（复习篇）专题03 几何图形（8个高频考点梳理+题型讲练 共48题）-2025年苏科版数学小升初暑假衔接精编培优复习讲义（六升七年级）

专题03 几何图形 （8个高频考点梳理+题型讲练 共48题）考点目录 考点01：巧求几何图形面积 3 考点02：几何模型 6 考点03：三角形的内角和与多边形的外角和 9 考点04：求组合图形中阴影部分面积 11 考点05：不规则物体的体积算法 14 考点06：立体图形的切拼 18 考点07：图形与变换问题 20 考点08：体积的等积变形 24 学习目标 直观想象素养： 培养学生对几何图形的直观感知能力，能够通过观察、想象和描述，理解图形的基本性质和特点。 通过图形变换（如平移、旋转、对称等）的直观演示，培养学生的空间想象能力。 推理能力： 培养学生的逻辑推理能力，能够通过图形的性质和定理进行简单的推理和证明。 引导学生理解并应用分类讨论思想，如三角形按角分类、四边形按边分类等，培养思维的条理性和严谨性。 数学建模能力： 虽然数学建模在“几何与图形”领域被视为“副产品”，但它仍然是培养学生应用数学知识和方法解决实际问题的重要途径。 鼓励学生将实际问题抽象为几何图形问题，通过建模和求解，培养学生的数学应用意识和能力。 量感、几何直观和空间观念： 培养学生对图形度量的感知能力，如长度、面积、体积等的度量单位和计算方法。 借助几何直观帮助学生理解数学概念、算理和规律，如通过图形演示帮助学生理解数学定理和公式。 发展学生的空间观念，使学生能够想象和描述三维空间中的图形及其位置关系。 初步的学习能力： 引导学生掌握学习几何图形的基本方法和技巧，如观察、比较、归纳、演绎等。 培养学生的自主学习能力和探究精神，鼓励学生通过自主探索和合作学习来解决问题。 衔接指引 小学和初中几何图形知识的区别与联系，可以从以下几个方面进行详细的阐述： 区别 知识深度与广度： 小学：主要侧重于对基本几何图形的认识和初步测量，如线段、射线、直线、角、三角形、四边形（长方形、正方形、平行四边形、梯形）、圆等。对图形性质的描述相对直观和简单。 初中：进一步深入研究平面图形，包括更复杂的四边形（如菱形、矩形）、圆与圆的位置关系、相似与全等、勾股定理等。同时，开始涉及立体几何，如长方体、正方体、圆柱、圆锥等。 研究方法： 小学：以观察和动手操作为主，直观感受图形的性质和特点，不涉及严谨的定义和证明。 初中：从定义和公理出发，通过演绎推理去推导图形的性质，开始要求严谨的证明和推理 数学语言的运用： 小学：数学语言相对简单，主要使用描述性的语言。 初中：开始使用更专业的数学语言，如符号、公式、定理等。 联系 知识连续性： 小学的几何图形知识是初中的基础，初中的知识是在小学基础上的延伸和拓展。例如，小学学习了三角形的分类和性质，初中则进一步研究相似三角形和全等三角形的性质。 研究方法的过渡： 小学的直观观察和动手操作为学生提供了丰富的几何直观经验，这些经验为学生进入初中后学习演绎推理的论证几何打下了坚实的基础。 数学语言的逐步引入： 从小学到初中，数学语言的使用逐渐从描述性向专业性过渡，为学生进一步学习更高层次的数学知识提供了必要的语言支持。 空间观念的培养： 无论是小学还是初中，都强调对学生空间观念的培养。通过观察和操作几何图形，学生能够形成对空间的初步感知和理解，为进一步学习立体几何打下基础。 考点讲练 考点01：巧求几何图形面积知识精讲 核心思想 转化法：将不规则图形通过分割、添补、割补（平移/旋转）转化为规则图形求解。 四大方法 1. 分割法：将复杂图形拆分为多个基本图形（三角形、长方形等），求面积之和。 例：凸字形 → 上下两个长方形 2. 添补法：添加辅助图形构成大规则图形，再减去添加部分。 例：凹字形 → 大长方形 - 小长方形 3. 割补法（核心技巧）： 平移：移动部分图形填补缺口（如楼梯形→长方形）。 旋转：绕点旋转拼合新图形（如扇形+三角形→半圆）。 4. 整体减空白：外部大图形面积 - 内部空白面积（如圆环、方中圆）。 关键技巧 等积变形：活用"等底等高三角形面积相等"（如平行线间三角形）。 比例模型： 等高三角形：面积比 = 底边比。 相似图形：面积比 = 边长比的平方。 辅助线：连接对角线、作高、利用中点构造等积图形。 解题步骤 1. 观察结构（对称性、特殊点）； 2. 选择转化方法； 3. 作辅助线实施割补； 4. 组合基本图形公式计算。 提示：网格题可数格（满格+半格凑整），单位需统一，验证合理性。 题型讲练 【典例精讲】如图所示，在△ABC当中，D是BC的中点，E是AC的中点，已知阴影部分的面积为5，△ABC的面积为多少？ 【变式1】如图，是两个正方形拼成的图形，大正方形ABCD的边长是8厘米，图中阴影部分的面积是( )平方厘米。 【变式2】数学思考。 如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形BC边上的中点，求空白部分的面积。（单位：平方厘米） 【变式3】如图所示，用一张斜边长为17厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边长为29厘米的黄色直角三角形纸片，一张蓝色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，求红、黄两张三角形纸片面积之和。 【变式4】如下图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积. 【变式5】如图，四个半径均为R的等圆两两相切，则图中阴影部分的面积为 。 考点02：几何模型知识精讲 五大核心模型 1. 等积变形模型 等高模型：同高三角形面积比 = 底边比（如平行线间三角形）。 等底模型：同底三角形面积比 = 高之比。 2. 蝴蝶模型 梯形蝴蝶：对角线分割四部分，面积关系：①×② = ③×④（交叉积相等）。 任意四边形蝴蝶：上下面积比 = 左右面积比。 3. 鸟头模型（共角） 两三角形共一角（或互补），面积比 = 夹角两边乘积之比。 例：△ABC与△ADE共∠A → S₁ : S₂ = (AB×AC) : (AD×AE) 4. 相似模型 金字塔/沙漏：相似图形面积比 = 对应边比的平方。 例：两相似三角形边长比2:3 → 面积比4:9 5. 燕尾模型：三角形内三线交于一点，分割面积比满足： S₁ : S₂ = a : b（同高三角形底边比）。 三大解题逻辑 1. 模型识别：观察图形结构（平行线、共角、相似等）。 2. 比例转化：套用模型比例关系，将未知量关联已知量。 3. 方程求解：设未知数，依比例关系列方程计算。 关键技巧： 作辅助线构造模型（如连对角线、作平行线）。 组合模型解题（如蝴蝶+等高）。 题型讲练 【典例精讲】如图，AE＝DE，BC＝3BD，三角形ABC的面积是30平方分米，求阴影部分的面积。 【训练1】如图所示，的面积为7，，，，求图中阴影部分的面积。 【训练2】仔细看图，活学活用。 （1）画出三角形的边上的高。 （2）根据图中提供的信息，不用测量任何数据，画一个与三角形面积相等的三角形 （3）应用：在如图所示的梯形中，三角形与三角形的面积分别是4平方厘米和9平方厘米。梯形的面积是（    ）。 【训练3】如图所示,在长方形内有四条线段把长方形分成若干块,已知有三块图形的面积分别是13、35、49,那么图中阴影部分的面积是多少? 【训练4】如图，已知长方形的面积平方厘米，三角形的面积是平方厘米，三角形的面积是平方厘米，那么三角形的面积是多少？ 【训练5】如图，一个梯形被它的两条对角线分成了4个三角形，已知三角形AOB和三角形AOD的面积分别是12平方厘米和6平方厘米，那么这个梯形的面积是( )平方厘米。 考点03：三角形的内角和与多边形的外角和知识精讲 一、 三角形内角和 1. 核心定理：任意三角形的内角和恒等于180°。 公式：∠A + ∠B + ∠C = 180° 2. 应用方向： 已知两角求第三角（如直角三角形已知一锐角，可求另一锐角）。 结合等腰/等边三角形性质计算角度。 3. 解题技巧： 遇复杂图形，拆分多个三角形分别计算。 缺角问题（如五角星）利用内角和转化。 二、 多边形外角和 1. 核心定理：任意凸多边形的外角和恒等于360°（与边数无关！）。 公式：所有外角之和 = 360° 2. 关键推论： 正多边形单一外角= 360° ÷ 边数（n） 单一内角= 180° - (360° ÷ n) 3. 应用场景： 已知正多边形边数，求内角/外角度数（如正六边形外角=360°÷6=60°）。 结合内角和公式逆向求边数（n边形内角和=（n-2）×180°）。 三、 易错点 & 应试提醒 外角定义：一边与邻边延长线的夹角（需延长边构造）。 内角和公式仅适用于凸多边形（所有内角＜180°）。 必考题型：复杂图形角度和（如五边形截去一角后内角和）、正多边形拼接问题。 速记口诀： “三角内角一百八，多边形外角圈圈转回360” 题型讲练 【典例精讲】如图，长方形折起一个角，已知∠1＝100°，则∠2＝（    ）。 A．40° B．50° C．60° D．30° 【训练1】探索图形。 情景描述：小亮探究三角形，他先在作业本上画了一个三角形ABC，接着把边BC延长到点D。通过推理，他发现一个正确结论：∠3＋∠4＝180°。接着他又发现并提出一个非常有价值的问题：“∠1＋∠2＝∠4吗？”可他不会推理。假如小亮向你请教，你觉得∠1＋∠2＝∠4吗？请写出推理过程。 【训练2】一个三角形的最小内角的度数是46°，这个三角形是（    ）三角形。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 【训练3】选择合适的解决问题的策略，可以帮助我们找到探究新知的思路。如图三个探究新知的过程，都运用了（    ）策略。 梯形的面积计算 异分母分数减法 多边形的内角和 A．画图 B．列举 C．转化 D．假设 【训练4】下面运用了“转化”思想方法的是（    ）。 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【训练5】“转化”是数学中最常用的思想，下面运用了“转化”思想的有（    ）。 ①五边形内角和计算方法推导 ②小数乘法计算方法推导 ③圆面积计算方法推导 A．①②③ B．①③ C．①② 考点04：求组合图形中阴影部分面积 知识精讲 一、核心方法 1. 直接公式法：若阴影是规则图形（三角形、扇形等），直接套用公式。 2. 加减法（主流）： 整体减空白：例：方中圆阴影 = 正方形面积 - 圆面积） 分割求和：将阴影拆解为多个规则图形分块计算后相加。 3. 割补法（巧算关键）： 平移/旋转：移动阴影部分拼成规则图形（如半圆平移补位成整圆）。 