专题04 分式19大题型（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材苏科版

专题04 分式 分式的概念 1.分式定义：形如（A,B 为整式，B含字母且B≠0）。 2.分式有意义：分母≠0。 3.分式无意义：分母=0。 4.分式值为0：分子=0且分母≠0（双条件）。 5.分式的值：代入求值、根据条件求字母范围。 分式的基本性质 1.基本性质： (C≠0)。 2.符号法则：分子、分母、分式本身，变两个，值不变。 3.约分：先因式分解，再约去公因式，化为最简分式。 4.通分：找最简公分母（各分母因式最高次幂的积）。 分式的运算 1.乘法：。 2.除法：（转化为乘法）。 3.乘方：（n正整数）。 4.同分母加减：。 5.异分母加减：先通分，再加减。 6.混合运算：先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内。 7.整数指数幂：a−p=1/ap (a≠0)；a0=1 (a≠0)。 分式方程 1.定义：分母含未知数的方程。 2.解法：去分母→化为整式方程→解整式方程→检验（必写步骤）。 3.增根：使最简公分母为0的根，不是原方程的解。 4.无解：①整式方程无解；②整式方程的解全是增根。 5.含参分式方程：已知解的范围、增根、无解求参数。 分式的应用 1.步骤：审→设→列→解→双检验（方程+实际意义）→答。 2.常见模型： · 工程问题：总量为1，效率 时间。 · 行程问题：路程=速度×时间。 · 销售问题：单价=总价/数量。 分式的判断 【例1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列代数式是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、属于整式，不是分式，不符合题意； B、属于整式，不是分式，不符合题意； C、的分母是含字母的整式，符合分式定义，是分式，符合题意； D、属于整式，不是分式，不符合题意． 【变式1-1】（25-26八年级下·江苏淮安·期中）下列各式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的定义逐一判断选项，分式的定义：若，是整式，，且中含有字母，则是分式． 【详解】解：选项A．的分母是，不含字母，属于整式； 选项B．的分母是，不含字母，属于整式； 选项C．的分母是，含有字母，符合分式定义； 选项D．是整式，不是分式． 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在代数式中，属于分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】若，是整式，中含有字母且，则是分式，据此可得答案． 【详解】解：在代数式中，属于分式有，共2个． 【变式1-3】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）下列各式：①，②，③，④中，是分式的有（    ） A．①③ B．③④ C．①② D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查分式的定义，根据分式定义逐一判断即可，需注意是常数不是字母. 【详解】解：∵ ① 的分母是字母，符合分式定义； ②的分母是常数，不符合分式定义； ③的分母含字母，符合分式定义； ④中是常数，分母不含字母，不符合分式定义； ∴ 是分式的是①③. 分式无意义的条件 【例2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）若分式无意义，则__________． 【答案】2 【详解】解：根据分式无意义，则分母为0，可得， 解得． 【变式2-1】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 0 * 无意义 * … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式无意义的条件及分式的值为0的条件即可判断． 【详解】解：A、当时，分母，有意义，当时，分子，分母，无意义，故选项不符合题意； B、当时，分母，无意义，当时，分子，分母，的值为0，故选项符合题意； C、当时，分母，有意义，当时，分子，分母，的值不为0，故选项不符合题意； D、当时，分母，无意义，当时，分子，分母，的值不为0，故选项不符合题意； 【变式2-2】（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）根据下列表格中的部分信息，分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 无意义 ★ ★ 0 ★ … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格信息，得到时分式无意义，时分式值为0，结合选项即可判断． 【详解】解：由表格可知，当时，分式无意义， ∵分式无意义的条件是分母为0， ∴当时，分式的分母为0，因此分母含有因式，排除选项C和D； 又∵当时，， ∵分式值为0的条件是分子为0且分母不为0， ∴当时，分子为0，分母不为0，因此分子含有因式，符合条件的是． 【变式2-3】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（    ） … −2 −1 0 1 2 … … * 无意义 * 0 * … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式无意义的条件（分母为0时分式无意义）和分式值为0的条件（分子为0且分母不为0时分式值为0），结合表格信息判断选项即可． 【详解】根据表格信息可得两个条件： ① 当时，无意义，可知时，分式分母为； ② 当时，，可知时，分式分子为且分母不为； A：， 时，分母， 无意义，符合条件①； 时，分子，分母 ， ，符合条件②，故该选项符合题意； B：， 时，分母， 有意义，不符合条件①，不符合题意； C：， 时，分母 ， 有意义，不符合条件①，不符合题意； D：， 时，分母， 有意义，不符合条件①，不符合题意． 分式有意义的条件 【例3】（25-26八年级下·福建泉州·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴． 