重难点07 整式的加减运算及应用（12种类型60题）-2025年小升初数学无忧衔接（通用版）

重难点07 整式的加减运算及应用（12种类型60题） 考点一： 整式的加减运算 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）化简： (1)； (2)． 2．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）化简： (1)； (2)； (3)． 3．（24-25七年级上·北京·期中）化简： (1) (2) (3) 4．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点二： 与整式加减运算有关的化简求值问题 5．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知， (1)化简； (2)若，求的值． 6．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）化简求值：，其中， 7．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【简单应用】 ①已知，则_____； ②已知，求的值； (2)【拓展提高】 已知，，求式子的值． 8．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）化简并求值：已知，，．当，时，求的值． 9．（24-25七年级上·福建厦门·期中）设． (1)若，求A的值； (2)若使求得的A的值与（1）中的结果相同，则整数x，y的值还可以是多少? 说明理由，并写出至少一种结果． 10．（24-25七年级上·北京·期中）已知 ，求的值． 考点三： 判断整式化简过程的错误步骤 11．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）下面是小明同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． ．                     第一步                 第二步 ．                        第三步 任务： (1)以上化简步骤中，第一步主要依据的运算律是______________． (2)以上化简步骤中，第______________步开始出现错误，这一步错误的原因是______________． (3)请写出该整式正确的化简过程，并计算当，时的值． 12．（24-25七年级上·辽宁阜新·期中）阅读下面的材料，并完成相应的学习任务． 某同学在计算时，写出如下计算步骤： 任务一：（1）以上计算步骤出现了错误，请写出该整式正确的计算过程； 任务二：（2）当时，求该整式化简后的值． 13．（24-25七年级上·广东清远·期中）已知关于、的多项式． (1)求；老师展示了一位同学的作业如下： 解：    第一步         第二步         第三步 回答问题：这位同学第 步开始出现错误，错误原因是 ； (2)若的结果与字母的取值无关，求的值． 14．（24-25七年级上·河南新乡·期中）思齐同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下： 先化简，再求值：，其中，． 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 当，时， ． (1)上述计算过程中，第一步运算的理论依据是______； (2)已知思齐同学的解答是错误的，则他开始出现错误是在第______步； (3)请给出正确的解答过程． 15．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）下面是小彬同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 (1)任务一：填空：①以上化简步骤中，第一步的依据是________； ②以上化简步骤中，第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； ③请写出该整式正确的化简过程，并计算当时该整式的值． (2)任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就整式的加减还需要注意的事项给其他同学提一条合理化建议． 考点四： 整式加减中的不含型问题 16．（24-25七年级上·重庆秀山·期中）已知多项式化简后不含项．回答下列问题： (1)求的值； (2)求代数式的值． 17．（24-25七年级上·内蒙古通辽·阶段练习）已知，，，是常数，若的差不含二次项，求． 18．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）已知整式，整式，且的结果中不含的一次项，求值． 19．（24-25七年级上·吉林·期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2． (1)求代数式的值； (2)若多项式中不含项，求k的值． 20．（24-25七年级上·广东佛山·期中）已知． (1)求的值； (2)若与互为相反数． ①求C的代数式； ②若，求C的值； (3)若的结果不含项，写出m与n的数量关系，并说明理由． 考点五： 整式加减中的无关型问题 21．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）根据对话内容，解决下列问题： (1)求的值； (2)若，比较与的大小关系； (3)关于，的多项式，，请判断的结果是否与的值无关，并说明理由． 22．（24-25七年级上·广东东莞·期中）已知代数式，． (1)求； (2)若，求的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 23．（24-25七年级上·重庆江北·期末）已知，有7个完全相同的边长为、的小长方形（如图1）和1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中． (1)当时，大长方形的面积为______，阴影图形的面积为______； (2)请说明阴影与阴影的周长的和与小长方形的边长的取值无关． 24．（23-24六年级下·山东烟台·期末）【问题呈现】 （1）已知代数式的值与x的值无关，求m的值； 【类比应用】 （2）将7张长为a，宽为b的小长方形纸片（如图①），按如图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的两部分的面积分别记为，，当的长度变化时，的值始终不变，求a与b的数量关系． 25．（24-25七年级上·山东滨州·期末）在数轴上，A、B两点之间的线段记为，若A，B两点分别表示数a，b．那么线段AB的长度计算公式为：．已知． (1)求线段的长． (2)如图，点P，Q分别从点A，B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒4个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，当时，P点对应的数是多少？ (3)在（2）的条件下，点M从原点与P，Q点同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度（）．若在运动过程中（M处于P，Q之间），的值与运动的时间t无关，求x的值． 考点六： 比较两个代数式的大小 26．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）阅读以下信息，解决问题； 信息 1：“作差法”是比较两个数或两个代数式大小的常用方法．如比较a、b两数的大小，若，则；若，则；若，则． 信息2：类似于运算符号“、、、”，新定义一种运算符号“”，规定： (1)若，求x的值． (2)若，，比较m与n的大小，并说明理由． 27．（24-25七年级上·福建福州·期中）定义：对任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，直接写出，的“如意数”______； (2)若，，直接写出，的“如意数”______（用含的式子表示）； (3)试比较（2）中与的大小． 28．（24-25七年级上·四川成都·期末）对于任意的有理数、、、，我们约定．例如：．根据我们的约定，解答下列问题： (1)计算：； (2)若，求的值； (3)试比较与的大小． 29．（24-25七年级上·四川成都·期中）我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或整式的大小．而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式a、b的大小，只要求出它们的差，若，则；若，则；若，则．请你用“作差法”解决以下问题： (1)制作某产品有两种用料方案： 方案一：用3块A型钢板，用7块B型钢板； 方案二：用2块A型钢板，用8块B型钢板； A型钢板的面积比B型钢板的面积大，设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ (2)试比较图1和图2中两个矩形周长的大小． 30．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）对于有理数m，n定义一种新运算“”，规定． (1)若，求多项式的值． (2)若与，试比较P与Q的大小，并说明理由． 考点七： 整式加减中的遮挡/污染型问题 31．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）老师在黑板上写下了关于的多项式混合运算，随后用一张纸板挡住了一个多项式，形式如下：． (1)求被遮挡的多项式； (2)当时，求被遮挡部分多项式的值． 32．（23-24七年级上·河北唐山·期末）老师讲完整式的加减运算后，在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用书遮挡住了一部分算式（如图）． (1)求被书遮挡部分的整式． (2)当，时，求被书遮挡部分的代数式的值． 33．（21-22七年级上·辽宁鞍山·期中）印卷时，工人不小心把一道化简题前面的一个数字遮住了，结果变成■. (1)某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？ (2)老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式的系数和次数之积”，那么被遮挡住的数字是几？ (3)若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？ 34．（2024·贵州贵阳·二模）如图是三张写有整式的卡片A，B，C，小芳发现A，B，C之间其中两个整式相加等于第三个整式，但B卡片中一单项式不小心被墨水污染了． (1)小芳推测，请你帮助小芳判断她的推测是否正确，并说明理由； (2)根据三个整式，求出被墨水污染的部分． 