第14讲 整式的加减（3知识点+10考点+过关检测）（暑假预习讲义）新七年级数学新教材沪科版

第14讲 整式的加减 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.了解同类项的定义;掌握合并同类项的步骤； 2.掌握整式的加减的步骤及化简求值的步骤； 3.掌握整式比较大小的方法； 4.掌握整式在实际中的应用. 知识点 1 同类项与合并同类项 同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 【知识解读】1）所有常数项都是同类项. 2）同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，而字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变） 合并同类项的一般步骤： 1）准确找出同类项，当项数较多时，通常在同类项下面作上相同的标记； 2）利用加法交换律把同类项放在一起，在交换位置时，连同项的符号一起交换. 3）利用同类项法则合并同类项，写出合并后的结果. 1．（24-25七年级上·重庆·期中）下列选项中的两项是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类项．解题的关键是熟练掌握同类项定义．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．根据同类项定义逐一判断，即得． 【详解】解：A、所含字母不相同，不是同类项； B、符合同类项的定义，是同类项． C、相同字母的指数不相同，不是同类项； D、所含字母不相同，不是同类项； 故选：B． 2．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若与可以合并同类项，则的值是（   ） A．9 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项的定义：含有相同字母，相同字母的指数也相同的项称为同类项．即可解答． 【详解】解：∵与可以合并同类项， ∴，， ∴． 故选：B 3．（24-25七年级上·福建莆田·期中）如果单项式与和也是单项式，那么m、n的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类项，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，根据同类项的定义进行求解即可． 【详解】解：∵单项式与和也是单项式， ∴与是同类项， ∴，， 解得：，， 故选：A． 4．（24-25七年级上·陕西延安·期末）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类项、合并同类项，熟练掌握合并同类项的运算法则是解题的关键．根据合并合并同类项的运算法则逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项计算不正确，不符合题意； B、，故此选项计算正确，符合题意； C、和不是同类项，不能合并，故此选项计算不正确，不符合题意； D、和不是同类项，不能合并，故此选项计算不正确，不符合题意； 故选：B． 5．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并法则是关键； （1）按照同类项合并法则进行即可； （2）按照同类项合并法则进行即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点 2 去括号与添括号 去括号法则：如果括号前面是“＋”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号前面是“－”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反； （简记：去括号时“-”全变“+”不变） 添括号法则：若所添括号前面是“+”号，则括到括号里的各项与原来的符号相同； 若所添括号前面是“-”号，则括到括号里的各项都要改变符号. （简记：添括号时“-”全变“+”不变） . 1．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号法则以及合并同类项的知识点，解题的关键是正确运用去括号法则和合并同类项的方法． 对每个选项依次根据去括号法则去掉括号，再根据合并同类项的方法化简式子，然后判断其变形是否正确． 【详解】A、，而不是，该选项错误； B、，而不是，该选项错误； C、，而不是，该选项错误； D、，该选项正确． 故选：D． 2．（24-25七年级上·江西赣州·期末）下列各式中与多项式相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号．去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）计算时，下列变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的相关知识，解题的关键是熟练掌握平方差公式，变形正确． 对后两项添括号时，变为，对后两项添括号时，变为，即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 4．（2024七年级上·上海·专题练习）去括号或添括号． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的知识点是去括号和添括号，解题关键是熟练掌握去括号和添括号法则． 根据去括号和添括号法则分别进行解答即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：． 故答案为：． （3）解：． 故答案为：． （4）解：． 故答案为：． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）先去括号，再合并同类项． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、去括号等知识点，掌握去括号法则是解题的关键． （1）先去括号，然后再合并同类项即可； （2）先去括号，然后再合并同类项即可； （3）先去小括号，再去中括号，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 知识点 3 整式的加减 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【知识解读】1）整式的加减运算过程中，切记不要漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换. 2）整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止； ②不能出现带分数，带分数要化成假分数. 3）运算结果，常将多项式的某个字母（如x）按照降幂（升幂）排列. 【记方法】整式加减与求值，解决这类问题的大致步骤为:先利用整式的加减化简整式，再把有关的数值代入并计算，简记为“一化、二代、三计算”.在化简时要注意去括号时是否变号，在代入时要注意若所给的值是负数，代入时要添上括号；若所给的值是分数，有乘方运算的，代入时也要添上括号. . 1．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）已知，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值，解题的关键关键将整式变形为含有所给数值的代数式及整体思想的应用． 先由等式变形为，再将，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式 ， 故选：． 2．（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）多项式中不含项，则a的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减无关型问题，熟练运用合并同类项的法则，“多项式中不含某一项即合并同类项后某项的系数为零”是解题的关键．先去括号，合并同类项，然后令项的系数为0，即可求解． 【详解】解: ， ∵多项式中不含项， ∴， ∴． 故选：C． 3．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减，判断M与N的大小关系，可将M与N作差，比较结果与0的大小． 【详解】解：∵，， ∴， ∵x的值不确定， ∴的符号也是不确定的． 故选：D． 4．（24-25七年级上·天津宁河·期末）（1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查整式的加减化简求值，解题的关键是掌握去括号，合并同类项法则，把所求式子化简． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项把所求式子化简，再将x，y的值代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） = ； 当，时， 原式； 5．