等积变形：利用同底等高三角形面积转化（如图形内平行线构造等积三角形）。 二、高频模型与技巧 1. 方与圆组合： 方中圆：阴影 = a² - π(a/2)² 圆中方：阴影 = πr² - (2r)²÷2 2. 重叠与对称： 重叠区域常需加减 对称图形可只算一半再×2。 3. 比例模型活用： 等高三角形：S₁:S₂ = 底₁:底₂（如梯形内三角形）。 相似图形：S₁:S₂ = (对应边)²（如金字塔模型）。 三、解题步骤 1. 标数据：标注所有已知长度、角度； 2. 辨结构：识别基础图形（圆、三角、矩形）及重叠关系； 3. 定方法：选择加减、割补法； 4. 验算：检查单位一致性，验证结果合理性（如阴影面积＜总面积）。 应试提示：复杂图形优先尝试"整体减空白"，含曲线首选方/圆公式，隐含角度活用内角和。 题型讲练 【典例精讲】求如图直角梯形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【训练1】求如图各图形中涂色部分的面积。                【训练2】计算图形阴影部分面积。（单位：厘米） 【训练3】求下面图形中阴影部分的周长和面积。      【训练4】计算图形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【训练5】如图是一个直径为12厘米的半圆，让这个半圆以A为圆心沿逆时针方向旋转60°，使AB到达AC的位置，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 考点05：不规则物体的体积算法知识精讲 核心方法：排水法（必考！） 1. 基本原则： 完全浸没：物体全部没入水中，水位上升体积 = 物体体积。 溢水原理：物体放入满水容器中，溢出水的体积 = 物体体积。 2. 操作步骤： ① 测容器原水位高度（或体积）； ② 完全浸入物体后记录新水位； ③物体体积 = 水位上升部分的体积（容器为规则体时：长 × 宽 × 上升高度）。 三类经典题型 1. 规则容器（如长方体水槽）：体体积 =容器底面积 × 水位上升高度。 例：水槽长15cm、宽8cm，水位升3cm → 体积 = 15×8×3 = 360立方厘米 2. 溢水问题：物体体积 =溢出水的体积（用量筒直接测量毫升数，1毫升 = 1立方厘米）。 3. 特殊情形处理： 漂浮物：需用细针压入水中使其完全浸没。 吸水物体：快速测量避免误差。 四大关键提醒 1. 单位统一：容器尺寸、水位高度单位需一致（如厘米→立方厘米）。 2. 完全浸没：物体不可露出水面，否则结果偏小。 3. 容器选择：优先用直壁容器（长方体、圆柱），避免锥形瓶。 4. 常见误区： 水位上升高度 ≠ 物体高度； 空心物体体积包含内部空气（需整体测量）。 题型讲练 【典例精讲】在一节数学活动课中，王老师和4名同学在测量一些螺丝钉的体积，他们合作进行如下的测量与操作； ①小军准备了一个圆柱形玻璃杯，从玻璃杯里面测量到底面直径是4厘米，高是10厘米。 ②小李往玻璃杯里注入一些水，水的高度与水面离杯口的距离比是1∶1。 ③小明把20枚相同的螺丝钉放入水中（螺丝钉完全浸没在水中）。 ④小丁测量此时水的高度与水面离杯口的距离之比是3∶2。 根据上面的信息，请你计算出一枚螺丝钉的体积。 【训练1】科学课上，王老师布置了“测量一个U型铁块体积”的实践作业，凯凯用科普书上学的方法进行测量：先往长方体容器内倒入1.36升水，再放入一个U型铁块（完全浸没），这时测量得到的水深6厘米，这个U型铁块的体积是多少？ 【训练2】如图中，每个大球的体积都相同，每个小球的体积也都相同。求每个大球的体积。（单位：厘米） 【训练3】如图，两个圆柱形容器盛有相同体积的水，①号容器原来水面高是8cm；②号容器放入同样大的小球和一个小长方体后水面的高是26cm，小球的体积与小长方体的体积比是（    ）。 A．3∶11 B．3∶5 C．3∶2 D．9∶7 【训练4】从古代到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里“淬火”，水面上升了1.8厘米。这个圆锥的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 【训练5】一个无盖的长方体玻璃缸，长48厘米，宽25厘米，高30厘米。有一个水龙头从8：00开始向玻璃缸内注水，水的流量为8立方分米/分。8：03关闭水管停止注水。接着在玻璃缸内放入一个高为16厘米的铁块，全部浸没水中。玻璃缸的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如图所示。 （1）左下图中，点（    ）的位置表示停止注水。（从、、中选择） （2）8：03分玻璃缸水面的高度为（    ）厘米。 （3）请列式计算，求出长方体铁块的底面积。 考点06：立体图形的切拼知识精讲 一、两大核心原则 1. 体积守恒：切割或拼接后，总体积永不改变（原体积 = 所有部分体积之和）。 例：正方体切8块小正方体，8块体积之和 = 原大正方体体积 2. 表面积变化规则： 切割增面积：每切一刀增加两个切面的面积。 拼接减面积：每拼一次减少两个接触面的面积。 二、关键解题技巧 1. 切一刀算两面： 长方体平行于面切：增加两个相同矩形面积（长×宽）。 沿对角线切：增加两个三角形面积（底×高÷2）。 2. 拼一次少两面：相同立方体拼长方体：减少的面数 = 2×(拼接次数）。 例：两个正方体拼长方体，表面积减少两个正方形面 3. 最优策略问题： 拼大表面积：尽量隐藏小面（如细长条拼法）。 拼小表面积：尽量隐藏大面（如扁平拼法）。 三、应试提醒 1. 画图标数据：标注切割方向、拼接位置及所有尺寸。 2. 切拼步骤拆分： 切割：先算原表面积，再加新增切面； 拼接：先算各部分总面积，再减接触面。 3. 典型考题： 多个正方体拼长方体最少剩多少面； 圆柱切三段后表面积增加多少（增4个圆面）。 题型讲练 【典例精讲】陈爷爷家的老屋要翻建，从老屋上拆下一根圆柱形的木料（如图）。 （1）这根木料的侧面有一层斑驳的红漆，原来刷红漆的部分有多少平方厘米？ （2）现在要把这根木料加工成方木（横截面为正方形），这根方木的体积最大是多少立方厘米？合多少立方分米？ 【训练1】如果把一个圆柱体的木料沿着与底面平行的方向截成两部分，表面积就增加6.28平方分米；如果沿着直径截成两部分，表面积就增加8平方分米。圆柱的体积是 立方分米。 【训练2】如图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长＞宽＞高。将这个长方体平切两刀，竖切两刀，得到9个小长方体，这9个小长方体表面积之和比原来长方体表面积多624平方厘米。求原来长方体的体积。 【训练3】如图是一个半径为4厘米，高为4厘米的圆柱体，在它的中间依次向下挖半径分别为3厘米、2厘米、1厘米，高分别为2厘米、1厘米、0.5厘米的圆柱体，则最后得到的立体图形表面积是 平方厘米。（结果保留π） 【训练4】将3个相同的小圆柱拼成一个长4dm的大圆柱，表面积比原来少了169.56cm2，现在大圆柱的体积是( )cm3。 【训练5】孙师傅将一根2米长的圆柱形木料锯成3段小圆柱后（如图），它们的表面积总和比原来增加了12.56平方分米，原来这根木料的体积是（    ）立方分米。 A．125.6 B．12.56 C．62.8 考点07：图形与变换问题知识精讲 一、三大基础变换 1. 平移： 特点：图形大小、形状不变，所有点沿同一方向移动相同距离。 关键：找准移动方向和格数（如：向上3格，向左5格）。 2. 旋转： 特点：绕固定点（旋转中心）按特定方向（顺时针/逆时针）转动固定角度（如90°、180°）。 关键：确定中心、角度、方向（例：绕O点逆时针转90°）。 3. 轴对称： 特点：沿一条直线（对称轴）对折，两侧图形完全重合。 关键：找对称轴（常见：水平线、竖直线、斜线），数对称点到轴的距离相等。 二、两大核心应用 1. 作图与识别： 根据指令补全平移/旋转/对称后的图形。 判断变换类型（如：风车叶片是旋转，蝴蝶是轴对称）。 2. 组合变换分析： 连续多次变换（如：先平移再旋转），逐步操作还原过程。 复杂图案（如窗花）常由基本图形平移+对称生成。 三、解题技巧与易错点 1. 方格纸操作： 平移：数清横竖移动格数； 旋转：用三角板辅助画90°角； 对称：先标关键点对称位置，再连线。 2. 实际应用： 钟表指针旋转（分针转1圈=360°）； 镜子成像（轴对称）。 3. 陷阱规避： 旋转方向勿混淆（顺时针≠逆时针）； 对称轴可能是斜线（需用方格对角线验证）。 题型讲练 【典例精讲】将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换，那么按上述规则连续完成2024次变换后，骰子朝上一面的点数是几？ 【训练1】按要求画图。 （1）画出图①的另一半，使它成为一个轴对称图形。 （2）将图②绕O点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （3）画出一个与图②面积相等的平行四边形。 【训练2】观察如图，按要求完成下面各题。 （1）点O的位置用数对表示是（    ）。 （2）以点O为圆心，将圆按2∶1的比放大，画出放大后的图形；放大后和放大前的两个图形的周长比是（    ），面积比是（    ）。两个圆形成的圆环的面积是（    ）平方厘米。 （3）将三角形绕点A顺时针旋转90°，连续旋转3次，画出每次旋转后的图形。它们与原三角形组成了一个轴对称图形，画出这个图形所有的对称轴。 【训练3】根据要求填空或在方格图中操作。（每个小方格边长都是） （1）方格图中点位置用数对表示是________。请你以点为圆心，画一个半径为2厘米的圆，并涂上阴影。 （2）根据对称轴画出图形的另一半，并涂上阴影。 （3）画出平行四边形按放大后的图形，并涂上阴影。 （4）画出将小旗绕点顺时针旋转后的图形，并涂上阴影。 （5）画出将梯形先向上平移5格，再向右平移2格后的图形，并涂上阴影。 【训练4】操作题（下面每格小正方形边长表示1厘米，按要求填空）。 （1）画出三角形AOB绕O点逆时针旋转90°后的图形A′O′B′。 （2）原图中A点的位置若用数对（9，2）表示：那么旋转后A′的位置是（    ）；把B点向（    ）平移（    ）格，再向（    ）平移（    ）格后就与A点重合。 （3）画出三角形AOB以2∶1放大后的图形，放大后三角形的面积为（    ）平方厘米。 【训练5】如图中白色部分DEFB是一个正方形，AE长6厘米，EC长12厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米呢？ 我们可以这样思考： （1）将三角形ADE绕点E逆时针旋转90°，这样两个阴影部分就拼到了一起（你可以试着画一画）。 （2）因为∠1＋∠2＝（    ），所以组合后的阴影部分是一个（    ）三角形。 （3）根据组合后三角形两条邻边的长度，可以求出阴影部分的面积是（    ）平方厘米。 考点08：体积的等积变形知识精讲 一、核心原理 1. 体积守恒：物体形状改变时（切割、熔铸、倾倒），体积始终保持不变。 例：正方体熔成长方体，熔化前后体积相等 2. 等积转化：不同容器中液体体积不变，水位变化反推容器尺寸。 例：将水从长方体倒入圆柱，水体积 = 长方体底面积×原高度 = 圆柱底面积×新高度 二、三大应用题型 1. 熔铸问题：金属块熔化重铸为新立体，原体积 = 新体积（忽略损耗）。 技巧：先求原物体体积，再倒推新图形的尺寸 2. 水位变化问题：物体浸入水中，水位上升体积 = 物体体积（排水法延伸）。 例：长方形容器水位上升3cm，物体体积 = 容器底面积×3 3. 液体分装问题：液体倒入不同容器，总体积 = 各容器内液体体积之和。 例：一桶水分装到3个圆柱杯，总水量 = 杯1水量 + 杯2水量 + 杯3水量 三、关键技巧与易错点 1. 解题步骤： ① 确定变形前后体积不变； ② 用已知量表示原体积； ③ 列出新图形体积表达式； ④ 令两式相等求解未知量。 2. 单位陷阱：确保所有长度单位统一（如厘米、米），避免面积、体积单位混淆。 3. 隐含条件： 柱体（长方体、圆柱）体积 =底面积 × 高； 水面上升高度需扣除容器原水位（非从零计算）。 题型讲练 【典例精讲】如图，圆柱形容器A是底面半径为5厘米，高为20厘米的空容器，长方体容器B中的水深6.28厘米，底面为10厘米的正方形。将容器B中的水全部倒入容器A，这时容器A水深多少厘米？ 【训练1】奇奇将圆柱内的水倒入（    ）圆锥内，正好倒满。 A． B． C． D． 【训练2】如图，在一个盛有450毫升水的量杯中，放入一个圆柱，水面对应的刻度为600毫升。若再放入一个与圆柱等底等高的圆锥，则此时水面对应的刻度为 毫升。 【训练3】如图，有A、B两个底面积相等的容器，A容器盛满水，如果将水全部倒入B容器，水面距离B容器口( )厘米。 【训练4】将棱长是1.6dm的正方体石块浸没到一个长方体水槽中，水面上升了0.5dm。然后放入一个铁块并浸没，水面又上升了2.5dm（水没有溢出），求铁块的体积。 【训练5】如图，甲圆柱形容器是空的，乙长方体容器水深6.28厘米，若将容器乙中的水全部倒入甲容器，这时水深 厘米。 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 几何图形 （8个高频考点梳理+题型讲练 共48题）考点目录 考点01：巧求几何图形面积 3 考点02：几何模型 8 考点03：三角形的内角和与多边形的外角和 15 考点04：求组合图形中阴影部分面积 20 考点05：不规则物体的体积算法 25 考点06：立体图形的切拼 31 考点07：图形与变换问题 36 考点08：体积的等积变形 45 学习目标 直观想象素养： 培养学生对几何图形的直观感知能力，能够通过观察、想象和描述，理解图形的基本性质和特点。 通过图形变换（如平移、旋转、对称等）的直观演示，培养学生的空间想象能力。 推理能力： 培养学生的逻辑推理能力，能够通过图形的性质和定理进行简单的推理和证明。 引导学生理解并应用分类讨论思想，如三角形按角分类、四边形按边分类等，培养思维的条理性和严谨性。 数学建模能力： 虽然数学建模在“几何与图形”领域被视为“副产品”，但它仍然是培养学生应用数学知识和方法解决实际问题的重要途径。 鼓励学生将实际问题抽象为几何图形问题，通过建模和求解，培养学生的数学应用意识和能力。 量感、几何直观和空间观念： 培养学生对图形度量的感知能力，如长度、面积、体积等的度量单位和计算方法。 借助几何直观帮助学生理解数学概念、算理和规律，如通过图形演示帮助学生理解数学定理和公式。 发展学生的空间观念，使学生能够想象和描述三维空间中的图形及其位置关系。 初步的学习能力： 引导学生掌握学习几何图形的基本方法和技巧，如观察、比较、归纳、演绎等。 培养学生的自主学习能力和探究精神，鼓励学生通过自主探索和合作学习来解决问题。 衔接指引 小学和初中几何图形知识的区别与联系，可以从以下几个方面进行详细的阐述： 区别 知识深度与广度： 小学：主要侧重于对基本几何图形的认识和初步测量，如线段、射线、直线、角、三角形、四边形（长方形、正方形、平行四边形、梯形）、圆等。对图形性质的描述相对直观和简单。 初中：进一步深入研究平面图形，包括更复杂的四边形（如菱形、矩形）、圆与圆的位置关系、相似与全等、勾股定理等。同时，开始涉及立体几何，如长方体、正方体、圆柱、圆锥等。 研究方法： 小学：以观察和动手操作为主，直观感受图形的性质和特点，不涉及严谨的定义和证明。 初中：从定义和公理出发，通过演绎推理去推导图形的性质，开始要求严谨的证明和推理 数学语言的运用： 小学：数学语言相对简单，主要使用描述性的语言。 初中：开始使用更专业的数学语言，如符号、公式、定理等。 联系 知识连续性： 小学的几何图形知识是初中的基础，初中的知识是在小学基础上的延伸和拓展。例如，小学学习了三角形的分类和性质，初中则进一步研究相似三角形和全等三角形的性质。 研究方法的过渡： 小学的直观观察和动手操作为学生提供了丰富的几何直观经验，这些经验为学生进入初中后学习演绎推理的论证几何打下了坚实的基础。 数学语言的逐步引入： 从小学到初中，数学语言的使用逐渐从描述性向专业性过渡，为学生进一步学习更高层次的数学知识提供了必要的语言支持。 空间观念的培养： 无论是小学还是初中，都强调对学生空间观念的培养。通过观察和操作几何图形，学生能够形成对空间的初步感知和理解，为进一步学习立体几何打下基础。 考点讲练 考点01：巧求几何图形面积知识精讲 核心思想 转化法：将不规则图形通过分割、添补、割补（平移/旋转）转化为规则图形求解。 四大方法 1. 分割法：将复杂图形拆分为多个基本图形（三角形、长方形等），求面积之和。 例：凸字形 → 上下两个长方形 2. 添补法：添加辅助图形构成大规则图形，再减去添加部分。 例：凹字形 → 大长方形 - 小长方形 3. 割补法（核心技巧）： 平移：移动部分图形填补缺口（如楼梯形→长方形）。 旋转：绕点旋转拼合新图形（如扇形+三角形→半圆）。 4. 整体减空白：外部大图形面积 - 内部空白面积（如圆环、方中圆）。 关键技巧 等积变形：活用"等底等高三角形面积相等"（如平行线间三角形）。 比例模型： 等高三角形：面积比 = 底边比。 相似图形：面积比 = 边长比的平方。 辅助线：连接对角线、作高、利用中点构造等积图形。 解题步骤 1. 观察结构（对称性、特殊点）； 2. 选择转化方法； 3. 作辅助线实施割补； 4. 组合基本图形公式计算。 提示：网格题可数格（满格+半格凑整），单位需统一，验证合理性。 题型讲练 【典例精讲】如图所示，在△ABC当中，D是BC的中点，E是AC的中点，已知阴影部分的面积为5，△ABC的面积为多少？ 【答案】20 【思路引导】因为E是AC的中点，所以AE＝EC，即△ADE的面积等于△CDE的面积，即可△ADC的面积，因为D是BC的中点，所以CD＝DB，即△ADC的面积等于△ADB的面积，即可求出△ABC的面积。 【完整解答】因为△ADE的面积为5，所以△CDE的面积也为5，即△ADC的面积为：5＋5＝10； 因为△ADC的面积为10，所以△ADB的面积也为10，即△ABC的面积为：10＋10＝20 答：△ABC的面积为20。 【考点评析】此题考查了学生对图形的观察能力和分析能力。 【变式1】如图，是两个正方形拼成的图形，大正方形ABCD的边长是8厘米，图中阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】32 【思路引导】如图，连接DC， 通过图片分析可知，三角形DHF的面积＝三角形DHG的面积，阴影部分的面积是三角形ADH和三角形DHF的面积和，相当于三角形ADH和三角形DHG的面积和，即三角形ADG的面积，三角形ADG的底和高是大正方形的边长，已知大正方形ABCD的边长是8厘米，根据三角形面积公式即可求出结果。 【完整解答】8×8÷2 ＝64÷2 ＝32（平方厘米） 阴影部分的面积是32平方厘米。 【考点评析】本题考查了三角形面积的灵活应用，作辅助线判断哪些三角形相等是解题的关键。 【变式2】数学思考。 如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形BC边上的中点，求空白部分的面积。（单位：平方厘米） 【答案】87.5平方厘米 【思路引导】如下图所示；连接PB，P点为半圆周的中点，作三角形PAB的高PG，则G是AB的中点，所以PG的长度为正方形的边长加半圆的半径，正方形的边长是10厘米，半圆的直径是10厘米，所以PG的长度是10＋10÷2＝15厘米，所以三角形PAB的面积是10×15÷2＝75平方厘米；Q点为正方形一边的中点，所以三角形PBQ的面积是5×5÷2＝12.5平方厘米，据此列式解答即可。 【完整解答】10×15÷2 ＝150÷2 ＝75（平方厘米） 5×5÷2 ＝25÷2 ＝12.5（平方厘米） 75＋12.5＝87.5（平方厘米） 答：空白部分的面积是87.5平方厘米。 【考点评析】此题考查了三角形、正方形和圆的面积公式的综合应用，连接BP，找出这两个白色三角形的高是解决本题的关键。 【变式3】如图所示，用一张斜边长为17厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边长为29厘米的黄色直角三角形纸片，一张蓝色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，求红、黄两张三角形纸片面积之和。 【答案】246.5平方厘米 【思路引导】根据题干分析可得，将红三角形绕点旋转90度，直角边与黄三角形直角边重合就组成了一个新直角三角形，如下图所示：红黄三角形的面积之和就是一个大三角形的面积了。 【完整解答】根据分析可得： 29×17÷2 ＝493÷2 ＝246.5（平方厘米） 答：红、黄两张三角形纸片面积之和是246.5平方厘米。 【考点评析】本题考查三角形的面积、旋转，解答本题的关键是将红色三角形旋转90°与黄色三角形组成一个新直角三角形，从而利用三角形面积公式进行计算。 【变式4】如下图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积. 【答案】10平方厘米 【完整解答】∵△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等， ∴四边形 AECF的面积与△ABE、△ADF的面积都等于正方形ABCD的． 在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2， ∴△ECF的面积为2×2÷2=2． 所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）． 【变式5】如图，四个半径均为R的等圆两两相切，则图中阴影部分的面积为 。 【答案】4R2 【完整解答】由图可知，阴影部分可以分为两部分：一个整圆面积＋四条弧线围成的图形面积． 如图，所画正方形边长为2R，四条弧线围成的图形面积是：2R×2R－πR2＝4R2－πR2 整圆面积为：πR2 故所求阴影部分面积为：4R2－πR2＋πR2＝4R2 考点02：几何模型知识精讲 五大核心模型 1. 等积变形模型 等高模型：同高三角形面积比 = 底边比（如平行线间三角形）。 等底模型：同底三角形面积比 = 高之比。 2. 蝴蝶模型 梯形蝴蝶：对角线分割四部分，面积关系：①×② = ③×④（交叉积相等）。 任意四边形蝴蝶：上下面积比 = 左右面积比。 3. 鸟头模型（共角） 两三角形共一角（或互补），面积比 = 夹角两边乘积之比。 例：△ABC与△ADE共∠A → S₁ : S₂ = (AB×AC) : (AD×AE) 4. 相似模型 金字塔/沙漏：相似图形面积比 = 对应边比的平方。 例：两相似三角形边长比2:3 → 面积比4:9 5. 燕尾模型：三角形内三线交于一点，分割面积比满足： S₁ : S₂ = a : b（同高三角形底边比）。 三大解题逻辑 1. 模型识别：观察图形结构（平行线、共角、相似等）。 2. 比例转化：套用模型比例关系，将未知量关联已知量。 3. 方程求解：设未知数，依比例关系列方程计算。 关键技巧： 作辅助线构造模型（如连对角线、作平行线）。 组合模型解题（如蝴蝶+等高）。 题型讲练 【典例精讲】如图，AE＝DE，BC＝3BD，三角形ABC的面积是30平方分米，求阴影部分的面积。 【答案】12平方分米 【思路引导】连接BE，设S△BED＝1份，根据BC＝3BD以及等高定理求出S△CED＝2份，根据AE＝DE，求得阴影部分的面积＝S△ACF，再根据燕尾定理求出AF∶BF＝2∶3，然后再进一步解答即可。 【完整解答】如图： 连接BE，设S△BED＝1份 因为BC＝3BD，所以△BED与△CED等高 所以，S△BED∶S△CED＝1∶2 所以，S△CED＝2份 所以，S△BCE＝1＋2＝3份 又因为AE＝DE 所以，S△ACE＝S△CED＝2份 根据燕尾定律可得：AF∶BF＝S△ACE∶S△BCE＝2∶3 又因为：阴影部分的面积＝S△AEF＋S△CED＝S△AEF＋S△ACE＝S△ACF 又因为，△ACF与△BCF等高，三角形ABC的面积是30平方分米， 所以阴影部分的面积＝S△ACF＝3012（平方分米） 答：阴影部分的面积是12平方分米。 【训练1】如图所示，的面积为7，，，，求图中阴影部分的面积。 【答案】 【思路引导】根据分数和比的关系，可知，也就是，根据高相等，则底边的比等于面积比，所以，也就是；把看作3份，看作5份，用7÷5即可求出每份是多少，再乘3即可求出，已知，则，也就是；把看作2份，看作1份，用÷（1＋2）即可求出每份是多少，进而乘2求出；已知，可知，把看作3份，看作4份，用÷（3＋4）即可求出每份是多少，再乘4即可求出； 然后用即可求出，已知，也就是，把看作2份，看作1份，用÷（1＋2）即可求出每份是多少，进而乘2即可求出；已知，则看作3份，看作4份，用÷（1＋2）即可求出每份是多少，再乘3即可求出。最后用即可求出阴影部分的面积。 【完整解答】高相等，则底边的比等于面积比， ： ： ： ： ： ： ： 答：阴影部分的面积是。 【点拨】本题主要考查了阴影面积的求解，明确两个三角形的高相等，则底边的比等于面积比是解答本题的关键。 【训练2】仔细看图，活学活用。 （1）画出三角形的边上的高。 （2）根据图中提供的信息，不用测量任何数据，画一个与三角形面积相等的三角形 （3）应用：在如图所示的梯形中，三角形与三角形的面积分别是4平方厘米和9平方厘米。梯形的面积是（    ）。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）25平方厘米 【思路引导】（1）从边相对的顶点A向边上画垂直线段，与边相交于D点，线段AD就是三角形边上的高； （2）等底等高的三角形面积相等，图中经过点A的虚线与BC边平行，在虚线上任选一点P，分别与B点、C点连接，所形成的三角形都与三角形ABC等底等高且面积相等。 （3）根据蝴蝶原理，图中梯形的上、下两部分面积之积等于左、右两部分面积之积，左、右两部分面积相等。则左、右两部分面积之积＝4×9＝36（平方厘米），36＝6×6，所以左、右两部分面积都是6平方厘米。最后把四部分面积全部加起来即可。 【完整解答】（1）如下图： （2）如下图： （3）根据蝴蝶定理，梯形左、右两部分面积都是6平方厘米，梯形的面积＝4＋9＋6＋6＝25（平方厘米） 【考点评析】本题考查画三角形的高、三角形的面积和梯形的面积，利用蝴蝶定理求出梯形左右两部分的面积是题目中的难点。 【训练3】如图所示,在长方形内有四条线段把长方形分成若干块,已知有三块图形的面积分别是13、35、49,那么图中阴影部分的面积是多少? 【答案】解：设长方形的面积为S，则 由图形可知， 【训练4】如图，已知长方形的面积平方厘米，三角形的面积是平方厘米，三角形的面积是平方厘米，那么三角形的面积是多少？ 【答案】6.5平方厘米 【思路引导】连接长方形对角线AE，通过S△AFC和S△ACE来判定C是EF边的中点，然后通过S△ADB和S△ABE，来判定DB：BE＝3：5，从而求出S△BCE的面积，最后用长方形的面积减去S△ADB、S△ACF和S△BCE的面积即可。 【完整解答】连接长方形对角线AE，如下图： 可知S△ADE＝S△AEF＝8（平方厘米）， 因为S△AFC＝4（平方厘米），所以S△ACF＝4（平方厘米），由此可知C是EF边的中点， 因为S△ADB＝3（平方厘米），所以S△ABE＝5（平方厘米），由此可知DB∶BE＝3∶5， S△BCE＝×CE×BE ＝×AD×BE ＝S△ABE ＝×5 ＝2.5（平方厘米）， S△AEF＝S长－S△ADB－S△ACF－S△BCE， ＝16－3－4－2.5 ＝6.5（平方厘米） 答：三角形ABC的面积是6.5平方厘米。 【训练5】如图，一个梯形被它的两条对角线分成了4个三角形，已知三角形AOB和三角形AOD的面积分别是12平方厘米和6平方厘米，那么这个梯形的面积是( )平方厘米。 【答案】54 【思路引导】因为三角形ABC和三角形BCD等底等高，根据三角形的面积公式，可知三角形ABC的面积等于三角形BCD的面积，这两个三角形的面积分别减去三角形BOC的面积，剩余的面积相等，也就是三角形AOB的面积＝三角形COD的面积；根据高相等，底边比等于面积比，已知三角形AOB和三角形AOD的面积分别是12平方厘米和6平方厘米，则三角形AOB的面积∶三角形AOD的面积＝12∶6，也就是2∶1，所以BO∶DO＝2∶1，则三角形BOC的面积∶三角形COD的面积＝2∶1；把三角形BOC的面积看作2份，三角形COD的面积看作1份，已知三角形COD的面积＝三角形AOB的面积＝12平方厘米，也就是1份是12平方厘米，再乘2即可求出三角形BOC的面积。然后用三角形AOB的面积＋三角形COD的面积＋三角形AOD的面积＋三角形BOC的面积即可求出梯形的面积。 【完整解答】12∶6 ＝（12÷6）∶（6÷6） ＝2∶1 高相等，底边比等于面积比， BO∶DO＝2∶1 三角形BOC的面积∶三角形COD的面积＝2∶1 12×2＝24（平方厘米） 6＋12＋12＋24＝54（平方厘米） 这个梯形的面积是54平方厘米。 【考点评析】解答本题的关键是明确高相等，底边比等于面积比。 考点03：三角形的内角和与多边形的外角和知识精讲 一、 三角形内角和 1. 核心定理：任意三角形的内角和恒等于180°。 公式：∠A + ∠B + ∠C = 180° 2. 应用方向： 已知两角求第三角（如直角三角形已知一锐角，可求另一锐角）。 结合等腰/等边三角形性质计算角度。 3. 解题技巧： 遇复杂图形，拆分多个三角形分别计算。 缺角问题（如五角星）利用内角和转化。 二、 多边形外角和 1. 核心定理：任意凸多边形的外角和恒等于360°（与边数无关！）。 公式：所有外角之和 = 360° 2. 关键推论： 正多边形单一外角= 360° ÷ 边数（n） 单一内角= 180° - (360° ÷ n) 3. 应用场景： 已知正多边形边数，求内角/外角度数（如正六边形外角=360°÷6=60°）。 结合内角和公式逆向求边数（n边形内角和=（n-2）×180°）。 三、 易错点 & 应试提醒 外角定义：一边与邻边延长线的夹角（需延长边构造）。 内角和公式仅适用于凸多边形（所有内角＜180°）。 必考题型：复杂图形角度和（如五边形截去一角后内角和）、正多边形拼接问题。 速记口诀： “三角内角一百八，多边形外角圈圈转回360” 题型讲练 【典例精讲】如图，长方形折起一个角，已知∠1＝100°，则∠2＝（    ）。 A．40° B．50° C．60° D．30° 【答案】B 【思路引导】如下图所示，长方形折起一个角，则∠3＝∠4。已知∠1＝100°，因为∠1＋∠3＋∠4＝180°，则∠3＝（180°－100°）÷2＝40°。折起来的部分是一个直角三角形，则∠2＝180°－90°－∠3，据此解答。 【完整解答】180°－100°＝80° 80°÷2＝40° 180°－40°－90°＝50° 则∠2＝50° 故答案为：B 【训练1】探索图形。 情景描述：小亮探究三角形，他先在作业本上画了一个三角形ABC，接着把边BC延长到点D。通过推理，他发现一个正确结论：∠3＋∠4＝180°。接着他又发现并提出一个非常有价值的问题：“∠1＋∠2＝∠4吗？”可他不会推理。假如小亮向你请教，你觉得∠1＋∠2＝∠4吗？请写出推理过程。 【答案】因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠3＋∠4＝180°，所以∠1＋∠2＝∠4。 【思路引导】根据题意得：三角形得内角和是180°，即∠1＋∠2＋∠3＝180°，根据等量代换可推导出等式成立。据此可得出答案。 【完整解答】三角形内角和是180°，即图中∠1＋∠2＋∠3＝180°；又根据∠3＋∠4＝180°，两个式子都等于180°，则这两个式子相等。即： ∠1＋∠2＋∠3＝∠3＋∠4 ∠1＋∠2＋∠3-∠3＝∠3＋∠4-∠3 ∠1＋∠2＝∠4 故由此可推理出∠1＋∠2＝∠4。 【训练2】一个三角形的最小内角的度数是46°，这个三角形是（    ）三角形。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 【答案】A 【思路引导】三角形的内角和是180度，最小的内角是46°，一个三角形内最少有2个锐角，假设较大的锐角是47°，利用180度减去两个内角的和求出第三个角即可判断三角形的种类。 【完整解答】假设较大的锐角是47°： 180°－46°－47° ＝134°－47° ＝87° 87°的角是一个锐角，所以三角形是锐角三角形。 故答案为：A 【训练3】选择合适的解决问题的策略，可以帮助我们找到探究新知的思路。如图三个探究新知的过程，都运用了（    ）策略。 梯形的面积计算 异分母分数减法 多边形的内角和 A．画图 B．列举 C．转化 D．假设 【答案】C 【思路引导】A．根据梯形面积公式的推导过程可知，把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的面积是每个梯形面积的2倍，再根据平行四边形的面积公式推导出梯形的面积公式； B．根据异分母分数减法的计算法则，先把异分母分数转化为同分母分数，然后根据同分母分数减法的计算法则计算； C．根据多边形内角和公式的推导过程，把多边形分成若干个三角形，三角形的内角和是180°，由此推导出多边形的内角和＝180°×（n－2）；据此解答。 【完整解答】由分析得：梯形面积公式的推导，异分母分数减法的计算、多边形内角和公式的推导都运用了“转化”的策略。 故答案为：C 【训练4】下面运用了“转化”思想方法的是（    ）。 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【思路引导】①据图可知，把给出的六边形分成了4个三角形，再根据三角形的内角和是180°，用180°乘分成的三角形的个数即可得到六边形的内角和，据此解答； ②据图可知，把平行四边形左边的小三角形平移到平行四边形的右下角，根据割补法把平行四边形转化成长方形，长方形和平行四边形的面积相等，再根据长方形的面积＝长×宽即可求出平行四边形的面积； ③计算小数乘法时：先根据整数乘法的计算方法计算出结果，再看两个乘数一共有几位小数则积也有几位小数，据此给积加上小数点，据此解答。 【完整解答】①180°×4＝720° 求六边形的内角和，可以先把六边形分成4个三角形，再用乘法求出六边形的内角和，即把六边形转化成三角形，进而求出六边形的内角和，运用了转化”思想； ②把平行四边形转化成长方形，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，长方形的面积等于平行四边形的面积； 因为长方形的面积＝长×宽，所以平行四边形的面积＝底×高，运用了转化”思想； ③计算3.25×2.4时，先把第一个乘数扩大到原来的100倍变成整数，再把第二个乘数扩大到原来的10倍变成24，据此把3.25×2.4转化成计算325×24，再根据整数乘法的计算方法算出结果，最后为了保证积不变，乘数乘了几，积就要除以几，运用了转化”思想。 综上所述，用了“转化”思想方法的是：①②③。 故答案为：D 【训练5】“转化”是数学中最常用的思想，下面运用了“转化”思想的有（    ）。 ①五边形内角和计算方法推导 ②小数乘法计算方法推导 ③圆面积计算方法推导 A．①②③ B．①③ C．①② 【答案】A 【思路引导】转化思想一般将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题，据此解答即可。 【完整解答】①把多边形内角和转化为三角形内角和是将复杂问题通过变换转化为简单问题，符合题干； ②把小数乘法转化为整数乘法是将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，符合题干； ③圆的面积转化为平行四边形面积是将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题，符合题干； 所以①、②、③都运用了转化的思想。 故答案为：A 【考点评析】此题考查了转化思想的意义和对转化思想的灵活运用。 考点04：求组合图形中阴影部分面积 知识精讲 一、核心方法 1. 直接公式法：若阴影是规则图形（三角形、扇形等），直接套用公式。 2. 加减法（主流）： 整体减空白：例：方中圆阴影 = 正方形面积 - 圆面积） 分割求和：将阴影拆解为多个规则图形分块计算后相加。 3. 割补法（巧算关键）： 平移/旋转：移动阴影部分拼成规则图形（如半圆平移补位成整圆）。 等积变形：利用同底等高三角形面积转化（如图形内平行线构造等积三角形）。 二、高频模型与技巧 1. 方与圆组合： 方中圆：阴影 = a² - π(a/2)² 圆中方：阴影 = πr² - (2r)²÷2 2. 重叠与对称： 重叠区域常需加减 对称图形可只算一半再×2。 3. 比例模型活用： 等高三角形：S₁:S₂ = 底₁:底₂（如梯形内三角形）。 相似图形：S₁:S₂ = (对应边)²（如金字塔模型）。 三、解题步骤 1. 标数据：标注所有已知长度、角度； 2. 辨结构：识别基础图形（圆、三角、矩形）及重叠关系； 3. 定方法：选择加减、割补法； 4. 验算：检查单位一致性，验证结果合理性（如阴影面积＜总面积）。 应试提示：复杂图形优先尝试"整体减空白"，含曲线首选方/圆公式，隐含角度活用内角和。 题型讲练 【典例精讲】求如图直角梯形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】1.86平方厘米 【思路引导】观察图形可知，可将阴影部分面积转化为小直角梯形面积减去四分之一圆的面积。小直角梯形的上底就是四分之一圆的半径2厘米、下底3厘米和高2厘米，根据“梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2”计算出小直角梯形的面积；四分之一圆的半径是2厘米，根据圆的面积公式计算出圆的面积再除以4；最后用小直角梯形面积减去四分之一圆的面积即可得阴影部分面积。 【完整解答】（2＋3）×2÷2 ＝5×2÷2 ＝10÷2 ＝5（平方厘米） 3.14×22÷4 ＝3.14×4÷4 ＝12.56÷4 ＝3.14（平方厘米） 5－3.14＝1.86（平方厘米） 所以阴影部分的面积是1.86平方厘米。 【训练1】求如图各图形中涂色部分的面积。                【答案】30cm2；6.28dm2 【思路引导】（1）从图中可知，涂色部分是两个等高的三角形，这两个三角形的底边之和是10cm，所以可以把涂色部分看作一个底为10cm、高为6cm的三角形，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解。 （2）从图中可知，涂色部分的面积＝半径为4dm的圆的面积－直径为4dm的圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【完整解答】（1）10×6÷2 ＝60÷2 ＝30（cm2） 涂色部分的面积是30cm2。 （2）3.14×42×－3.14×（4÷2）2× ＝3.14×16×－3.14×22× ＝3.14×16×－3.14×4× ＝12.56－6.28 ＝6.28（dm2） 涂色部分的面积是6.28dm2。 【训练2】计算图形阴影部分面积。（单位：厘米） 【答案】14.25平方厘米 【思路引导】观察可知，阴影部分的面积等于直径为10厘米的半圆面积减底是10厘米，高是（10÷2）厘米的三角形面积。根据半径＝直径÷2、圆的面积公式、，代入数据计算即可。 【完整解答】10÷2＝5（厘米） 3.14×52÷2－10×5÷2 ＝3.14×25÷2－25 ＝39.25－25 ＝14.25（平方厘米） 【训练3】求下面图形中阴影部分的周长和面积。      【答案】35.4cm；31.4cm2 41.12cm；6.88cm2 【思路引导】如图所示，圆环的内直径是8cm，外直径是12cm，阴影部分周长等于内外圆周长的一半的和加上圆环宽度的2倍；利用圆环的面积公式求出整个圆环的面积，阴影面积等于圆环面积的一半。 如图所示，阴影部分周长是直径为4cm的圆的周长的2倍与正方形周长的和；正方形面积减去圆的面积是阴影面积的一半，求出一半阴影部分的面积乘2即可。 【完整解答】周长： （cm） 第一个阴影部分的周长是35.4cm。 面积： （cm2） 第一个阴影部分的面积是31.4cm2。 周长： （cm） 第二个阴影部分的周长是41.12cm。 面积： （cm2） 第二个阴影部分的面积是6.88cm2。 【训练4】计算图形中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】7.5平方厘米 【思路引导】如下图所示，将阴影部分的图形通过旋转和平移，转化为一个上底是1厘米，下底是4厘米，高是3厘米的梯形，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算。 【完整解答】4－3＝1（厘米） （1＋4）×3÷2 ＝5×3÷2 ＝15÷2 ＝7.5（平方厘米） 则阴影部分的面积7.5平方厘米。 【训练5】如图是一个直径为12厘米的半圆，让这个半圆以A为圆心沿逆时针方向旋转60°，使AB到达AC的位置，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】75.36平方厘米 【思路引导】阴影部分的面积＝圆心角为60°的扇形面积＋AC为直径的半圆面积－空白部分的面积（AB为直径的半圆面积），则阴影部分的面积等于扇形的面积；根据公式圆的面积S＝πr2，扇形的面积S＝πr2×（n为圆心角的度数），代入数据计算即可。 【完整解答】3.14×122× ＝3.14×（144×） ＝3.14×24 ＝75.36（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积是75.36平方厘米。 考点05：不规则物体的体积算法知识精讲 核心方法：排水法（必考！） 1. 基本原则： 完全浸没：物体全部没入水中，水位上升体积 = 物体体积。 溢水原理：物体放入满水容器中，溢出水的体积 = 物体体积。 2. 操作步骤： ① 测容器原水位高度（或体积）； ② 完全浸入物体后记录新水位； ③物体体积 = 水位上升部分的体积（容器为规则体时：长 × 宽 × 上升高度）。 三类经典题型 1. 规则容器（如长方体水槽）：体体积 =容器底面积 × 水位上升高度。 例：水槽长15cm、宽8cm，水位升3cm → 体积 = 15×8×3 = 360立方厘米 2. 溢水问题：物体体积 =溢出水的体积（用量筒直接测量毫升数，1毫升 = 1立方厘米）。 3. 特殊情形处理： 漂浮物：需用细针压入水中使其完全浸没。 吸水物体：快速测量避免误差。 四大关键提醒 1. 单位统一：容器尺寸、水位高度单位需一致（如厘米→立方厘米）。 2. 完全浸没：物体不可露出水面，否则结果偏小。 3. 容器选择：优先用直壁容器（长方体、圆柱），避免锥形瓶。 4. 常见误区： 水位上升高度 ≠ 物体高度； 空心物体体积包含内部空气（需整体测量）。 题型讲练 【典例精讲】在一节数学活动课中，王老师和4名同学在测量一些螺丝钉的体积，他们合作进行如下的测量与操作； ①小军准备了一个圆柱形玻璃杯，从玻璃杯里面测量到底面直径是4厘米，高是10厘米。 ②小李往玻璃杯里注入一些水，水的高度与水面离杯口的距离比是1∶1。 ③小明把20枚相同的螺丝钉放入水中（螺丝钉完全浸没在水中）。 ④小丁测量此时水的高度与水面离杯口的距离之比是3∶2。 根据上面的信息，请你计算出一枚螺丝钉的体积。 【答案】0.628立方厘米 【思路引导】根据①和②可知：玻璃杯里面高10厘米对应1＋1＝2份，即可求出1份（水面高度）10÷2＝5厘米。根据④可知：玻璃杯里面10厘米对应3＋2＝5份，用10÷5＝2厘米求出1份高度，进而求出3份2×3＝6厘米（螺丝钉放入水中后，此时水的高度）。再求出前后的水面高度差6－5＝1厘米。加入20枚螺丝钉增加的体积等于底面直径为4厘米，高度为1厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积：V＝Sh＝πr2h，代入数据求出体积，再除以20即可求出一枚螺丝钉的体积。 【完整解答】10÷（1＋1） ＝10÷2 ＝5（厘米） 10÷（3＋2）×3 ＝10÷5×3 ＝6（厘米） 6－5＝1（厘米） 3.14×（4÷2）2×1÷20 ＝3.14×22×1÷20 ＝3.14×4×1÷20 ＝0.628（立方厘米） 答：一枚螺丝钉的体积为0.628立方厘米。 【训练1】科学课上，王老师布置了“测量一个U型铁块体积”的实践作业，凯凯用科普书上学的方法进行测量：先往长方体容器内倒入1.36升水，再放入一个U型铁块（完全浸没），这时测量得到的水深6厘米，这个U型铁块的体积是多少？ 【答案】140立方厘米 【思路引导】1升＝1000立方厘米，根据长方体体积＝长×宽×高；高＝体积÷（长×宽），代入数据，求出原来长方体容器内水的高度；水面上升部分的体积就是U型铁块的体积，再把数据代入长方体体积公式，即可解答。 【完整解答】1.36升＝1360立方厘米 1360÷（25×10） ＝1360÷250 ＝5.44（厘米） 25×10×（6－5.44） ＝25×10×0.56 ＝250×0.56 ＝140（立方厘米） 答：这个U形铁块的体积是140立方厘米。 【训练2】如图中，每个大球的体积都相同，每个小球的体积也都相同。求每个大球的体积。（单位：厘米） 【答案】72立方厘米 【思路引导】根据图二可知，长方体的容器内水的体积等于两个大球的体积与一个小球的体积和，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出两个大球与一个小球的体积和； 根据图三可知，长方体的容器内水的体积等于两个大球与六个小球的体积和，根据长方体的体积公式，求出两个大球与六个小球的体积和，再减去图二长方体容器内的体积，求出五个小球的体积和，再除以5，求出一个小球的体积和；再用图二的体积减去一个小球的体积，求出两个大球的体积，再除以2，即可求出一个大球的体积，据此解答。 【完整解答】6×6×5 ＝36×5 ＝180（立方厘米） （6×6×10－180）÷5 ＝（36×10－180）÷5 ＝（360－180）÷5 ＝180÷5 ＝36（立方厘米） （180－36）÷2 ＝144÷2 ＝72（立方厘米） 答：每个大球的体积是72立方厘米。 【训练3】如图，两个圆柱形容器盛有相同体积的水，①号容器原来水面高是8cm；②号容器放入同样大的小球和一个小长方体后水面的高是26cm，小球的体积与小长方体的体积比是（    ）。 A．3∶11 B．3∶5 C．3∶2 D．9∶7 【答案】D 【思路引导】①号容器：先根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出小球体积与水的体积和。水面上升部分的体积等于小球的体积，再根据圆柱的体积公式，求出小球的体积。 ②号容器；先根据圆柱的体积公式，求出水的体积、小球的体积、正方体的体积和；再用水的体积、小球的体积、正方体的体积和减去①号容器水的体积与小球体积和，求出正方体的体积；再根据比的意义，用小球的体积∶正方体的体积，即可解答。 【完整解答】π×（18÷2）2×10 ＝π×92×10 ＝π×81×10 ＝81π×10 ＝810π（cm3） π×（18÷2）2×（10－2） ＝π×92×2 ＝π×81×2 ＝81π×2 ＝162π（cm3） π×（12÷2）2×26－810π ＝π×62×26－810π ＝36π×26－810π ＝936π－810π ＝126π（cm3） 162π∶126π ＝（162π÷18π）∶（126π÷18π） ＝9∶7 小球的体积与小长方体的体积比是9∶7。 故答案为：D 【训练4】从古代到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里“淬火”，水面上升了1.8厘米。这个圆锥的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 【答案】54厘米 【思路引导】圆锥的体积就是上升部分水的体积，这部分水可看作底面积是31.4平方分米，即底面积是3140平方厘米，高是1.8厘米的长方体，用底面积×高即可算出上升水的体积。又因为圆锥的底面大小与圆柱铁块底面大小相同，即底面半径相同，所以可根据求出圆锥底面积，最后用体积乘3再除以圆锥底面积即可求出圆锥的高，据此解答。 【完整解答】31.4平方分米＝3140平方厘米 （3140×1.8×3）÷（3.14×10²） ＝5652×3÷314 ＝54（厘米） 答：这个圆锥的高是54厘米。 【训练5】一个无盖的长方体玻璃缸，长48厘米，宽25厘米，高30厘米。有一个水龙头从8：00开始向玻璃缸内注水，水的流量为8立方分米/分。8：03关闭水管停止注水。接着在玻璃缸内放入一个高为16厘米的铁块，全部浸没水中。玻璃缸的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如图所示。 （1）左下图中，点（    ）的位置表示停止注水。（从、、中选择） （2）8：03分玻璃缸水面的高度为（    ）厘米。 （3）请列式计算，求出长方体铁块的底面积。 【答案】（1）B；（2）20；（3）300平方厘米 【思路引导】（1）观察折线统计图可知，从B点开始，线段的倾斜度开始变化，代表水面高度上升的速度变化，说明停止注水。 （2）根据水每分钟的流量×时间＝水的体积，用水的体积÷容器的底面积＝水面的高度。 （3）铁块的体积＝容器的底面积×水面上升高度，铁块的底面积＝体积÷高，据此解答。 【完整解答】（1）点B的位置表示停止注水。 （2）8×3＝24（立方分米） 24立方分米＝24000立方厘米 24000÷（48×25） ＝24000÷1200 ＝20（厘米） 8：03分玻璃缸水面的高度为20厘米。 （3）48×25×（24－20）÷16 ＝4800÷16 ＝300（平方厘米） 答：长方体铁块的底面积是300平方厘米。 【考点评析】此题考查了折线统计图和长方体体积的综合运用，牢记长方体体积公式并能灵活运用是解题关键。 考点06：立体图形的切拼知识精讲 一、两大核心原则 1. 体积守恒：切割或拼接后，总体积永不改变（原体积 = 所有部分体积之和）。 例：正方体切8块小正方体，8块体积之和 = 原大正方体体积 2. 表面积变化规则： 切割增面积：每切一刀增加两个切面的面积。 拼接减面积：每拼一次减少两个接触面的面积。 二、关键解题技巧 1. 切一刀算两面： 长方体平行于面切：增加两个相同矩形面积（长×宽）。 沿对角线切：增加两个三角形面积（底×高÷2）。 2. 拼一次少两面：相同立方体拼长方体：减少的面数 = 2×(拼接次数）。 例：两个正方体拼长方体，表面积减少两个正方形面 3. 最优策略问题： 拼大表面积：尽量隐藏小面（如细长条拼法）。 拼小表面积：尽量隐藏大面（如扁平拼法）。 三、应试提醒 1. 画图标数据：标注切割方向、拼接位置及所有尺寸。 2. 切拼步骤拆分： 切割：先算原表面积，再加新增切面； 拼接：先算各部分总面积，再减接触面。 3. 典型考题： 多个正方体拼长方体最少剩多少面； 圆柱切三段后表面积增加多少（增4个圆面）。 题型讲练 【典例精讲】陈爷爷家的老屋要翻建，从老屋上拆下一根圆柱形的木料（如图）。 （1）这根木料的侧面有一层斑驳的红漆，原来刷红漆的部分有多少平方厘米？ （2）现在要把这根木料加工成方木（横截面为正方形），这根方木的体积最大是多少立方厘米？合多少立方分米？ 【答案】（1）17584平方厘米；（2）78400立方厘米；78.4立方分米 【思路引导】（1）刷红漆部分的面积就是圆柱的侧面积，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此计算即可解答； （2）根据题意，把圆柱形木材加工成最大的方木，方木底面正方形的对角线等于圆的直径，把这个正方形看作完全相同的两个三角形，每个三角形的底等于直径，高等于半径，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，求出方木的底面积，然后根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。 【完整解答】（1）3.14×28×200 ＝87.92×200 ＝17584（平方厘米） 答：原来刷红漆的部分有17584平方厘米。 （2）28×（28÷2）÷2×2×200 ＝28×14÷2×2×200 ＝392÷2×2×200 ＝196×2×200 ＝392×200 ＝78400（立方厘米） 78400立方厘米＝78.4立方分米 答：这根方木的体积最大是78400立方厘米，合78.4立方分米。 【考点评析】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是明白：方木底面正方形的对角线等于圆的直径，把这个正方形看作完全相同的两个三角形。 【训练1】如果把一个圆柱体的木料沿着与底面平行的方向截成两部分，表面积就增加6.28平方分米；如果沿着直径截成两部分，表面积就增加8平方分米。圆柱的体积是 立方分米。 【答案】6.28 【思路引导】把一个圆柱体木料沿着与底面平行的方向截成两部分，增加的表面积是圆柱的2个底面积，用增加的表面积除以2，即可求出圆柱的底面积；然后根据S底＝πr2，得出圆柱的底面半径。 把这个圆柱体木料沿着直径截成两部分，增加的表面积是2个以底面直径和高分别为长、宽的长方形，用增加的表面积除以2，求出一个截面的面积，再除以直径，即可求出圆柱的高。 最后根据圆柱的体积公式V＝Sh，代入数据计算，求出这个圆柱的体积。 【完整解答】圆柱的底面积：6.28÷2＝3.14（平方分米） 底面半径的平方：3.14÷3.14＝1（平方分米） 因为1＝1×1，所以圆柱的底面半径是1分米。 圆柱的底面直径：1×2＝2（分米） 圆柱的高：8÷2÷2＝2（分米） 圆柱的体积：3.14×2＝6.28（立方分米） 所以圆柱的体积是6.28立方分米。 【考点评析】掌握圆柱切割的特点，明确不同的切割方式，增加的表面积不相同，找出表面积增加的是哪些面的面积，以此为突破口，利用公式列式计算。 【训练2】如图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长＞宽＞高。将这个长方体平切两刀，竖切两刀，得到9个小长方体，这9个小长方体表面积之和比原来长方体表面积多624平方厘米。求原来长方体的体积。 【答案】455立方厘米 【思路引导】已知1刀增加2个切面，平切两刀增加4个（长×宽）的长方形面积，竖切两刀增加4个（长×高）的长方形面积，增加的总面积是624平方厘米，所以长×宽×4＋长×高×4＝624，4×长×（宽＋高）＝624，先把624分解质因数，624＝2×2×2×2×3×13，已知长是质数且最大，则长为13厘米，宽＋高＝12，又已知宽和高也是质数，且宽＞高，则把12拆分成2个质数相加，也就是12＝5＋7，据此得出长方体的长、宽、高，进而根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可。 【完整解答】624＝2×2×2×2×3×13 长＞宽＞高 长是13厘米， 2×2×3＝12 12＝5＋7 宽为7厘米，高为5厘米， 13×7×5＝455（立方厘米） 答：这个长方体的体积是455立方厘米。 【考点评析】本题主要考查了质数的认识、长方体体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。 【训练3】如图是一个半径为4厘米，高为4厘米的圆柱体，在它的中间依次向下挖半径分别为3厘米、2厘米、1厘米，高分别为2厘米、1厘米、0.5厘米的圆柱体，则最后得到的立体图形表面积是 平方厘米。（结果保留π） 【答案】81 【思路引导】立体图形的表面积等于大圆柱的表面积加上挖去的三个小圆柱的侧面积，根据圆柱的表面积＝×半径×2×高＋×半径的平方×2，圆柱的侧面积＝×半径×2×高，代入相关数据解答即可。 【完整解答】×4×2×4＋××2＋×3×2×2＋×2×2×1＋×1×2×0.5 ＝32＋×16×2＋×6×2＋×4＋×1 ＝32＋32＋12＋4＋ ＝64＋12＋4＋ ＝76＋4＋ ＝80＋ ＝81（平方厘米） 所以最后得到的立体图形表面积是81平方厘米。 【训练4】将3个相同的小圆柱拼成一个长4dm的大圆柱，表面积比原来少了169.56cm2，现在大圆柱的体积是( )cm3。 【答案】1695.6 【思路引导】由题意可知，将3段相同的小圆柱拼成一个圆柱后；表面积减少了4个底面，因表面积减少169.56cm2，即可求出圆柱的一个底面积，再根据圆柱的体积＝底面积×高，即可列式解决问题。 【完整解答】4dm＝40cm 169.56÷4＝42.39（cm2） 42.39×40＝1695.6（cm3） 将3个相同的小圆柱拼成一个长4dm的大圆柱，表面积比原来少了169.56cm2，现在大圆柱的体积是1695.6cm3。 【训练5】孙师傅将一根2米长的圆柱形木料锯成3段小圆柱后（如图），它们的表面积总和比原来增加了12.56平方分米，原来这根木料的体积是（    ）立方分米。 A．125.6 B．12.56 C．62.8 【答案】C 【思路引导】把圆柱木料锯成3段，锯2次，每次增加2个底面，共增加4个底面，由增加的表面积12.56平方分米可求出底面积；再将木料长度2米换算为20分米，最后根据“圆柱的体积＝底面积×高”求出木料体积。 【完整解答】12.56÷4＝3.14（平方分米） 2米＝20分米 3.14×20＝62.8（立方分米） 所以原来这根木料的体积是62.8立方分米。 故答案为：C 考点07：图形与变换问题知识精讲 一、三大基础变换 1. 平移： 特点：图形大小、形状不变，所有点沿同一方向移动相同距离。 关键：找准移动方向和格数（如：向上3格，向左5格）。 2. 旋转： 特点：绕固定点（旋转中心）按特定方向（顺时针/逆时针）转动固定角度（如90°、180°）。 关键：确定中心、角度、方向（例：绕O点逆时针转90°）。 3. 轴对称： 特点：沿一条直线（对称轴）对折，两侧图形完全重合。 关键：找对称轴（常见：水平线、竖直线、斜线），数对称点到轴的距离相等。 二、两大核心应用 1. 作图与识别： 根据指令补全平移/旋转/对称后的图形。 判断变换类型（如：风车叶片是旋转，蝴蝶是轴对称）。 2. 组合变换分析： 连续多次变换（如：先平移再旋转），逐步操作还原过程。 复杂图案（如窗花）常由基本图形平移+对称生成。 三、解题技巧与易错点 1. 方格纸操作： 平移：数清横竖移动格数； 旋转：用三角板辅助画90°角； 对称：先标关键点对称位置，再连线。 2. 实际应用： 钟表指针旋转（分针转1圈=360°）； 镜子成像（轴对称）。 3. 陷阱规避： 旋转方向勿混淆（顺时针≠逆时针）； 对称轴可能是斜线（需用方格对角线验证）。 题型讲练 【典例精讲】将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换，那么按上述规则连续完成2024次变换后，骰子朝上一面的点数是几？ 【答案】6 【思路引导】根据题意，第一次操作：将骰子向右翻滚90°，上、下、左、右、前、后分别是5、2、4、3、1、6；再逆时针方向旋转90°，上、下、左、右、前、后分别是5、2、6、1、4、3； 第二次操作：第一步向右翻滚90°，上、下、左、右、前、后分别是6、1、2、5、4、3；第二步逆时针方向旋转90°，上、下、左、右、前、后分别是6、1、3、4、2、5； 第三次操作：第一步向右翻滚90°，上、下、左、右、前、后分别是3、4、1、6、2、5，第二步逆时针方向旋转90°，上、下、左、右、前、后分别是3、4、5、2、1、6； 而最初的正方体骰子上，上、下、左、右、前、后分别是3、4、5、2、1、6，经过三次刚好转回去了，所以每操作一次，上面的点数按照5，6，3，5，6，3，5，6，3…的顺序排列。3个数字一循环；用2024÷3，余数是几，就是第几个数；没有余数，就是第三个数，据此解答。 【完整解答】根据分析可知，朝上的数字规律是5，6，3，5，6，3…，三个数字一循环。 2024÷3＝674……2 连续完成2024次变换后，骰子朝上一面的点数是6。 答：连续完成2024次变换后，骰子朝上一面的点数是6。 【考点评析】本题主要考查旋转和空间想象能力，可以通过实践进行探究，找出规律，再求出问题。 【训练1】按要求画图。 （1）画出图①的另一半，使它成为一个轴对称图形。 （2）将图②绕O点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （3）画出一个与图②面积相等的平行四边形。 【答案】（1）、（2）、（3）见详解 【思路引导】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，找到图①的各顶点关于对称轴的对称点后，依次连接各点即可； （2）根据旋转的特征，将图②绕O点逆时针旋转90°，O点位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形； （3）图②是一个三角形，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出图②的面积；这个面积也是平行四边形的面积，根据平行四边形的面积＝底×高，可得出它的底和高，据此画出这个平行四边形。 【完整解答】（1）画出图①的另一半，使它成为一个轴对称图形，如下图。 （2）将图②绕O点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形，如下图。 （3）三角形的面积： 4×3÷2 ＝12÷2 ＝6 6＝3×2，可以画一个底是3、高是2的平行四边形。（画法不唯一） 如图： （平行四边形画法不唯一） 【考点评析】掌握补全轴对称图形、作旋转后的图形、以及画与三角形面积相等的平行四边形的作图方法是解题的关键。 【训练2】观察如图，按要求完成下面各题。 （1）点O的位置用数对表示是（    ）。 （2）以点O为圆心，将圆按2∶1的比放大，画出放大后的图形；放大后和放大前的两个图形的周长比是（    ），面积比是（    ）。两个圆形成的圆环的面积是（    ）平方厘米。 （3）将三角形绕点A顺时针旋转90°，连续旋转3次，画出每次旋转后的图形。它们与原三角形组成了一个轴对称图形，画出这个图形所有的对称轴。 【答案】（1）（2，3）；（2）2∶1，4∶1；3π； （3） 【思路引导】（1）用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，据此解答即可； （2）根据图形放大的方法，把这个图形按2∶1放大，就是这个图形的直径扩大到原来的2倍，据此即可画图；根据周长公式C＝πd，面积公式S＝πr2，圆环的面积＝大圆面积－小圆面积；据此求解即可； （3）找出三角形的三个顶点，将三角形绕点A顺时针旋转90°，连续旋转3次，画出图形即可，根据对称轴的定义可画出4条。 【完整解答】（1）点O的位置用数对表示是（2，3）； （2）如图： 放大后和放大前的两个图形的周长比是：4π∶2π＝2∶1， 放大后和放大前的两个图形的面积比是：4π∶π＝4∶1， 两个圆形成的圆环的面积是：4π－π＝3π（cm2）； （3）如图：。 【考点评析】本题主要考查了数对、旋转作图、图形放大、圆的周长、面积公式的灵活运用。 【训练3】根据要求填空或在方格图中操作。（每个小方格边长都是） （1）方格图中点位置用数对表示是________。请你以点为圆心，画一个半径为2厘米的圆，并涂上阴影。 （2）根据对称轴画出图形的另一半，并涂上阴影。 （3）画出平行四边形按放大后的图形，并涂上阴影。 （4）画出将小旗绕点顺时针旋转后的图形，并涂上阴影。 （5）画出将梯形先向上平移5格，再向右平移2格后的图形，并涂上阴影。 【答案】（1）（3，6） （2）-（5）作图如下： 【思路引导】（1）点位置用数对表示是（3，6）； （2）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，补全轴对称图形的另一半即可； （3）图中平行四边形的底是2格，高是1格，根据图形的放大与缩小，按放大后的平行四边形对应的底是4格，高是2格，画出图即可； （4）根据旋转的特征，小旗绕点顺时针旋转后，点的位置不动，其余各部分绕点按相同的方向旋转相同的度数，即可画出旋转后的图形； （5）根据平移的特征，将梯形的四个顶点先向上平移5格，再向右平移2格，最后首尾顺次连接即可。 【完整解答】根据分析可得： 点位置用数对表示是（3，6）； 作图如下： 【考点评析】本题考查平移、旋转、补全轴对称图形、图形的放大与缩小、数对，解答本题的关键是熟练掌握平移、旋转、补全轴对称图形的方法。 【训练4】操作题（下面每格小正方形边长表示1厘米，按要求填空）。 （1）画出三角形AOB绕O点逆时针旋转90°后的图形A′O′B′。 （2）原图中A点的位置若用数对（9，2）表示：那么旋转后A′的位置是（    ）；把B点向（    ）平移（    ）格，再向（    ）平移（    ）格后就与A点重合。 （3）画出三角形AOB以2∶1放大后的图形，放大后三角形的面积为（    ）平方厘米。 【答案】（1）作图见详解 （2）5，6；下；3；右；4 （3）作图见详解；24 【思路引导】（1）根据旋转的特征，将三角形AOB绕O点逆时针方向旋转90°，点O的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数，即可画出旋转后的图形； （2）根据数对确定位置的方法：先列后行，确定各点的位置；利用平移的特征，找到对应点的移动路径，写出B点平移到A的过程； （3）按2∶1的比例画出三角形放大后的图形，就是把三角形底和高分别扩大到原来的2倍，原三角形的底和高分别是4格和3格，扩大后的底和高分别是8格和6格，利用三角形面积公式：S＝ah÷2，计算其面积即可。 【完整解答】（1）三角形AOB绕O点逆时针旋转90°后的图形如下图。 （2）原图中A点的位置若用数对（9，2）表示：那么旋转后A′的位置是（5，6）； 把B点向（下）平移（3）格，再向（右）平移（4）格后就与A点重合。（答案不唯一） （3）3×2＝6（厘米），4×2＝8（厘米） 画出三角形AOB以2∶1放大后的图形，如下图： 6×8÷2 ＝48÷2 ＝24（平方厘米） 所以，放大后三角形的面积为24平方厘米。 【训练5】如图中白色部分DEFB是一个正方形，AE长6厘米，EC长12厘米。阴影部分的面积是多少平方厘米呢？ 我们可以这样思考： （1）将三角形ADE绕点E逆时针旋转90°，这样两个阴影部分就拼到了一起（你可以试着画一画）。 （2）因为∠1＋∠2＝（    ），所以组合后的阴影部分是一个（    ）三角形。 （3）根据组合后三角形两条邻边的长度，可以求出阴影部分的面积是（    ）平方厘米。 【答案】（1）画图见详解 （2）90°；直角 （3）36 【思路引导】（1）以点E为旋转中心，三角形ADE绕点E逆时针旋转90°后，DE和FE重合，在FB上截取FG＝DA，连接EG，三角形GFE就是三角形ADE绕点E逆时针旋转90°后的图形； （2）DEFB是一个正方形，∠DEF是一个直角，则∠1与∠2的和为90°，图形旋转前后对应角的大小相等，∠GEF＝∠1，那么∠GEC＝90°，有一个角为直角的三角形是直角三角形； （3）由图可知，AE＝GE＝6厘米，EC＝12厘米，三角形GEC是直角三角形，利用“三角形的面积＝底×高÷2”求出三角形GEC的面积就是阴影部分的面积，据此解答。 【完整解答】（1）如图： （2）因为∠1＋∠2＝90°，所以组合后的阴影部分是一个直角三角形。 （3）6×12÷2 ＝72÷2 ＝36（平方厘米） 所以阴影部分的面积是36平方厘米。 考点08：体积的等积变形知识精讲 一、核心原理 1. 体积守恒：物体形状改变时（切割、熔铸、倾倒），体积始终保持不变。 例：正方体熔成长方体，熔化前后体积相等 2. 等积转化：不同容器中液体体积不变，水位变化反推容器尺寸。 例：将水从长方体倒入圆柱，水体积 = 长方体底面积×原高度 = 圆柱底面积×新高度 二、三大应用题型 1. 熔铸问题：金属块熔化重铸为新立体，原体积 = 新体积（忽略损耗）。 技巧：先求原物体体积，再倒推新图形的尺寸 2. 水位变化问题：物体浸入水中，水位上升体积 = 物体体积（排水法延伸）。 例：长方形容器水位上升3cm，物体体积 = 容器底面积×3 3. 液体分装问题：液体倒入不同容器，总体积 = 各容器内液体体积之和。 例：一桶水分装到3个圆柱杯，总水量 = 杯1水量 + 杯2水量 + 杯3水量 三、关键技巧与易错点 1. 解题步骤： ① 确定变形前后体积不变； ② 用已知量表示原体积； ③ 列出新图形体积表达式； ④ 令两式相等求解未知量。 2. 单位陷阱：确保所有长度单位统一（如厘米、米），避免面积、体积单位混淆。 3. 隐含条件： 柱体（长方体、圆柱）体积 =底面积 × 高； 水面上升高度需扣除容器原水位（非从零计算）。 题型讲练 【典例精讲】如图，圆柱形容器A是底面半径为5厘米，高为20厘米的空容器，长方体容器B中的水深6.28厘米，底面为10厘米的正方形。将容器B中的水全部倒入容器A，这时容器A水深多少厘米？ 【答案】8厘米 【思路引导】先根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积；将容器B中的水全部倒入容器A，水的体积不变，根据圆柱的高＝体积÷底面积，据此求出容器A中的水深。 【完整解答】10×10×6.28＝628（立方厘米） 628÷（3.14×52） ＝628÷（3.14×25） ＝628÷78.5 ＝8（厘米） 答：这时容器A水深8厘米。 【训练1】奇奇将圆柱内的水倒入（    ）圆锥内，正好倒满。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以当圆锥与圆柱的体积相等、底面积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，据此逐项分析，即可解答。 【完整解答】A．圆锥和圆柱的底面积相等，圆柱内水的高度是6，圆锥的高是18，18÷6＝3，圆柱内水的体积等于圆锥的体积，因此将圆柱内的水倒入圆锥内，正好倒满，符合题意； B．18÷6＝3，圆锥的高等于圆柱内水高的3倍，但圆柱的底面积与圆锥的底面积不相等，因此圆柱内水的体积不等于圆锥的体积，不符合题意； C．圆锥和圆柱的底面积相等，但圆锥的高是15，不是圆柱内水高度的3倍，因此圆柱内水的体积不等于圆锥的体积，不符合题意； D．圆柱的底面积与圆锥的底面积不相等，且圆锥的高不是圆柱内水高度的3倍，因此圆柱内水的体积不等于圆锥的体积，不符合题意。 故答案为：A 【训练2】如图，在一个盛有450毫升水的量杯中，放入一个圆柱，水面对应的刻度为600毫升。若再放入一个与圆柱等底等高的圆锥，则此时水面对应的刻度为 毫升。 【答案】650 【思路引导】根据题意可知，把圆柱放入量杯中，上升部分水的体积等于这个圆柱的体积，等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，据此可以求出圆锥的体积，然后用水和圆柱的体积加上这个圆锥体积的就是量杯中水面的刻度。 【完整解答】450毫升＝450立方厘米 600毫升＝600立方厘米 600－450＝150（立方厘米） 150×＝50（立方厘米） 50立方厘米＝50毫升 600＋50＝650（毫升） 【考点评析】此题主要考查圆柱体积（容积）公式的灵活运用，等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系及应用。注意容积单位与体积之间的换算。 【训练3】如图，有A、B两个底面积相等的容器，A容器盛满水，如果将水全部倒入B容器，水面距离B容器口( )厘米。 【答案】8 【思路引导】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆锥和圆柱的底面积相等，体积相等时，圆柱的高是圆锥高的，由此可以求出B容器下面圆锥容器盛满水倒入等底的圆柱容器中水面高，也就是把A容器盛满水倒入B容器水面距离B容器口的距离，据此解答。 【完整解答】24×＝8（厘米） 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱和圆锥体积之间关系的灵活运用。 【训练4】将棱长是1.6dm的正方体石块浸没到一个长方体水槽中，水面上升了0.5dm。然后放入一个铁块并浸没，水面又上升了2.5dm（水没有溢出），求铁块的体积。 【答案】20.48 【思路引导】水面第二次上升部分的体积就是铁块的体积，要求V铁块，已知h第二次，还缺上升部分水的底面积。在第一次水面上升时，我们能够求出V石块，又已知水面上升了0.5分米，则S长方体水槽＝V石块÷h第一次。最后再用公式V铁块＝S长方体水槽×h第二次，计算出答案。 【完整解答】1.6×1.6×1.6 ＝2.56×1.6 ＝4.096（） 4.096÷0.5×2.5 ＝8.192×2.5 ＝20.48（） 答：铁块的体积为20.48。 【考点评析】本题关键是理解并且能够用除法计算出长方体水槽的底面积，这个量求出来，就不难求出铁块的体积了。 【训练5】如图，甲圆柱形容器是空的，乙长方体容器水深6.28厘米，若将容器乙中的水全部倒入甲容器，这时水深 厘米。 【答案】8 【完整解答】10×10×6.28 ＝100×6.28 ＝628（立方厘米） 10÷2＝5（厘米） 628÷（3.14×52） ＝628÷78.5 ＝8（厘米） 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $$