学习小组在课上进行“画直线等分三角形的面积”的探究学习． 画直线等分三角形的面积 素材1 如图1，三角形和三角形具有共同的底边，另一顶点均在与平行的直线上，利用动态几何软件的测量功能，可以发现这两个三角形的面积相等．结论：当两个三角形底边相同，顶点的连线与底边平行时，这两个三角形的面积相等． 素材2 如图2，过三角形的顶点和三角形对边的中点作一条直线（擦去直线在三角形外的部分），可以发现三角形和三角形面积相等．结论：过三角形顶点与对边中点的直线把三角形分成两个面积相等的三角形． 问题解决 任务1 如图1，若三角形的面积为，三角形的面积为，则三角形的面积为___________． 任务2 在三角形中，是的中点；连结是的中点．若三角形的面积为8，则三角形的面积为___________． 任务3 探索：如图3，三角形中，点是的中点，点是线段上的一点（不与点，点重合），能否过点作一条直线，使该直线平分三角形的面积？画图如下：连结，过点作的平行线，交于点（擦去直线在三角形外的部分），作直线，则直线就是所求作的，如图4所示．请说明直线平分三角形的面积的理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 三角形中的几条重要线段 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.理解三角形的高、中线与角平分线的概念； 2.利用三角形的高、中线与角平分线的性质进行相关计算； 3.会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线 知识点 1 三角形的高、中线、角平分线 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图示 作法 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC “三线”的交点：一个三角形有三条中线、三条角平分线、三条高，它们所在直线都分别相交于一点： 线的名称 线的位置 交点位置 高 锐角三角形：三条高都在三角形内部 垂心 直角三角形：其中两条高恰好与两条直角边重合 钝角三角形：其中两条高在三角形外部 中线 三条中线都在三角形内部 重心 角平分线 三条角平分线都在三角形内部 内心 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在综合实践课上，嘉淇通过折纸得到折痕（其中是点C的对应点），则是的（    ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，三角形的高，解决本题的关键是掌握三角形的高．根据折叠的性质和的高的定义即可解决问题． 【详解】解：根据折叠可知：线段分别是的高． 故选：C． 2．（21-22七年级下·全国·单元测试）三角形的三条高、三条角平分线、三条中线都分别相交于一点，且交点一定在三角形内部的是（     ） A．角平分线、高 B．中线、高 C．角平分线、中线 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据三角形的三条高、三条角平分线、三条中线交点的位置，即可进行解答． 【详解】解：锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形的三条高的交点在斜边上，钝角三角形的三条高的交点在三角形外部； 三角形三条角平分线的交点在三角形内部； 三角形三条中线的交点在三角形内部； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三心位置，解题的关键是掌握锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形的三条高的交点在斜边上，钝角三角形的三条高的交点在三角形外部；三角形三条角平分线的交点在三角形内部；三角形三条中线的交点在三角形内部． 3．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．中线、角平分线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．高线、中线、角平分线 D．角平分线、中线、高线 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质及三角形的角平分线、中线和高线，解题关键是熟知三角形角平分线、中线和高线的定义． 根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解． 【详解】解：由图①的折叠方式可知，， 所以是的角平分线． 由图②的折叠方式可知，， 因为， 所以， 所以， 所以是的高线． 由图③的折叠方式可知，， 所以是的中线． 故选：B． 4．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断． 本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵， ∴，D说法错误，符合题意． 故选：D． 5．（2025·江苏无锡·二模）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可即可判断． 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，． 结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选：C． 【题型 1 三角形的高、中线与角平分线的概念】 1．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）下列结论正确的是（   ） A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部 B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部 C．三角形的重心是三角形三条中线的交点 D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线、高、中线、重心等概念，根据三角形角平分线、高、中线、重心等概念逐一排除即可，掌握三角形的重要概念是解题的关键． 