第11讲 命题与证明（1知识点+9考点+过关检测）（暑假预习讲义）新八年级数学新教材沪科版

第11讲 命题与证明 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：9大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1. 了解命题、真假命题、原命题、逆命题的相关定义，会区分命题条件和结论； 2. 会判断命题真假，理解反例的作用. 知识点 1 命题 1. 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 【注意】只要是对一件事情作出判断的句子就是命题，与判断的结果正确与否无关，命题一定是陈述句，但是陈述句不一定是命题，而祈使句和疑问句一定不是命题.如语句“对顶角相等”是一个命题，这里的事物是“对顶角”,对它的判断是“相等”.又如语句“a的绝对值与b的绝对值”不是命题，这里没有对事物进行任何判断. 3.逆命题 逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题. 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题． 1．（23-24七年级下·北京密云·期末）下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．如果两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 D．垂直于同一直线的两直线平行 2．（24-25七年级下·重庆渝北·阶段练习）下列命题中真命题是（     ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．互补的两个角是邻补角 C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 D．在同一平面内，有三条不重合的直线，，，若，，则 3．（24-25七年级下·上海·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．全等三角形的对应角相等 B．如果，那么a，b都是正数 C．等腰三角形的两底角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 4．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）下列命题的逆命题是真命题的有（    ） （1）对顶角相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）如果，那么；（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25七年级下·云南昆明·期中）把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式 ． 6．（2025·安徽合肥·三模）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 ． 知识点 2 公理与定理 公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短. 定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． . 1．（22-23八年级上·全国·课后作业）用 的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．定理可以推导出基本事实 B．定理都是真命题 C．定理和基本事实都不需要证明 D．基本事实不一定是真命题 3．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）下列语句中，是定义的是（    ） A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角 C．同角的余角相等 D．延长至D使 4．（21-22八年级下·宁夏银川·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．任何命题都有逆命题 B．真命题的逆命题不一定是正确的 C．任何定理都有逆定理 D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做 ． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过 的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的 的实例． 知识点 3 证明 1.证明 证明：从命题的题设出发，通过推理来判断命题的结论是否成立的过穆叫做证明. 证明的一般步骤： 1）审题：分清命题的题设与结论. 2）画图：依照题意画出图形.画图时要做到图形正确且具有一般性，切忌将图形特殊化. 3）写出“已知”“求证”：按照图形，将题设与结论“翻译”成“已知“求证”. 4）探求证明思路：根据已知条件，用学过的定义、公理、定理分析，探求如何证得结论，如果一步不能证出，要看能否多步进行.有时也从结论出发，探求证明过程. 5）写出证明过程：证明的每一步都要做到叙述清楚、有理有据. 2.辅助线 辅助线：在几何题的证明中，有时为了证明的需要，在原题的图形上添加一些线段或直线，这些线叫做辅助线，辅助线通常画成虚线，并在证明的开始写清添加过程.在证明中，添加的辅助线可作为已知条件参与推理证明. . 1．（2025七年级下·全国·专题练习）写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并给出证明． 2．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）命题：直角三角形的两锐角互余．    (1)将此命题写成“如果…，那么…”：______； (2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 考点一： 判断是否命题 1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）下列语句是命题的是（   ） A．延长线段 B．两直线相交有几个交点 C．同位角相等 D．连接，两点 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）下列句子中属于命题的是（   ） A．美丽的天空 B．你的作业完成了吗？ C．过直线外一点作的垂线 D．两直线平行，同位角相等 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）下列语句中是命题的有（　　） ①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ②你喜欢数学吗？ ③取线段的中点． ④角平分线上的点到角两边的距离相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）下列语句：①两点之间，线段最短；②不许大声讲话；③连接，两点；④鸟是动物；⑤过一点作已知直线的平行线；⑥无论为怎样的自然数，式子的值都是质数吗？其中不是命题的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考点二： 写出命题的题设与结论 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，改写正确的（　　） A．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角 B．如果同角，那么补角相等 C．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 D．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 2．（22-23七年级下·甘肃金昌·期中）命题“对顶角相等”中，题设是（   ） A．对顶角相等 B．对顶角 C．两个角是对顶角相等 D．这两个角相等 3．（2023七年级下·全国·专题练习）将命题“互余的两个锐角之和为直角”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是(   ) A．如果两个角是锐角，那么这两个角互余 B．如果两个角互余，那么这两个角是锐角 C．如果有两个锐角互余，那么这两个角的和为直角 D．如果有两个锐角的和为直角，那么这两个角互余 4．（22-23七年级下·广西南宁·期中）把命题“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式： ． 5．（24-25八年级上·山西长治·期中）把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果……，那么……”的形式为 ． 考点三： 判断命题的真假 1．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）下列命题中，真命题是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形； B．对角线互相平分的四边形是平行四边形； C．对角线互相垂直的四边形是菱形； D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2．（23-24八年级上·四川乐山·期末）请判断下列命题的真假性，是假命题的有（    ） （1）若，则 （2）两个无理数的和仍是无理数； （3）若三角形三边满足，则三角形是等边三角形； （4）若三条线段a，b，c满足，则这三条线段a，b，c能够组成三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）下列命题中，真命题的个数为（    ） ①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；②角平分线所在的直线是这个角的对称轴；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④三角形三个内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中是真命题的有 ．