【变式3-1】（2026·江苏南京·一模）要使分式有意义，字母x须满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不为0，列不等式即可求解x的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不等于0， ∴， 解得． 【变式3-2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）当x满足____条件时，分式有意义． 【答案】 【分析】分式有意义的条件为分母不等于零，据此列不等式求解即可． 【详解】解：由分式有意义的条件得： ， 解得． 【变式3-3】（2026·江苏盐城·一模）若分式有意义，则x应满足的条件是______． 【答案】 【分析】分式有意义的条件是分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 分式值为0的条件 【例4】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式值为0时需同时满足分子为0、分母不为0，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， ∴． 【变式4-1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）下列分式的值可以为0的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式值为0的条件，根据分式值为0需满足分子为0且分母不为0，逐项分析各选项即可． 【详解】解：分式值为0的条件为：分子等于0，且分母不等于0， 选项，，的分子分别为，，，均恒不为， 这三个选项的分式的值不可能为， 对选项：令分子，解得， 当时，分母， 当时，该分式的值为，满足条件， 故选：． 【变式4-2】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）当______时，分式值为零． 【答案】 【详解】解：依题意， 由 解得或， 由解得， 综上所述，的值为． 【变式4-3】（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）若分式的值为0，则x的值为_________． 【答案】 【分析】根据分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．据此列出关于x的不等式和方程进行解答即可． 解题的关键在于理清分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零． 【详解】解：分式的值为0， ，， 解得，， ． 分式的求值 【例5】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若，则__________． 【答案】/ 【分析】将已知条件整体代入所求分式，约分后即可得到计算结果． 【详解】解：∵， ∴． 【变式5-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则分式的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将化为，根据计算即可． 【详解】解： ． 【变式5-2】（25-26九年级下·江苏淮安·期中）若，则的值为_________． 【答案】 【分析】根据题意可得，再把代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式5-3】（25-26八年级下·四川乐山·阶段检测）已知，则的值为_______． 【答案】 【分析】通过对已知等式变形得到的值，再利用完全平方公式变形所求分式，即可计算出结果. 【详解】解：，可知，， ∴， 整理，得， 方程两边同时除以得：， ∴， ∴， ∴. 约分 【例6】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了约分，判断分式变形是否正确等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 依据分式的基本性质，即分子分母同时除以它们的公因式，且分子为多项式时不能随意拆分，逐一分析选项即可． 【详解】解：分子无公因式， 不能直接约去中的， 故A错误； 当时，， 故B错误； 的分子分母公因式为，同时除以得， 故C正确； 的公因式为，约去后得， 故D错误， 故选：C． 【变式6-1】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的约分，正确约分是解题的关键．依据分式约分法则，即分子分母同时除以公因式，多项式先因式分解再判断，逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：∵选项A中，分子无法分解出因式，不能将分子的与分母的约分，∴A错误； ∵选项B中，，并非，∴B错误； ∵选项C中，分母，分子与分母的公因式为（），∴，C正确； ∵选项D中，分子与分母没有公因式，不能约分，∴D错误． 故选：C． 【变式6-2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）将下列分式化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）约去分子，分母的最大公因式即可； （2）先分解因式，然后约分计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； 【变式6-3】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）约分、通分 (1)； (2)和． 【答案】(1) (2)通分后分别为和 【详解】（1）解： （2）解：最简公分母为， 通分后分别为和 最简分式 【例7】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简分式是分子与分母没有公因式的分式． 【详解】解：∵选项A中，是整式，不是分式， 选项B中，的分子分母含有公因式，可约分为，不是最简分式， 选项C中，的分子和分母没有公因式，是最简分式． 选项D中，，原分式的分子分母含有公因式，不是最简分式． 【变式7-1】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·阶段检测）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义，即分子与分母没有公因式的分式，对每个选项进行分析，判断是否存在公因式即可得到答案． 