【详解】解：、钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意； 、锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意； 、三角形的重心是三角形三条中线的交点，原选项结论正确，符合题意； 、直角三角形的三条中线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级下·四川甘孜·期中）如图，在中，关于高的说法正确的是（　　） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键．根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：于点， 中，是边上的高，故A不符合题意， ，线段是边上的高，B选项符合题意； 于点， 是边上的高，故C选项不符合题意，D选项不符合题意． 故选：B． 3．（24-25九年级下·甘肃白银·开学考试）在综合实践课上，同学们进行折纸活动，根据下列折纸的示意图（其中是点C的对应点），其中线段一定是的中线的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的角平分线，中线、高线，折叠问题，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，由此即可判断，关键是掌握三角形的中线的定义，折叠的性质． 【详解】解：A、由折叠的性质得到，因此一定是的中线，故A符合题意； B、由折叠的性质得到，因此不是的中线，故B不符合题意； C、由折叠的性质得到，因此是的角平分线，不一定是的中线，故C不符合题意； D、如图，由折叠的性质得到，但和不一定相等，因此不一定是的中线，故D不符合题意； 故选：A． 4．（2025·吉林长春·二模）如图，根据下列图形折叠后的情况，可以判定是的角平分线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线和翻折的性质，解题的关键在于观察图形，根据是的角平分线，可推出是 的角平分线，再根据翻折可知道 与 是对称点，即可求出答案． 【详解】解：由图形可知，若是的角平分线，根据折叠关系可得 ，选项中符合这一条件只有B． 故选：B． 5．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，，则是的（   ） A．高线 B．角平分线 C．中线 D．以上都不是 【答案】B 【分析】该题考查了三角形的角平分线，根据题意得出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故选：B． 6．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 【答案】B 【分析】本题考查与三角形有关的线段，解题的关键是理解三角形的高、中线、角平分线的定义，据此分析即可． 【详解】解：A．三角形的高、中线、角平分线都是线段，故此选项不符合题意； B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，故引选项符合题意； C．钝角三角形的三条角平分线都在三角形的内部，故此选项不符合题意； D．在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，故此选项不符合题意． 故选：B． 【题型 2 画三角形的高、中线或角平分线】 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出边上的高和中线； (2)画出边上的高，并直接写出的长（提示：的长等于5）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】此题考查了作三角形的高线和中线，等面积法求三角形高， （1）取格点D，连接即为边上的高；取格点H，连接交于点E，中线即为所求； （2）取格点G，连接交的延长线于点F，高即为所求，然后根据面积法求解即可． 【详解】（1）如图所示，高和中线即为所求； （2）如图所示，边上的高即为所求； ∵的长等于5 ∴ ∴ ∴． 2．（24-25八年级上·北京顺义·期中）已知，分别画出此三角形的高，中线，角平分线． 【答案】见解析 【分析】此题考查了尺规作角平分线，垂直平分线，作三角形的角平分线，高线和中线， 尺规作出的平分线交于点N，连接即为角平分线；作出线段的垂直平分线交于点M，连接即为中线；以点G为圆心，为半径画弧，交延长线于点G，作出的垂直平分线交于点H，连接即为此三角形的高． 【详解】如图所示，高，中线，角平分线即为所求． 3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在中，是钝角． (1)画出的平分线； (2)画出边上的中线； (3)画出边上的高； (4)若，边上的高，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)5 【分析】本题考查了作图—基本作图，利用中线的性质求三角形面积． （1）利用角平分线的作法作出即可； （2）作的垂直平分线交于点，连接即可； （3）利用垂线的作法作图即可； （4）先求出，再由三角形中线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，作的垂直平分线交于点，连接，则为边上的中线． （3）解：如图，过点向的延长线作垂线段，垂足为，则为边上的高． ； （4）解：，高， ． 是的中线， ． 4．（24-25八年级上·吉林·期中）图①、图②、图③均是的长方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．请在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，画出的边上的高． (2)在图②中，画出的中线． (3)在图③中，画出的角平分线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）根据题意，作出垂线段； （2）在网格上的中点，连结； （3）根据角平分线的定义作图即可； 【详解】（1）解：根据题意作图如下； （2）解：根据题意作图如下； （3）解：根据题意作图如下； 根据网格图可知，，， 故， 故， 故为的角平分线； 【点睛】本题考查垂线的定义，中线的定义，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关定义作图是解题的关键； 【题型 3 网格中计算三角形的面积】 1．（24-25八年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，小方格都是边长为1的正方形，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了格点三角形面积，根据图形得的面积等于正方形的面积减去个直角三角形的面积；掌握割补法求三角形的面积是解题的关键． 【详解】解： ； 故选：C． 2．（23-24七年级下·天津河西·期中）三角形三个顶点的坐标分别为，则三角形的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，三角形的面积．根据点的坐标，用割补法求解即可． 【详解】解：如图， ． 故选：B． 3．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了网格中求三角形的面积，利用网格的特点进行解答即可． 【详解】解：根据网格特点可知，交的延长线于点D， ∵ ∴的面积， 故答案为：3 4．（22-23七年级上·广西防城港·开学考试）如图中每个小方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是 ． 【答案】5.5平方厘米 【分析】本题主要考查了三角形的面积，根据提题意得图中每个小方格的边长都是1厘米，先求出，，，，，，由此即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：如图所示， ∵图中每个小方格的面积都是1平方厘米， ∴图中每个小方格的边长都是1厘米， ∴，，，，，， ∴（平方厘米）． 故答案为：5.5平方厘米． 5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，用表示A点位置，用表示B点的位置． (1)画出平面直角坐标系，并写出点E的坐标； (2)若点在轴上，且与点在直线的同侧，当的面积等于的面积时，求点P的坐标． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】此题考查坐标确定位置，关键是根据A，B两点的坐标确定平面直角坐标系解答． （1）根据A，B两点的坐标确定平面直角坐标系即可；根据点E的位置写出坐标即可； （2）连接，与x轴交点，即为点P． 【详解】（1）解：如图所示： 点； （2）设P的坐标为， ∵若点在轴上，且与点在直线的同侧， ∴ ∵的面积等于的面积， ∴， 解得：， ∴P的坐标为． 6．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于的面积与的面积的大小说法正确的是（   ）    A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．分别求出的面积和的面积，即可求解． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 【题型 4 等底同高的三角形的有关的计算】 1．（23-24八年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，在四边形中，，与相交于点O，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了行线间的距离处处相等，熟练掌握定理是解题的关键．根据平行线间的距离处处相等，判定三角形的高相等，根据同底，等高的三角形面积相等判断即可． 【详解】解：， 点到直线的距离与点到直线的距离相等， 同底等高， ， ， 故选：A． 2．（22-23八年级下·重庆江北·期中）如图，方格纸中小正方形的边长为1．，两点在格点上，请在图中格点上找到点，使得的面积为2．满足条件的点的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了网格与三角形面积，勾股定理，利用数形结合的思想解决问题是关键．由勾股定理可知，，再根据三角形面积找出与距离的格点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点有6个； 故选：D． 3．（23-24八年级下·青海西宁·期末）如图，直线，和的面积分别为和，则（　　）    A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，以及同底等高的三角形的面积相等，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴点到边的距离相等， 设点到边的距离均为， ∴， 故选B． 4．（23-24七年级下·上海长宁·期末）在梯形中，， 连接、， 已知梯形的面积为16，的面积为12，那么的面积 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行线间的距离处处相等，先根据题意得出的面积，即可求解． 【详解】解：∵梯形的面积为16，的面积为12， ∴的面积， ∵， ∴点B到的距离等于点C到的距离， ∴的面积的面积， 故答案为：4． 5．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）小孙和小悟同学在探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分时，遇到了困难，于是两位同学想到了先从三角形研究起． 【问题思考】 （1）如图1，是的中线，试判断：_________（请填 “”、“”或“”）； （2）如图2，，试判断：_________（请填“”、“”或“”）； 【深入思考】有了这样思考问题的经历，于是小孙同学对探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分给出一种思路：如图3，小孙同学的辅助线：①连接对角线，②作交的延长线于；③取的中点，则直线为所求直线．小孙同学还尝试从理论上给予说明，请你帮助将说理过程补充完整： ∵， ∴_________（由问题2的结论得） ∴_________， 即_________， ∵是的中点， ∴_________（由问题1的结论得） ∴平分的面积，即平分四边形的面积． 【推广探究】小悟同学又给出另一种思路：如图4，小悟同学的辅助线：①连接对角线和；②取的中点，③连接、；④过点作的平行线与四边形的边交点于，则直线则为所求直线． 请你独立尝试完成小悟同学的说理过程． 