（填序号） ①如果，，则；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直；⑤互补的两个角是邻补角；⑥过一点画已知直线的垂线可以画而且只能画一条；⑦有理数和数轴上的点一一对应． 5．（24-25八年级上·河北邢台·期中）命题“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”是 （选填“真命题”或“假命题”）． 考点四： 举例说明真/假命题 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）能说明命题“对于任意实数，都有”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）下列选项中，可以用来说明命题是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）对于命题“若，则”，下面四组关于的值中，能说明它是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）要说明命题“若，则”是假命题，举一个反例可以是：a的值为 ，b的值为 ． 考点五： 写出命题的逆命题 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）下列命题的逆命题的表述正确的有（　　） ①“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角” ②“等边对等角”的逆命题是“如果有两条边相等，那么这两条所对的角也相等”； ③“全等三角形的对应边相等”的逆命题是“一组对应边相等的两个三角形是全等三角形”； ④ “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”． A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 2．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）下列命题中，如果其逆命题是真命题，那么这个命题是（   ） A．对顶角相等； B．关于某个点中心对称的两个三角形全等； C．全等三角形的对应角相等； D．在一个三角形中，等边对等角． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列命题中，其逆命题是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．全等三角形的面积相等 C．若，则 D．如果，那么 4．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）命题“线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是 ． 考点六： 判断互为互逆命题 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 2．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 考点七： 举反例 1．（2025·湖南衡阳·三模）判断命题“若，则”是假命题，只需要举出一个反例，反例中的可以是（　　） A．2 B．0 C． D．-5 2．（24-25七年级下·北京·期中）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的可以为（    ） A．0 B．0.5 C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）证明“如果，那么”是假命题，可以取 ．（填一种即可） 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． (1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等； (2)有两边相等的三角形是等腰三角形； (3)两个锐角的和是钝角． 5．（22-23七年级下·河南驻马店·期中）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例． (1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补角； (2)内错角相等； (3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 考点八： 反证法证明中的假设 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不小于”时，应假设 ． 2．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）用反证法证明命题“若，则”时，应先假设 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）用反证法证明“一个三角形最多有一个钝角”，应先假设 ． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设 ． 5．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）若，证明，用反证法证明的第一步是 ． 考点九： 用反证法证明命题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）用反证法证明：已知a，b，c是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）用反证法证明：如果三个数之和为1，那么这三个数中至少有一个大于等于． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）用反证法证明：如果在中，，那么中至少有一个角不大于． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）用反证法证明：若，则a必为负数． 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）下列命题的逆命题不成立的是（   ） A．等边对等角 B．两直线平行，同位角相等 C．对顶角相等 D．三个角都是的三角形是等边三角形 2．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（   ） A． B．a与b不平行 C． D． 3．（24-25八年级上·河北沧州·期末）下列命题： ①有一个角为的等腰三角形是等边三角形； ②等腰直角三角形一定是轴对称图形； ③有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； ④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 其中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（24-25八年级上·上海·期末）已知下列命题中： ①有两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等； ③如果，那么； ④两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等． 其中假命题的个数是（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）对真命题“平行于同一条直线的两直线平行”的证明过程如图所示，则下列正确的是（   ） 已知：如图，． 求证：． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ． A．①处为两直线平行，同位角相等 B．①处为同位角相等，两直线平行 C．②处为同位角相等，两直线平行 D．②处为两直线平行，同位角相等 6．（24-25八年级上·山西晋中·期末）通过本学期第七章的学习我们明白了：仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明．而在数学发展史上，数学家们也遇到了“已经知道的真命题又是如何证实的？”这一问题，而源于希腊数学家的一本数学著作解决了这一问题．它以公理和原始概念为基础推演出更多的结论．这种做法为人们提供了一种研究问题的方法（称为公理化方法），这本数学著作是（   ） A．B．C． D． 7．（24-25八年级上·河南郑州·期末）“任何一个角的补角都不小于这个角”是假命题．正确的反例是（   ） A．两个角互为邻补角 B．，的补角， C．，的补角， D．，的补角， 8．（24-25八年级上·福建泉州·期末）在用反证法证明命题：“已知，求证：”时，第一步应先假设（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）下列命题： ①两直线平行，同旁内角相等； ②实数与数轴上的点一一对应； ③是无理数； ④三角形的一个外角大于任何一个内角． 其中，不是真命题的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 10．（24-25八年级上·河南南阳·期末）用反证法证明命题“如果，那么”的第一步应假设 ． 11．（24-25八年级上·四川成都·期末）某密码锁的密码是一个三位数，小亮说：“它是254．”小明说：“它是964．”小强说：“它是357．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是 ． 12．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）把一副扑克牌从上到下按照大王、小王、黑桃、红桃、方块、梅花、黑桃、红桃、方块、梅花，、黑桃、红桃、方块、梅花的顺序依次叠成一叠，然后执行步骤①：把整叠牌最上面一张丢掉，再执行步骤②：把整叠牌最上面一张移到整叠牌的最下面，再执行步骤①，再执行步骤②，……，步骤①和步骤②依次执行直至整叠牌只剩下一张，则最后剩下的这张牌是 ． 