【详解】解：A、对于，∵分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式； B、对于，∵分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式； C、对于，∵分母不能分解因式，分子与分母没有公因式，∴是最简分式； D、对于，∵，分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式． 综上，答案选C． 【变式7-2】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的分子和分母没有公因式，无法继续约分的分式，只需对各选项分子分母因式分解后，判断是否存在公因式即可． 【详解】解：A：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； B：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； C：的分子和分母没有公因式，不能约分，是最简分式； D：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式． 【变式7-3】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照规则分别确定系数的最小公倍数和各字母的最高次幂，相乘后即可得到结果． 【详解】解：① 取各分母系数的最小公倍数，两个分母系数均为，最小公倍数为； ② 取各分母中所有出现字母的最高次幂，出现的字母为 ，，，每个字母的最高次数都是， 将所得结果相乘，最简公分母为 ． 最简公分母 【例8】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）分式与的最简公分母是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和，和的最小公倍数为，的最高次为，的最高次为， ∴最简公分母为因式． 【变式8-1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）分式，的最简公分母是______． 【答案】 【分析】根据最简公分母的定义，分别确定系数部分与各字母因式的最高次幂，计算得到结果即可． 【详解】解：确定最简公分母时，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积作为公分母. 两个分式的分母分别为和，系数部分的最小公倍数为，的最高次幂为，的最高次幂为，因此最简公分母为 ． 【变式8-2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）分式与的最简公分母是__________． 【答案】 【分析】确定最简公分母的方法为，取各分母系数的最小公倍数，凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式，同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，据此求解即可． 【详解】解：分式与的分母分别是，，系数的最小公倍数是，的最高次幂是，单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的因式，因此最简公分母是． 分式加减法 【例9】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）计算的结果是______． 【答案】 【详解】解：． 【变式9-1】（2026·江苏南通·模拟预测）计算 的结果是（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】将异分母分式转化为同分母分式，再根据同分母分式加减法则计算 本题考查了分式的运算法则，能熟记分式的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵ ∴原式 = = 故选：A． 【变式9-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的加减， 通过因式分解分母，并通分，合并分式后化简即可． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式9-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式加减运算，熟练掌握分式加法和减法运算法则，是解题的关键． （1）根据异分母分式减法运算法则，进行计算即可； （2）根据异分母分式减法运算法则，进行计算即可； （3）根据异分母分式减法运算法则，进行计算即可； （4）根据异分母分式减法运算法则，进行计算即可． 【详解】1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 分式加减混合运算 【例10】（25-26八年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将分子分母能因式分解的进行因式分解，再通分计算即可； （2）先将分子分母能因式分解的进行因式分解，再通分计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则． 【变式10-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分式乘除混合运算 【例11】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算，解题思路为将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约去公因式，即可计算得到结果，用到分式乘除运算法则和因式分解的知识． 【详解】（1） 解： ． （2）解： ． 【变式11-1】（24-25八年级下·江苏徐州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先确定符合，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，接着约分，然后通分后进行同分母的减法运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式11-2】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先除法变乘法，再约分即可求出答案． （2）先因式分解，再约分化简即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 解分式方程 【例12】（2026·江苏宿迁·一模）解分式方程，则___． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，解得，再验根，即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ 方程两边同时乘以最简公分母，得， 解得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 【变式12-1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 原方程无解 【详解】（1）解：， 去分母，得， 解得； 检验：当时，； ∴方程的解为； （2）解：， 去分母，得， 解得； 检验：当时，， ∴原方程无解. 【变式12-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）（2）先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； 检验，当时，， 所以是原分式方程的解． （2）解：， ， ， ， ， ； 检验，当时，， 所以是增根，原分式方程无解． 分式方程的应用 【例13】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）2026年江苏省城市足球联赛开赛，盐城队吉祥物“鹿嘟嘟”与足球小包成为热门文创．已知每个“鹿嘟嘟”比足球小包贵10元，购买“鹿嘟嘟”花费690元，购买同样数量的足球小包花费590元．那么“鹿嘟嘟”和足球小包的单价各是多少元？ 【答案】“鹿嘟嘟”的单价为元，足球小包的单价为元 【分析】根据每个“鹿嘟嘟”比足球小包贵10元，设出未知数，由购买两种物品数量相等建立方程求解即可． 【详解】解：设“鹿嘟嘟”的单价为元，足球小包的单价为元，则 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， ， 答：“鹿嘟嘟”的单价为元，足球小包的单价为元． 【变式13-1】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）小勇和小鹏约定周末到扬州古运河畔，宋夹城体育公园打羽毛球．他们沿着运河边的步道出发，沿途可赏运河风光．小勇从家到体育公园的路程是1200米，小鹏从家到体育公园的路程是400米，已知小勇的速度是小鹏速度的2倍，若二人同时到达，则小勇需提前4分钟出发，求小勇和小鹏两人的速度． 【答案】小鹏的速度为50米/分钟，小勇的速度为100米/分钟 【分析】设小鹏的速度为米/分钟，则小勇的速度为米/分钟，利用“时间路程速度”的关系，根据两人的时间差为4分钟列方程求解即可． 【详解】解：设小鹏的速度为米/分钟，则小勇的速度为米/分钟,根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意 ， 此时， 答：小鹏的速度为50米/分钟，小勇的速度为100米/分钟． 【变式13-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进“春晚同款”的两种机器人进行销售．已知每台甲型机器人的进价比每台乙型机器人的进价贵万元，设每台乙型机器人的进价为万元，解答下列问题： (1)每台甲型机器人的进价为__________万元（用含的式子表示）； (2)若用万元购进甲型机器人的数量与用万元购进乙型机器人的数量相同．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ 【答案】(1) (2)每台甲型机器人的进价为万元，每台乙型机器人的进价为万元 【分析】（1）根据“甲型机器人的进价比每台乙型机器人的进价贵万元”，即可求解； （2）根据“万元购进甲型机器人的数量与用万元购进乙型机器人的数量相同”列方程即可求解． 【详解】（1）解：每台乙型机器人的进价为万元，每台甲型机器人的进价比每台乙型机器人的进价贵万元， 每台甲型机器人的进价为万元； （2）根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 答：每台甲型机器人的进价为万元，每台乙型机器人的进价为万元． 【变式13-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 【答案】(1)乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天 (2)能在12天内完成任务 【分析】（1）设乙生产线单独完成需要天，根据甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的，列出方程进行求解，再根据乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天，进行求解即可； （2）根据方案求出12天的工作量，进行判断即可． 【详解】（1）解：设乙生产线单独完成需要天，由题意，得： ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴乙生产线单独完成需要40天， ∵乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天， ∴丙生产线单独完成需要45天； 答：乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天； （2）解：； 故这样安排能在12天内完成任务． 1. 概念类 ❌ 分式值为0：只令分子为0，漏验分母≠0。 ❌ 判断分式：先约分再判断（应看原式分母是否含字母）。 ❌ 把π当字母（π是常数）。 2. 性质类 ❌ 分子分母同乘/除可能为0的整式。 ❌ 符号变形：只变一项符号（应变两项才不变号）。 ❌ 约分：多项式不先因式分解，直接约去部分项。 ❌ 通分：找错最简公分母（未先分解分母）。 3. 运算类 ❌ 乘除：除法未转化为乘法就计算。 ❌ 加减：异分母直接分子相加减，未通分。 ❌ 混合运算：顺序混乱（先加减后乘除）。 ❌ 符号错误：分子为多项式时，去分母不加括号导致符号错乱。 ❌ 化简题去分母（化简只能通分，不能去分母）。 4. 分式方程类 ❌ 去分母：不含分母的常数项漏乘公分母。 ❌ 解完不验根（中考硬性得分点）。 ❌ 增根与无解混淆：无解包含“整式方程无解”和“全是增根”两种情况。 ❌ 含参问题：求出参数后，未排除使分母为0的值。 5. 应用题类 ❌ 只检验方程，不检验实际意义（如人数、时间为正）。 ❌ 单位不统一、等量关系列错。 分式的值为整数时未知数的整数值 【例14】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）当正整数________时，分式的值也为整数． 【答案】1 【分析】本题考查分式的值为整数的参数求解，核心方法为分离常数法，将分式拆分为整式和分子为常数的最简分式，解题的关键是利用”除数为被除数的约数”确定参数的可能取值，再结合参数的取值范围筛选出符合题意的解．先对分式进行恒等变形，化为整式与最简分式的和，根据分式的值为整数，得到是2的正约数，结合为正整数的条件求解． 【详解】解：对分式变形： 分式的值为整数，为正整数， 为整数，即是2的正约数． 2的正约数为1,2， 当时，解得, 符合正整数题意： 当时，解得, 不是正整数，舍去． 故答案为：1． 【变式14-1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知分式的值为整数，则所有满足条件的整数的值为___________． 【答案】 【分析】先对分式进行化简，再结合整数的条件分别求解即可． 【详解】解：分式， ∵该分式的值为整数，且为整数， ∴为整数， ∴当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 当时，，分式的值为是整数， 综上，所有满足条件的整数的值为． 【变式14-2】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知分式的值为整数，若是非负整数，则的值是_____． 【答案】或 【分析】先利用完全平方公式对已知分式进行变形，然后结合分式的值为整数和是非负整数，求得的取值． 【详解】解： 分式的值为整数， 或， 或， 是非负整数， 或． 【变式14-3】（2026八年级下·江苏·专题练习）当整数x取何值时，分式的值是整数？ 【答案】当整数x取，0，2，3，5，6，8，12时，分式的值是整数 【分析】本题考查的是分式的值，把分式化为，再进一步求解即可． 【详解】解：， ∴能整除8的，又使分母不为0的可以为，，，， ∴或或或， ∴当整数x取，0，2，3，5，6，8，12时，分式的值是整数． 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例15】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．扩大6倍 D．不变 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，将扩大3倍后的x,y代入原式，化简后与原分式比较即可得到结果. 【详解】解：∵把和都扩大3倍后，得到新分式为， ∴新分式与原分式相等，分式的值不变. 【变式15-1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如果把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的倍 【答案】A 【分析】把原分式中的x、y分别用替换，求出新分式的结果即可得到答案． 【详解】解：把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍后得到的分式为， ∴新分式的值是原分式的值的2倍，即分式的值扩大到原来的2倍． 【变式15-2】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如果分式中的的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的值（    ） A．保持不变 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的 【答案】C 【分析】将x，y同时扩大3倍后代入原分式化简，再和原分式比较即可得到结果． 【详解】解：将和分别替换原分式中的和， ∵ ∴新分式的值是原分式的倍，即分式的值扩大到原来的倍． 【变式15-3】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）若分式中的和都扩大为原来的倍后，分式的值不变，则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将和都扩大为原来的倍，先确定分母的变化情况，再结合分式值不变的条件，推导得到需要满足的要求，再判断选项即可． 【详解】解：和都扩大为原来的倍， 分母变为，即分母扩大为原来的倍， 分式的值不变， 新的分子应扩大为原来的倍， A、若，新分子为，符合要求； B、若，新分子为，不符合要求； C、若，新分子为，不符合要求； D、若，新分子为，不符合要求． 含分式乘方的乘除混合运算 【例16】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘方、乘除运算知识点，掌握分式的乘方运算法则以及分式的乘除运算法则是解题的关键． 本题根据分式的乘方运算法则和分式的乘除运算法则，对原式逐步进行乘方、转化和约分计算，得到最终的化简结果，即可解决分式的乘方与乘除混合运算问题． 【详解】解：原式 故选：A． 【变式16-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：______． 【答案】 【分析】按照分式的乘方、乘除运算法则逐步化简，即可解答． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的乘方与乘除混合运算，熟练掌握分式乘方、除法变乘法、约分的法则是解题的关键． 【变式16-2】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行乘方运算，再进行乘除运算即可解答； （2）先将括号内的分式通分，再进行减法运算，最后进行乘除运算即可解答． 【详解】（1）解： （2）解： ． 分式的加减乘除混合运算 【例17】（25-26八年级下·江苏常州·阶段检测）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式17-1】（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分式的乘方进行计算，同时将除法转化为乘法进行计算，即可求解； （2）先计算括号内，同时将除法转化为乘法，再约分，即可求解； （3）先计算括号内，同时将除法转化为乘法，再约分，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 1. 