【答案】【问题思考】，；【深入思考】；；；；【推广探究】证明见解析 【分析】本题考查三角形中线的性质、平行线的性质及三角形的面积， 【问题思考】（1）根据三角形中线的性质及三角形的面积可得结论； （2）根据平行线的性质及三角形的面积可得结论； 【深入思考】根据问题思考的结论即可得证； 【推广探究】根据问题思考的结论即可得证； 理解并掌握问题思考的结论并灵活运用是解题的关键． 【问题思考】解：（1）∵是的中线， ∴， ∴和等底同高， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴和同底同高， ∴， 故答案为：； 【深入思考】证明：∵， ∴（由问题2的结论得） ∴， 即， ∵是的中点， ∴（由问题1的结论得） ∴平分的面积，即平分四边形的面积； 【推广探究】证明：∵点是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴直线平分四边形的面积， 则直线即为所求直线． 【题型 5 与三角形高有关的计算】 1．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，是边上的高，是边上的高，点F是两条高线的交点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形的高等知识点，灵活运用三角形的内角和定理成为解题的关键．先根据三角形内角和定理求得，根据求解即可． 【详解】解：∵是边上的高，是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在中，，是高，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高，直角三角形的性质，由三角形的高可得，即得到，进而得到，即可得，，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在直角中，，，若，则的面积为（   ） A．9 B．18 C．36 D．72 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角和定理，含角直角三角形，三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据得到，所以，即可得到，再根据三角形面积公式得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A ． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图中，，是高，， ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和、含角直角三角形的性质及三角形面积公式，解题关键是通过角的度数推出边的关系，进而得出面积比． 先依据三角形内角和求出各角度数，再利用含角直角三角形性质设边表示出、关系，最后根据同高三角形面积比等于底之比求出与的比值． 【详解】在中，，， ． ∵是高， ∴． 在中， ． 在中，设， ∴． 在中，，， ∴， ∴． ∵与的高都是． ，． ∴， 把，代入，可得 ． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·青海海东·期末）在等腰中，，，则的面积是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，三角形的面积等知识，过C作于D，先求出，然后根据含角的直角三角形的性质求出，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过C作于D，则， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：9． 【题型 6 利用三角形的中线计算三角形的周长】 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，中，，，点是边上的中点，连接，若的周长为20，则的周长是（   ） A．22 B．18 C．28 D．20 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的中线的概念，掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解题的关键．根据的周长为20，，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵的周长为20， ∴， ∵， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴的周长是． 故选：A． 2．（24-25八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，已知是的中线，且的周长比的周长大，则与的差为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线，中线和高线，熟记概念并求出两三角形周长的差等于是解题的关键．根据三角形中线的定义可得，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：是的中线， ， 与的周长之差， 比的周长大， 与的差为． 故选：B． 3．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，是的中线，，，若的周长比的周长小4，则的周长为 ． 【答案】22 【分析】本题考查的是三角形的中线，根据三角形中线的特点进行解答即可． 【详解】解：∵为的边上的中线， ∴， ∴， ∵的周长比的周长小4， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为， 故答案为：22． 4．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，是的边上的中线，若，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了倍长中线，全等三角形的判定和性质，三角形三边数量关系，掌握构造三角形全等，三角形三边数量关系是解题的关键． 如图所示，延长至点，使得，则，可证，得到，在中，运用三角形三边数量关系即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至点，使得，则， ∵是的边上的中线， ∴，且， ∴， ∴， 在中，，即， ∴， 故答案为： ． 【题型 7 利用三角形的中线计算三角形的面积】 1．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）如图，为的中线，若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．利用中线的性质即可求解． 【详解】解：为的中线， ， 的面积为， 的面积为， 故选：B． 2．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连接，．若的面积是8，则的面积是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．根据三角形的中线与面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵点D是边的中点，的面积等于8， ∴， ∵E是的中点， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，点，，分别是线段，，的中点，若的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，连接，，，根据三角形的中线平分面积求出，同理得到，，分割法求出的面积即可． 【详解】如图，连接，，， 点，，分别是线段，，的中点， ，， ， 同理，，， ， 故选：C． 4．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，分别为的中线和高线，的面积为6，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，求三角形的高的长，根据三角形中线平分三角形面积得到，再根据三角形面积计算公式得到，据此可得答案． 【详解】解：∵为的中线，的面积为6， ∴， ∵为的高线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16． （1）的面积为 ； （2）设的面积为m，的面积为n，则 ． 【答案】 4 / 【分析】本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，解方程，熟练掌握中线的意义是解题的关键． （1）设边上的高为h，根据题意，得，，结合得，代入计算即可． （2）根据是边上的中线，的面积等于16，得到，结合的面积为m，的面积为n，得到即，连接，根据，得到，根据是边上的中线，，继而得到，得到，代入解答即可． 【详解】（1）解：设边上的高为h，根据题意，得， ， ∵， ∴， 故答案为：4． （2）解：根据是边上的中线，的面积等于16，得到， 又的面积为m，的面积为n，得到即， 如图，连接，根据， 得到， 又是边上的中线，， 故， 解得， 故． 故答案为：． 【题型 8 与角平分线有关的角度计算】 1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线交于点．若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的尺规作图，熟练掌握角平分线的尺规作图描述语言是解题关键． 利用三角形的内角和定理求出，结合作图可知，为的角平分线，根据即可求解． 【详解】解：，， ， 由作图可知，为的角平分线， ． 故选：A． 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，将沿折叠，使点C落在边上的点D处，且恰好是的角平分线，若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，角平分线，三角形内角和定理，解题的关键是利用折叠的性质和角平分线的定义求出． 【详解】解：将沿折叠，使点C落在边上的点D处， 则共线，和全等， ， 恰好是的角平分线， ， ， 若， ， 则， 故选：C． 3．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，中，，点在上，于点．若，，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，角平分线的定义，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再证明平分，据此根据角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，，点，是两条边上的任意两点，和的平分线交于点，则的度数为 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形的内角和是是解题关键．根据角平分线的定义可知，，再结合三角形的内角和是求解即可． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴，， ∴ ， ∴． 故答案为：． 【题型 9 应用等面积法求线段长】 1．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，若在三角形内有一点到各边的距离相等，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是构造辅助线，熟练掌握勾股定理，直角三角形的面积有两种表示方法：一是整体计算；二是等于三个小三角形的面积和，这也是列方程的依据． 连接．设，根据的面积的两种表示办法列出方程，即可求得的长． 【详解】解：连接．设， ∵中，， ∴， 则 ， ∵， ∴， 解得． ∴． 故答案为：2． 2．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则（   ） A．5 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积额，利用等积法求解是解答本题的关键．连接，根据，再代入数值可得答案． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形，， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理计算的长，利用面积差可得三角形的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由勾股定理得：， ， ， ， ； 故选：C． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）某数学兴趣小组在学完勾股定理的证明后，发现运用“同一图形的面积用不同方式计算结果相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为“等面积法”．如图1，在等腰三角形中，，边上的高记为，是底边上的任意一点，到腰、的距离、分别记为、． (1)兴趣小组现需要证明，请根据所学知识帮助其完成如下证明过程（将正确答案填在相应的横线上）． 证明：连接，由题意得，，， ∵ ，， ，， ∴， 又∵， ∴（ ）， ∴． (2)当点在延长线上时（点在点的右边），、、之间又有什么样的结论，请你写出结论，并说明理由（可利用图2作图进行证明）． (3)利用以上结论解答：如图3，在平面直角坐标系中有两条直线：，：，若上的一点到的距离是，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)， 【分析】（1）根据即可求出答案； （2）先根据题意作出图形，然后根据即可求出答案； （3）先求得为等腰三角形，再根据（1）（2）的结果分①当点在边上时，②当点在延长线上时，求得的坐标．③当点在的延长线上时，，不存在． 【详解】（1）证明：连接，由题意得，，， ∵，， ，， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为，． （2）解：，作图如图所示：于点，交的延长线于点，于点， 由题意得，，， ，，， 又，， ， ， ； （3）解：在中，令得；令得， ，，同理求得， ∴，， ∴， 即为等腰三角形， 设点坐标为，根据题意可得； ①当点在边上时，由得：， ， 把它代入中求得：， 此时； ②当点在延长线上时，由得：，， 把它代入中求得：， 此时， ③当点在的延长线上时，不存在； 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的应用、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是相交添加常用辅助线，学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考常考题型． 【题型 10 探究三角形的边、角、线】 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图1，在中，，是边上的高线，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)根据（1）的计算结果，猜想与和之间的等量关系（直接写出结论，不需要证明）； (3)如图2，若是钝角，上述猜想的结论是否仍然成立？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)成立 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质以及三角形高线的性质，解题的关键是利用这些性质求出相关角的度数，进而找出角之间的关系． （1）先根据三角形内角和定理求出，再利用角平分线性质求出，根据直角三角形性质求出，最后得出． （2）根据（1）的计算结果进行归纳猜想． （3）同样先求出相关角的度数，再验证猜想是否成立． 【详解】（1）在中，已知，则， 是的平分线， ． 是边上的高线， ， 在中， ， ； （2）猜想：，证明如下： ，， ∴； （3）当是钝角时，上述猜想成立， 设． 根据三角形内角和定理，， 是的平分线， 是边上的高线， ， 在中， 所以当是钝角时，上述猜想仍然成立． 2．（24-25八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，是边上的中线，，，的周长是15．请写出图中所有的等腰三角形，并选择其中一个进行证明． 【答案】、，证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，中线的定义，由的周长是15，可得，再由是边上的中线，可得，进而可得结论． 【详解】解：等腰三角形有：、； 证明过程如下： 如图， ∵的周长，，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴、是等腰三角形． 3．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）在中，，D为直线上任意一点，连结，于点E，于点F． 【画图】（1）如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高； 【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为__________；为了说明之间的数关系，小明是这样做的： 证明：∵__________， ∴__________． ∵，∴__________． 【运用】（3）如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展】（4）如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 【答案】（1）见详解；（2），，，；（3）与的数量关系为，理由见解析；（4） 【分析】本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积． （1）过点B作交于一点E，即可作答． （2），根据已有的过程结合面积之间的关系列式化简，即可作答． （3）同理得，因为点D为中点，所以，结合，化简得，即可作答． （4）同理结合面积之间的关系列式化简，，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如图所示： （2）； 证明：∵， ∴， ∵， ∴； （3）过点B作交于一点G， ∵， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， （4）过点B作交于一点， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 4．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，平分，，请判断的形状，并证明． 【答案】等腰三角形，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定， 根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据角平分线的定义得，即可得出，最后根据“等角对等边”得出答案． 【详解】解：是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）在中，作边上的高，正确的是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点B向作垂线垂足为E， 纵观各图形，D选项符合高线的定义， 故选：D． 2．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，是的中线，点，分别为，的中点，若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形的中线平分三角形的面积是正确解答此题的关键． 根据三角形中线平分三角形面积得到，进而得到，同理可得． 【详解】解：∵点是的中点， 的面积为， ∴， ∵点是的中点， ∴，同理可得， 同理可得，． 故选B． 3．（24-25八年级上·河北邢台·期中）若一个三角形三条高线交点始终在其内部，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的高，根据高的概念，钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高的交点是三角形的直角顶点． 【详解】解：一个三角形的三条高所在直线的交点始终在其内部， 那么这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 4．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别是的高线、中线，若，则高线长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键． 根据是的中线得出，根据三角形的面积公式即可得出的长． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵是的高线， ∴，即， 解得， 故选：B． 6．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，，分别是的高、中线、角平分线，则下列线段中，最短的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，高、中线、角平分线的定义，熟练掌握连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短是解题的关键．利用垂线段最短即可解决． 【详解】解：因为，，分别是的高、中线、角平分线， ∴是点到直线的垂线段， 利用连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短， 可得最短， 故选：A． 7．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，中，三条中线相交于点，若的面积是36，则的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线和三角形的面积，根据三角形的中线得出，，根据等底等高的三角形的面积相等求出的面积，再根据三角形的面积公式求出即可，熟知上述知识是解此题的关键． 【详解】解：中，三条中线，，相交于点， ，， ， ， 故选：D． 8．（23-24八年级上·河北邯郸·期中）已知在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，均在格点上，则点是的（   ） A．三条角平分线交点 B．三条中线交点 C．三边垂直平分线交点 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线的交点的概念．根据三角形的中线交点的含义进行判断即可． 【详解】解：如图，点、分别是、的中点， 、是的中线， 点是三条中线的交点． 故选：B． 9．（21-22八年级上·贵州遵义·期末）如图，分别是的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线，高的定义，熟练掌握三角形的中线，角平分线，高的定义是解题的关键． 根据三角形的中线，角平分线，高的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵分别是的中线，角平分线，高， ∴，，，故A，B，C选项正确，不符合题意； 根据题意无法判断与的大小关系，符合题意； 故选：D 10．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（   ） A．60 B．120 C．90 D．100 【答案】B 【分析】本题考查图形的拼剪，长方形的性质，三角形的面积等知识，根据图形的拼剪，求出以及边上的高即可解决问题． 【详解】解：由题意，，， ∴， ∴， ∴的边上的高为12， ∴， 故选：B． 11．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，在中，，，分别是，，边上的中点，连接，，．已知的面积为4，则阴影部分的面积为（   ） A．1 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线分三角形为面积相等的两部分解答即可，熟练掌握三角形中线的性质是解决此题的关键． 【详解】解：∵D为边的中点，的面积为4， ∴， ∵E为边的中点，的面积为2， ∴， ∵F为边的中点，的面积为2， ∴， ∴， 故选：C． 12．（2022九年级上·吉林长春·学业考试）下列图中的都表示一块质地均匀的木板．图中，点、、分别是、、的中点：图中，、、分别是的三条高线；图中，、、别是的三条角平分线；图中，、、分别是的三边的垂直平分线．用一根细针顶住点，能使三角形木板保持平衡的图是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的重心和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解答本题的关键．根据三角形重心的概念和性质即可判定． 【详解】解：用一根细针顶住点，能使三角形木板保持平衡， 点是的重心， 线段、、是的三条中线， 故选：A． 13．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，三角形被分成7块面积相等的小三角形，其中，，则的长度为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意易得：，从而可得，进而可得；然后根据同理可得：，从而可得，再根据同理可得：，即可解答． 【详解】解：∵三角形ABC被分成7块面积相等的小三角形， ∴， ∴， ∴； 同理可得：， ∴， 同理可得：， ∴， 故答案为：30． 14．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）如图，与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，B、C、D、F在同一条直线上，点与点重合，其中，，．将沿射线方向平移到的位置，连接，若，则的面积是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平移和三角形的面积， 过点作,先求出边的高，再分当在线段上和在线段延长线上时两种情况求三角形面积即可. 【详解】解：如图，过点作, 与是两个形状、大小完全相同的直角三角形，，，． ∴，，，， ∵ ∴， ∴， 当在线段上时，， 的面积， 当在线段延长线上时，， 的面积， 答案为或 . 15．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，以为高的三角形有 个． 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键．由图可得一共10个三角形，且都以A为顶点，结合以为高即可得出结论． 【详解】解：由图可得，一共有个三角形，且都以A为顶点， 又交于D， 以为高的三角形有10个． 故答案为：10． 16．（2024八年级上·山东·专题练习）如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点连接并延长交于点．若，，，则的值为 ． ‍ 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的性质，根据三角形三条高交于一点得到，再根据等面积法得到，据此可得答案． 【详解】解：在中，，，垂足分别为，，与相交于点 ， ，，，， ∴， ∴， 故答案是：． 17（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形的每一个顶点都在格点上，则格点四边形的面积为 ． 【答案】13 【分析】本题考查的是利用割补法求解图形面积，直接利用长方形的面积，再减去三个三角形的面积即可． 【详解】解：如图，作长方形， ∵正方形网格中的每一个小正方形的边长为1， ∴，，，，，，， ∴． 故答案为： 18．（22-23八年级上·广西河池·期中）如图，是的中线，的周长为，求的长． 【答案】2 【分析】本题主要考查三角形中线的计算，掌握中线的定义是关键． 根据三角形的周长得到，由中点的定义得到，由此即可求解． 【详解】解：∵的周长为，， ∴， 又∵是的中线， ∴点是的中点， ∴， ∴． 19．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，与相交于点E， ，． (1)若，求的度数； (2)取线段的中点F，连结．若，．求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由，得，根据两直线平行内错角相等，即可求解； （2）由得，由，得，进而得，根据，，可得平分． 本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即平分． 20．（24-25七年级上·福建泉州·期末）某学习小组在课上进行“画直线等分三角形的面积”的探究学习． 画直线等分三角形的面积 素材1 如图1，三角形和三角形具有共同的底边，另一顶点均在与平行的直线上，利用动态几何软件的测量功能，可以发现这两个三角形的面积相等．结论：当两个三角形底边相同，顶点的连线与底边平行时，这两个三角形的面积相等． 素材2 如图2，过三角形的顶点和三角形对边的中点作一条直线（擦去直线在三角形外的部分），可以发现三角形和三角形面积相等．结论：过三角形顶点与对边中点的直线把三角形分成两个面积相等的三角形． 问题解决 任务1 如图1，若三角形的面积为，三角形的面积为，则三角形的面积为___________． 任务2 在三角形中，是的中点；连结是的中点．若三角形的面积为8，则三角形的面积为___________． 任务3 探索：如图3，三角形中，点是的中点，点是线段上的一点（不与点，点重合），能否过点作一条直线，使该直线平分三角形的面积？画图如下：连结，过点作的平行线，交于点（擦去直线在三角形外的部分），作直线，则直线就是所求作的，如图4所示．请说明直线平分三角形的面积的理由． 【答案】任务1：4；任务2：2；任务3：理由见解析 【分析】本题考查了三角形的中线与面积、平行线间的距离，熟练掌握三角形的中线性质是解题关键． 任务1：先求出三角形的面积为4，再根据三角形和三角形的面积相等即可得； 任务2：先画出图形，根据三角形的中线可得三角形的面积等于三角形的面积的一半，即为4，再根据三角形的中线可得三角形的面积等于三角形的面积的一半，由此即可得； 任务3：先根据素材1可得三角形的面积与三角形的面积相等，从而可得三角形的面积与三角形的面积相等，再根据三角形的中线可得三角形的面积与三角形的面积相等，从而可得四边形的面积与三角形的面积相等，由此即可得． 【详解】解：任务1：∵三角形的面积为，三角形的面积为， ∴三角形的面积为， ∵三角形和三角形的面积相等， ∴三角形的面积为4， 故答案为：4． 任务2：由题意，画出图形如下： ∵在三角形中，是的中点，三角形的面积为8， ∴三角形的面积等于三角形的面积的一半，即为， ∵是的中点， ∴三角形的面积等于三角形的面积的一半，即为， 故答案为：2． 任务3：如图，连接，交于点， ∵， ∴三角形的面积三角形的面积， ∴三角形的面积三角形的面积三角形的面积三角形的面积， 即三角形的面积三角形的面积， ∵在三角形中，点是的中点， ∴三角形的面积三角形的面积， ∴四边形的面积三角形的面积四边形的面积三角形的面积， ∴四边形的面积三角形的面积四边形的面积三角形的面积， 即四边形的面积三角形的面积， ∴直线平分三角形的面积 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$