13．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．    甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下： ①每人首次取球时，只能取走2个或3个球：后续每次可取走1个，2个或3个球； ②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走； ③最后一个将球取完的人获胜． （1）若甲首次取走写有b，c的两个球，乙又取走g，h两个球，接着甲又取走两个球，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜； （2）若甲首次取走写有g，h的两个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是 ． 14．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立．所以__________． 15．（23-24八年级上·山西临汾·期末）反证法是数学证明的一种重要方法．请将下面运用反证法进行证明的过程补全． 已知：在中，．求证：． 证明：假设_____________________． ∵， ∴， ∴， 这与_______________________． ∴_______________________不成立． ∴ 16．（21-22八年级上·广西贵港·期末）用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于．” 已知：，，是的内角． 求证：，，中至少有一个内角小于或等于． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 命题与证明 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：9大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1. 了解命题、真假命题、原命题、逆命题的相关定义，会区分命题条件和结论； 2. 会判断命题真假，理解反例的作用. 知识点 1 命题 1. 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 【注意】只要是对一件事情作出判断的句子就是命题，与判断的结果正确与否无关，命题一定是陈述句，但是陈述句不一定是命题，而祈使句和疑问句一定不是命题.如语句“对顶角相等”是一个命题，这里的事物是“对顶角”,对它的判断是“相等”.又如语句“a的绝对值与b的绝对值”不是命题，这里没有对事物进行任何判断. 3.逆命题 逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题. 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题． 1．（23-24七年级下·北京密云·期末）下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．如果两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 D．垂直于同一直线的两直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了真假命题，熟记课本中的定理和相关图形的性质是关键； 根据对顶角相等、平行线的性质和判定逐项判断即得答案. 【详解】解：A、对顶角相等，故原命题是真命题； B、如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题是真命题； C、如果两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是真命题； D、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，故原命题是假命题； 故选：D. 2．（24-25七年级下·重庆渝北·阶段练习）下列命题中真命题是（     ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．互补的两个角是邻补角 C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 D．在同一平面内，有三条不重合的直线，，，若，，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定，邻补角的定义，点到直线的距离的定义，根据平行线的性质与判定定理可判断A、D；有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角，据此可判断B；根据点到直线的距离的定义可判断C． 【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意； B、互补的两个角不一定是邻补角，原命题是假命题，不符合题意； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，，原命题是假命题，不符合题意； D、在同一平面内，有三条不重合的直线，，，若，，则，原命题是真命题，符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级下·上海·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．全等三角形的对应角相等 B．如果，那么a，b都是正数 C．等腰三角形的两底角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 【答案】A 【分析】本题主要考查了判断一个命题的逆命题真假，全等三角形的判定定理，等腰三角形的判定定理，直角三角形的性质，乘法计算，把原命题的结论和条件互换写出原命题的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：A、原命题的逆命题为：三个角对应相等的两个三角形是全等三角形，这是一个假命题，符合题意； B、原命题的逆命题为：如果a，b都是正数，那么，这是一个真命题，不符合题意； C、原命题的逆命题为：两底角相等的两个三角形是等腰三角形，这是一个真命题，不符合题意； D、原命题的逆命题为：有两个角互余的三角形是直角三角形，这是一个真命题，不符合题意； 故选：A． 4．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）下列命题的逆命题是真命题的有（    ） （1）对顶角相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）如果，那么；（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．分别写出各个命题的逆命题，然后判断是否为真命题即可． 【详解】解：（1）对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题； （2）全等三角形的面积相等的逆命题是面积相等的两个三角形是全等三角形，是假命题； （3）如果，那么的逆命题是若，则，是假命题； （4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题到这条线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，是真命题； 因此以上命题的逆命题是真命题的有1个； 故选：A． 5．（24-25七年级下·云南昆明·期中）把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式 ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【分析】本题考查了命题的改写，理解命题的构成成为解题的关键．根据命题的条件与结论即可改写即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 6．（2025·安徽合肥·三模）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 ． 【答案】如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形． 【分析】找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题． 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 【详解】解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”， 所以逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”． 故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．、 知识点 2 公理与定理 公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短. 定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． . 1．（22-23八年级上·全国·课后作业）用 的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 【答案】推理 【分析】根据定理的定义进行求解即可． 【详解】解：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 故答案为：推理． 【点睛】本题主要考查了定理的定义，熟知定理的定义是解题的关键． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．定理可以推导出基本事实 B．