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）化简求值：，当时，值是多少？ 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，合并同类项时，只对同类项的性质进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此合并同类项化简，再代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式 ． . 【题型1 同类项的辨别】 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）下列整式中，与为同类项的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义．根据字母相同且相同字母指数也相同的项叫同类项直接判断即可得到答案． 【详解】解：观察四个选项，只有与为同类项， 故选：C． 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）下列各组中不是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的概念，即所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项．据此逐项分析即可． 【详解】解：A、与，是同类项，本选项不符合题意； B、与，是同类项，本选项不符合题意； C、与，相同字母的指数不同，不是同类项，本选项符合题意； D、与，是同类项，本选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级上·北京房山·期末）写出一个同时满足以下两个条件的单项式：①与是同类项；②系数和次数互为相反数．这个单项式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了同类项，单项式，相反数．根据同类项的定义、单项式的系数、次数的定义解答即可． 【详解】解：满足条件的单项式是， 故答案为：． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）指出下列多项式中的同类项： (1)； (2)． 【答案】(1)与是同类项，与是同类项 (2)与是同类项，8与18是同类项 【分析】本题主要考查同类项； （1）根据同类项的定义解答即可． （2）根据同类项的定义解答即可． 【详解】（1）解：与是同类项， 与是同类项 （2）解：与是同类项， 8与18是同类项 5．（21-22七年级上·海南儋州·阶段练习）判断下列各组单项式是不是同类项： (1)2和b； (2)－2和5； (3)和 (4)2a和3b 【答案】(1)不是 (2)是 (3)是 (4)不是 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，依次进行判断即可． 【详解】（1）解：2和b中，一个是数字，一个是字母，故不是同类项； （2）解：-2和5，都是数字是同类项； （3）解：和中字母相同，相同字母的指数相同，是同类项； （4）解：2a与3b中所含字母不同，故不是同类项． 【点睛】本题主要考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 【题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知与的和为单项式，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了合并同类项，同类项的定义，代数式求值，根据题意可得与是同类项，再由同类项的定义求出x、y的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵与的和为单项式， ∴与是同类项， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知和的和是单项式，x与y互为相反数（），c与d互为倒数，则 ． 【答案】11 【分析】本题考查同类项的判断，相反数和倒数的定义，代数式求值．根据同类项的判断，求得m、n的值，由相反数的定义得出，由倒数的定义得出，即可求解． 【详解】解：∵和的和是单项式， ∴，， 解得，， ∵x与y互为相反数， ∴， ∴， ∵c与d互为倒数， ∴， ∴， 故答案为：11． 3．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）已知关于的单项式与的和是单项式． (1)求的值； (2)已知其和（关于、的单项式）的系数是2，求． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．也考查了求代数式的值． （1）根据合并同类项和同类项的定义得到，然后求出，，后再利用乘方的意义计算代数式的值； （2）利用合并同类项得到，然后利用整体代入的方法和乘方的意义计算代数式的值． 【详解】（1）解：关于、的单项式与的和是单项式； ，解得，, ； （2）解：根据题意得， 所以原式． 4．（24-25七年级上·广东深圳·期中）已知单项式与单项式是同类项，是多项式的次数． (1)______，______，______； (2)若关于的二次三项式的值是3，求代数式的值． 【答案】(1)1；3；2 (2)2022 【分析】此题考查同类项的定义，多项式的次数的定义，已知代数式的值求整式的值，根据同类项的定义，多项式的次数的定义列式计算是解题的关键； （1）根据同类项的定义可得，根据多项式的次数的定义可得，即可求出a，b，c的值； （2）先求出，再整体代入变形后的代数式即可． 【详解】（1）解：单项式与单项式是同类项， ， 解得， c是多项式的次数， ， （2）解：由（1）可得：， ， ， 代数式的值为． 5．（24-25七年级上·福建南平·期中）（1）如果两个关于，的单项式与是同类项（其中）． 直接写出______． 若这两个单项式和为，求的的值． （2）关于，的多项式，，若的值与无关，求出、的值． 【答案】（1）；； （2）、的值分别为和． 【分析】本题考查了同类项的定义、合并同类项法则的应用等知识点，掌握合并同类项时，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变成为解题的关键． （1）根据同类项的定义求解即可； 根据合并同类项的法则把系数相加即可； （2）计算，合并同类项后，令关于项系数等于即可求得结论． 【详解】解：（1）由题意得， ， 解得，， ，其中， ， ， 故答案为：；； （2）， ， ， ， 的值与无关， ，， 解得，，； 、的值分别为和． 【题型3 合并同类项】 1．（24-25七年级上·北京·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，逐一进行判断即可，熟练掌握合并同类项的法则，是解题的关键． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选D． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项的法则，系数相加作为系数，字母和字母的指数不变，根据法则求解即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·山东聊城·期中）把看成一个整体，式子可以化简为 ． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键．把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．把把看成一个整体合并即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）由合并同类项我们知道：，类似地，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请灵活运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，化简______； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，． ①将第一个方程与第二个方程相加可得______． ②求的值． 【答案】(1) (2)30 (3)①；② 【分析】本题考查了合并同类项，整体思想应用，根据式子的值，求代数式的值，熟练掌握整体思想，求代数式的值是解题的关键． （1）根据题干的解法解答即可． （2）把看成整体，利用整体代入计算，求代数式的值即可． （3）根据题意，先求出的值，后整体代入计算代数式的值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， 的值为30； （3）①解：， ， 故答案为：； ②， ， ． 的值为13. 【题型4 利用去括号添括号进行化简】 1．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减．去括号，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了去括号，熟练掌握去括号法则，是解题的关键．