35．（22-23七年级上·广东惠州·期中）两个多项式A和，，，．其中A被墨水污染了． (1)求多项式A； (2)取其中适合的一个数：2，，1，求的值． 考点八： 整式加减中的整除型问题 36．（23-24七年级下·全国·课后作业）一个四位正整数可表示为，若它的各位数字之和（即）可以被整除，则这个四位数可以被整除．试说明理由． 37．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）阅读下列材料，解答下列问题： 材料一：如果一个两位数，个位上的数字是b，十位上的数字是a，那么我们可以把这个两位数简记为，． 材料二：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，若能被3整除，求证：这个三位数也能被3整除． 证明：根据题意，得这个三位数为 ． 因为能被3整除，能被3整除， 所以这个三位数能被3整除． (1)填空：_______； (2)求证：能被11整除； (3)设是一个四位数，猜想满足什么条件时，它能被9整除，并说明理由． 38．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）【知识技能】若一个三位自然数十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字之和，则称这个三位自然数为“好友数”，将这个“好友数”记为，交换个位上的数字和百位上的数字，得到一个与之对应的“好友数”，记为，称与为一对“好友数”．例如：253是“好友数”，因为；375不是“好友数”，因为；253与352为一对“好友数”． （1）判断187和692是不是“好友数”，并说明理由． 【数学理解】（2）设“好友数”的个位数字为，百位数字为，试用含，的代数式表示一对“好友数”与． 【拓展探索】（3）任意一对“好友数”的和都能被11整除吗？为什么？ 39．（24-25七年级上·河南南阳·期中）我们知道： ；． (1)如果一个三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，这个三位数可以表示为______； (2)设a表示一个两位数，b表示一个三位数，如果把a放在b的左边组成一个五位数m；如果把b放在a的左边，组成一个新五位数n，试探索：能否被9整除？并说明你的理由； (3)设是一个两位数，将它的个位和十位上的数字对调后得到一个新的两位数．若与的和恰好为某自然数的平方．则该自然数是______． 40．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）如图是2024年10月份的月历，“阶梯”框型（阴影部分）在月历中移动，必须覆盖其中6个数：    (1)如果用表示6个数字中最小的数，用含的代数式按从小到大的顺序依次表示其余被覆盖的5个数； (2)试说明“阶梯”框型覆盖的6个数字之和能被3整除； (3)在此月历中，直接写出（1）中的最大值． 考点九： 整式加减中的定值型问题 41．（24-25七年级上·广东广州·期中）某同学做道数学题，已知两个多项式，，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为， (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)计算的值； (3)当取任意值时，的值是一个定值，求的值． 42．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当P在线段上运动时，试说明为定值； (3)当P在延长线上运动时，N为的中点，下列两个结论：①长度不变；②的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值． 43．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）如图1，这是某年月的月历表，用如图2所示的“Z”字形覆盖住月历表中的五个数，则这五个数从小到大依次为，，，，．这五个数的和能被5整除吗？为什么？ (1)甲同学设，请通过计算得出结论； (2)“Z”字形覆盖住月历表中的五个数的和能是吗？若能，求出5个数的值；若不能，说明理由； (3)小明受到启发，改编了下面一道题目，请解答：代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 44．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，数轴上的点表示数，点表示数，点在点的右侧，已知，，若动点、分别从点、处同时向右移动，点的速度为个单位长度秒，点的速度为个单位长度秒，设运动时间为秒．则： (1)当为何值时，、两点重合？ (2)当为何值时，、两点相距个单位长度？ (3)如图2，点是的中点，在点、同时间右移动的过程中，试判断的值是否为定值？并说明理由． 45．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，长方形拼图，白色部分均由长为、宽为的长方形小卡片拼成． (1)如图1，当小卡片的长与宽的和为时，求两个阴影部分周长的和； (2)如图2，若小卡片的面积为，大正方形的面积为，求小卡片长与宽的差； (3)如图3，若两个阴影部分面积之差为定值时，求小卡片的长与宽的比值． 考点十： 整式加减的新定义型问题 46．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）定义一种新运算“”：．例如：． (1)求的值； (2)若多项式，求多项式A，并求当时，多项式A的值． 47．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）定义一种新运算“△”： ； ； ． 观察上述各式的运算方法，解答下列问题： (1)_____________． (2)请按照以上新运算“△”的运算方法，写出的运算形式：____________． (3)若，求的值． 48．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）定义：若，则称、是“白马湖数”，例如：，因此和是一组“白马湖数”． (1)若与是一组“白马湖数”，求的值； (2)若、是一组“白马湖数”，求的值． 49．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知a，b为有理数，现规定一种新的运算符号，定义．例如：，请根据符号的意义解答下列问题： (1)求的值； (2)若，求x的值； (3)若，，试判断m、n的大小，并说明理由． 50．（24-25七年级上·陕西延安·期末）定义：若，则称与互为“和偶数”．例如，，则称与3互为“和偶数”． (1)4与__________互为“和偶数”， 与互为“和偶数”．（用含的代数式表示） (2)若，判断与是否互为“和偶数”，并说明理由． (3)若，且与互为“和偶数”，请直接写出的取值范围． 考点十一： 整式加减的应用 51．（24-25七年级上·广东深圳·期中）某小区的一块长方形绿地的造型如图所示（单位：m），其中两个扇形表示绿地，两块绿地用五彩石隔开． (1)绿地的面积为_____平方米；（用含有a，b，π的式子表示） (2)若， ①若铺设五彩石费用为每平方米160元，种草的费用为每平方米80元，则美化这块长方形区域共需多少元？（用含有a，π的式子表示） ②若要求绿地面积大于这块地总面积的，试问该设计方案是否合乎要求？请说明理由． 52．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）如图是某体育中心游泳馆的设计方案图，半圆形休息区和小长方形游泳区以外的地方都是自由活动区域，各个区域的有关数据如图所示，其中，． (1)游泳区面积为______，休息区面积为________．（用含，的代数是表示，含有的保留） (2)若这个游泳馆的长与宽之间满足，现要求这个自由活动区域需要占游泳馆总面积的及以上才符合要求，请你通过计算及推理判断这个设计方案是否符合要求． 53．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）小明，小刚，小颖三人玩游戏，每人一张写有已化简的代数式的卡片，游戏规则为选择两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则游戏成功．小明，小刚，小颖的卡片如下，其中小颖的卡片有一部分看不见了． (1)小颖建议选取小明卡片上的代数式减去小刚卡片上的代数式，请你判断：此操作 （填写“能”或“不能”）使游戏成功； (2)小颖发现用她卡片上的代数式减去小明卡片上的代数式可以使游戏成功，你能否帮小颖求出她的代数式． 54．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）如图，某学校操场边的三层观众台，建于地面，背面靠围墙，每层的宽度相等，高度一致．现对这个观众台的表面进行刷漆维护（包括两个侧面）． (1)请用含a，b，c的代数式表示观众台需要剧漆的面积； (2)当，，时，求观众台需要刷漆的面积． 55．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）一辆客车从甲地开往乙地，车上原有人，中途停车一次，有一些人下车，此时下车的人数比车上原有人数的一半还多人，同时又有一些人上车，上车的人数比少人． (1)用代数式表示中途下车的人数． (2)用代数式表示中途下车、上车之后，车上现在共有多少人． 考点十二： 整式加减与绝对值综合 56．（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是______；表示和两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于，如果表示数和的两点之间的距离是，那么___． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为______； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是______． (4)当______时，的值最小，最小值是______． 57．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）【阅读材料】我们在数学的学习过程中要接触到“数”和“形”，它们在一定条件下可以相互转化，这样的联系称为数形结合，数形结合是一种重要的数学思想方法，有着广泛的应用，在中学数学阶段，数形结合应用大致分为两种情形：借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．我们学习过的绝对值知识从形的角度来解释就是：表示在数轴上数a到原点的距离，借助绝对值的形的解释，我们就可以得到．又比如从数的角度来解释：表示7与3差的绝对值；从形的角度来解释：7与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【分析应用】如图1，A、B是数轴上两点（A在B的左侧），A表示的数是－3．动点M从点A出发沿数轴向右匀速运动． (1)B点表示的数是 ，A和B两点之间的距离为 ； (2)①从形的角度来解释：5与 在数轴上所对应的两点之间的距离； ②数轴上表示数a和－3的两点之间的距离表示为 ； ③当a为 时，． (3)若动点M在A和B两点之间运动，其对应数的为x，化简：．（写出化简过程） 58．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示1与3两点之间的距离是_____， (2)如果表示x的点A到表示的点B的距离为4，则_____， (3)数轴上表示x与5两点之间的距离可以表示为____， (4)同理表示数轴上有理数x所对应的点到和1所对应的点的距离之和，若x表示一个有理数，则的最小值为______． 59．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）阅读下列有关材料并解决有关问题． 材料一：我们知道的几何意义是指数轴上表示数的点与原点的距离，的几何意义是数轴上两数对应点之间的距离．例如，，的几何意义是：在数轴上表示的点和表示5的点之间的距离为11． 材料二：我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：．从而在化简时，可以下三种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 通过以上阅读材料，请你解决下面问题： (1)代数式的零点值是______；的最小值为______； (2)根据材料信息，化简代数式：； (3)设，当取何值时取最小值是多少？ 60．（24-25七年级上·广东深圳·期中）【阅读与思考】 素材一：如图20-1，在数轴上点M表示数m，点N表示数n，点M到点N的距离记为，我们规定：数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值，即：或 素材二：如图20-2：在数轴上点A表示数a，B表示数b，点C表示数c，数b是最大的负整数．且a，c满足：． 素材三： 请根据上面的素材进行思考并解答下面的问题： (1)________，________，________； (2)若x为数轴上任意一点，则的最小值为________； (3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒钟， ①请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； ②探究：若点A，C向右运动，点B向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若不变，请求其值；若变化，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点07 整式的加减运算及应用（12种类型60题） 考点一： 整式的加减运算 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，合并同类项，去括号法则，正确运算是解题的关键． （1）合并同类项求解即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解: , , （2）, , , 2．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减运算，其实质是去括号，合并同类项，掌握去括号与合并同类项法则是解题的关键． （1）直接合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可； （3）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．（24-25七年级上·北京·期中）化简： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）合并同类项，再化简，即可得到结果． （2）按照去括号，合并同类项，化简的运算顺序，即可得到结果． （3）按照去括号，合并同类项，化简的运算顺序，即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： ； （3）解： ． 4．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （3）根据合并同类项的计算法则求解即可； （4）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 考点二： 与整式加减运算有关的化简求值问题 5．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知， (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则． （1）根据整式的加减运算法则进行化简， （2）根据题意可求出与的值，然后将与的值代入中即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ，， 当，时， ， ， ． 6．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）化简求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解； ， 当，时，原式． 7．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【简单应用】 ①已知，则_____； ②已知，求的值； (2)【拓展提高】 已知，，求式子的值． 【答案】(1)①2025；② (2) 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，代数式求值，掌握整式的加减-化简求值的运算法则以及整体代入思想是关键． （1）①把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； ②把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； （2）将代数式变形为，再化为，再将，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ， 故答案为： 2025； ②， ． （2）解：∵， ． 8．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）化简并求值：已知，，．当，时，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意得到，将，代入计算即可得到答案． 【详解】解： ，，， ， 当，时， ． 9．（24-25七年级上·福建厦门·期中）设． (1)若，求A的值； (2)若使求得的A的值与（1）中的结果相同，则整数x，y的值还可以是多少? 说明理由，并写出至少一种结果． 【答案】(1)18 (2)，（答案不唯一），理由见解析 【分析】本题考查整式的化简求值，绝对值和平方的非负性，代数式求值．掌握整式的加减混合运算法则是解题关键． （1）根据整式的加减混合运算法则计算即可化简A，再根据绝对值和平方的非负性可求出x和y的值，最后代入求值即可； （2）根据（1）可得出，赋值即可． 【详解】（1）解： ． ∵，，， ∴，， 解得：，， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴满足，即，即可使求得的A的值与（1）中的结果相同． 当时，， ∴当，时，即满足使求得的A的值与（1）中的结果相同． 10．（24-25七年级上·北京·期中）已知 ，求的值． 【答案】，25 【分析】本题考查了整式的化简求值，先去括号再合并同类项，得，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴． 考点三： 判断整式化简过程的错误步骤 11．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）下面是小明同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． ．                     第一步                 第二步 ．                        第三步 任务： (1)以上化简步骤中，第一步主要依据的运算律是______________． (2)以上化简步骤中，第______________步开始出现错误，这一步错误的原因是______________． (3)请写出该整式正确的化简过程，并计算当，时的值． 【答案】(1)分配律 (2)三；第2个括号内，合并同类项后，所得项的系数为负数，把负数写成了正数 (3)；30 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则，和化简求值的步骤是解本题的关键． （1）观察第一步变形过程，确定出依据乘法分配律即可； （2）找出出错的步骤三，分析其原因合并同类项符号问题即可； （3）原式去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：以上化简步骤中，第一步主要依据的运算律是乘法分配律． 故答案为：分配律； （2）以上化简步骤中，第三步开始出现错误，这一步错误的原因是第2个括号内，合并同类项后，所得项的系数为负数，把负数写成了正数． 故答案为：三，第2个括号内，合并同类项后，所得项的系数为负数，把负数写成了正数（答案不唯一）； （3）． ， 当，时，原式 ． 12．（24-25七年级上·辽宁阜新·期中）阅读下面的材料，并完成相应的学习任务． 某同学在计算时，写出如下计算步骤： 任务一：（1）以上计算步骤出现了错误，请写出该整式正确的计算过程； 任务二：（2）当时，求该整式化简后的值． 【答案】（1）见解析；（2）6 【分析】此题考查了整式的加减，去括号法则，化简求值． （1）先去括号，然后合并同类项即可； （2）利用非负数的性质求得，，再代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴，， 解得，， 当，时， 原式 ． 13．（24-25七年级上·广东清远·期中）已知关于、的多项式． (1)求；老师展示了一位同学的作业如下： 解：    第一步         第二步         第三步 回答问题：这位同学第 步开始出现错误，错误原因是 ； (2)若的结果与字母的取值无关，求的值． 【答案】(1)二，去括号时，第二项没有变号 (2) 【分析】本题考查整式的加减； （1）根据题目中的解答过程可知：这位同学第二步开始出现错误，错误原因是去括号时，第二项没有变号； （2）先计算出，然后根据的结果与字母的取值无关，即可求得的值． 【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知：这位同学第二步开始出现错误，错误原因是去括号时，第二项没有变号， 故答案为：二，去括号时，第二项没有变号； （2） ， 的结果与字母的取值无关， ， 解得． 14．（24-25七年级上·河南新乡·期中）思齐同学在做一道改编自课本上的习题时，解答过程如下： 先化简，再求值：，其中，． 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 当，时， ． (1)上述计算过程中，第一步运算的理论依据是______； (2)已知思齐同学的解答是错误的，则他开始出现错误是在第______步； (3)请给出正确的解答过程． 【答案】(1)去括号的法则 (2)二，中括号前为负数，去括号后没有变号 (3)原式，当时，原式 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握去括号的法则，根据整式的加减混合运算顺序和运算法则进行计算．注意去括号时，括号前为负数时，要变号． （1）根据去括号的法则即可进行解答； （2）根据去括号得法则即可进行解答； （3）先将整式进行化简，再代入求值即可． 【详解】（1）解：第一步运算的理论依据是：去括号的法则； 故答案为：去括号的法则． （2）解：根据题意得：他开始出现错误是在第二步，错误原因是：中括号前为负数，去括号后没有变号． 故答案为：二，中括号前为负数，去括号后没有变号． （3）解：原式 ， 当时，原式． 15．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）下面是小彬同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 (1)任务一：填空：①以上化简步骤中，第一步的依据是________； ②以上化简步骤中，第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； ③请写出该整式正确的化简过程，并计算当时该整式的值． (2)任务二：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就整式的加减还需要注意的事项给其他同学提一条合理化建议． 【答案】(1)①乘法分配律；②去括号时括号里的第二项没有变号；③； (2)在进行整式加减运算，将括号前面的系数去掉时，括号内的每一项都要乘以该系数，不要漏乘 【分析】本题主要考查了整式化简求值； （1）任务1：①找出第一步的依据即可； ②找出解答过程中的错误，分析其原因即可； ③原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值； （2）任务二：根据整式加减运算法则，进行解答即可． 解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，准确计算． 【详解】（1）解：①以上化简步骤中，第一步的依据是乘法分配律； 故答案为：乘法分配律； ②以上化简步骤中，第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时括号里的第二项没变号； 故答案为：去括号时括号里的第二项没有变号； ③ , 当时， 原式． （2）解：在进行整式加减运算，将括号前面的系数去掉时，括号内的每一项都要乘以该系数，不要漏乘． 考点四： 整式加减中的不含型问题 16．（24-25七年级上·重庆秀山·期中）已知多项式化简后不含项．回答下列问题： (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2)17 【分析】本题考查了整式的加减中和无关型，代数式求值，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． （1）先化简，再根据不含项，即项的系数为0，得关于m的方程，求解即可； （2）把m的值代入多项式计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵不含项， ∴， ∴． （2）解：当时， ． 17．（24-25七年级上·内蒙古通辽·阶段练习）已知，，，是常数，若的差不含二次项，求． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用整式的加减的法则对式子进行整理，再结合条件进行分析，求出a，b的值，从而可求解． 【详解】解：，， ， 的差不含二次项， ，， 解得：，， ． 18．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）已知整式，整式，且的结果中不含的一次项，求值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减运算中的无关项问题，根据题意先计算，再根据题意令的一次项系数为，即可求解． 【详解】解：∵整式，整式， ∴ ， ∵的结果中不含的一次项， ∴， 解得：． 19．（24-25七年级上·吉林·期中）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2． (1)求代数式的值； (2)若多项式中不含项，求k的值． 【答案】(1)4或 (2) 【分析】本题考查了代数式求值，相反数，整式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据相反数，倒数，绝对值的意义可得，，，然后分两种情况进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论可得，然后根据题意可得，从而进行计算即可解答． 【详解】（1）解：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为2， ，，， 当时，； 当时，； 代数式的值为4或； （2）解：，， ， 多项式中不含项， ， 解得：， 的值为． 20．（24-25七年级上·广东佛山·期中）已知． (1)求的值； (2)若与互为相反数． ①求C的代数式； ②若，求C的值； (3)若的结果不含项，写出m与n的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)，理由见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算，相反数的定义，非负数的性质，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键． （1）将A，B代入，合并同类项即可； （2）①若与互为相反数，则，进而可得；②利用平方和绝对值的非负性求出x和y的值，代入①中结论求值即可； （3）的结果不含项，则合并同类项后项的系数为0，由此可解． 【详解】（1）解： ； （2）解：①与互为相反数， ， ； ②，，， ，， ，， ，， ； （3）解：若的结果不含项，则，理由如下： ， 的结果不含项， ， ． 考点五： 整式加减中的无关型问题 21．（24-25七年级上·贵州毕节·期末）根据对话内容，解决下列问题： (1)求的值； (2)若，比较与的大小关系； (3)关于，的多项式，，请判断的结果是否与的值无关，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的结果与的值无关，理由见解析 【分析】（）根据正整数、相反数、倒数的定义求出的值，再代入计算即可求解； （）根据非负数的性质求出的值，进而求出的值即可判断求解； （）求出的结果即可判断求解； 本题考查了整式的加减，非负数的性质，代数式求值，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）解：的结果与的值无关，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴ ， ∴的结果与的值无关． 22．（24-25七年级上·广东东莞·期中）已知代数式，． (1)求； (2)若，求的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据整式的加减计算法则列式计算即可； （）根据绝对值非负性和偶次方非负性求出，的值，然后代入求解即可； （）根据（）所求得到，根据的值与的取值无关，即含的项的系数为进行求解即可； 本题主要考查了整式的加减，绝对值非负性和偶次方非负性，整式加减中的无关型问题，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：，，． ； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴原式 ； （3）解：由（）得， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 23．（24-25七年级上·重庆江北·期末）已知，有7个完全相同的边长为、的小长方形（如图1）和1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中． (1)当时，大长方形的面积为______，阴影图形的面积为______； (2)请说明阴影与阴影的周长的和与小长方形的边长的取值无关． 【答案】(1)，； (2)见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则． （）求出长方形的长，然后利用长乘以宽求出面积即可，再求解阴影图形的长与宽，再计算面积即可； （）求出阴影的周长，再求出周长和即可说明； 【详解】（1）解：当，时，大长方形的长为， ∴大长方形的面积为， 阴影图形的面积为：； （2）证明：阴影的周长为， 阴影的周长为， ∴阴影与阴影的周长的和为： ， ∴阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 24．（23-24六年级下·山东烟台·期末）【问题呈现】 （1）已知代数式的值与x的值无关，求m的值； 【类比应用】 （2）将7张长为a，宽为b的小长方形纸片（如图①），按如图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的两部分的面积分别记为，，当的长度变化时，的值始终不变，求a与b的数量关系． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题主要考查了整式的混合运算及列代数式，读懂题意列出代数式是解决本题的关键． （1）根据题意，代数式，可化为，因为代数式的值与x无关，可得，即可得出答案； （2）设，算出阴影的面积分别为，即可得出面积的差为，因为S的取值与n无关，即． 【详解】解：（1）原式． 由题意得，含x项的系数为0，即． 所以． （2）设， 则，， 所以， 由题意得，含n项的系数为0，即． 25．（24-25七年级上·山东滨州·期末）在数轴上，A、B两点之间的线段记为，若A，B两点分别表示数a，b．那么线段AB的长度计算公式为：．已知． (1)求线段的长． (2)如图，点P，Q分别从点A，B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒4个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，当时，P点对应的数是多少？ (3)在（2）的条件下，点M从原点与P，Q点同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度（）．若在运动过程中（M处于P，Q之间），的值与运动的时间t无关，求x的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，掌握数轴上两点之间的距离与这两点所表示的数之间的关系式解决问题的关键． （1）利用非负数的性质求出、的值即可求出， （2）设运动的时间为，则点所表示的数为，点所表示的数为，得，，列方程求解即可； （3）表示出点、、所表示的数，进而表示出、, 利用的值与运动的时间无关，即的系数为，进而求出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 即: ，， ∴. （2）解：设运动的时间为，则点所表示的数为，点所表示的数为， ∴，， 由，得， 解得:或， 因此，点所表示的数为: 或， 答：点所对应的数是或； （3）由题意得：点所表示的数为，点所表示的数为, 点所表示的数为, ∵在运动过程中（M处于P，Q之间）， 则， ∵结果与无关， ∴， 解得：． 考点六： 比较两个代数式的大小 26．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）阅读以下信息，解决问题； 信息 1：“作差法”是比较两个数或两个代数式大小的常用方法．如比较a、b两数的大小，若，则；若，则；若，则． 信息2：类似于运算符号“、、、”，新定义一种运算符号“”，规定： (1)若，求x的值． (2)若，，比较m与n的大小，并说明理由． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了整式加减的应用，解一元一次方程，能灵活运用作差法进行计算是解此题的关键． （1）根据新定义，列式计算，得到结果； （2）先求出m、n的值，然后用作差法，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：∵，， ∴ ， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 27．（24-25七年级上·福建福州·期中）定义：对任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，直接写出，的“如意数”______； (2)若，，直接写出，的“如意数”______（用含的式子表示）； (3)试比较（2）中与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义的理解以及整数、整式的计算；解题的关键是理解新定义． （1）根据“如意数”将，代入即可求出结果； （2）根据“如意数”将，，代入即可求出， （3）通过计算得到，即可比较大小． 【详解】（1）解：将，代入得： 故答案为：； （2）解：将，代入， ， 故答案为：； （3）解：， ． 28．（24-25七年级上·四川成都·期末）对于任意的有理数、、、，我们约定．例如：．根据我们的约定，解答下列问题： (1)计算：； (2)若，求的值； (3)试比较与的大小． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了定义新运算、一元一次方程、整式的加减，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义进行化简，得到，求解方程即可得出的值； （3）先根据新定义进行化简，得出，，再利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：． （2）解：， ， ， 解得：， 的值为． （3）解：， ， ， ． 29．（24-25七年级上·四川成都·期中）我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或整式的大小．而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式a、b的大小，只要求出它们的差，若，则；若，则；若，则．请你用“作差法”解决以下问题： (1)制作某产品有两种用料方案： 方案一：用3块A型钢板，用7块B型钢板； 方案二：用2块A型钢板，用8块B型钢板； A型钢板的面积比B型钢板的面积大，设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ (2)试比较图1和图2中两个矩形周长的大小． 【答案】(1)从省料角度考虑，应该选方案二； (2)时，图形1的周长大于图形2的周长；时，图形1的周长等于图形2的周长；时，图形1的周长小于图形2的周长． 【分析】此题考查了整式的加减，作差法比较大小，理解题中作差法比较大小是解答的关键． （1）先计算每种方案的耗材面积，作差与零的大小比较即可． （2）先计算每种图形的周长，分三种情况，当时，当时，当时分别作差，比较大小即可． 【详解】（1）根据题意，得 方案一：耗材面积为；方案二：耗材面积， 且即， ∵， ∴． ∴从省料角度考虑，应该选方案二． （2）根据题意， 图形1的周长为， 图形2的周长为， 且， ∵， ∴当时，即图形1的周长大于图形2的周长； ∴当时，即图形1的周长等于图形2的周长； ∴当时，即图形1的周长小于图形2的周长． 30．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）对于有理数m，n定义一种新运算“”，规定． (1)若，求多项式的值． (2)若与，试比较P与Q的大小，并说明理由． 【答案】(1)3 (2)见解析 【分析】本题考查了新定义的应用，涉及到整式的加减运算，读懂题意是解题的关键． （1）根据新定义，把，展开后得到，即可得到结果； （2）由条件得到，得到，通过讨论x的取值，得到P，Q的大小． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵与， ∴，， ∴， ∴当时，，则， 当时，，则， 当时，，则． 考点七： 整式加减中的遮挡/污染型问题 31．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）老师在黑板上写下了关于的多项式混合运算，随后用一张纸板挡住了一个多项式，形式如下：． (1)求被遮挡的多项式； (2)当时，求被遮挡部分多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． （）列式表示出被遮挡的多项式，化简即可； （）把的值代入（）中结果求值即可； 【详解】（1）解：被遮挡的多项式； （2）解：当时， ． 32．（23-24七年级上·河北唐山·期末）老师讲完整式的加减运算后，在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用书遮挡住了一部分算式（如图）． (1)求被书遮挡部分的整式． (2)当，时，求被书遮挡部分的代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减的应用和求代数式的值． （1）根据题意列出算式，计算即可求解； （2）把，代入（1）的结果即可求解． 【详解】（1）解：被遮挡部分的整式为 ； （2）解：当，时， 原式 ． 33．（21-22七年级上·辽宁鞍山·期中）印卷时，工人不小心把一道化简题前面的一个数字遮住了，结果变成■. (1)某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？ (2)老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式的系数和次数之积”，那么被遮挡住的数字是几？ (3)若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把“■”换成10，原式去括号合并即可得到结果； （2）求出单项式的系数和次数之积，确定出遮挡部分即可； （3）设遮挡部分为a，原式去括号合并后，根据化简结果为常数，确定出a的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：原式＝ ＝ ＝； （2）解：是单项式的系数和次数之积为：， 答：遮挡部分应是； （3）解：设遮挡部分为a， 原式＝ ＝ ＝； 因为结果为常数，所以 所以遮挡部分为． 【点睛】此题考查了整式的加减和代数式的值与字母无关问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 34．（2024·贵州贵阳·二模）如图是三张写有整式的卡片A，B，C，小芳发现A，B，C之间其中两个整式相加等于第三个整式，但B卡片中一单项式不小心被墨水污染了． (1)小芳推测，请你帮助小芳判断她的推测是否正确，并说明理由； (2)根据三个整式，求出被墨水污染的部分． 【答案】(1)不正确，见解析 (2) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握计算法则是解此题的关键． （1）根据题意和题干中的多项式，求出，再与题干中的进行比较即可得出答案； （2）根据题意，可以列出三个等式，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：不正确．理由如下， 由题知，，， 若，则， ∵不是单项式， ∴小芳的推测不正确； （2）解：由（1）可得：当时，，与题意不符合，舍去； 当时，， 与题意不符，舍去； 当时，， ∵为单项式， ∴符合题意， ∴被墨水污染的部分是． 35．（22-23七年级上·广东惠州·期中）两个多项式A和，，，．其中A被墨水污染了． (1)求多项式A； (2)取其中适合的一个数：2，，1，求的值． 【答案】(1) (2)当时， 【分析】（1）把代入中，确定出即可； （2）把的值代入原式计算即可求出值． 【详解】（1）解： ．， ； （2）解：当时，， 无意义， ∴， ∴当时，，， ∴． 【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 考点八： 整式加减中的整除型问题 36．（23-24七年级下·全国·课后作业）一个四位正整数可表示为，若它的各位数字之和（即）可以被整除，则这个四位数可以被整除．试说明理由． 【答案】理由见解析 【分析】本题主要考查了整式加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算法则是解题的关键．根据题意可得，再变形为，可设（为整数），则原式可化为，即可求解． 【详解】解：， 可以被整除， 可设（为整数）， 则原式， 而为整数， 可以被整除． 37．