定理都是真命题 C．定理和基本事实都不需要证明 D．基本事实不一定是真命题 【答案】B 【分析】本题考查了命题、定理、真命题与假命题．根据命题的定义、真命题与假命题的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、基本事实可以作为定理的前提条件或基础,定理可以基于基本事实进行推导和证明，定理可以进一步解释和揭示基本事实之间的关系,或从基本事实中得出更深入的结论定理，不一定可以推导出基本事实，故原说法错误，不符合题意； B、定理都是真命题，正确，符合题意； C、定理都是经过推论、论证的真命题，需要进行证明，原说法错误，不符合题意； D、基本事实是真命题，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 3．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）下列语句中，是定义的是（    ） A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角 C．同角的余角相等 D．延长至D使 【答案】B 【分析】本题考查了全是与定理的知识，利用定义的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A. 若两角之和为，则这两个角互余，不是定义，不符合题意； B.相等的角是对顶角，是定义，符合题意； C.同角的余角相等，不是定义，不符合题意； D. 延长至D使，不是定义，不符合题意； 故选：B 4．（21-22八年级下·宁夏银川·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．任何命题都有逆命题 B．真命题的逆命题不一定是正确的 C．任何定理都有逆定理 D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的 【答案】C 【分析】根据命题，定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解即可． 【详解】A．任何命题都有逆命题，故A正确，不符合题意； B．真命题的逆命题不一定为真，故B正确，不符合题意； C．任何定理不一定都有逆定理，故C错误，符合题意； D．定理一定是正确的，一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题，定理的定义．如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件，那么这两个命题称为互逆命题．定理是指用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题，如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做 ． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过 的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的 的实例． 【答案】 证明 举反例 结论 【分析】根据根据证明的概念和举反例的概念直接填空即可．． 【详解】解：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例． 故答案为：证明；举反例；结论． 【点睛】本题主要考查了证明和举反例的概念，熟知相关知识是解题的关键． 知识点 3 证明 1.证明 证明：从命题的题设出发，通过推理来判断命题的结论是否成立的过穆叫做证明. 证明的一般步骤： 1）审题：分清命题的题设与结论. 2）画图：依照题意画出图形.画图时要做到图形正确且具有一般性，切忌将图形特殊化. 3）写出“已知”“求证”：按照图形，将题设与结论“翻译”成“已知“求证”. 4）探求证明思路：根据已知条件，用学过的定义、公理、定理分析，探求如何证得结论，如果一步不能证出，要看能否多步进行.有时也从结论出发，探求证明过程. 5）写出证明过程：证明的每一步都要做到叙述清楚、有理有据. 2.辅助线 辅助线：在几何题的证明中，有时为了证明的需要，在原题的图形上添加一些线段或直线，这些线叫做辅助线，辅助线通常画成虚线，并在证明的开始写清添加过程.在证明中，添加的辅助线可作为已知条件参与推理证明. . 1．（2025七年级下·全国·专题练习）写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并给出证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查写逆命题，并证明命题的真假，将原命题的条件和结论互换，写出逆命题，根据命题写出已知，求证，进行证明即可． 【详解】解：有两个角互余的三角形是直角三角形．这个逆命题是真命题． 已知：在中，， 求证：是直角三角形， 证明：如图所示，在中，（三角形三个内角的和等于）． （等式的性质）． 已知， （等量代换）， 是直角三角形． 2．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）命题：直角三角形的两锐角互余．    (1)将此命题写成“如果…，那么…”：______； (2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 【答案】(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 (2)该命题是真命题，详见解析 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，逆命题的概念： （1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题； （2）根据三角形内角和定理计算，即可证明． 【详解】（1）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； 故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 （2）解：该命题是真命题 已知：如图，在中， 求证： 证明： ． 考点一： 判断是否命题 1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）下列语句是命题的是（   ） A．延长线段 B．两直线相交有几个交点 C．同位角相等 D．连接，两点 【答案】C 【分析】本题考查的是命题与定理，判断一件事情的语句，叫做命题，熟练掌握定义是解答本题的关键．根据命题的概念判断即可． 【详解】解：A、延长线段AB，不是命题，不符合题意； B、两直线相交有几个交点？不是命题，不符合题意； C、同位角相等，是命题，符合题意； D、连接，两点，不是命题，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）下列句子中属于命题的是（   ） A．美丽的天空 B．你的作业完成了吗？ C．过直线外一点作的垂线 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【分析】本题考查命题的概念，掌握判断一件事情的语句，叫做命题是解题的关键． 根据命题的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、美丽的天空，不是命题，故此选项不符合题意； B、你的作业完成了吗？，不是命题，故此选项不符合题意； C、过直线l外一点作l的垂线，不是命题，故此选项不符合题意； D、两直线平行，同位角相等，是命题，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）下列语句中是命题的有（　　） ①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ②你喜欢数学吗？ ③取线段的中点． ④角平分线上的点到角两边的距离相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，命题有题设与结论两部分组成；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题． 根据命题的定义逐个进行判断即可． 【详解】解：①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，是命题； ②你喜欢数学吗？不是命题； ③取线段的中点，不是命题； ④角平分线上的点到角两边的距离相等，是命题； ∴①④是命题，共2个， 故选：B． 4．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）下列语句：①两点之间，线段最短；②不许大声讲话；③连接，两点；④鸟是动物；⑤过一点作已知直线的平行线；⑥无论为怎样的自然数，式子的值都是质数吗？其中不是命题的有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，解题关键是理解命题的定义，属于中考常考题型．根据命题的定义一一判断即可． 【详解】解：①两点之间，线段最短，是命题； ②不许大声讲话，不是命题； ③连接，两点，不是命题； ④鸟是动物，是命题； ⑤过一点作已知直线的平行线，不是命题； ⑥无论为怎样的自然数，式子的值都是质数吗？，不是命题， 故①、④为命题，②、③、⑤、⑥不是命题． 故选：C． 考点二： 写出命题的题设与结论 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，改写正确的（　　） A．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角 B．如果同角，那么补角相等 C．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 D．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，正确理解命题即可． 【详解】解：命题“同角的补角相等”的题设为：两个角是同一个角的补角，结论为：这两个角相等， ∴把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等， 故选：D 2．