根据去括号法则，括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变，进行解答即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）填空题： （1）（ ）； （2）（ ）． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了添括号，根据添括号的方法，进行解答即可． （1）根据括号前面为“”时的添加方法，进行解答即可； （2）根据括号前面为“”时的添加方法，进行解答即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：． 4．（24-25七年级上·河南南阳·期末）在括号内填上适当的项：（ ）． 【答案】 【分析】本题主要考查添括号，熟练掌握添括号的法则是解题的关键．根据添括号的法则进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 5．（24-25七年级下·甘肃天水·期中）基础计算题，直接写出结果 (1)______． (2)______． (3)______． (4)______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直接合并同类项计算即可． （2）去括号后，合并同类项即可． （3）去括号后，合并同类项即可． （4）去括号后，合并同类项即可． 本题考查了合同同类项，去括号，掌握去括号，合并同类项是解题的关键． 【详解】（1）解：， （2）解： ， （3）解： ． （4）解： ． 【题型5 利用去括号添括号进行求值】 1．（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）已知，那么的值为 ． 【答案】 【分析】先求出，再根据进行代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 2．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】直接把整体代入到所求代数式中进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，去括号，添括号，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，由题意得出，将变形为，整体代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）若，则代数式的值为 ． 【答案】29 【分析】本题考查了代数式求值：先把所求的代数式根据已知条件进行变形，然后利用整体的思想进行计算． 由变形得到，再把变形为，然后利用整体代入思想进行计算． 【详解】∵， ∴． ∴， 故答案为：29． 5．（24-25七年级上·山东临沂·期中）【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 由题意得，则有， ．所以代数式值为9． 【方法运用】 （1）若，则______． （2）若代数式的值为12，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了代数式求值，添括号的应用，整体代入是解题的关键； （1）先由可得，然后整体代入计算即可； （2）先由可得，由可得，然后整体代入计算即可； （3）先由可化为，然后把，代入计算即可． 【详解】解：（1）∵ ∴， ∴． （2）∵ ∴， ∴； （3）∵，， ∴ ． 【题型6 整式的加减运算】 1．（24-25六年级上·山东东营·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减法则是解答此题的关键． （1）合并同类项即可求解； （2）先去括号，再合并同类项即可求解； （3）先去括号，再合并同类项即可求解； （4）先去括号，再合并同类项即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（24-25六年级上·山东泰安·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的混合运算 （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； （3）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 （3）原式 3．（24-25六年级上·山东济宁·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）根据有理数的加减运算法则计算即可； （）根据整式的加减运算法则计算即可； （）先去括号，再根据整式的加减运算法则计算即可； （）先去括号，再根据整式的加减运算法则计算即可； 本题考查了有理数的加减运算，整式的加减运算，掌握有理数和整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 4．（24-25七年级上·河北秦皇岛·阶段练习）计算或化简求值 (1) (2)，其中 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查整式的加减计算，化简求值，解题关键是正确掌握计算法则，易错点为去括号时容易忘记改变符号． （1）根据去括号法则及合并同类项法则解答； （2）先去括号，再合并同类项，最后将字母的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 当时，原式． 【题型7 整式的化简求值】 1．（24-25七年级上·广东梅州·期末）已知代数式，．请先化简，再计算当，时的值． 【答案】， 【分析】此题考查的是整式加减混合运算中的化简求值，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题关键．先求并根据去括号法则和合并同类项法则化简，然后代入求值即可． 【详解】解：，， 当，时，． 2．（24-25七年级上·山东威海·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，； （3）已知：，，当m，n互为倒数，且时，求的值． 【答案】（1）；（2），；（3）． 【分析】本题主要考查了整式的加减及求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）利用整式的加减进行计算即可； （2）先利用整式的加减进行计算，再把，代入计算即可； （3）把与代入中，去括号合并得到最简结果，把代入计算即可求值． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当，时，原式； （3）∵，， ∴ ， ∵m，n互为倒数，且， ∴，， ∴原式． 3．（24-25七年级上·辽宁阜新·期中）阅读下面的材料，并完成相应的学习任务． 某同学在计算时，写出如下计算步骤： 任务一：（1）以上计算步骤出现了错误，请写出该整式正确的计算过程； 任务二：（2）当时，求该整式化简后的值． 【答案】（1）见解析；（2）6 【分析】此题考查了整式的加减，去括号法则，化简求值． （1）先去括号，然后合并同类项即可； （2）利用非负数的性质求得，，再代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴，， 解得，， 当，时， 原式 ． 4．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）已知关于x、y的多项式 (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求该多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，多项式的概念，代数式求值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据去括号和合并同类项法则将多项式化简，再根据不含三次项可知，三次项的系数为0，即可求出m的值； （2）由（1）可得，该多项式为，再整体代入计算求值即可． 【详解】（1）解：， 该多项式不含三次项， ， ； （2）解：由（1）可得，该多项式为， 当，时， ． 【题型8 整式加减中的不含某项问题】 1．（24-25七年级上·宁夏中卫·期末）已知关于x的多项式，其中（m，n为有理数） (1)化简，当时，并求值； (2)若的结果不含项和项，求的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查整式的加减运算以及不含某项的问题，数量掌握运算法则是解题关键． （1）根据整式的减法运算法则化简，把代入并求值； （2）先对进行运算，然后根据不含x项和项可进行求解． 【详解】（1）解： ， ， ， 当时， ， ， =0． （2）解： ， ∵的结果不含x项和项， ∴， ∴． 2．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）已知多项式中不含项，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，根据多项式不含三次项，可得的值，根据去括号、合并同类项，可化简整式，根据代数式求值，可得答案，利用多项式不含三次项得出的值是解题关键． 