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）阅读下列材料，解答下列问题： 材料一：如果一个两位数，个位上的数字是b，十位上的数字是a，那么我们可以把这个两位数简记为，． 材料二：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，若能被3整除，求证：这个三位数也能被3整除． 证明：根据题意，得这个三位数为 ． 因为能被3整除，能被3整除， 所以这个三位数能被3整除． (1)填空：_______； (2)求证：能被11整除； (3)设是一个四位数，猜想满足什么条件时，它能被9整除，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当的和能被9整除时，能被9整除．理由见解析 【分析】本题考查了新定义运算在数字问题中的应用，数字整除性规律的证明，列代数式，整式的加减与变形，读懂定义并正确列式是解题的关键． （1）根据三位数的十进制规律即可列出其代数表达式； （2）将的表达式化简整理成积式，再根据整数的性质即可判断； （3）将的表达式化简整理成，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可得． 故答案为：． （2）证明：∵，， ∴， 因是的约数，故可被整除． （3）解：∵， ∵能被整除， ∴当的和能被9整除时，能被9整除． 38．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）【知识技能】若一个三位自然数十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字之和，则称这个三位自然数为“好友数”，将这个“好友数”记为，交换个位上的数字和百位上的数字，得到一个与之对应的“好友数”，记为，称与为一对“好友数”．例如：253是“好友数”，因为；375不是“好友数”，因为；253与352为一对“好友数”． （1）判断187和692是不是“好友数”，并说明理由． 【数学理解】（2）设“好友数”的个位数字为，百位数字为，试用含，的代数式表示一对“好友数”与． 【拓展探索】（3）任意一对“好友数”的和都能被11整除吗？为什么？ 【答案】（1）187是“好友数”，692不是“好友数”，理由见解析；（2）“好友数”为，为；（3）都能被11整除，理由见解析 【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算，解题的关键是能够理解“好友数”的定义，以及表示出一对“好友数”． （1）根据“好友数”的定义分别验证即可； （2）首先求出十位数字为，然后根据三位数的表示方法求解即可； （3）设一个“好友数”的百位数字为x，个位数字为y，表示出一对“好友数”，相加，根据结果判断即可． 【详解】解：（1）在187中，， 则187是“好友数”； 在692中，， 则692不是“好友数”； （2）∵设“好友数”的个位数字为，百位数字为， ∴十位数字为， ∴“好友数”为， ∴“好友数”的个位数字为，百位数字为，十位数字为， ∴“好友数”为； （3）设一个“好友数”的百位数字为x，个位数字为y，则十位数字为， 则该“好友数”为， 则另一个“好友数”为， ∴两数之和为， 故任意一对“好友数”的和能被11整除． 39．（24-25七年级上·河南南阳·期中）我们知道： ；． (1)如果一个三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，这个三位数可以表示为______； (2)设a表示一个两位数，b表示一个三位数，如果把a放在b的左边组成一个五位数m；如果把b放在a的左边，组成一个新五位数n，试探索：能否被9整除？并说明你的理由； (3)设是一个两位数，将它的个位和十位上的数字对调后得到一个新的两位数．若与的和恰好为某自然数的平方．则该自然数是______． 【答案】(1) (2)能被9整除，理由见解析 (3)11 【分析】本题主要考查了列代数式，整式的加减．解题关键是正确弄清数量关系． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意确定五位数后求差即可说明理由； （3）根据两位数的表示方法列式，再根据平方的意义求解． 【详解】（1）解：一个三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，这个三位数可表示为； 故答案为：； （2）解：能被9整除．理由如下： 根据题意得： ，， ∴， ∴能被9整除； （3）解：根据题意得， 由题意得：， ∴该自然数是11． 故答案为：11． 40．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）如图是2024年10月份的月历，“阶梯”框型（阴影部分）在月历中移动，必须覆盖其中6个数：    (1)如果用表示6个数字中最小的数，用含的代数式按从小到大的顺序依次表示其余被覆盖的5个数； (2)试说明“阶梯”框型覆盖的6个数字之和能被3整除； (3)在此月历中，直接写出（1）中的最大值． 【答案】(1)，，，， (2)见解析 (3)14 【分析】本题考查列代数式，整数的混合运算，列代数式的应用，读懂题意是关键． （1）由日历可发现：第一行后面的数比前面的数多1，第二行第一个数比最小的数多8，第二个数比最小的数多9，第三行第一个数比最小的数多16，第二个数比最小的数多17，据此即可解答； （2）将6个数相加即可得出结论； （3）根据最大的数与最小的数相差17可得结论． 【详解】（1）解：由日历可发现：第一行后面的数比前面的数多1，第二行第一个数比最小的数多8，第二个数比最小的数多9，第三行第一个数比最小的数多16，第二个数比最小的数多17， 所以，其余被覆盖的5个数为：，，，， （2）解： 所以，“阶梯”框型覆盖的6个数字之和能被3整除； （3）解：因为，且这个月有31天， 所以，， 所以，最大的数是14． 考点九： 整式加减中的定值型问题 41．（24-25七年级上·广东广州·期中）某同学做道数学题，已知两个多项式，，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为， (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)计算的值； (3)当取任意值时，的值是一个定值，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据题意，，把和的值代入计算即可； （2）根据题意，，把和的值代入计算即可； （3）根据的值是一个定值，可得，由此即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵当取任意值时，的值是一个定值， ∴， ∴． 42．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，？ (2)当P在线段上运动时，试说明为定值； (3)当P在延长线上运动时，N为的中点，下列两个结论：①长度不变；②的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)出发秒后， (2)；理由见详解 (3)选①；；理由见详解 【分析】本题考查了两点间的距离，整式的加减，解一元一次方程，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度． （1）分两种情况讨论，点在点左边，点在点右边，分别求出的值即可． （2），，，表示出后，化简即可得出结论． （3）根据，，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：设出发秒后，， 当点在点左边时，，，， 由题意得，， 解得：； 当点在点右边时，，，， 由题意得：， 故方程无解； 综上可得：出发秒后，． （2）解：∵，， ∴； （3）解：选①； ∵，，， ∴， 即长度不变； ②， 即的值变化． 43．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）如图1，这是某年月的月历表，用如图2所示的“Z”字形覆盖住月历表中的五个数，则这五个数从小到大依次为，，，，．这五个数的和能被5整除吗？为什么？ (1)甲同学设，请通过计算得出结论； (2)“Z”字形覆盖住月历表中的五个数的和能是吗？若能，求出5个数的值；若不能，说明理由； (3)小明受到启发，改编了下面一道题目，请解答：代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)能，理由见解析 (2)不能，理由见解析 (3)是， 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减和一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）设，则，，，，根据题意得出五个数的和为，于是结论得证； （2）设，则，，，，根据题意得出五个数的和为，令，解得，则，根据月历中没有数值即可得出结论； （3）设，则，，，，然后代入，运用整式的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：这五个数的和能被5整除，理由如下： 设，则，，，， ∴， ∵是5的倍数， ∴能被5整除， ∴这五个数的和能被5整除； （2）解：不能，理由如下： 设，则，，，， ∴， 当时， 解得：， ∴， ∵月历中没有数值， ∴“Z”字形覆盖住月历表中的五个数的和不能是； （3）解：代数式的值为定值，理由如下： 设，则，，，， ∴ ， ∴代数式的值为定值，它的值为． 44．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，数轴上的点表示数，点表示数，点在点的右侧，已知，，若动点、分别从点、处同时向右移动，点的速度为个单位长度秒，点的速度为个单位长度秒，设运动时间为秒．则： (1)当为何值时，、两点重合？ (2)当为何值时，、两点相距个单位长度？ (3)如图2，点是的中点，在点、同时间右移动的过程中，试判断的值是否为定值？并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)是定值，理由见解析 【分析】本题考查了两点间的距离，一元一次方程的应用，整式的加减运算．熟练掌握两点间的距离公式，正确的列出方程和代数式，是解题的关键． （1）根据相遇时，点移动的距离等于点移动的距离加上的距离，列出方程即可； （2）表示出的距离，列出方程进行求解即可； （3）表示出，的距离，相减即可． 【详解】（1）∵， ∴， 由题意，得：， 解得：； （2）由题意，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴或； （3）是定值，理由如下： ∵点表示的数为，为的中点， ∴表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴为定值． 45．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，长方形拼图，白色部分均由长为、宽为的长方形小卡片拼成． (1)如图1，当小卡片的长与宽的和为时，求两个阴影部分周长的和； (2)如图2，若小卡片的面积为，大正方形的面积为，求小卡片长与宽的差； (3)如图3，若两个阴影部分面积之差为定值时，求小卡片的长与宽的比值． 【答案】(1)40 (2)5 (3)2 【分析】本题考查了代数式的应用、整式加减的应用、完全平方公式在几何图形中的应用，理解题意正确列出代数式是解题的关键． （1）由题意得，，由图1表示出两个阴影部分周长的和即可求解； （2）由图2可得小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据图2中各个部分面积之间的关系可得，代入数据求出的值，即可解答； （3）设最大长方形的长为，表示出、，再计算，由两个阴影部分面积之差为定值可知，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 由图1得，两个阴影部分周长的和为， 两个阴影部分周长的和为40． （2）解：由图2可得，小正方形的边长为，大正方形的边长为， 由题意得，，， 由图2中各个部分面积之间的关系可得：， ， ， 又， ， 小卡片长与宽的差为5． （3）解：设最大长方形的长为，则，， ， 两个阴影部分面积之差为定值，即与无关， ， ， 小卡片的长与宽的比值为2． 考点十： 整式加减的新定义型问题 46．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）定义一种新运算“”：．例如：． (1)求的值； (2)若多项式，求多项式A，并求当时，多项式A的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，整式的加减，解题的关键是掌握整式的加减法则． （1）根据新定义列式进行计算即可求解； （2）根据新定义和整式的加减进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：由题意知， ， 当时，． 47．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）定义一种新运算“△”： ； ； ． 观察上述各式的运算方法，解答下列问题： (1)_____________． (2)请按照以上新运算“△”的运算方法，写出的运算形式：____________． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察式子特征，得出，即可作答． （2）观察题干式子特征以及（1）的式子，得出，即可作答． （3）因为，结合，得出，解出，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ， ， ， 故答案为：． （2）解：结合； ， ， ， ， 故答案为：． （3）解：∵， ， 解得：． 48．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）定义：若，则称、是“白马湖数”，例如：，因此和是一组“白马湖数”． (1)若与是一组“白马湖数”，求的值； (2)若、是一组“白马湖数”，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查的是解一元一次方程，整式的化简求值，新定义． （1）设与是一组“白马湖数”，根据“白马湖数”的定义列式计算，得到答案； （2）根据“白马湖数”的定义得到，根据整式的加减混合运算法则把原式化简，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵与是一组“白马湖数”， ∴ 解得： （2）∵m、n是一组“白马湖数”， ∴， 则 ． 49．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知a，b为有理数，现规定一种新的运算符号，定义．例如：，请根据符号的意义解答下列问题： (1)求的值； (2)若，求x的值； (3)若，，试判断m、n的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（）根据新定义运算计算即可； （）根据新定义运算列出方程即可求解； （）根据新定义运算表示出，再利用作差法解答即可求解； 本题考查了有理数的新定义运算，整式的加减，解一元一次方程，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：∵ ∴， 解得； （3）解：，理由如下： ∵ ， ， ∴ ， ∴． 50．（24-25七年级上·陕西延安·期末）定义：若，则称与互为“和偶数”．例如，，则称与3互为“和偶数”． (1)4与__________互为“和偶数”， 与互为“和偶数”．（用含的代数式表示） (2)若，判断与是否互为“和偶数”，并说明理由． (3)若，且与互为“和偶数”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)a与b互为“和偶数”；理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查新定义，整式的加减，绝对值的意义，解题的关键是理解并掌握“和偶数”的定义及整式加减运算顺序和法则． （1）根据“和偶数”定义可得答案； （2）列出算式，去括号、合并同类项得出其结果，判断结果是否等于2即可； （3）由c与d互为“和偶数”知，据此可得，然后分类讨论，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴4与互为“和偶数”， ∵， ∴与互为“和偶数”． （2）解：a与b互为“和偶数”， 理由：∵ ， ∴a与b互为“和偶数”； （3）解：∵c与d互为“和偶数”， ∴， 即， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴当时，c与d互为“和偶数”． 【点睛】 考点十一： 整式加减的应用 51．（24-25七年级上·广东深圳·期中）某小区的一块长方形绿地的造型如图所示（单位：m），其中两个扇形表示绿地，两块绿地用五彩石隔开． (1)绿地的面积为_____平方米；（用含有a，b，π的式子表示） (2)若， ①若铺设五彩石费用为每平方米160元，种草的费用为每平方米80元，则美化这块长方形区域共需多少元？（用含有a，π的式子表示） ②若要求绿地面积大于这块地总面积的，试问该设计方案是否合乎要求？请说明理由． 【答案】(1) (2)①元；②该设计方案合乎要求，理由见解答 【分析】本题考查了列代数式，根据各数量之间的关系，用含，的代数式表示出各区域的面积是解题的关键． （1）将两个扇形的面积相加，即可用含有，，的式子表示出绿地的面积； （2）代入，用含有，的式子表示出绿地的面积． ①利用美化这块长方形区域所需费用铺设每平方米五彩石所需费用（这块地的总面积绿地的面积）种每平方米草所需费用绿地面积，即可用含有，的式子表示出美化这块长方形区域所需费用； ②求出这块地总面积的，将其与绿地面积比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：绿地的面积为（平方米）． 故答案为：； （2）解：当时，． ①根据题意得： （元， 美化这块长方形区域共需元； ②该设计方案合乎要求，理由如下： 这块地总面积的是（平方米）． ， 该设计方案合乎要求． 52．（24-25七年级上·重庆石柱·期中）如图是某体育中心游泳馆的设计方案图，半圆形休息区和小长方形游泳区以外的地方都是自由活动区域，各个区域的有关数据如图所示，其中，． (1)游泳区面积为______，休息区面积为________．（用含，的代数是表示，含有的保留） (2)若这个游泳馆的长与宽之间满足，现要求这个自由活动区域需要占游泳馆总面积的及以上才符合要求，请你通过计算及推理判断这个设计方案是否符合要求． 【答案】(1)， (2)符合要求 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据长方形和圆的面积公式列式计算即可； （2）先求出自由活动的区域，再表示出游泳馆总面积的，比较大小即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得： 游泳区面积为， 休息区面积为； （2）解：∵， ∴自由活动区域的面积为：， ， ， 故这个自由活动区域需要占游泳馆总面积的及以上，符合要求． 53．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）小明，小刚，小颖三人玩游戏，每人一张写有已化简的代数式的卡片，游戏规则为选择两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，则游戏成功．小明，小刚，小颖的卡片如下，其中小颖的卡片有一部分看不见了． (1)小颖建议选取小明卡片上的代数式减去小刚卡片上的代数式，请你判断：此操作 （填写“能”或“不能”）使游戏成功； (2)小颖发现用她卡片上的代数式减去小明卡片上的代数式可以使游戏成功，你能否帮小颖求出她的代数式． 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了整式的加减的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意列出式子，结合整式的加减的运算法则计算得出，再根据的常数项为8，而小颖卡片上代数式中的常数项为，判断即可得解； （2）用小明卡片的代数式加上小刚卡片的代数式即可得解． 【详解】（1）解：； ∵的常数项为8，而小颖卡片上代数式中的常数项为， ∴小明卡片上的代数式减去小刚卡片上的代数式不等于小颖卡片上的代数式． ∴游戏不能成功． （2）解：小颖卡片上的代数式为：． ∴小颖卡片上的代数式为． 54．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）如图，某学校操场边的三层观众台，建于地面，背面靠围墙，每层的宽度相等，高度一致．现对这个观众台的表面进行刷漆维护（包括两个侧面）． (1)请用含a，b，c的代数式表示观众台需要剧漆的面积； (2)当，，时，求观众台需要刷漆的面积． 【答案】(1)观众台需要刷漆的面积为： (2) 【分析】本题考查的是整式加减的应用，代数式求值，熟知整式的加减计算法则是解题的关键； （1）根据观众台需要刷漆的面积等于两个侧面的面积加上台阶的面积即可得到答案； （2）把，，代入（1）中所列代数式，再计算即可． 【详解】（1）解：如图，把侧面分为三个长方形， 由题意可得：2个侧面面积和为：， 台阶面积为：， ∴观众台需要刷漆的面积为：； （2）解：当当，，时， ． 55．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）一辆客车从甲地开往乙地，车上原有人，中途停车一次，有一些人下车，此时下车的人数比车上原有人数的一半还多人，同时又有一些人上车，上车的人数比少人． (1)用代数式表示中途下车的人数． (2)用代数式表示中途下车、上车之后，车上现在共有多少人． 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减运算，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）车上原有人，下车的人数比车上原有人数的一半还多人，表示出下车的人数即可； （2）根据题意，分别表示出下车的人数和上车的人数，即可得到车上现有的人数． 【详解】（1）解：车上原有人，下车的人数比车上原有人数的一半还多人， ∴下车的人数为， 故下车的人数为人； （2）解：∵上车的人数比少3人， ∴上车的人数为， ∴车上现有人数为 ， 故车上现在共有人． 考点十二： 整式加减与绝对值综合 56．（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是______；表示和两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于，如果表示数和的两点之间的距离是，那么___． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为______； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是______． (4)当______时，的值最小，最小值是______． 【答案】(1)；；或； (2)； (3)； (4)；． 【分析】本题考查了绝对值，数轴，读懂题目信息，理解数轴上两个数之间的距离的表示方法是解题的关键． （1）根据数轴，求出两个数的差的绝对值即可； （2）根据已知可得，掉绝对值号，然后进行计算即可得解； （3）分情况去掉绝对值，可得当时，，找到和之间的整数点，再相加即可求解； （4）分情况分别去绝对值计算，得到时三个绝对值的和最小，然后计算即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离为：， 表示和两点之间的距离为， 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，则可记为：， 或， 故答案为：；；或； （2）解：数轴上表示数的点位于与之间， ， ，， ； 故答案为：6； （3）解：当时，， 当时，， 当时，， 使得的所有整数有，，，，，，，， ． 故这些点表示的数的和是； 故答案为：12； （4）解：当时，， 当时，，， 当时，，， 当时，， 由上可得，当时，的值最小，最小值是． 故答案为：1；7． 57．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）【阅读材料】我们在数学的学习过程中要接触到“数”和“形”，它们在一定条件下可以相互转化，这样的联系称为数形结合，数形结合是一种重要的数学思想方法，有着广泛的应用，在中学数学阶段，数形结合应用大致分为两种情形：借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．我们学习过的绝对值知识从形的角度来解释就是：表示在数轴上数a到原点的距离，借助绝对值的形的解释，我们就可以得到．又比如从数的角度来解释：表示7与3差的绝对值；从形的角度来解释：7与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【分析应用】如图1，A、B是数轴上两点（A在B的左侧），A表示的数是－3．动点M从点A出发沿数轴向右匀速运动． (1)B点表示的数是 ，A和B两点之间的距离为 ； (2)①从形的角度来解释：5与 在数轴上所对应的两点之间的距离； ②数轴上表示数a和－3的两点之间的距离表示为 ； ③当a为 时，． (3)若动点M在A和B两点之间运动，其对应数的为x，化简：．（写出化简过程） 【答案】(1)4，7； (2)①2；②；③或6； (3) 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的意义、解绝对值方程等知识点，掌握绝对值的意义成为解题的关键． （1）直接在数轴上表示有理数以及数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）①根据阅读材料中关于绝对值的阐述进行解答即可；②直接运用数轴上两点间的距离公式解答即可；③根据绝对值的意义求解即可； （3）根据绝对值的意义化简即可； 【详解】（1）解：由数轴可得点B表示的数为4； A和B两点之间的距离为． 故答案为：4，7． （2）解：①从形的角度来解释：5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 故答案为2； ②数轴上表示数a和的两点之间的距离表示为． 故答案为：． ③表示点a表示的点到的距离与到2的距离的和为13， 当时，，解得， 当时，，此时无解， 当时，，解得， 综上所述：或6． 故答案为：或6． （3）解：∵动点M在A和B两点之间运动， ∴， ∴． 58．（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示1与3两点之间的距离是_____， (2)如果表示x的点A到表示的点B的距离为4，则_____， (3)数轴上表示x与5两点之间的距离可以表示为____， (4)同理表示数轴上有理数x所对应的点到和1所对应的点的距离之和，若x表示一个有理数，则的最小值为______． 【答案】(1)2 (2)或 (3) (4)4 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解绝对值方程，一元一次方程的应用： （1）根据数轴上两点距离公式即可解答； （2）根据数轴上两点距离公式建立方程即可解答； （3）根据数轴上两点间的距离列式表示； （4）分，和，三种去绝对值求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示1与3两点之间的距离是， 故答案为：2； （2）解：由题意得，， ∴或 解得：或， 故答案为：或； （3）解：数轴上表示x与5两点之间的距离可以表示为， 故答案为：； （4）解：当时， ， 当时， ， 当时， ； 综上所述，若x表示一个有理数，则的最小值为4， 故答案为：4． 59．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）阅读下列有关材料并解决有关问题． 材料一：我们知道的几何意义是指数轴上表示数的点与原点的距离，的几何意义是数轴上两数对应点之间的距离．例如，，的几何意义是：在数轴上表示的点和表示5的点之间的距离为11． 材料二：我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如：化简代数式时，可令和，分别求得和（称分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：．从而在化简时，可以下三种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 通过以上阅读材料，请你解决下面问题： (1)代数式的零点值是______；的最小值为______； (2)根据材料信息，化简代数式：； (3)设，当取何值时取最小值是多少？ 【答案】(1)代数式的零点值是，；最小值为7 (2) (3)当时，原式取得最小值，最小值为239 【分析】本题是材料阅读题，考查的是绝对值的化简，整式的加减运算，一元一次方程的应用，理解零点值的含义，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）令和，再解方程可得答案；根据数轴上点表示的意义求出最小值即可； （2）分三种情况讨论：当时，当时，当时，再化简绝对值，合并同类项即可； （4）分14种情况讨论，再化简绝对值，从而可得答案． 【详解】（1）解：令和， 解得：和， 则代数式的零点值是，； 代数式表示的意义为数轴上表示x的点到表示数3和的点距离之和， 由数轴表示的意义可知，当时，该代数式值最小，最小值为； （2）当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，． （3）， 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 显然，在范围内，当时，原式取得最小值，最小值为239． 60．（24-25七年级上·广东深圳·期中）【阅读与思考】 素材一：如图20-1，在数轴上点M表示数m，点N表示数n，点M到点N的距离记为，我们规定：数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值，即：或 素材二：如图20-2：在数轴上点A表示数a，B表示数b，点C表示数c，数b是最大的负整数．且a，c满足：． 素材三： 请根据上面的素材进行思考并解答下面的问题： (1)________，________，________； (2)若x为数轴上任意一点，则的最小值为________； (3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒钟， ①请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； ②探究：若点A，C向右运动，点B向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若不变，请求其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)，，5 (2)2 (3)①14， ②当时，的值为26；当时，的值随时间t的变化而变化 【分析】（1）根据最大的负整数是，绝对值和平方的非负性可求解； （2）由（1）得，再结合绝对值的性质分类讨论求解即可； （3）①先表示出t秒后A、B、C表示的数，然后分别求出，，再代入计算即可得出结论； ②先表示出t秒后A、B、C表示的数，然后分别求出，，然后分A在B的左侧；A在B的右侧讨论，再代入计算即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵b是最大的负整数， ∴； 故答案为：，，5； （2）解：由（1）得 当时，； 当时，； 当时，； ∴的最小值为2， 故答案为：2； （3）解：①t秒后，A表示的数为，B表示的数为，C表示的数， ∴， ， ∴ ； ②t秒后，A表示的数为，B表示的数为，C表示的数， ∴， ， 当A、B重合时，，解得， 当A在B的左侧，即时，， ∴ ， ∴的值不随时间t的变化而变化，值为26； 当A在B的右侧，即时，， ∴ ； 综上，当时，的值为26；当时，的值随时间t的变化而变化． 【点睛】本题主要考查绝对值的非负性、最大负数、平方的非负性、两点之间的距离和绝对值的计算，代数式表示数，整式的加减运算，解题的关键是熟悉绝对值的应用和分类讨论思想的应用． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$