（22-23七年级下·甘肃金昌·期中）命题“对顶角相等”中，题设是（   ） A．对顶角相等 B．对顶角 C．两个角是对顶角相等 D．这两个角相等 【答案】B 【分析】根据命题的结果，改写成“如果┈那么┈”的形式的方法即可求解． 【详解】解：将命题“对顶角相等”改写为“如果┈那么┈”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， ∴命题的题设为“对顶角”， 故选：． 【点睛】本题主要考查命题的结构组成，命题的改写方法，掌握以上知识是解题的关键． 3．（2023七年级下·全国·专题练习）将命题“互余的两个锐角之和为直角”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是(   ) A．如果两个角是锐角，那么这两个角互余 B．如果两个角互余，那么这两个角是锐角 C．如果有两个锐角互余，那么这两个角的和为直角 D．如果有两个锐角的和为直角，那么这两个角互余 【答案】C 【分析】根据命题“互余的两个锐角之和为直角”，可以得到题设是有两个锐角互余，结论是这两个角的和为直角，由此可得结论． 【详解】解：将命题“互余的两个锐角之和为直角”改写成“如果……那么……”的形式， 正确的是如果有两个锐角互余，那么这两个角的和为直角． 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是理解命题是由题设和结论两部分组成． 4．（22-23七年级下·广西南宁·期中）把命题“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式： ． 【答案】如果两个角是邻补角．那么它们互补． 【分析】本题主要考查了命题的定义，把命题写成“如果…那么…”的形式，关键是找准题设和结论．分清题目的已知与结论，即可解答． 【详解】解：把命题“邻补角互补”改写为“如果…那么…”的形式是：如果两个角是邻补角．那么它们互补， 故答案为：如果两个角是邻补角．那么它们互补． 5．（24-25八年级上·山西长治·期中）把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果……，那么……”的形式为 ． 【答案】如果一个多边形为三角形，那么它的内角和为 【分析】本题考查了命题，找出命题的题设和结论是解题的关键． 根据命题的题设和结论写出即可． 【详解】解：如果一个多边形为三角形，那么它的内角和为， 故答案为：如果一个多边形为三角形，那么它的内角和为． 考点三： 判断命题的真假 1．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）下列命题中，真命题是（   ） A．对角线相等的四边形是矩形； B．对角线互相平分的四边形是平行四边形； C．对角线互相垂直的四边形是菱形； D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】B 【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、对角线相等且平分的四边形是矩形；原命题是假命题，不符合题意； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形；原命题是真命题，符合题意； C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；原命题是假命题，不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；原命题是假命题，不符合题意； 故选B． 2．（23-24八年级上·四川乐山·期末）请判断下列命题的真假性，是假命题的有（    ） （1）若，则 （2）两个无理数的和仍是无理数； （3）若三角形三边满足，则三角形是等边三角形； （4）若三条线段a，b，c满足，则这三条线段a，b，c能够组成三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查命题的真假判断，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据性质定理进行判定即可． 【详解】解：若，则是假命题，例如，但； 两个无理数的和仍是无理数是假命题，例如，和是有理数； 若三角形三边满足，则三角形是等边三角形是假命题，当时，，三角形是等腰三角形； 若三条线段a，b，c满足，则这三条线段a，b，c能够组成三角形，是假命题，还需满足． 故选D． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）下列命题中，真命题的个数为（    ） ①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；②角平分线所在的直线是这个角的对称轴；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④三角形三个内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理．根据三角形外角性质、平行线的性质和角平分线的性质等进行判断即可． 【详解】解：①三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，是真命题； ②角平分线所在的直线是这个角的对称轴，是真命题； ③两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题是假命题； ④三角形三个内角平分线的交点，到三角形三边的距离相等，是真命题； 真命题有3个， 故选：C． 4．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）下列命题中是真命题的有 ．（填序号） ①如果，，则；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等；④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直；⑤互补的两个角是邻补角；⑥过一点画已知直线的垂线可以画而且只能画一条；⑦有理数和数轴上的点一一对应． 【答案】④ 【分析】根据平行线的判定和性质，命题真假的判定，相关的数学知识判断解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，命题真假的判定，相关的数学知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：①如果，，未添加条件“在同一平面内”，无法判断a与c的关系，故①中命题是假命题； ②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②中命题是假命题； ③两直线平行，同位角相等，故③中命题是假命题； ④如图，，平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即， ∴同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，故④中命题是真命题； ⑤互补的两个角不一定是邻补角，故⑤中命题是假命题； ⑥在同一平面内，过一点画已知直线的垂线可以画而且只能画一条，故⑥中命题是假命题； ⑦有理数和数轴上的点不是一一对应，故⑦中命题是假命题． 故答案为：④． 5．（24-25八年级上·河北邢台·期中）命题“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”是 （选填“真命题”或“假命题”）． 【答案】真命题 【分析】本题考查了判断命题真假、角平分线的判定定理，根据角平分线的判定定理判断即可得解，熟练掌握角平分线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：命题“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”是真命题， 故答案为：真命题． 考点四： 举例说明真/假命题 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）能说明命题“对于任意实数，都有”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了假命题的反例，绝对值的性质， 根据时，判断是否成立即可解答． 【详解】解：当时，，所以该命题是假命题． 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）下列选项中，可以用来说明命题是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了命题的真假，熟练掌握真假命题的定义是解答本题的关键，当命题的条件成立时，结论也一定成立的命题叫做真命题；当命题的条件成立时，不能保证命题的结论总是成立的命题叫做假命题．要指出一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使它具备命题的条件，而不符合命题的结论就可以了，这样的例子叫做反例．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、满足，故该选项不符合题意； B、不满足，故该选项符合题意； C、满足，故该选项不符合题意； D、满足，故该选项不符合题意； 故选：B 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）对于命题“若，则”，下面四组关于的值中，能说明它是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了假命题，根据假命题的定义逐项判断即可求解，掌握假命题的定义是解题的关键． 【详解】解：、，时，，但，能说明命题是假命题，该选项符合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 故选：． 4．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）要说明命题“若，则”是假命题，举一个反例可以是：a的值为 ，b的值为 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可． 【详解】解：当，，满足， 但是， ∴说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是：，，， 故答案为：，（答案不唯一）． 考点五： 写出命题的逆命题 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）下列命题的逆命题的表述正确的有（　　） ①“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角” ②“等边对等角”的逆命题是“如果有两条边相等，那么这两条所对的角也相等”； ③“全等三角形的对应边相等”的逆命题是“一组对应边相等的两个三角形是全等三角形”； ④ “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”． A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换即可得到原命题的逆命题，据此可得答案． 【详解】解：①“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，原说法正确； ②“等边对等角”的逆命题是“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”，原说法错误； ③“全等三角形的对应边相等”的逆命题是“三组对应边相等的两个三角形是全等三角形”，原说法错误； ④ “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”，原说法正确． 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）下列命题中，如果其逆命题是真命题，那么这个命题是（   ） A．对顶角相等； B．关于某个点中心对称的两个三角形全等； C．全等三角形的对应角相等； D．在一个三角形中，等边对等角． 【答案】D 【分析】本题考查了真假命题的判断，写出原命题的逆命题，掌握相关性质定理是解题的关键． 根据题意，分别写出逆命题，再逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 对顶角相等，逆命题为：相等的角是对顶角，原命题的逆命题是假命题，故该选项不正确，不符合题意； B. 关于某个点中心对称的两个三角形全等，逆命题为：两个全等三角形是关于某个点中心对称， 原命题的逆命题是假命题，故该选项不正确，不符合题意； C. 全等三角形的对应角相等，逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，原命题的逆命题是假命题，故该选项不正确，不符合题意； D. 在一个三角形中，等边对等角，逆命题为：在一个三角形中，等角对等边，原命题的逆命题是真命题，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列命题中，其逆命题是真命题的是（    ） A．如果，那么 B．全等三角形的面积相等 C．若，则 D．如果，那么 【答案】C 【分析】考查了命题与定理的知识，全等三角形的判定与性质，求一个数的立方根等知识点，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大． 写出原命题的逆命题后，再判断真假命题即可． 【详解】解：A、逆命题为：如果，那么，是假命题，应该为，故不符合题意； B、逆命题为：面积相等的三角形是全等三角形，假命题，不符合题意； C、逆命题为：若，则，正确，是真命题，符合题意； D、逆命题为：如果，那么，错误，是假命题，应该为，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）命题“线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是 ． 【答案】到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【分析】本题考查了命题与逆命题，掌握命题的题设和结论是解题的关键．交换命题的题设和结论的位置，即可得出命题的逆命题． 【详解】解：命题“线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”． 故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 考点六： 判断互为互逆命题 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 2．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般一个命题可以写成如果那么的形式． 根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的判定定理对②进行判断；根据全等三角形的判定方法对③④进行判断． 【详解】解：①对顶角相等没有逆定理； ②两直线平行，同位角相等的逆定理为：同位角相等，两直线平行； ③全等三角形的各边对应相等的逆定理为：各边对应相等的三角形全等； ④全等三角形的各角对应相等没有逆定理． 其中有逆定理的是：②③． 故选：D． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查命题书写及判断真假： （1）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； （2）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， “若p，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等， ∵三角形全等对应边相等， ∴该命题是真命题， 逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题； （2）解：由题意可得， “若p，则q”的形式：若两个数互为相反数，则它们的和为零， ∵两个互为相反的数和为0， ∴是真命题， 逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是真命题． 考点七： 举反例 1．（2025·湖南衡阳·三模）判断命题“若，则”是假命题，只需要举出一个反例，反例中的可以是（　　） A．2 B．0 C． D．-5 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．反例中的满足，即可进行判断． 【详解】解：∵． 当时，此时“若，则”是真命题； 当时，，若，则，此时命题“若，则”是假命题． 故选：B． 2．（24-25七年级下·北京·期中）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的可以为（    ） A．0 B．0.5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是命题与定理，根据实数的平方，实数的大小比较、假命题的概念解答即可． 【详解】解：A、当时，，不能判断命题“如果，那么”是假命题，不符合题意； B、当时，，不能判断命题“如果，那么”是假命题，不符合题意； C、当时，，不能判断命题“如果，那么”是假命题，不符合题意； D、当时，，而，能判断命题“如果，那么”是假命题，符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）证明“如果，那么”是假命题，可以取 ．（填一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 举出反例说明它是假命题即可． 【详解】解：证明“如果，那么”是假命题，可以取， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． (1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等； (2)有两边相等的三角形是等腰三角形； (3)两个锐角的和是钝角． 【答案】(1)假命题．反例：两条直线不平行时，被第三条直线所截，同位角不相等 (2)真命题 (3)假命题．反例：当时，，不是钝角 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的定义，判断命题正真假，以及写反例． （1）根据平行线的性质，即可解答； （2）根据等腰三角形的定义，即可解答； （3）根据钝角的定义，即可解答． 【详解】（1）解：该命题为假命题， 反例：两条直线不平行时，被第三条直线所截，同位角不相等； （2）解：该命题为真命题； （3）解：该命题为假命题， 反例：当，时，，不是钝角． 5．（22-23七年级下·河南驻马店·期中）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例． (1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补角； (2)内错角相等； (3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 【答案】(1)题设：如果两个角的和等于平角时，结论：那么这两个角互为补角；是真命题 (2)题设：如果两个角是内错角，结论：这两个角相等；是假命题，举反例见解析； (3)题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么同旁内角互补．是真命题 【分析】（1）如果引出的部分就是命题的题设，那么引出的部分就是命题的结论，题设成立，结论也成立命题是真命题，否则是假命题，据此结合补角的定义判定即可； （2）两直线平行，内错角才相等，画出不平行的直线形成的内错角即可； （3）利用平行线的性质判定即可； 【详解】（1）解：题设：如果两个角的和等于平角时， 结论：那么这两个角互为补角； 是真命题； （2）解：题设：如果两个角是内错角， 结论：这两个角相等； 是假命题，如图与是内错角，；    （3）解：题设：如果两条平行线被第三条直线所截， 结论：那么同旁内角互补． 是真命题． 【点睛】本题考查了命题，掌握命题的概念和真假命题的判定方法是解题的关键． 考点八： 反证法证明中的假设 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不小于”时，应假设 ． 【答案】每个内角都小于 【分析】本题主要考查了反证法中的假设，反证法中第一步应假设原结论不成立，据此可得答案． 【详解】解：用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不小于”时，应假设个内角都小于， 故答案为：个内角都小于． 2．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）用反证法证明命题“若，则”时，应先假设 ． 【答案】 【分析】本题考查命题，解题关键在于根据反证法定义即可求得答案. 了解反证法证明的方法和步骤，反证法的步骤中，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设成立． 【详解】解：反面是． 因此用反证法证明“若，则，应先假设． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）用反证法证明“一个三角形最多有一个钝角”，应先假设 ． 【答案】一个三角形中至少有两个钝角 【分析】此题主要考查了反证法，正确理解反证法的思想方法，理解求设的方法是解决本题的关键．利用反证法证明一个命题，首先要假设所证的结论不正确，结论的反面正确． 【详解】解：用反证法证明“一个三角形中最多有一个钝角”，可以先假设一个三角形中至少有两个钝角， 故答案为：一个三角形中至少有两个钝角． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设 ． 【答案】每一个内角都大于 【分析】本题考查反证法，熟练掌握反证法的基本步骤是解题的关键．写出与结论相反的假设即可． 【详解】解：第一步应假设结论不成立，即每一个内角都大于． 故答案为：每一个内角都大于． 5．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）若，证明，用反证法证明的第一步是 ． 【答案】假设与不平行 【分析】此题主要是考查反证法，反证法是先假设结论不成立，即a不平行于c，然后再推出一个与已知相矛盾的结论，从而得到．据此进行作答即可． 【详解】解：若，证明，用反证法证明的第一步是假设与不平行， 故答案为：假设与不平行． 考点九： 用反证法证明命题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）用反证法证明：已知a，b，c是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 【答案】见解析 【分析】此题考查反证法，反证法是一种论证方式，它首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证，反证法的步骤：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立．根据反证法的步骤解答． 【详解】解：假设与不平行，那么它们相交于一点． ，， 过点的两条直线，都与直线垂直． 这与基本事实“过一点有且只有一条直线与这条直线垂直”矛盾． 假设不成立． ． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）用反证法证明：如果三个数之和为1，那么这三个数中至少有一个大于等于． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须——否定．根据反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可． 【详解】假设， 根据不等式的基本性质，，这与矛盾， 假设不成立， 中至少有一个大于等于 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）用反证法证明：如果在中，，那么中至少有一个角不大于． 【答案】见解析 【分析】本题考查了反证法及三角形内角和．利用三角形的内角和及反证法即可求解． 【详解】证明：假设． ， ． 在中，， ，这与矛盾． 假设不成立． 中至少有一个角不大于． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）用反证法证明：若，则a必为负数． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了反证法．假设a不是负数，那么a是0或a是正数，然后分情况求解即可． 【详解】证明：假设a不是负数，那么a是0或a是正数． （1）如果a是零，那么，这与条件矛盾， 所以a不可能是零； （2）如果a是正数，那么，这与条件矛盾， 所以a不可能是正数． 综合（1）和（2），知a不可能是0，也不可能是正数． 所以a必为负数． 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）下列命题的逆命题不成立的是（   ） A．等边对等角 B．两直线平行，同位角相等 C．对顶角相等 D．三个角都是的三角形是等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理的知识，能够写出命题的逆命题是解答本题的关键． 分别写出逆命题，然后判断是否成立即可． 【详解】解：A．逆命题为：等角对等边，成立，不符合题意； B．逆命题为：同位角相等，两直线平行，成立，不符合题意； C．逆命题为：相等的角为对顶角，错误，符合题意； D．逆命题为：等边三角形的三个角都是，成立，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江金华·开学考试）用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（   ） A． B．a与b不平行 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反证法、两直线的位置关系，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】解：反证法证明“在同一平面内，若，，则”时，应假设与不平行，即与相交． 故选：B． 3．（24-25八年级上·河北沧州·期末）下列命题： ①有一个角为的等腰三角形是等边三角形； ②等腰直角三角形一定是轴对称图形； ③有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； ④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 其中正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题真假的判断，解题的关键是熟练掌握课本中的性质定理． 判断是否为真命题，需要分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法可得到答案． 【详解】解：①有一个角为的等腰三角形是等边三角形，故①正确； ②等腰直角三角形一定是轴对称图形，故②正确； ③有一条直角边对应相等的两个直角三角形不一定全等，故③错误； ④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故④正确， 即正确的命题有3个． 故选：D． 4．（24-25八年级上·上海·期末）已知下列命题中： ①有两条边分别相等的两个直角三角形全等； ②顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等； ③如果，那么； ④两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等． 其中假命题的个数是（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，平方的意义，熟练掌握全等三角形的判定，等腰三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的判定，等腰三角形的性质，平方的意义，解答即可． 【详解】解：①有两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，若一个直角三角形的斜边等于另一个直角三角形的直角边，这样的两个直角三角形一定不全等， 故本命题是假命题； ②顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等，由顶角相等一定得到它们的底角分别对应相等，利用角角边或角边角都能判定全等， 故本命题是真命题； ③如果，那么， 故本命题是假命题； ④两个三角形中，两边与及其中一边的对角对应相等，如图， 在和中，，，，但和不全等， 故本命题是假命题； 故假命题的个数是3个， 故选：C． 5．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）对真命题“平行于同一条直线的两直线平行”的证明过程如图所示，则下列正确的是（   ） 已知：如图，． 求证：． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ． A．①处为两直线平行，同位角相等 B．①处为同位角相等，两直线平行 C．②处为同位角相等，两直线平行 D．②处为两直线平行，同位角相等 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】解：已知：如图，，． 求证：． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ， （两直线平行，同旁内角互补） ， ， ， （同位角相等，两直线平行）． 故选：C． 6．（24-25八年级上·山西晋中·期末）通过本学期第七章的学习我们明白了：仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明．而在数学发展史上，数学家们也遇到了“已经知道的真命题又是如何证实的？”这一问题，而源于希腊数学家的一本数学著作解决了这一问题．它以公理和原始概念为基础推演出更多的结论．这种做法为人们提供了一种研究问题的方法（称为公理化方法），这本数学著作是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数学著作，熟练掌握《几何原本》中公理化思想是解题的关键，根据《几何原本》体现了公理化思想进行判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，数学著作《几何原本》体现的是公理化思想， 故选：D． 7．（24-25八年级上·河南郑州·期末）“任何一个角的补角都不小于这个角”是假命题．正确的反例是（   ） A．两个角互为邻补角 B．，的补角， C．，的补角， D．，的补角， 【答案】C 【分析】本题考查补角的定义，以及假命题的反例，解题的关键要熟记补角的定义，然后进行判断即可． 【详解】解：“任何一个角的补角都不小于这个角”是假命题． 其反例应满足“存在一个角的补角小于这个角”， A、两个角互为邻补角，无法判断大小，不符合题意； B、，的补角，，即补角等于这个角，不符合题意； C、，的补角，，即补角小于这个角，符合题意； D、，的补角，，即补角大于这个角，不符合题意； 故选：C． 8．（24-25八年级上·福建泉州·期末）在用反证法证明命题：“已知，求证：”时，第一步应先假设（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反证法的步骤，即①假设命题的结论不成立；②从这个结论出发，经过论证，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；③证明命题的结论一定成立． 直接利用反证法的第一步分析得出答案即可． 【详解】解：“已知，求证：”时，结论为且反证法第一步应先假设结论不成立 第一步应先假设， 故选：B． 9．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）下列命题： ①两直线平行，同旁内角相等； ②实数与数轴上的点一一对应； ③是无理数； ④三角形的一个外角大于任何一个内角． 其中，不是真命题的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了判断命题的真假、平行线的性质、实数与数轴、三角形外角的性质，根据平行线的性质、实数与数轴、无理数的定义、三角形外角的性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，故原说法错误，不是真命题， ②实数与数轴上的点一一对应，故原说法正确，是真命题； ③是有理数，故原说法错误，不是真命题， ④三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故原说法错误，不是真命题， 综上所述，不是真命题的是①③④， 故答案为：①③④． 10．（24-25八年级上·河南南阳·期末）用反证法证明命题“如果，那么”的第一步应假设 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反证法，熟练掌握反证法是解题的关键．根据反证法得到第一步假设即可得到答案． 【详解】解：“如果，那么”的第一步应假设， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·四川成都·期末）某密码锁的密码是一个三位数，小亮说：“它是254．”小明说：“它是964．”小强说：“它是357．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是 ． 【答案】 【分析】本题考查了推理与论证的有关知识，使用排除法缩小范围进而推断出每个数位上的数字是解题的关键． 和都有重复，且位置相同，可以排除这两个数，则小亮猜对的数字是，这样和也就可以排除，所以小强猜对了个位上的，小明猜对了十位上的，这个三位数密码是. 【详解】解：三个人说出的数中，和都有重复，且位置相同， 他们猜对的数字不可能是和，可以排除这两个数， 小亮猜对的数字是， 在百位上， 和可以排除， 小强猜对了个位上的，小明猜对了十位上的， 这个三位数密码是， 故答案为： ． 12．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）把一副扑克牌从上到下按照大王、小王、黑桃、红桃、方块、梅花、黑桃、红桃、方块、梅花，、黑桃、红桃、方块、梅花的顺序依次叠成一叠，然后执行步骤①：把整叠牌最上面一张丢掉，再执行步骤②：把整叠牌最上面一张移到整叠牌的最下面，再执行步骤①，再执行步骤②，……，步骤①和步骤②依次执行直至整叠牌只剩下一张，则最后剩下的这张牌是 ． 【答案】红桃 【分析】本题考查逻辑与推理，理解操作方法是解决本题的突破点；得到所剩牌的规律是解决本题的难点．经过实验可知，扑克牌为张时，总能剩下牌的最后一张，那么张牌，先数出张后，还剩张，那么数出张后的最后一张牌就是所剩的牌． 【详解】解：将54张牌按照上述顺序依次标号为， ∵步骤①：把整叠牌最上面一张丢掉，再执行步骤②：把整叠牌最上面一张移到整叠牌的最下面， ∴如果扑克牌的张数为、、……，依照上述操作方法，剩下的一张牌就是这些牌的最后一张， ∵比小的最大的的幂次方是，， ∴第一轮先丢掉张牌，此时放到牌堆最底下的是原第张牌红桃，牌堆剩下张牌， ∴经过题中步骤最后留下的就是红桃 故答案为：红桃． 13．（24-25九年级上·北京·期中）如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．    甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下： ①每人首次取球时，只能取走2个或3个球：后续每次可取走1个，2个或3个球； ②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走； ③最后一个将球取完的人获胜． （1）若甲首次取走写有b，c的两个球，乙又取走g，h两个球，接着甲又取走两个球，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜； （2）若甲首次取走写有g，h的两个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是 ． 【答案】 甲 c，d 【分析】本题考查了逻辑推理，关键是明确最后一个将球取完的人获胜． （1）由取法可知，余下两个相邻，根据规则即可判断结果； （2）根据规则可知，要想自己获胜必须保证自己倒数第二次时，最后余下2个不相邻的球，由此设计方案即可． 【详解】解：（1）∵甲首次取走写有b，c的两个球，乙又取走g，h两个球，剩下a， ，，d，e，f， ，， 接着甲又取走两个球，它们是d，e，或e，f，只剩下a，，f或a，，d， ∵它们不相邻， ∴乙只能拿走一个，故甲拿走最后一个，故甲胜； 枚答案为：甲； （2）∵甲首次取走g，h二个球，还剩下a，b，c，d，e，f，， 乙取c，d，余下a，b，，，e，f，， 此时甲取a，b或e，f，余下两个相邻，乙可取完，乙胜； 若甲取a或b，那么乙取e或f，那么剩下两个不相邻，则乙胜； 若甲取e或f，那么乙取a或b，那么剩下2个球不相邻，则乙胜； 因此，乙一定要获胜，那么它首次取c，d， 故答案为：c，d． 14．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 【答案】；不平行；；；两直线平行，同旁内角互补；已知；假设；直线与不平行 【分析】本题主要考查了反证法，平行线的性质，熟知反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法首先假设所求证的结论不成立，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】已知：如图，直线被直线所截，． 求证：直线与不平行． 证明：假设所求证的结论不成立，即， 则（两直线平行，同旁内角互补） 这与矛盾，故假设不成立． 所以直线与不平行． 15．（23-24八年级上·山西临汾·期末）反证法是数学证明的一种重要方法．请将下面运用反证法进行证明的过程补全． 已知：在中，．求证：． 证明：假设_____________________． ∵， ∴， ∴， 这与_______________________． ∴_______________________不成立． ∴ 【答案】；三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾；此假设 【分析】根据反证法的证明步骤分析即可． 【详解】解：证明：假设 ∵， ∴， ∴， 这与三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾． ∴此假设不成立． ∴， 故答案为：；三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾；此假设． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，等边对等角及反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 16．（21-22八年级上·广西贵港·期末）用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于．” 已知：，，是的内角． 求证：，，中至少有一个内角小于或等于． 【答案】见解析 【分析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立． 【详解】证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于， ， 这与三角形的三内角和为相矛盾． 假设不成立， 三角形三内角中至少有一个内角小于或等于度． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理考查反证法，解题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$