【详解】解： ， ∵多项式中不含项 ∴ ∴ 当时，． 3．（24-25七年级上·四川成都·期中）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)求的值； (2)若关于的多项式，且中不含一次项，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 【答案】(1)3 (2)； (3) 【分析】本题考查了整式的加减运算，新定义，多项式的项，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解新定义，掌握整式的加减运算法则，有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）把相应的值代入，利用新定义的运算求解，再结合条件即可求解； （3）把相应的值代入，利用新定义的运算分别求出，，再比较大小即可． 【详解】（1）解： 3☆ ； （2）（2） ， 中不含一次项， ， ； （3）∵，，（其中为有理数） ，， ， ． 【题型9 整式加减中的和某项无关问题】 1．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）根据对话内容，解决下列问题： (1)求的值； (2)若，比较与的大小关系； (3)关于，的多项式，，请判断的结果是否与的值无关，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的结果与的值无关，理由见解析 【分析】（）根据正整数、相反数、倒数的定义求出的值，再代入计算即可求解； （）根据非负数的性质求出的值，进而求出的值即可判断求解； （）求出的结果即可判断求解； 本题考查了整式的加减，非负数的性质，代数式求值，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）解：的结果与的值无关，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴ ， ∴的结果与的值无关． 2．（24-25七年级上·山东日照·期末）【阅读理解】 已知；若A值与字母的取值无关，则，解得． 所以当时，A值与字母的取值无关． 【知识应用】 已知， ． （1）用含的式子表示； （2）若的值与字母的取值无关，则的值为___________． 【知识拓展】 （3）春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元：乙种羽绒服每件进价500元，每件售价800元，购进羽绒服后，该超市决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金元，乙种羽绒服售价不变．设购进甲种羽绒服件，当销售完这30件羽绒服的利润与的取值无关时，请求出此时的利润． 【答案】（1）   （2）   （3）9000元 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减——化简求值，掌握整式的加减——化简求值的方法是关键． （1）把A与B代入中，去括号、合并同类项即可得到结果； （2）把（1）的化简结果变形后，根据的值与字母m的取值无关，确定出此的值即可； （3）根据题意列出代数式并求解，结合获得的利润与x的取值无关，即可获得答案． 【详解】解：（1） ． ． （2） ∵的值与字母的取值无关， ∴， 解得：； 故答案为：； （3）由题意可知，这30件羽绒服的利润为 ， 销售完这30件羽绒服的利润与的取值无关， ，解得． 当时，利润为9000元． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，正方形内部摆放着三个边长为2的正方形，序号分别是①，②，③． (1)根据图形，写出三个正方形的叠放顺序，从下到上依次是____（填序号）； (2)若图中阴影部分的面积为3，求正方形的边长； (3)图中阴影部分的周长是否与正方形的边长有关？若有关，用含边长的代数式表示阴影部分的周长；若无关，请说明理由． 【答案】(1)①②③ (2) (3)阴影部分的周长与正方形的边长无关，理由见详解 【分析】本题主要考查代数式与图形面积、周长的计算，理解图示，掌握整式的混合运算是解题的关键． （1）根据图形的特点，正方形的特点进行分析即可求解； （2）根据题意设，，结合图形分别表示出各部分的面积，由，代入计算即可求解； （3）根据阴影部分的周长的计算进行判定即可求解． 【详解】（1）解：正方形内部摆放着三个边长为2的正方形，序号分别是①，②，③，即③遮住了②①，②遮住了①， ∴三个正方形的叠放顺序，从下到上依次是①②③， 故答案为：①②③； （2）解：如图所示， ∵正方形内部摆放着三个边长为2的正方形， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积， ， 整理得，， ∴， 解得，， ∴； （3）解：阴影部分的周长与正方形的边长无关，理由如下， 阴影部分的周长， 其中，，，， ∴原式， ∴阴影部分的周长与正方形的边长无关． 4．（24-25七年级上·河北沧州·期末）已知，． (1)若，求的值． (2)若的值与的值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减中的化简求值及无关性、非负数的性质，熟练掌握相关运算法则和性质是解答的关键． （1）先化简所求整式，再根据平方式和绝对值的非负性求得x、y值，再代入化简式子中求解即可； （2）先将化简整式整理为，再令y的系数，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴，， 解得，， ； （2）解：∵的值与的值无关， ∴与的值无关， ∴，解得． 【题型10 整式加减的实际应用】 1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆．    (1)根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是________，第n个正方形内圆的个数是________． (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影 ①第1个正方形中阴影部分的面积为________，第n个正方形中阴影部分的面积为________（用含a的代数式表示，结果保留）． ②若，请直接写出第2 024个正方形中阴影部分的面积：________（结果保留）． 【答案】(1)16， (2)①；② 【分析】本题考查了图形类找规律，列代数式，代数式求值，整式的加减，找到规律是解题的关键． （1）分别求出前几个图形内圆的个数，发现规律进而求得第n个正方形中圆的个数； （2）①根据正方形的面积减去圆的面积求解即可；②同理可知第n个图中的阴影部分面积也是为，将代入中求解即可． 【详解】（1）解：第1个正方形内圆的个数是， 第2个正方形内圆的个数是， 第3个正方形内圆的个数是， 第4个正方形内圆的个数是， …… 第个正方形内圆的个数是． （2）①第1个正方形中，， 第个正方形中，． ②从以上计算看出各个正方形中阴影部分的面积均相等，与圆的个数无关． 第个正方形中阴影部分的面积， 当时，第2024个正方形中阴影部分的面积为． 2．（2025·广东清远·二模）将连续的奇数1，3，5，7，……排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和是______，设中间数为a，请用含a的代数式表示十字形框中的五个数之和是______． (2)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？若有，请说明理由，若没有，也说明理由． (3)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？并说明理由． 【答案】(1)75； (2)这五个数的和还是中间那个数的5倍，理由见解析 (3)不能为2022，可以为2025，理由见解析 【分析】本题考查了探索数字的规律，整式的加减计算，解题的关键是能找出所给数据之间的规律． （1）把五个数相加即可得出答案；用含a的式子分别表示出其他四个数，再利用整式的加减计算法则求出这五个数的和即可； （2）令十字框中间数为b，根据题中所给十字框，可写出则其余4个数，将这5个数相加即可得； （3）分别计算出2025和2022除以5的结果，所得的结果只要不在最右边或最左边那一列都符合题意． 【详解】（1）解：， ∴十字框中的五个数之和为75； 解：设中间数为a，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 因此十字框中的五个数之和为． （2）解：这五个数的和还是中间那个数的5倍，理由如下： 设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 因此这五个数之和还是中间数的5倍． （3）解：不能为2022，可以为2025，理由如下： 由（2）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ∵，且个位数字为5的数字都在第三列， ∴中间的那个数字为505，满足题意， ∴十字框中五个数之和能为2025， ∵， ∴十字框中五个数之和不能为2022． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）对于任意一个三位正整数，如果满足百位上的数字与十位上的数字之和恰好等于个位上的数字，我们称这个三位正整数为“和数”．求证：任意一个“和数”与它各位数字之和的差能被9整除． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，有理数的整除特性．准确理解题干中的定义并熟练运用是解题的关键． 用字母表示出一个“和数”，按题干要求列出代数式，提取公因式后可以说明命题正确； 【详解】解：设“和数”的百位数字为，（，a为整数），十位数字为b， 十位数字为，（，b为整数）则个位数字为，这个“和数”为． “和数”与它各位数字之和的差为， ； 任意一个“和数”与它各位数字之和的差能被9整除． 4．（24-25七年级下·云南昆明·期中）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)①若，则A_______B； ②若，则A_______B； ③若，则A_______B． (2)请比较与的大小． 【答案】(1)①；②；③ (2) 【分析】（1）①根据不等式的基本性质求解即可； ②根据等式的基本性质求解即可； ③根据不等式的基本性质求解即可； （2）根据材料提示的“作差法”与平方数的非负性即可求解． 本题主要考查整式的加减混合运算，作差法比较两个代数式的大小，不等式的性质，掌握以上知识的运用是解题的关键． 【详解】（1）解：①若，则； ②若，则； ③若，则． （2）解：由题意，得 ． 因为，，， 所以， 所以． 1．（24-25七年级上·福建漳州·开学考试）小明在一次计算中把写成了，则计算的结果比原来（   ） A．增加了3 B．减少了3 C．增加了12 D．减少了12 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是理解题意中“把写成了”转化为两整式的减法运算，从而得到结果． 利用乘法的分配律，分别求出与的值，再计算它们的差即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴计算结果比原来增加了12． 故选：C． 2．（24-25七年级上·河南周口·期中）当时，则代数式的值是（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是化简绝对值，整式的加减运算，先判断，，再化简绝对值即可. 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； 故选：B 3．（24-25七年级上·河北保定·期末）对于任意式子，，定义：．当时，式子的值是（    ） A． B． C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减中的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 根据新定义结合整式的加减计算法则求出的结果，再将代入求值即可． 【详解】解：由题意得： ， 当时， ， 故选：B． 4．（24-25七年级上·天津南开·期末）已知，且x与y互为相反数，则等于（） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减，相反数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据x与y互为相反数，得到，原式去括号，合并后代入计算即可求出值． 【详解】∵x与y互为相反数， ∴， ∵，， ∴， ． 故选∶A． 5．（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）下列式子中化简错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了整式的加减混合运算，熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键． 对每个选项先去括号，再合并同类项求解即可判断． 【详解】A．，正确，不符合题意； B． ，正确，不符合题意； C． ，正确，不符合题意； D． ，原计算错误，符合题意． 故选：D． 6．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，这是淇淇同学完成的作业，她的试卷得分是（   ） 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）（每小题5分） ①的相反数是．（×） ②．（√） ③．（×） ④单项式的系数是，次数是3．（√） ⑤与不是同类项．（√） A．10分 B．15分 C．20分 D．25分 【答案】C 【分析】本题考查了相反数，去括号，乘方，单项式、同类项，掌握同相关定义是解题关键．根据相反数的定义，去括号法则，有理数的乘方运算法则，单项式的定义，同类项的定义逐一判断即可． 【详解】解：①的相反数是，淇淇判断正确； ②，淇淇判断正确； ③，淇淇判断正确； ④单项式的系数是，次数是4，淇淇判断错误； ⑤与不是同类项，淇淇判断正确； 淇淇同学作对4道题， 她的试卷得分是分， 故选：C． 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）设，其中同类项是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题主要考查同类项，熟练掌握同类项是解题的关键．同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，与系数无关．判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．还要注意两无关，与字母的顺序无关，与系数无关． 【详解】A、符合同类项的定义，是同类项，符合题意； B、相同字母的指数不相同，不是同类项，不符合题意； C、相同字母的指数不相同，不是同类项，不符合题意； D、相同字母的指数不相同，不是同类项，不符合题意． 故选A． 8．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，小明在写作业不小心打翻了墨水，导致一部分内容看不清楚，则被墨水遮住的多项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减运算，用右边的整式减去左边未被遮住的多项式，进行计算即可． 【详解】解：由题意，被墨水遮住的多项式为 ； 故选A． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）根据去括号法则，在方框中填上“”或“”，正确的是（    ） ①； ②； ③； ④． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式加减，去括号法则，利用去括号法则：括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的各项都变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的各项都不变号．逐一去掉括号与原题比较得出答案即可． 【详解】解：①； ②； ③； ④． 则应填： 故选：D． 10．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）整式减去后，若不含与，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，先计算两个整式的差，根据结果不含与，即这两项系数为0，即可求出 【详解】解： ， 因为它们的差不含与， 所以，， ∴，， 故选B． 11．（23-24七年级上·广西·开学考试）已知，，下面结论正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】先根据题意可知，再根据乘法分配律，，得到解答即可． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故选． 12．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）今天是6月28日，小吴用如图①所示的三张长方形纸片分别剪出数字6、2、8（如图②③④），剪成的数字可以分割成一些相同的白色长方形和一个黑色长方形（所有长方形的宽度相等），小吴用其中一个白色长方形和数字8中的黑色长方形拼成图形⑤，将数字6中剪去的两部分（、）拼成长方形⑥，经过测量和计算，小吴发现长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，则黑色长方形中长与宽的比是（    ） A．11:3 B．5:1 C．7:2 D．4:1 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减的应用；设黑色小长方形纸片的长为b，宽为a，根据已知条件长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，求出比值即可． 【详解】解：设黑色小长方形纸片的长为b，宽为a，则白色长方形的长为，宽为， ∴⑤的周长为， ⑥的长为，宽为， ∴⑥的周长为， 又∵长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍， ∴，即， ∴黑色长方形中长与宽的比是， 故选：B． 13．（24-25七年级上·山西长治·期末）是一个三位数，且满足，那么这个数一定是 的倍数． 【答案】11 【分析】本题考查了整式的加减的应用，用含a，c的式子表示出三位数，即可判断． 【详解】解：∵， ∴三位数为 ， ∴三位数一定是11的倍数， 故答案为：11． 14．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知代数式，，（其中），满足，（为常数），则 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了整式的加减运算．根据题意可得，即可得到，，即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 整理得，， ∴，， ∴， ∵（为常数）， ∴， 故答案为：． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）化简下列式子，把结果写在横线上． （1） ；         （2） ； （3） ；     （4） ． 【答案】 / / 【分析】本题考查合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据合并同类项法则计算即可； （2）根据合并同类项法则计算即可； （3）根据合并同类项法则计算即可； （4）根据合并同类项法则计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：；；；． 16．（24-25七年级上·重庆·期中）已知，，在求的值时，小智发现无论x代入何值，所求的值皆不变．那么此时k的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查的是整式的加减．先将P和Q代入并化简，再根据代数式的值恒不变，得到k的值． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵无论x代入何值，的值皆不变， ∴， 解得， 故答案为：． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）在多项式的各项中，与是同类项的是 ，与是同类项的是 ，与8是同类项的是 ． 【答案】 ， 【分析】本题主要考查了同类项的概念如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，根据同类项的定义逐项判断即可得解． 【详解】解：在多项式的各项中，与是同类项的是，，与是同类项的是，与8是同类项的是， 故答案为：，；；． 18．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）定义一种新运算“◎”：，比如． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据新定义运算列出算式，去括号合并同类项即可 【详解】（1）解：， ； （2） ． 19．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）如图是某体育中心游泳馆的设计方案图，半圆形休息区和小长方形游泳区以外的地方都是自由活动区域，各个区域的有关数据如图所示，其中，． (1)游泳区面积为______，休息区面积为________．（用含，的代数是表示，含有的保留） (2)若这个游泳馆的长与宽之间满足，现要求这个自由活动区域需要占游泳馆总面积的及以上才符合要求，请你通过计算及推理判断这个设计方案是否符合要求． 【答案】(1)， (2)符合要求 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据长方形和圆的面积公式列式计算即可； （2）先求出自由活动的区域，再表示出游泳馆总面积的，比较大小即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得： 游泳区面积为， 休息区面积为； （2）解：∵， ∴自由活动区域的面积为：， ， ， 故这个自由活动区域需要占游泳馆总面积的及以上，符合要求． 21．（24-25七年级上·北京·期中）下面是小岩整式化简的过程，请认真阅读并回答问题． ········第一步 ·········第二步 ． ··············第三步 (1)第一步的依据是_______________________________； (2)小岩的化简过程从第____步出现错误，出现错误的原因是______________________； (3)请写出正确的化简过程，并计算当，时该整式的值． 【答案】(1)分配律 (2)二；去括号后，括号内的第二项没有变号； (3)化简结果，求值结果为 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握整式的加减计算法则． （1）根据乘法分配律解答即可； （2）观察每一步发现，在第二步去括号的时候应该是； （3）按照整式的加减计算法则进行化简然后代值计算即可． 【详解】（1）解：的依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （2）解： ········第一步 ·········第二步 ．··············第三步 ∴是从第二步开始出错的，错误的原因是去括号时没有变号； （3）解： ． 当，，原式． 21．（24-25七年级上·山东济宁·期中）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．下图为三阶幻方（三行三列共九个格子），其中每个格子都填有一个有理数或代数式，这些有理数或代数式满足每行、每列以及两条斜对角线上的和相等．    (1)图1中的值为_____； (2)如图2，若，，，试求出表示的代数式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，整式的加减运算的含义； （1）由这些有理数或代数式满足每行、每列以及两条斜对角线上的和相等可得，再解方程即可； （2）如图，设正中间的代数式为，由，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：； （2）解：如图，设正中间的代数式为，    ∵，，， ∴ ； ∴ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 整式的加减 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.了解同类项的定义;掌握合并同类项的步骤； 2.掌握整式的加减的步骤及化简求值的步骤； 3.掌握整式比较大小的方法； 4.掌握整式在实际中的应用. 知识点 1 同类项与合并同类项 同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 【知识解读】1）所有常数项都是同类项. 2）同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式. 合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，而字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变） 合并同类项的一般步骤： 1）准确找出同类项，当项数较多时，通常在同类项下面作上相同的标记； 2）利用加法交换律把同类项放在一起，在交换位置时，连同项的符号一起交换. 3）利用同类项法则合并同类项，写出合并后的结果. 1．（24-25七年级上·重庆·期中）下列选项中的两项是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若与可以合并同类项，则的值是（   ） A．9 B．8 C． D． 3．（24-25七年级上·福建莆田·期中）如果单项式与和也是单项式，那么m、n的值分别为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·陕西延安·期末）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）合并同类项： (1)； (2)． 知识点 2 去括号与添括号 去括号法则：如果括号前面是“＋”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号前面是“－”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反； （简记：去括号时“-”全变“+”不变） 添括号法则：若所添括号前面是“+”号，则括到括号里的各项与原来的符号相同； 若所添括号前面是“-”号，则括到括号里的各项都要改变符号. （简记：添括号时“-”全变“+”不变） . 1．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江西赣州·期末）下列各式中与多项式相等的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）计算时，下列变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024七年级上·上海·专题练习）去括号或添括号． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）先去括号，再合并同类项． (1)； (2)； (3)． 知识点 3 整式的加减 运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 【知识解读】1）整式的加减运算过程中，切记不要漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换. 2）整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止； ②不能出现带分数，带分数要化成假分数. 3）运算结果，常将多项式的某个字母（如x）按照降幂（升幂）排列. 【记方法】整式加减与求值，解决这类问题的大致步骤为:先利用整式的加减化简整式，再把有关的数值代入并计算，简记为“一化、二代、三计算”.在化简时要注意去括号时是否变号，在代入时要注意若所给的值是负数，代入时要添上括号；若所给的值是分数，有乘方运算的，代入时也要添上括号. . 1．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）已知，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）多项式中不含项，则a的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 4．（24-25七年级上·天津宁河·期末）（1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中，． 5．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）化简求值：，当时，值是多少？ 【题型1 同类项的辨别】 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）下列整式中，与为同类项的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）下列各组中不是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（24-25七年级上·北京房山·期末）写出一个同时满足以下两个条件的单项式：①与是同类项；②系数和次数互为相反数．这个单项式是 ． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）指出下列多项式中的同类项： (1)； (2)． 5．（21-22七年级上·海南儋州·阶段练习）判断下列各组单项式是不是同类项： (1)2和b； (2)－2和5； (3)和 (4)2a和3b 【题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值】 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知与的和为单项式，则 ． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知和的和是单项式，x与y互为相反数（），c与d互为倒数，则 ． 3．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）已知关于的单项式与的和是单项式． (1)求的值； (2)已知其和（关于、的单项式）的系数是2，求． 4．（24-25七年级上·广东深圳·期中）已知单项式与单项式是同类项，是多项式的次数． (1)______，______，______； (2)若关于的二次三项式的值是3，求代数式的值． 5．（24-25七年级上·福建南平·期中）（1）如果两个关于，的单项式与是同类项（其中）． 直接写出______． 若这两个单项式和为，求的的值． （2）关于，的多项式，，若的值与无关，求出、的值． 【题型3 合并同类项】 1．（24-25七年级上·北京·期中）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）化简： ． 3．（24-25七年级上·山东聊城·期中）把看成一个整体，式子可以化简为 ． 4．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）由合并同类项我们知道：，类似地，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛．请灵活运用“整体思想”解答下面的问题： (1)把看成一个整体，化简______； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，． ①将第一个方程与第二个方程相加可得______． ②求的值． 【题型4 利用去括号添括号进行化简】 1．（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）化简： ． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）计算： ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）填空题： （1）（ ）； （2）（ ）． 4．（24-25七年级上·河南南阳·期末）在括号内填上适当的项：（ ）． 5．（24-25七年级下·甘肃天水·期中）基础计算题，直接写出结果 (1)______． (2)______． (3)______． (4)______． 【题型5 利用去括号添括号进行求值】 1．（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）已知，那么的值为 ． 2．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）已知，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）已知，则代数式的值为 ． 4．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）若，则代数式的值为 ． 5．（24-25七年级上·山东临沂·期中）【阅读理解】 已知代数式的值为9，求代数式的值． 小明采用的方法如下： 由题意得，则有， ．所以代数式值为9． 【方法运用】 （1）若，则______． （2）若代数式的值为12，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，，求代数式的值． 【题型6 整式的加减运算】 1．（24-25六年级上·山东东营·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25六年级上·山东泰安·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（24-25六年级上·山东济宁·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（24-25七年级上·河北秦皇岛·阶段练习）计算或化简求值 (1) (2)，其中 【题型7 整式的化简求值】 1．（24-25七年级上·广东梅州·期末）已知代数式，．请先化简，再计算当，时的值． 2．（24-25七年级上·山东威海·期末）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，； （3）已知：，，当m，n互为倒数，且时，求的值． 3．（24-25七年级上·辽宁阜新·期中）阅读下面的材料，并完成相应的学习任务． 某同学在计算时，写出如下计算步骤： 任务一：（1）以上计算步骤出现了错误，请写出该整式正确的计算过程； 任务二：（2）当时，求该整式化简后的值． 4．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）已知关于x、y的多项式 (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求该多项式的值． 【题型8 整式加减中的不含某项问题】 1．（24-25七年级上·宁夏中卫·期末）已知关于x的多项式，其中（m，n为有理数） (1)化简，当时，并求值； (2)若的结果不含项和项，求的值． 2．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）已知多项式中不含项，求代数式的值． 3．（24-25七年级上·四川成都·期中）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定． 如：． (1)求的值； (2)若关于的多项式，且中不含一次项，求的值； (3)若，（其中为有理数），试比较，的大小． 【题型9 整式加减中的和某项无关问题】 1．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）根据对话内容，解决下列问题： (1)求的值； (2)若，比较与的大小关系； (3)关于，的多项式，，请判断的结果是否与的值无关，并说明理由． 2．（24-25七年级上·山东日照·期末）【阅读理解】 已知；若A值与字母的取值无关，则，解得． 所以当时，A值与字母的取值无关． 【知识应用】 已知， ． （1）用含的式子表示； （2）若的值与字母的取值无关，则的值为___________． 【知识拓展】 （3）春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元：乙种羽绒服每件进价500元，每件售价800元，购进羽绒服后，该超市决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金元，乙种羽绒服售价不变．设购进甲种羽绒服件，当销售完这30件羽绒服的利润与的取值无关时，请求出此时的利润． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，正方形内部摆放着三个边长为2的正方形，序号分别是①，②，③． (1)根据图形，写出三个正方形的叠放顺序，从下到上依次是____（填序号）； (2)若图中阴影部分的面积为3，求正方形的边长； (3)图中阴影部分的周长是否与正方形的边长有关？若有关，用含边长的代数式表示阴影部分的周长；若无关，请说明理由． 4．（24-25七年级上·河北沧州·期末）已知，． (1)若，求的值． (2)若的值与的值无关，求的值． 【题型10 整式加减的实际应用】 1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆．    (1)根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是________，第n个正方形内圆的个数是________． (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影 ①第1个正方形中阴影部分的面积为________，第n个正方形中阴影部分的面积为________（用含a的代数式表示，结果保留）． ②若，请直接写出第2 024个正方形中阴影部分的面积：________（结果保留）． 2．（2025·广东清远·二模）将连续的奇数1，3，5，7，……排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和是______，设中间数为a，请用含a的代数式表示十字形框中的五个数之和是______． (2)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？若有，请说明理由，若没有，也说明理由． (3)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？并说明理由． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）对于任意一个三位正整数，如果满足百位上的数字与十位上的数字之和恰好等于个位上的数字，我们称这个三位正整数为“和数”．求证：任意一个“和数”与它各位数字之和的差能被9整除． 4．（24-25七年级下·云南昆明·期中）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：(1)①若，则A_______B； ②若，则A_______B； ③若，则A_______B． (2)请比较与的大小． 1．（24-25七年级上·福建漳州·开学考试）小明在一次计算中把写成了，则计算的结果比原来（   ） A．增加了3 B．减少了3 C．增加了12 D．减少了12 2．（24-25七年级上·河南周口·期中）当时，则代数式的值是（   ） A． B．1 C．3 D． 3．（24-25七年级上·河北保定·期末）对于任意式子，，定义：．当时，式子的值是（    ） A． B． C．7 D．9 4．（24-25七年级上·天津南开·期末）已知，且x与y互为相反数，则等于（） A．6 B．4 C．2 D．0 5．（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）下列式子中化简错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，这是淇淇同学完成的作业，她的试卷得分是（   ） 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）（每小题5分） ①的相反数是．（×）②．（√） ③．（×）④单项式的系数是，次数是3．（√） ⑤与不是同类项．（√） A．10分 B．15分 C．20分 D．25分 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）设，其中同类项是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，小明在写作业不小心打翻了墨水，导致一部分内容看不清楚，则被墨水遮住的多项式为（   ） A． B． C． D． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）根据去括号法则，在方框中填上“”或“”，正确的是（    ） ①； ②； ③； ④． A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）整式减去后，若不含与，则（   ） A．， B．， C．， D．， 11．（23-24七年级上·广西·开学考试）已知，，下面结论正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 12．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）今天是6月28日，小吴用如图①所示的三张长方形纸片分别剪出数字6、2、8（如图②③④），剪成的数字可以分割成一些相同的白色长方形和一个黑色长方形（所有长方形的宽度相等），小吴用其中一个白色长方形和数字8中的黑色长方形拼成图形⑤，将数字6中剪去的两部分（、）拼成长方形⑥，经过测量和计算，小吴发现长方形⑥的周长恰好是图形⑤的周长的2倍，则黑色长方形中长与宽的比是（    ） A．11:3 B．5:1 C．7:2 D．4:1 13．（24-25七年级上·山西长治·期末）是一个三位数，且满足，那么这个数一定是 的倍数． 14．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知代数式，，（其中），满足，（为常数），则 ． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）化简下列式子，把结果写在横线上． （1） ；         （2） ； （3） ；     （4） ． 16．（24-25七年级上·重庆·期中）已知，，在求的值时，小智发现无论x代入何值，所求的值皆不变．那么此时k的值为 ． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）在多项式的各项中，与是同类项的是 ，与是同类项的是 ，与8是同类项的是 ． 18．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）定义一种新运算“◎”：，比如． (1)求的值； (2)求． 19．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）如图是某体育中心游泳馆的设计方案图，半圆形休息区和小长方形游泳区以外的地方都是自由活动区域，各个区域的有关数据如图所示，其中，． (1)游泳区面积为______，休息区面积为________．（用含，的代数是表示，含有的保留） (2)若这个游泳馆的长与宽之间满足，现要求这个自由活动区域需要占游泳馆总面积的及以上才符合要求，请你通过计算及推理判断这个设计方案是否符合要求． 21．（24-25七年级上·北京·期中）下面是小岩整式化简的过程，请认真阅读并回答问题． ········第一步 ·········第二步 ． ··············第三步 (1)第一步的依据是_______________________________； (2)小岩的化简过程从第____步出现错误，出现错误的原因是______________________； (3)请写出正确的化简过程，并计算当，时该整式的值． 21．（24-25七年级上·山东济宁·期中）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．下图为三阶幻方（三行三列共九个格子），其中每个格子都填有一个有理数或代数式，这些有理数或代数式满足每行、每列以及两条斜对角线上的和相等．    (1)图1中的值为_____； (2)如图2，若，，，试求出表示的代数式． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$