分式变形技巧 · 因式分解优先：乘除、约分时，先分解（提公因式、平方差、完全平方）。 · 符号统一法：把负号移到分式前，分子分母首项为正，减少符号错误。 · 系数化整：分子分母同乘所有分母的最小公倍数，把小数/分数系数化为整数。 2. 运算速算技巧 · 先约分后计算：乘除中先交叉约分，再相乘，简化计算。 · 分步通分：异分母加减，先找最简公分母，再逐个通分，避免一次性通分出错。 · 混合运算 “四步走”： 乘方——除法变乘法——约分——加减。 3. 求值常用技巧 · 整体代入法：不单独求字母，把已知条件整体代入。 · 倒数法：遇型，先求倒数，再计算。 · 设k法（比例法）:设 · 分离常数法：假分式化为 “整式+真分式”，便于求值或判断整数解。 4. 分式方程解题技巧 · 验根口诀：去分母→解整式→代回公分母→不为0则有效。 · 增根求参数： 令最简公分母=0，得增根； 代入整式方程求参数。 · 无解求参数：分两类讨论： 1 整式方程无解（系数为0，常数不为0）； ② 整式方程的解是增根。 5. 应用题建模技巧 · 工程问题：设总工作量为1，甲效率，乙效率，合作效率。 · 行程问题：抓住“时间差”列方程（如快车比慢车少用t小时）。 分式的化简求值 【例18】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式18-1】（2026·江苏连云港·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式= = = 把代入，得原式=． 【变式18-2】（2026·江苏宿迁·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【详解】解：， ， ， ， ， ， 当时，原式． 【变式18-3】（25-26八年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 根据分式方程解的情况求参数 【例19】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式，分式方程的解，将原方程去分母后化为整式方程并整理，然后根据题意列出关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∵关于x的分式方程的解是非负数， ∴且， ∴且， 解得：且． 【变式19-1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】先通过去分母将分式方程化为整式方程，求出用表示的解；再根据解为正数和分母不为零（分式方程有意义）两个条件，列不等式求解的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 方程的解是正数， , 解得, 分式方程分母不为， 即 解得， ∴实数的取值范围是且． 【变式19-2】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）若关于x的方程有增根，则a的值是______． 【答案】4 【分析】先将分式方程化为整式方程，根据增根的定义得到增根的值，再代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解：将方程两边同乘以得：， ∵分式方程有增根． ∴最简公分母， 解得， 将代入得：． 【变式19-3】（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．－3 B．－3或－5 C．1或－3 D．1或－5 【答案】B 【分析】本题考查分式方程无解的问题，先将分式方程化为整式方程，分式方程无解分为两种情况，一是所得整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分情况讨论求解即可. 【详解】解：给分式方程两边同乘最简公分母 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： ∵原分式方程无解 ∴分两种情况讨论： ①当时，即，此时整式方程变为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合要求； ②当时，即，整式方程的解为 ∵原分式方程无解， ∴为增根，原分式方程的增根为或 当时，，解得，符合要求； 当时，，整理得，等式不成立，无解. 综上，的值为或. 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 分式 分式的概念 1.分式定义：形如（A,B 为整式，B含字母且B≠0）。 2.分式有意义：分母≠0。 3.分式无意义：分母=0。 4.分式值为0：分子=0且分母≠0（双条件）。 5.分式的值：代入求值、根据条件求字母范围。 分式的基本性质 1.基本性质： (C≠0)。 2.符号法则：分子、分母、分式本身，变两个，值不变。 3.约分：先因式分解，再约去公因式，化为最简分式。 4.通分：找最简公分母（各分母因式最高次幂的积）。 分式的运算 1.乘法：。 2.除法：（转化为乘法）。 3.乘方：（n正整数）。 4.同分母加减：。 5.异分母加减：先通分，再加减。 6.混合运算：先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内。 7.整数指数幂：a−p=1/ap (a≠0)；a0=1 (a≠0)。 分式方程 1.定义：分母含未知数的方程。 2.解法：去分母→化为整式方程→解整式方程→检验（必写步骤）。 3.增根：使最简公分母为0的根，不是原方程的解。 4.无解：①整式方程无解；②整式方程的解全是增根。 5.含参分式方程：已知解的范围、增根、无解求参数。 分式的应用 1.步骤：审→设→列→解→双检验（方程+实际意义）→答。 2.常见模型： · 工程问题：总量为1，效率 时间。 · 行程问题：路程=速度×时间。 · 销售问题：单价=总价/数量。 分式的判断 【例1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列代数式是分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级下·江苏淮安·期中）下列各式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在代数式中，属于分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）下列各式：①，②，③，④中，是分式的有（    ） A．①③ B．③④ C．①② D．①③④ 分式无意义的条件 【例2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）若分式无意义，则__________． 【变式2-1】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 0 * 无意义 * … A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）根据下列表格中的部分信息，分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 无意义 ★ ★ 0 ★ … A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（    ） … −2 −1 0 1 2 … … * 无意义 * 0 * … A． B． C． D． 分式有意义的条件 【例3】（25-26八年级下·福建泉州·期中）若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·江苏南京·一模）要使分式有意义，字母x须满足（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）当x满足____条件时，分式有意义． 【变式3-3】（2026·江苏盐城·一模）若分式有意义，则x应满足的条件是______． 分式值为0的条件 【例4】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）下列分式的值可以为0的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）当______时，分式值为零． 【变式4-3】（25-26八年级上·宁夏吴忠·期中）若分式的值为0，则x的值为_________． 分式的求值 【例5】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若，则__________． 【变式5-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）若，则分式的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级下·江苏淮安·期中）若，则的值为_________． 【变式5-3】（25-26八年级下·四川乐山·阶段检测）已知，则的值为_______． 约分 【例6】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）将下列分式化简 (1) (2) 【变式6-3】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）约分、通分 (1)； (2)和． 最简分式 【例7】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·阶段检测）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 最简公分母 【例8】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）分式与的最简公分母是（） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）分式，的最简公分母是______． 【变式8-2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）分式与的最简公分母是__________． 分式加减法 【例9】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）计算的结果是______． 【变式9-1】（2026·江苏南通·模拟预测）计算 的结果是（    ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【变式9-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 分式加减混合运算 【例10】（25-26八年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 【变式10-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 分式乘除混合运算 【例11】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【变式11-1】（24-25八年级下·江苏徐州·期末）计算： (1)； (2)． 【变式11-2】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 解分式方程 【例12】（2026·江苏宿迁·一模）解分式方程，则___． 【变式12-1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）解方程 (1) (2) 【变式12-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）解下列方程： (1)； (2)． 分式方程的应用 【例13】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）2026年江苏省城市足球联赛开赛，盐城队吉祥物“鹿嘟嘟”与足球小包成为热门文创．已知每个“鹿嘟嘟”比足球小包贵10元，购买“鹿嘟嘟”花费690元，购买同样数量的足球小包花费590元．那么“鹿嘟嘟”和足球小包的单价各是多少元？ 【变式13-1】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）小勇和小鹏约定周末到扬州古运河畔，宋夹城体育公园打羽毛球．他们沿着运河边的步道出发，沿途可赏运河风光．小勇从家到体育公园的路程是1200米，小鹏从家到体育公园的路程是400米，已知小勇的速度是小鹏速度的2倍，若二人同时到达，则小勇需提前4分钟出发，求小勇和小鹏两人的速度． 【变式13-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进“春晚同款”的两种机器人进行销售．已知每台甲型机器人的进价比每台乙型机器人的进价贵万元，设每台乙型机器人的进价为万元，解答下列问题： (1)每台甲型机器人的进价为__________万元（用含的式子表示）； (2)若用万元购进甲型机器人的数量与用万元购进乙型机器人的数量相同．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ 【变式13-3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 1. 概念类 ❌ 分式值为0：只令分子为0，漏验分母≠0。 ❌ 判断分式：先约分再判断（应看原式分母是否含字母）。 ❌ 把π当字母（π是常数）。 2. 性质类 ❌ 分子分母同乘/除可能为0的整式。 ❌ 符号变形：只变一项符号（应变两项才不变号）。 ❌ 约分：多项式不先因式分解，直接约去部分项。 ❌ 通分：找错最简公分母（未先分解分母）。 3. 运算类 ❌ 乘除：除法未转化为乘法就计算。 ❌ 加减：异分母直接分子相加减，未通分。 ❌ 混合运算：顺序混乱（先加减后乘除）。 ❌ 符号错误：分子为多项式时，去分母不加括号导致符号错乱。 ❌ 化简题去分母（化简只能通分，不能去分母）。 4. 分式方程类 ❌ 去分母：不含分母的常数项漏乘公分母。 ❌ 解完不验根（中考硬性得分点）。 ❌ 增根与无解混淆：无解包含“整式方程无解”和“全是增根”两种情况。 ❌ 含参问题：求出参数后，未排除使分母为0的值。 5. 应用题类 ❌ 只检验方程，不检验实际意义（如人数、时间为正）。 ❌ 单位不统一、等量关系列错。 分式的值为整数时未知数的整数值 【例14】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）当正整数________时，分式的值也为整数． 【变式14-1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知分式的值为整数，则所有满足条件的整数的值为___________． 【变式14-2】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知分式的值为整数，若是非负整数，则的值是_____． 【变式14-3】（2026八年级下·江苏·专题练习）当整数x取何值时，分式的值是整数？ 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例15】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．扩大6倍 D．不变 【变式15-1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如果把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的倍 【变式15-2】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如果分式中的的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的值（    ） A．保持不变 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的 【变式15-3】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）若分式中的和都扩大为原来的倍后，分式的值不变，则可能是（   ） A． B． C． D． 含分式乘方的乘除混合运算 【例16】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：______． 【变式16-2】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 分式的加减乘除混合运算 【例17】（25-26八年级下·江苏常州·阶段检测）化简： (1) (2) 【变式17-1】（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． 1. 分式变形技巧 · 因式分解优先：乘除、约分时，先分解（提公因式、平方差、完全平方）。 · 符号统一法：把负号移到分式前，分子分母首项为正，减少符号错误。 · 系数化整：分子分母同乘所有分母的最小公倍数，把小数/分数系数化为整数。 2. 运算速算技巧 · 先约分后计算：乘除中先交叉约分，再相乘，简化计算。 · 分步通分：异分母加减，先找最简公分母，再逐个通分，避免一次性通分出错。 · 混合运算 “四步走”： 乘方——除法变乘法——约分——加减。 3. 求值常用技巧 · 整体代入法：不单独求字母，把已知条件整体代入。 · 倒数法：遇型，先求倒数，再计算。 · 设k法（比例法）:设 · 分离常数法：假分式化为 “整式+真分式”，便于求值或判断整数解。 4. 分式方程解题技巧 · 验根口诀：去分母→解整式→代回公分母→不为0则有效。 · 增根求参数： 令最简公分母=0，得增根； 代入整式方程求参数。 · 无解求参数：分两类讨论： 1 整式方程无解（系数为0，常数不为0）； ② 整式方程的解是增根。 5. 应用题建模技巧 · 工程问题：设总工作量为1，甲效率，乙效率，合作效率。 · 行程问题：抓住“时间差”列方程（如快车比慢车少用t小时）。 分式的化简求值 【例18】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式18-1】（2026·江苏连云港·三模）先化简，再求值：，其中． 【变式18-2】（2026·江苏宿迁·一模）先化简，再求值：，其中． 【变式18-3】（25-26八年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值：，其中． 根据分式方程解的情况求参数 【例19】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式19-1】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是_____． 【变式19-2】（25-26八年级下·江苏泰州·期中）若关于x的方程有增根，则a的值是______． 【变式19-3】（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．－3 B．－3或－5 C．1或－3 D．1或－5 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $