（复习篇）专题02 解方程与列方程解应用题（8个高频考点梳理+题型讲练 共48题）-2025年苏科版数学小升初暑假衔接精编培优复习讲义（六升七年级）

专题02 解方程与列方程解应用题 （8个高频考点梳理+题型讲练 共48题）考点目录 考点01：解含括号的方程 2 考点02：解小数、分数、百分数的方程 4 考点03：列方程解含有一个未知数的问题 6 考点04：列方程解和差倍问题 8 考点05：列方程解稍复杂的行程问题 10 考点06：列方程解含有两个未知数的问题 13 考点07：列方程解稍复杂的实际问题 15 考点07：列方程解稍复杂的实际问题 17 学习目标 理解应用题与方程的关系： 学生应明白应用题中的等量关系可以通过列方程来表示。 能根据两个未知量之间的关系，列方程解答求含有两个未知数的应用题。 掌握列方程解应用题的方法： 学生应学会根据应用题的具体情况灵活选择解题方法，如直接列方程、设未知数等。 明白列方程解应用题的关键是找出数量之间的相等关系，能根据题意正确地列出方程解答。 培养实际应用能力和检验习惯： 学生应能将实际问题抽象为数学问题，并通过方程解决问题，增强应用数学的意识。 学会用检验答案是否符合已知条件的方法，提高学生求解验证的能力。 发展数学素养和思维： 在列方程解应用题的过程中，学生的数学素养将得到发展，包括分析问题、解决问题的能力。 通过合作探索、自主探究等方式，培养学生的合作精神和探究精神。 衔接指引 小升初数学解方程和列方程解应用题与初中数学在内容上存在明显的区别与联系 区别： 复杂程度： 小学方程：主要涉及一元一次方程，形式较为简单，如基础的加、减、乘、除运算。 初中方程：方程类型增多，如一元二次方程、二元一次方程组等，运算和逻辑复杂度明显提升。 解题方法： 小学方程：主要运用等式的基本性质，通过简单的移项、合并同类项等步骤求解。 初中方程：除了基本性质外，还需掌握配方法、公式法、因式分解法等更为复杂的解法，同时对方程解的合理性进行判断。 逻辑思维： 小学方程：主要侧重于方程的基本概念和简单应用，对学生的逻辑思维要求相对较低。 初中方程：对学生的逻辑思维提出更高要求，需要理解方程的深层次含义，能够抽象概括问题并转化为数学模型。 联系： 知识基础：小学方程是初中方程的基础，学生在小学阶段掌握的方程知识和技能为初中学习打下坚实基础。 方法过渡：小学方程中的解题方法在初中阶段仍有应用，但需要根据具体问题进行适当调整和拓展。 思维发展：从小学到初中，学生的抽象思维能力和逻辑推理能力逐渐增强，这种发展在方程学习中表现得尤为明显。 应用场景：无论是小学还是初中，方程都是解决实际问题的重要工具。通过列方程解应用题，学生可以更好地理解和应用数学知识，提高数学素养。 考点讲练 考点01：解含括号的方程知识精讲 解含括号的方程的步骤 去括号：首先，根据括号内的运算规则，计算出括号内的结果。如果括号内有加减运算，直接进行；如果有乘除运算，先执行乘除后执行加减。 移项：将含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边。这有助于我们简化方程，更容易找到未知数的解。 合并同类项：如果方程中存在同类项，即未知数前的系数相同的项，需要将它们合并成一个项。 在这个例子中，因为已经移项并去括号，所以没有需要合并的同类项。但在其他情况下，如 2x + 3x = 10，我们会合并得到 5x = 10。 求解未知数： 最后，将方程两边同时除以未知数的系数，得到未知数的解。 例如，在方程 3x - 2y = 18 中，由于这是一个包含两个未知数的方程，我们需要另一个方程来求解y或x。但如果只有一个未知数，如 x = (18 + 2y) / 3，我们可以直接求解x的值。 题型讲练 【典例精讲】解下列方程（比例）。 19.6＋4＝22                    【变式1】解方程。 （1）            （2） 【变式2】定义符号“☆”的意义是：a☆b＝（a＋1）×b，如果（x☆2）☆3＝27，那么x的值等于 。 【变式3】求未知数。 ①（x－5）÷4＝16      ②11x－5.4＝16.6     ③12∶x＝7∶ 【变式4】解方程或比例。 （3－4）×5＝4            ∶＝∶ 【变式5】解方程。 （1） （2） 考点02：解小数、分数、百分数的方程 题型讲练 【典例精讲】解方程或比例。                【训练1】解方程或者解比例。 25∶x＝0.5∶7        x∶           0.5x－4×0.25＝1.25 【训练2】用一根绳子绕树1周还剩余米，若用绳子的一半绕这棵树1周还剩余米，这棵树的周长是（    ）米。 A． B． C． D． 【训练3】解方程。 1.6x＋3.6＝10               【训练4】解方程。 ＝40%            1.2＋1.8＝ （9－5）×＝10         ∶0.25＝ 【训练5】解方程。                    考点03：列方程解含有一个未知数的问题知识精讲 理解应用题 应用题是数学中一种常见的问题类型，它通常描述了一个实际情境，并给出了与这个情境相关的数学信息。学生需要理解这个情境，并识别出其中的数学关系。 确定未知数 在应用题中，通常有一个或多个未知数。对于含有一个未知数的应用题，学生需要明确这个未知数代表什么。例如，在购物问题中，未知数可能代表商品的单价或数量；在行程问题中，未知数可能代表速度、时间或距离。 建立方程 建立方程是解应用题的关键步骤。学生需要根据题目中的信息，利用数学关系式（如加法、减法、乘法、除法等）来建立方程。这个方程应该包含已知的数值和未知的未知数。 算。题型讲练 【典例精讲】某次知识竞赛共5道题，全班52人，答对一题得1分。已知全班共得181分。已知每人至少得1分，且得1分的有7人，得2分和得3分的人一样多，得5分的人有6人，则得4分的有（    ）人。 A．25 B．30 C．31 D．35 【训练1】在繁忙的都市生活中，养植物已成为一种流行的放松压力的方式。而多肉植物在近年来也已成为了都市居民们最常选择的植物品种之一。绿植花草店有一批多肉，第一次卖出总数的，第二次卖出总数的，这时花店里还剩56盆，花店里原来共有多少盆多肉？（列方程解答） 【训练2】王阿姨自主创业开了一家服装店，因为进货时没有进行市场调查，在换季时积压了一批服装，为了缓解压力，王阿姨决定打折促销。若每件服装按标价的五折出售将亏20元，而按标价的八折出售将赚40元，每件衣服的标价是多少元？要保证不亏，最多能打几折？ 【训练3】一艘货轮要把货物从下游的A地运往上游的B地，同时从B地有一条无动力漂流观景船同时出发，随江水漂向A地。货轮行驶64千米后遇到观景船，共用了8小时到达B地。一周后，货轮和观景船仍然分别从A地和B地同时出发，但此时水速已经是上一周的两倍，于是货轮将静水速度也提高了一半，结果货轮行驶了千米后遇到观景船。求AB两地之间的路程，并求出货轮原先的静水速度？ 【训练4】张先生向商店订购了每件定价为100元的某种商品80件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件。”商店经理算了下，若减价5%，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元，这种商品的成本是多少元？ 【训练5】某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元。 （1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？ （2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率为25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价应该是多少元？ 考点04：列方程解和差倍问题 知识精讲 理解和差倍问题 和差倍问题是一类常见的应用题，它涉及到两个或多个数量之间的和、差、倍数关系。这类问题通常描述了两个或多个数量之间的某种关系，并给出了其中一个或多个数量的具体值，要求求出其他数量的值。 列方程解和差倍问题的步骤 理解题意： 首先，需要仔细阅读题目，理解题目中描述的实际情境和数量之间的关系。明确题目中给出的已知数量和需要求解的未知数量。 设定未知数： 根据题目中的描述，设定一个或多个未知数来表示需要求解的数量。通常，未知数用字母（如x、y等）来表示。 建立方程： 根据题目中给出的数量关系和已知数量，利用数学表达式（如加法、减法、乘法等）来建立方程。这个方程应该包含已知的数值和设定的未知数。 例如，在典型的和差倍问题中，如果题目说“甲数是乙数的3倍，甲数和乙数的和是16”，那么可以设乙数为x，则甲数为3x。根据题目中的“甲数和乙数的和是16”，可以建立方程：x + 3x = 16。 题型讲练 【典例精讲】小百灵合唱团中女生人数是男生的1.2倍，比男生多15人。合唱团中男女生各有多少人？（列方程解答） 【训练1】育新小学一共有108人参加科技小组，其中男生人数是女生人数的1.4倍。参加科技小组的男、女生各有多少人？（列方程解答） 【训练2】在社区环保活动中，小王比小李多收集了15公斤可回收物，小王收集的数量是小李的1.2倍，小王收集了多少公斤可回收物？（先写等量关系式再解答。） 等量关系式：______________________ 列方程解答： 【训练3】学校围棋组和书法组共100人，其中围棋组的人数是书法组的1.5倍，围棋组和书法组各有多少人？（用方程解答） 【训练4】一个圆柱与一个圆锥等底等高。已知它们的体积和是12立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。 【训练5】2023年5月28日，我国首架具有自主知识产权的干线客机圆满完成载客首飞。一架客机的机身总长38.9米，比机高的4倍少8.9米，一架客机机高多少米？（列方程解答） 考点05：列方程解稍复杂的行程问题知识精讲 一、理解行程问题 行程问题通常涉及到两个或多个物体（如人、车、船等）在一段时间内沿一定方向移动的情况。这些物体可能同向而行、相向而行或背向而行。在行程问题中，我们需要关注速度、时间和距离这三个基本量，并理解它们之间的关系。 二、速度、时间和距离的关系 在行程问题中，速度、时间和距离之间的关系可以用以下公式表示： 距离 = 速度 × 时间 这个公式是解决行程问题的关键。它告诉我们，只要知道速度和时间中的两个量，就可以求出第三个量。 三、列方程解稍复杂的行程问题 对于稍复杂的行程问题，我们通常需要列方程来求解。以下是一些常见的稍复杂的行程问题及其解决方法： 相遇问题：两个物体从两个不同地点出发，沿同一条路线相向而行，在某个地点相遇。我们需要找出它们相遇的时间或地点。 解决方法：设两个物体的速度分别为v1和v2，相遇时间为t，两地之间的距离为d。根据速度、时间和距离的关系，我们可以列出方程： d = v1 × t + v2 × t 解这个方程，我们就可以找出相遇时间t。 追及问题：一个物体比另一个物体先出发，沿同一条路线同向而行，后面的物体要追上前面的物体。我们需要找出追及的时间或地点。 解决方法：设先出发的物体的速度为v1，后出发的物体的速度为v2，追及时间为t，先出发的物体先走的路程为s。根据速度、时间和距离的关系，我们可以列出方程： s + v1 × t = v2 × t 解这个方程，我们就可以找出追及时间t。 环形跑道问题：两个物体在环形跑道上同向或相向而行，我们需要找出它们相遇的次数或时间。 解决方法：设环形跑道的长度为L，两个物体的速度分别为v1和v2，相遇时间为t。根据速度、时间和距离的关系，我们可以列出方程： 对于同向而行的情况： v2 × t - v1 × t = n × L（n为相遇的次数） 对于相向而行的情况： v1 × t + v2 × t = L 解这些方程，我们就可以找出相遇的时间t或次数n。 题型讲练 【典例精讲】某学生步行速度15千米/时，骑自行车速度是步行的3倍。从家到学校上学一半路程步行，一半路程骑自行车，放学回家一半时间步行，一半时间骑自行车，结果放学回家比上学少用10分钟，求这个学生家到学校的路程。 【训练1】《九章算术》是我国古代一部伟大的数学名著，其中描述了这样一道题：一个人用车装米，从甲地运往乙地，装米的车日行25千米，不装米的空车日行35千米，5日往返三次。两地相距 千米。 【训练2】2022年的某一天，光明学校的两位老师杨老师和刘老师进行体能训练。跑道为一个椭圆形状，他们同时从同地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈。跑第一圈时，刘老师的速度是杨老师的三分之二，杨老师跑第二圈时速度比第一圈提高了三分之一，刘老师跑第二圈时速度提高了五分之一，已知杨老师、刘老师第二次相遇点距第一次190米，那么你知道这条椭圆形跑道长多少米吗？ 【训练3】如图，甲、乙两人沿着边长为90米的正方形，按A→B→C→D→A…方向，甲从A以65米/分的速度，乙从B以72米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时在正方形的（    ）。 A．AB边上 B．DA边上 C．BC边上 D．CD边上 【训练4】一列火车以20米每秒的速度通过一座大桥，火车从上桥到完全通过用了1分钟时间，火车完全在桥上的时间是40秒钟，请问大桥长多少米？ 【训练5】甲、乙两地相距120千米，一辆大客车从甲地出发前往乙地，开始时每小时行50千米，中途减速为每小时行40千米，大客车出发l小时后，一辆小轿车也从甲地出发前往乙地，每小时行80千米，结果两辆车同时到达乙地，问大客车从甲地出发多少时间后才降低速度？ 考点06：列方程解含有两个未知数的问题知识精讲 一、理解含有两个未知数的问题 含有两个未知数的问题，通常是指在题目中涉及到两个需要求解的量，这两个量之间的关系可以通过一个或多个方程来表示。这类问题在日常生活和数学学习中都非常常见，如购物问题、分配问题、年龄问题等。 二、设立未知数 在解决含有两个未知数的问题时，首先需要设立两个未知数来表示题目中的两个需要求解的量。这两个未知数通常用字母来表示，如x和y。设立未知数的目的是将题目中的文字信息转化为数学表达式，便于建立方程。 三、建立方程 建立方程是解决含有两个未知数问题的关键步骤。根据题目中的条件，可以设立一个或多个方程来表示两个未知数之间的关系。这些方程通常是由等式组成的，等式两边表示的是两个相等的数学表达式。在建立方程时，需要注意以下几点： 准确理解题目中的条件，确保方程能够正确反映两个未知数之间的关系。 合理利用题目中的已知信息，将已知信息转化为数学表达式，并代入方程中。 注意方程中的运算符号和运算顺序，确保方程的正确性。 四、注意事项 在解决含有两个未知数的问题时，需要注意以下几点： 准确理解题目中的条件，确保设立的未知数和建立的方程能够正确反映题目中的实际情况。 在解方程时，要仔细审题，选择合适的解方程方法，并注意解方程的步骤和过程。 在求解完成后，要验证解的正确性，确保解符合题目中的条件。 题型讲练 【典例精讲】某停车场实施分段计费：不超过10个小时的部分每小时5元；超过10的小时不超过24小时的部分每小时4元；超过24小时的部分每小时3元（按整数小时计时收费，不足1小时的部分按1时间计算）。李老师两次在停车场停车共计40小时，停车费共交了176元。求两次停车各多长时间？ 【训练1】小江家刚好在学校和妈妈单位的正中间。一天早上，小江和妈妈一起从家出发，小江向东去学校，妈妈向西去单位上班，妈妈的速度是小江的2.5倍。出发10分钟后妈妈距单位还有500米，此时发现小江的眼镜在包里，妈妈立即掉头加速20%去追小江，在离学校250米处追上小江后，又以原速度返回单位上班，当小江到学校时，妈妈离单位还有多远？ 【训练2】某服装厂加工车间有54名工人。每个工人每天可以加工8件上衣或10条裤子。如何分配这些工人，才能使每天生产的上衣和裤子能够完美地配套？ 【训练3】甲、乙仓库堆放货物的质量比为3∶7，甲仓库运进9吨，乙仓库运出4吨后，甲乙堆放的货物质量比为3∶5，甲乙两仓库原来各有多少吨？ 【训练4】有一块菜地和一块麦地，菜地的一半和麦地的放在一起是13公顷，麦地的一半和菜地的放在一起12公顷，那么菜地是( )公顷。 【训练5】在秋季田径运动会60米赛跑中，当甲运动员冲过终点时，领先乙10米，领先丙20米，领先丁30米。如果乙、丙和丁都按原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时将领先丙多少米？当丙到达终点时将领先了丁多少米？ 考点07：列方程解稍复杂的实际问题题型讲练 【典例精讲】某市两超市在元旦期间分别推出如下促销方式： 甲超市：全场均按八八折优惠； 乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元优惠10%，超过500元的部分打八折；已知两家超市相同商品的标价都一样。 （1）当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？ （2）某顾客在乙超市购物实付款482元，试问该顾客的选择划算吗？请说明理由。 【训练1】万达商场某饮料店有一桶奶茶，上午售出其中的25%，下午售出20升，晚上售出剩下的10%，最后剩下的奶茶再减3升刚好半桶，问这桶奶茶共有多少升？ 【训练2】红红和明明是邻居，两人一起去图书馆借书，在楼下见面后，同时以每小时4千米的速度行走。走了1.5千米时，明明发现自己的借书卡忘记带了，红红继续以原速度前往图书馆，明明则以每小时6千米的速度跑回家中拿借书卡，在家里拿到后以同样的速度跑步追赶红红（拿借书卡的时间忽略不计），最终在距离图书馆1千米的地方追上了红红。求他们家到图书馆的距离。 【训练3】这群顽皮的小猴一共有（    ）只。 A．10 B．9 C．8 D．7 【训练4】2000多年前，古希腊国王让人做了一顶纯金的皇冠，但他怀疑皇冠被掺了铜，所以请数学家阿基米德来帮忙。阿基米德用“排水法”来鉴别皇冠的真伪：金子的密度约为19克/立方厘米，铜的密度约为9克/立方厘米，在质量相同的情况下金子的体积比较小；如果掺了铜后，密度减小，体积增大，排出的水就多了。阿基米德做了如下的实验：第一步，称出这顶皇冠的质量是950克；第二步，把这顶皇冠浸没在装满水的容器中，测量出排出的水有70毫升。（提示：密度＝质量÷体积） （1）这顶皇冠是否被掺了铜？请计算说明理由。 （2）如果有掺铜，请你算出皇冠被掺了多少克铜？ 【训练5】两堆煤，甲堆煤的重量占总重量的，如果从甲堆煤里取出26吨，从乙堆煤里取出10吨，两堆煤剩下重量的比是1∶1，求甲乙两堆煤共有多少吨？ 考点07：列方程解稍复杂的实际问题知识精讲 一、理解鸡兔同笼问题 鸡兔同笼问题是一个典型的假设法问题，它涉及到两个未知数：鸡的数量和兔子的数量。在这个问题中，我们知道每只鸡有2只脚，每只兔子有4只脚，同时我们还知道总的头数和脚数。我们需要通过列方程来求解这两个未知数。 二、设立未知数 在解决鸡兔同笼问题时，我们通常会设立两个未知数，分别表示鸡的数量和兔子的数量。这两个未知数通常用字母来表示，例如设鸡的数量为x，兔子的数量为y。 三、建立方程 根据题目中的条件，我们可以建立两个方程来表示鸡和兔子的数量与头数和脚数之间的关系。第一个方程通常表示头数的总和，即鸡和兔子的数量之和等于总头数；第二个方程表示脚数的总和，即鸡的脚数（每只鸡2只脚）和兔子的脚数（每只兔子4只脚）之和等于总脚数。 具体来说，如果总头数为H，总脚数为F，我们可以建立以下方程组： x + y = H （鸡和兔子的数量之和等于总头数） 2x + 4y = F （鸡的脚数和兔子的脚数之和等于总脚数） 题型讲练 【典例精讲】沈艳爱好集邮，她用35.2元买了8角和2元的邮票共32枚。她买了多少枚2元的邮票？ 【训练1】某超市需要购进甲、乙两种商品共160件。其进价和售价如下表，该超市计划售完这批商品获利1200元。 （1）售出一件甲商品获利（    ）元；售出一件乙商品获利（    ）元。 （2）甲、乙两种商品应分别购进多少件？ 甲 乙 进价（元/件） 15 35 售价（元/件） 20 45 【训练2】同学们在美术课上学习制作中国结，制作一个小中国结需要7分米红绳，制作一个大中国结需要11分米红绳，一共做了20个中国结，共用去184分米红绳。请问同学们制作了多少个大中国结？ 【训练3】六年级数学兴趣小组的同学准备了一个无盖的圆柱容器和、两种型号铁球各若干个，准备做实验。（实验过程中水的损耗忽略不计） 步骤一：往圆柱形容器中加入一定量的水，水面高度为40毫米，保证容器内的水能够淹没所有的铁球。 步骤二：先放入3个型号铁球，经过测量水面的高度上涨了12毫米；再把3个型号铁球捞出，放入4个型号铁球，水面的高度恰好也上涨了12毫米。由此可得一个型号铁球可以使水位上升（    ）毫米，一个型号铁球可以使水位上升（    ）毫米。 步骤三：把之前的铁球全部捞出，然后放入型号与型号铁球共10个，水面高度涨到72毫米。 （1）把“步骤二”中的数据填写完整。 （2）放入水中的、两种型号的铁球各有多少个？（列式解答） 【训练4】有一项工程，甲队单独做12天完成，甲队和乙队合作8天完成。若甲队单独做若干天之后，乙队接着单独做完，且两个工程队共用18天，则乙队做了 天。 【训练5】在安全知识问答大赛中，宁宁共抢答了12道题，最后得了56分。答对一道题加10分，答错一道题扣6分，宁宁答对了( )道题。 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 解方程与列方程解应用题 （8个高频考点梳理+题型讲练 共48题）考点目录 考点01：解含括号的方程 2 考点02：解小数、分数、百分数的方程 7 考点03：列方程解含有一个未知数的问题 14 考点04：列方程解和差倍问题 20 考点05：列方程解稍复杂的行程问题 24 考点06：列方程解含有两个未知数的问题 31 考点07：列方程解稍复杂的实际问题 38 考点07：列方程解稍复杂的实际问题 44 学习目标 理解应用题与方程的关系： 学生应明白应用题中的等量关系可以通过列方程来表示。 能根据两个未知量之间的关系，列方程解答求含有两个未知数的应用题。 掌握列方程解应用题的方法： 学生应学会根据应用题的具体情况灵活选择解题方法，如直接列方程、设未知数等。 明白列方程解应用题的关键是找出数量之间的相等关系，能根据题意正确地列出方程解答。 培养实际应用能力和检验习惯： 学生应能将实际问题抽象为数学问题，并通过方程解决问题，增强应用数学的意识。 学会用检验答案是否符合已知条件的方法，提高学生求解验证的能力。 发展数学素养和思维： 在列方程解应用题的过程中，学生的数学素养将得到发展，包括分析问题、解决问题的能力。 通过合作探索、自主探究等方式，培养学生的合作精神和探究精神。 衔接指引 小升初数学解方程和列方程解应用题与初中数学在内容上存在明显的区别与联系 区别： 复杂程度： 小学方程：主要涉及一元一次方程，形式较为简单，如基础的加、减、乘、除运算。 初中方程：方程类型增多，如一元二次方程、二元一次方程组等，运算和逻辑复杂度明显提升。 解题方法： 小学方程：主要运用等式的基本性质，通过简单的移项、合并同类项等步骤求解。 初中方程：除了基本性质外，还需掌握配方法、公式法、因式分解法等更为复杂的解法，同时对方程解的合理性进行判断。 逻辑思维： 小学方程：主要侧重于方程的基本概念和简单应用，对学生的逻辑思维要求相对较低。 初中方程：对学生的逻辑思维提出更高要求，需要理解方程的深层次含义，能够抽象概括问题并转化为数学模型。 联系： 知识基础：小学方程是初中方程的基础，学生在小学阶段掌握的方程知识和技能为初中学习打下坚实基础。 方法过渡：小学方程中的解题方法在初中阶段仍有应用，但需要根据具体问题进行适当调整和拓展。 思维发展：从小学到初中，学生的抽象思维能力和逻辑推理能力逐渐增强，这种发展在方程学习中表现得尤为明显。 应用场景：无论是小学还是初中，方程都是解决实际问题的重要工具。通过列方程解应用题，学生可以更好地理解和应用数学知识，提高数学素养。 考点讲练 考点01：解含括号的方程知识精讲 解含括号的方程的步骤 去括号：首先，根据括号内的运算规则，计算出括号内的结果。如果括号内有加减运算，直接进行；如果有乘除运算，先执行乘除后执行加减。 移项：将含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边。这有助于我们简化方程，更容易找到未知数的解。 合并同类项：如果方程中存在同类项，即未知数前的系数相同的项，需要将它们合并成一个项。 在这个例子中，因为已经移项并去括号，所以没有需要合并的同类项。但在其他情况下，如 2x + 3x = 10，我们会合并得到 5x = 10。 求解未知数： 最后，将方程两边同时除以未知数的系数，得到未知数的解。 例如，在方程 3x - 2y = 18 中，由于这是一个包含两个未知数的方程，我们需要另一个方程来求解y或x。但如果只有一个未知数，如 x = (18 + 2y) / 3，我们可以直接求解x的值。 题型讲练 【典例精讲】解下列方程（比例）。 19.6＋4＝22                    【答案】＝0.6；＝；＝ 【思路引导】第一题利用等式的基本性质1，方程的两边同时减去19.6，再利用等式的基本性质2，两边同时除以4，即可得出答案； 第二题结合比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，再两边同时除以，即可得出答案； 第三题先利用等式的基本性质2，两边同时除以8，再结合减法中减数的被减数减差，即可得出答案。 【完整解答】19.6＋4＝22 解：4＝22－19.6 4＝2.4 ＝2.4÷4 ＝0.6 解： 解： 【变式1】解方程。 （1）            （2） 【答案】（1）；（2） 【思路引导】（1）先去括号，然后根据等式的基本性质逐步计算，依次为方程的两边同时减去，再同时加上12，再同时除以3，最后求出方程的解； （2）方程中有分数有小数，先将所有的分数转化为小数，方程转化为，然后根据等式的基本性质解方程，依次为方程的两边先同时加上，然后两边同时减去0.8，最后两边同时除以1.8即可。 【完整解答】（1） 解： （2） 解： 【变式2】定义符号“☆”的意义是：a☆b＝（a＋1）×b，如果（x☆2）☆3＝27，那么x的值等于 。 【答案】3 【思路引导】根据新定义运算知道a☆b等于a与1的和乘b，由此把（x☆2）☆3＝27转化为关于x的方程[（x＋1）×2＋1]×3＝27，通过解该方程即可求得x的值。 【完整解答】[（x＋1）×2＋1]×3＝27 解：[2x＋2＋1]×3＝27 [2x＋3]×3＝27 [2x＋3]×3÷3＝27÷3 2x＋3＝9 2x＋3－3＝9－3 2x＝6 2x÷2＝6÷2 x＝3 【变式3】求未知数。 ①（x－5）÷4＝16      ②11x－5.4＝16.6     ③12∶x＝7∶ 【答案】①x＝69；②x＝2；③x＝ 【思路引导】①方程两边先同时乘4，再同时加上5，求出方程的解； ②方程两边先同时加上5.4，再同时除以11，求出方程的解； ③先根据比例的基本性质将比例方程改写成7x＝12×，然后方程两边同时除以7，求出方程的解。 【完整解答】①（x－5）÷4＝16 解：x－5＝16×4 x－5＝64 x＝64＋5 x＝69 ②11x－5.4＝16.6 解：11x＝16.6＋5.4 11x＝22 x＝22÷11 x＝2 ③12∶x＝7∶ 解：7x＝12× 7x＝10 x＝10÷7 x＝ 【变式4】解方程或比例。 （3－4）×5＝4            ∶＝∶ 【答案】＝1.6；＝ 【思路引导】（1）方程两边先同时除以5，再同时加上4，最后同时除以3，求出方程的解； （2）先根据比例的基本性质把比例方程改写成＝×，然后方程两边同时除以，求出方程的解。 【完整解答】（1）（3－4）×5＝4 解：（3－4）×5÷5＝4÷5 3－4＝0.8 3－4＋4＝0.8＋4 3＝4.8 3÷3＝4.8÷3 ＝1.6 （2）∶＝∶ 解：＝× ＝ ÷＝÷ ＝× ＝ 【变式5】解方程。 （1） （2） 【答案】；1.5 【思路引导】（1）根据运算法则先去括号，然后把含有未知数的放在等号左边，常数放在等号右边，再根据等式的性质计算即可；（2）根据比例的性质对等式变形，然后再根据等式的性质解方程即可。 【完整解答】（1） 解： （2） 解： 【考点评析】此题考查较复杂的解方程，但也是根据等式的性质：等式两边同时加或减相同的数等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个非0数，等式仍然成立，和比例的性质两内项积等于两外项积来计算。 考点02：解小数、分数、百分数的方程 题型讲练 【典例精讲】解方程或比例。                【答案】；； 【思路引导】①根据等式的性质，在方程两边先同时减去1.5，再同时除以5即可求解； ②先整理方程左边，再根据等式的性质，在方程两边同时乘6即可求解； ③根据比例的基本性质改写成，然后化简，再根据等式的性质，在方程两边同时除以2.1即可求解。 【完整解答】 解： 解： 解： 【训练1】解方程或者解比例。 25∶x＝0.5∶7        x∶           0.5x－4×0.25＝1.25 【答案】x＝350；x＝；x＝4.5 【思路引导】25∶x＝0.5∶7，根据比例的基本性质将比例式写成方程的形式，再根据等式的性质2，方程两边同时除以0.5即可； x∶，根据比例的基本性质将比例式写成方程的形式，再根据等式的性质2，方程两边同时除以即可； 0.5x－4×0.25＝1.25，先求出4与0.25的积，再在方程两边同时加4与0.25的积，最后在方程两边同时除以0.5即可求出解。 【完整解答】25∶x＝0.5∶7 解：0.5x＝175 0.5÷0.5x＝175÷0.5 x＝350 x∶ 解： ＝ x＝ x＝ 0.5x－4×0.25＝1.25 解：0.5x－1＝1.25 0.5x－1＋1＝1.25＋1 0.5x＝2.25 0.5x÷0.5＝2.25÷0.5 x＝4.5 【训练2】用一根绳子绕树1周还剩余米，若用绳子的一半绕这棵树1周还剩余米，这棵树的周长是（    ）米。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】解法一：这根绳子的总长度不变，把这棵树的周长设为未知数，等量关系式：这棵树的周长＋米＝（这棵树的周长＋米）×2，据此列方程解答。 解法二：用米减去米，正好为这根绳子的一半，故再乘2，即可求出这根绳子，再减去米，即可求出这棵树的周长。 【完整解答】解法一： 解：设这棵树的周长是x米。 x＋＝2（x＋） x＋＝2x＋2× x＋＝2x＋ 2x＋＝x＋ 2x－x＝－ x＝ 所以，这棵树的周长是米。 解法二： （－）×2－ ＝×2－ ＝－ ＝（米） 所以，这棵树的周长是米。 故答案为：A 【训练3】解方程。 1.6x＋3.6＝10               【答案】x＝4；x＝；x＝5 【思路引导】1.6x＋3.6＝10，根据等式性质1，方程两边同时减去3.6，再根据等式性质2，方程两边同时除以1.6即可； ，根据乘法分配律，将两个未知数合并为x，再根据等式性质2，方程两边同时除以即可； ，根据比例的基本性质将比例转化为3x＝25×，再根据等式性质2，方程两边同时除以3即可。 【完整解答】1.6x＋3.6＝10 解：1.6x＋3.6－3.6＝10－3.6 1.6x＝6.4 1.6x÷1.6＝6.4÷1.6 x＝4 解：x＝ x÷＝÷ x×＝× x＝ （3） 解：3x＝25× 3x＝15 3x÷3＝15÷3 x＝5 【训练4】解方程。 ＝40%            1.2＋1.8＝ （9－5）×＝10         ∶0.25＝ 【答案】＝1.6；＝2 ＝；＝48 【思路引导】（1）根据等式的性质，方程两边同时乘4，求出方程的解； （2）根据等式的性质，方程两边先同时减去1.2，再同时除以1.8，求出方程的解； （3）根据等式的性质，方程两边先同时除以，再同时加上5，最后同时除以9，求出方程的解； （4）先根据比例的基本性质把方程改写成＝0.25×16，然后根据等式的性质，方程两边同时除以，求出方程的解。 【完整解答】（1）＝40% 解：×4＝40%×4 ＝0.4×4 ＝1.6 （2）1.2＋1.8＝ 解：1.2＋1.8－1.2＝－1.2 1.8＝3.6 1.8÷1.8＝3.6÷1.8 ＝2 （3）（9－5）×＝10 解：（9－5）×÷＝10÷ 9－5＝10× 9－5＝25 9－5＋5＝25＋5 9＝30 9÷9＝30÷9 ＝ （4）∶0.25＝ 解：∶0.25＝16∶ ＝0.25×16 ＝4 ÷＝4÷ ＝4×12 ＝48 【训练5】解方程。                    【答案】；； 【思路引导】（1）将化成小数0.6，再将原式化简成，再根据等式的性质1，方程两边同时减去0.6，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以6，即可求解。 （2）将原式改写成，再根据比例的基本性质，将比例变成，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以0.8，即可求解。 （3）将75%化成分数，再将原式化简成，再根据根据等式的性质2，方程两边同时除以，即可求解。 【完整解答】 解： 解： 解： 考点03：列方程解含有一个未知数的问题知识精讲 理解应用题 应用题是数学中一种常见的问题类型，它通常描述了一个实际情境，并给出了与这个情境相关的数学信息。学生需要理解这个情境，并识别出其中的数学关系。 确定未知数 在应用题中，通常有一个或多个未知数。对于含有一个未知数的应用题，学生需要明确这个未知数代表什么。例如，在购物问题中，未知数可能代表商品的单价或数量；在行程问题中，未知数可能代表速度、时间或距离。 建立方程 建立方程是解应用题的关键步骤。学生需要根据题目中的信息，利用数学关系式（如加法、减法、乘法、除法等）来建立方程。这个方程应该包含已知的数值和未知的未知数。 算。题型讲练 【典例精讲】某次知识竞赛共5道题，全班52人，答对一题得1分。已知全班共得181分。已知每人至少得1分，且得1分的有7人，得2分和得3分的人一样多，得5分的人有6人，则得4分的有（    ）人。 A．25 B．30 C．31 D．35 【答案】C 【思路引导】根据题干分析可知，得2分、3分、4分的人数为：52－7－6＝39人，由此设得2分和3分的人数均为x人，则得4分的人数为就是（39－2x）人，根据等量关系：52人一共得181分，列出方程解决问题。 【完整解答】解：设得2分、3分的人数均为x人，则得4分的人数为（52－7－6－2x）人，即得4分的人数为（39－2x）人，根据题意可得方程： 1×7＋2x＋3x＋4×（39－2x）＋5×6＝181 7＋5x＋156－8x＋30＝181 193－3x＝181 193－3x＋3x－193＝181＋3x－193 3x＝12 3x÷3＝12÷3 x＝4 所以得4分的人数为： 39－2×4 ＝39－8 ＝31（人） 故答案为：C 【训练1】在繁忙的都市生活中，养植物已成为一种流行的放松压力的方式。而多肉植物在近年来也已成为了都市居民们最常选择的植物品种之一。绿植花草店有一批多肉，第一次卖出总数的，第二次卖出总数的，这时花店里还剩56盆，花店里原来共有多少盆多肉？（列方程解答） 【答案】336盆 【思路引导】设花店里原来共有x盆多肉，把花店多肉的总数看作单位“1”，由题意可知等量关系式是：总数－总数的－总数的＝剩下的盆数，据此列方程并求解。 【完整解答】解：设花店里原来共有x盆多肉。 x－x－x＝56 x＝56 x＝56 x＝ x＝336 答：花店里原来共有336盆多肉。 【训练2】王阿姨自主创业开了一家服装店，因为进货时没有进行市场调查，在换季时积压了一批服装，为了缓解压力，王阿姨决定打折促销。若每件服装按标价的五折出售将亏20元，而按标价的八折出售将赚40元，每件衣服的标价是多少元？要保证不亏，最多能打几折？ 【答案】标价200元；六折 【思路引导】（1）根据题意，设每件衣服的标价是元； 根据“若每件服装按标价的五折出售将亏20元”，即此时的售价是标价的50%，会亏20元，根据“进价＝售价＋亏损”，可得出进价是（50%＋20）元； 根据“按标价的八折出售将赚40元”，即此时的售价是标价的80%，会赚40元，根据“进价＝售价－盈利”，可得出进价是（80%－40）元； 因为进价不变，据此列出方程，并求解。 （2）由上一问可知每件衣服的标价是200元，把标价看作单位“1”，若每件服装按标价的五折出售将亏20元，根据百分数乘法的意义，用标价乘50%，再加上20元，即是每件衣服的进价； 然后用进价除以标价，求出售价是标价的百分之几，再根据折扣的意义，将百分数转化成折扣即可。 【完整解答】（1）解：设每件衣服的标价是元。 50%＋20＝80%－40 80%－50%＝20＋40 0.3＝60 ＝60÷0.3 ＝200 （2）200×50%＋20 ＝200×0.5＋20 ＝100＋20 ＝120（元） 120÷200×100% ＝0.6×100% ＝60% 60%＝六折 答：每件衣服的标价是200元，要保证不亏，最多能打六折。 【考点评析】本题考查百分数乘除法的实际应用，理解并灵活运用标价、售价、进价、亏损、盈利之间的关系是解题的关键。 【训练3】一艘货轮要把货物从下游的A地运往上游的B地，同时从B地有一条无动力漂流观景船同时出发，随江水漂向A地。货轮行驶64千米后遇到观景船，共用了8小时到达B地。一周后，货轮和观景船仍然分别从A地和B地同时出发，但此时水速已经是上一周的两倍，于是货轮将静水速度也提高了一半，结果货轮行驶了千米后遇到观景船。求AB两地之间的路程，并求出货轮原先的静水速度？ 【答案】路程96千米；货轮原先的静水速度18千米/小时 【思路引导】设货轮静水速度为a千米/小时，水速为b千米/小时，全程距离为s千米， 第一次相遇用时， 第二次相遇用时 ，即 又知道第二次的水速是第一次的2倍，即第一次漂流的速度与第二次漂流的速度的比是1∶2                                             根据因此，两次漂流距离比为 ，解方程可得AB两地之间的路程为96千米。 根据用（千米/时）货轮原先的逆流速度，再根据，用得到第一次相遇的时间，再根据用漂流观景船的路程除以遇上时间得水流速度，再加货轮的逆流速度即可得货轮原先的静水速度。据此解答。 【完整解答】解：设货轮静水速度为a千米/小时，水速为b千米/小时，全程距离为s千米， 第一次相遇用时， 第二次相遇用时                                  即两次漂流距离比为 （千米/时） （千米/小时） 答：AB两地之间的路程为96千米；货轮原先的静水速度为18千米/小时。 【考点评析】轮船逆流的速度等于它的静水速度减水流速度，根据相遇问题、一般的路程问题的关系式，确定两次漂流距离的比。 【训练4】张先生向商店订购了每件定价为100元的某种商品80件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件。”商店经理算了下，若减价5%，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元，这种商品的成本是多少元？ 【答案】70元 【思路引导】把商品原来每件的定件100元看作单位“1”，若减价5%，即每件商品减少的钱数占原来每件定价的5%，则每件减少了100×5%＝5元； 已知每降价1元，就多订购4件，那么减少的5元就多订了20件，加上原来订购的80件，现在一共订购100件； 根据“获得的利润反而比原来多100元”可得出等量关系：降价后每件商品的利润×降价后订购的件数－原来每件商品的利润×原来订购的件数＝降价后比原来多的利润，据此列出方程，并求解； 最后用原来每件的定价减去原来每件商品的利润，即是这种商品的成本价。 【完整解答】减价：100×5% ＝100×0.05 ＝5（元） 多订购的件数：5÷1×4＝20（件） 降价后共订购：80＋20＝100（件） 解：设原来每件商品的利润为元。 （－5）×100－80＝100 100－500－80＝100 20－500＝100 20＝100＋500 20＝600 ＝600÷20 ＝30 100－30＝70（元） 答：这种商品的成本是70元。 【考点评析】关键是抓住降价前后利润的变化，找出等量关系，根据等量关系列方程解决问题。 【训练5】某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元。 （1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？ （2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率为25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价应该是多少元？ 【答案】（1）120件；（2）150元 【思路引导】（1）设商家购进的第一批衬衫是x件，第二批衬衫是2x件，数量关系式：第二批衬衫的单价－第一批衬衫的单价。单价＝总价÷数量，列出方程求出方程的解。 （2）两批衬衫全部售完利润率为25%，就是售完的价格比本钱多20%，也就是售完的钱是本钱的（1＋20%）。第一批和第二批的总共购进了360件，其中的310件是按照标价卖出，50件是按照标价的80%售出，即数量关系式：310×标价＋50×标价的80%＝本钱的125%。设每件衬衫的标价应该是y元列出方程求出方程的解。 【完整解答】（1）解：设商家购进的第一批衬衫是x件，第二批衬衫是2x件。 答：该商家购进的第一批衬衫是120件。 （2）2×120＝240（件） 设：每件衬衫的标价应该是y元。 答：每件衬衫的标价应该是150元。 考点04：列方程解和差倍问题 知识精讲 理解和差倍问题 和差倍问题是一类常见的应用题，它涉及到两个或多个数量之间的和、差、倍数关系。这类问题通常描述了两个或多个数量之间的某种关系，并给出了其中一个或多个数量的具体值，要求求出其他数量的值。 列方程解和差倍问题的步骤 理解题意： 首先，需要仔细阅读题目，理解题目中描述的实际情境和数量之间的关系。明确题目中给出的已知数量和需要求解的未知数量。 设定未知数： 根据题目中的描述，设定一个或多个未知数来表示需要求解的数量。通常，未知数用字母（如x、y等）来表示。 建立方程： 根据题目中给出的数量关系和已知数量，利用数学表达式（如加法、减法、乘法等）来建立方程。这个方程应该包含已知的数值和设定的未知数。 例如，在典型的和差倍问题中，如果题目说“甲数是乙数的3倍，甲数和乙数的和是16”，那么可以设乙数为x，则甲数为3x。根据题目中的“甲数和乙数的和是16”，可以建立方程：x + 3x = 16。 题型讲练 【典例精讲】小百灵合唱团中女生人数是男生的1.2倍，比男生多15人。合唱团中男女生各有多少人？（列方程解答） 【答案】男生75人；女生90人 【思路引导】设合唱团中男生有x人，因为女生人数是男生的1.2倍，所以女生人数为1.2x人，又已知女生比男生多15人，那么等量关系为：女生人数－男生人数＝15，可列方程1.2x－x＝15，先计算1.2x－x，等式两边同时除以0.2求出方程的解；再把x的值代入1.2x，可计算出女生人数。 【完整解答】解：设合唱团中男生有x人，则女生有1.2x人。 1.2x－x＝15 0.2x＝15 0.2x÷0.2＝15÷0.2 x＝75 1.2x＝1.2×75＝90 答：合唱团中男生有75人，女生有90人。 【训练1】育新小学一共有108人参加科技小组，其中男生人数是女生人数的1.4倍。参加科技小组的男、女生各有多少人？（列方程解答） 【答案】女生45人；男生63人 【思路引导】已知男生人数是女生人数的1.4倍，设女生人数为x人，则男生人数为1.4x人；根据“参加科技小组的总人数是108人”这一条件，可知男生人数与女生人数之和为108，即x＋1.4x＝108；先计算x＋1.4x得到2.4x＝108，然后等式两边同时除以2.4求出x的值，也就是女生人数，最后将x的值代入1.4x求出男生人数。 【完整解答】解：设参加科技小组的女生有人，则男生有人。 答：参加科技小组的女生有45人，男生有63人。 【训练2】在社区环保活动中，小王比小李多收集了15公斤可回收物，小王收集的数量是小李的1.2倍，小王收集了多少公斤可回收物？（先写等量关系式再解答。） 等量关系式：______________________ 列方程解答： 【答案】等量关系式见详解；90公斤 【思路引导】根据条件小王比小李多收集了15公斤可回收物可知：等量关系式是：小王收集的数量－小李收集的数量＝15，这里小李收集的数量×1.2＝小王收集的数量。 设小李收集了X公斤可回收物，则小王收集了1.2X公斤可回收物，根据等量关系式列方程为：1.2X－X＝15，方程左边合并为0.2X＝15，根据等式的性质2左右两边同时除以0.2求得小李收集的数量，把方程的解代入1.2X中求出小王收集了多少公斤可回收物。 【完整解答】等量关系式是：小王收集的数量－小李收集的数量＝小王比小李多收集了15公斤 解：设小李收集了X公斤可回收物，则小王收集了1.2X公斤可回收物。 1.2X－X＝15 0.2X＝15 0.2X÷0.2＝15÷0.2 X＝75 1.2X＝1.2×75＝90 答：小王收集了90公斤可回收物。 【训练3】学校围棋组和书法组共100人，其中围棋组的人数是书法组的1.5倍，围棋组和书法组各有多少人？（用方程解答） 【答案】60人；40人 【思路引导】因为围棋组的人数是书法组的1.5倍，设书法组有x人，用含x的式子表示出围棋组的人数是1.5x，再根据围棋组和书法组共100人列出方程是：x＋1.5x＝100，再解方程，左边可以计算得2.5x＝100，再根据等式性质2，方程两边同时除以2.5，计算出未知数的值，即为书法组的人数，再用100减这个数即可求出围棋组的人数。 【完整解答】解：设书法组有x人，则围棋组有1.5x人。 x＋1.5x＝100 2.5x＝100 2.5x÷2.5＝100÷2.5 x＝40 100－40＝60（人） 答：围棋组有60人，书法组有40人。 【训练4】一个圆柱与一个圆锥等底等高。已知它们的体积和是12立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。 【答案】9 【思路引导】根据题意可知，一个圆柱与圆锥等底等高，则圆柱的体积是圆锥体积的3倍，设圆锥的体积是x立方厘米，则圆柱的体积是3x立方厘米，它们的体积和是12立方厘米，列方程：x＋3x＝12，解方程，即可解答。 【完整解答】解：设圆锥的体积是x立方厘米，则圆柱的体积是3x立方厘米。 x＋3x＝12 4x＝12 x＝12÷4 x＝3 圆柱体积：3×3＝9（立方厘米） 一个圆柱与一个圆锥等底等高。已知它们的体积和是12立方厘米，圆柱的体积是9立方厘米。 【训练5】2023年5月28日，我国首架具有自主知识产权的干线客机圆满完成载客首飞。一架客机的机身总长38.9米，比机高的4倍少8.9米，一架客机机高多少米？（列方程解答） 【答案】11.95米 【思路引导】根据一架客机的机身总长比机高的4倍少8.9米，设机高为米，得出数量关系式：机身总长38.9米等于机高的4倍减去8.9米，列出方程，解方程得出机高。 【完整解答】解：设一架客机机高x米。 4x－8.9＝38.9 4x＝38.9＋8.9 4x＝47.8 x＝47.8÷4 x＝11.95 答：一架客机机高11.95米。 考点05：列方程解稍复杂的行程问题知识精讲 一、理解行程问题 行程问题通常涉及到两个或多个物体（如人、车、船等）在一段时间内沿一定方向移动的情况。这些物体可能同向而行、相向而行或背向而行。在行程问题中，我们需要关注速度、时间和距离这三个基本量，并理解它们之间的关系。 二、速度、时间和距离的关系 在行程问题中，速度、时间和距离之间的关系可以用以下公式表示： 距离 = 速度 × 时间 这个公式是解决行程问题的关键。它告诉我们，只要知道速度和时间中的两个量，就可以求出第三个量。 三、列方程解稍复杂的行程问题 对于稍复杂的行程问题，我们通常需要列方程来求解。以下是一些常见的稍复杂的行程问题及其解决方法： 相遇问题：两个物体从两个不同地点出发，沿同一条路线相向而行，在某个地点相遇。我们需要找出它们相遇的时间或地点。 解决方法：设两个物体的速度分别为v1和v2，相遇时间为t，两地之间的距离为d。根据速度、时间和距离的关系，我们可以列出方程： d = v1 × t + v2 × t 解这个方程，我们就可以找出相遇时间t。 追及问题：一个物体比另一个物体先出发，沿同一条路线同向而行，后面的物体要追上前面的物体。我们需要找出追及的时间或地点。 解决方法：设先出发的物体的速度为v1，后出发的物体的速度为v2，追及时间为t，先出发的物体先走的路程为s。根据速度、时间和距离的关系，我们可以列出方程： s + v1 × t = v2 × t 解这个方程，我们就可以找出追及时间t。 环形跑道问题：两个物体在环形跑道上同向或相向而行，我们需要找出它们相遇的次数或时间。 解决方法：设环形跑道的长度为L，两个物体的速度分别为v1和v2，相遇时间为t。根据速度、时间和距离的关系，我们可以列出方程： 对于同向而行的情况： v2 × t - v1 × t = n × L（n为相遇的次数） 对于相向而行的情况： v1 × t + v2 × t = L 解这些方程，我们就可以找出相遇的时间t或次数n。 题型讲练 【典例精讲】某学生步行速度15千米/时，骑自行车速度是步行的3倍。从家到学校上学一半路程步行，一半路程骑自行车，放学回家一半时间步行，一半时间骑自行车，结果放学回家比上学少用10分钟，求这个学生家到学校的路程。 【考点评析】本题考查了列方程解决分数【答案】15千米 【思路引导】根据题意，用15乘3得到骑自行车的速度，设这个学生家到学校的路程为S，则从家到学校的时间为：，根据放学回家比上学少用10分钟求出放学回家的时间，再根据放学回家一半路程骑自行车，放学回家一半时间步行，即可求出骑自行车和步行的用时，然后根据“路程＝速度×时间”列出等量关系即可求出S，即这个学生家到学校的路程。 【完整解答】解：设这个学生家到学校的路程为S，则从家到学校的时间为： ＝ ＝（小时） 10分钟＝小时 因为放学回家比上学少用10分钟，所以从学校回家的时间为：（－）小时 即放学回家步行和骑自行车的时间均为：（－）÷2＝（－）小时 所以： （－）×15＋（－）×（15×3）＝S －＋S－＝S ＋S－－＝S ＋S－S－＋－＋＝S－S＋＋ S＝15 答：这个学生家到学校的路程为15千米。 行程问题的应用，关键能灵活表示各个数量的关系。 【训练1】《九章算术》是我国古代一部伟大的数学名著，其中描述了这样一道题：一个人用车装米，从甲地运往乙地，装米的车日行25千米，不装米的空车日行35千米，5日往返三次。两地相距 千米。 【答案】/ 【思路引导】5日往返三次，则往返一次需要5÷3＝（日）。设往返一次装米的车行了x日，则不装米的车行驶了（－x）日。根据题意可得：往返一次装米的车的速度×所用时间＝不装米的车的速度×所用时间，据此可列出方程25x＝35×（－x）。解出方程求出往返一次装米的车所用的时间后，再根据速度×时间＝路程，用25乘所用的时间，即可求出两地相距的路程。 【完整解答】5÷3＝（日） 解：设往返一次装米的车行了x日。 25x＝35×（－x） 25x＝－35x 25x＋35x＝ 60x＝ 60x×＝× x＝ 25×＝（千米） 则两地相距千米。 【考点评析】列方程解答本题比较简单。先求出往返一次所需的时间，再分别用含有字母的式子表示装米和不装米的车所行的路程，从而列方程求出所用时间是解题的关键。 【训练2】2022年的某一天，光明学校的两位老师杨老师和刘老师进行体能训练。跑道为一个椭圆形状，他们同时从同地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈。跑第一圈时，刘老师的速度是杨老师的三分之二，杨老师跑第二圈时速度比第一圈提高了三分之一，刘老师跑第二圈时速度提高了五分之一，已知杨老师、刘老师第二次相遇点距第一次190米，那么你知道这条椭圆形跑道长多少米吗？ 【答案】400米 【思路引导】设跑道长是x米，杨老师跑第一圈的速度是a，则刘老师跑第一圈的速度是a。根据题意，把杨老师第一圈的速度看作单位“1”，则杨老师跑第二圈时的速度是（1＋）a＝a；把刘老师第一圈的速度看作单位“1”，则刘老师跑第二圈的速度便是a×（1＋）＝a。那么杨老师跑第一圈所用时间是，刘老师跑第一圈所用时间是x÷a＝，比杨老师多用－＝。杨老师、刘老师第一次相遇所用时间是x÷（a＋a），按杨老师前进方向距出发点为x÷（a＋a）×a＝x（米）；当刘老师到达出发点时，杨老师自出发点回头又跑了×a＝x；所以，杨老师、刘老师第二次相遇时，共同跑的路程是x－x＝x，按刘老师前进方向距出发点为x ÷（a＋a）×a＝x（米）。要注意刘老师跑第二圈的方向和杨老师跑第一圈的方向相同，已知杨老师、刘老师第二次相遇点距第一次190米，由此可得：x－x＝190，根据等式的性质解出方程即可。 【完整解答】解：设跑道长是x米，杨老师跑第一圈的速度是a，则刘老师跑第一圈的速度是a。 杨老师跑第二圈时的速度：（1＋）a＝a 刘老师跑第二圈的速度：a×（1＋） ＝a× ＝a 杨老师跑第一圈所用时间： 刘老师跑第一圈所用时间：x÷a ＝x× ＝ 刘老师比杨老师多用时间：x÷a－ ＝x×－ ＝－ ＝ 第一次相遇点按杨老师前进方向距出发点：x÷（a＋a）×a ＝x÷a×a ＝x××a ＝x（米） 杨老师、刘老师第二次相遇时共同跑的路程： x－×a ＝x－x ＝x（米） 第二次相遇按刘老师前进方向距出发点： x ÷（a＋a）×a ＝x ÷×a ＝x ××a ＝x（米） x－x＝190 x－x＝190 x＝190 x×＝190× x＝400 答：这条椭圆形跑道长400米。 【考点评析】用含有字母的式子分别表示出两位老师第一圈和第二圈的速度、时间，从而用含有字母的式子表示出两次相遇点与出发点的距离是解题的关键。 【训练3】如图，甲、乙两人沿着边长为90米的正方形，按A→B→C→D→A…方向，甲从A以65米/分的速度，乙从B以72米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时在正方形的（    ）。 A．AB边上 B．DA边上 C．BC边上 D．CD边上 【答案】B 【思路引导】由题意可知，甲乙的速度差为72－65＝7米/分钟，开始时两人距离差为90×3＝270米，所以乙追上甲需要的时间为270÷7＝分钟，此时甲行了65×＝米，长方形的周长为90×4＝360米。÷360＝（周）。＜＜1，所以当乙第一次追上甲时在正方形的DA边上。 【完整解答】72－65＝7（米） （90×3÷7）×65÷（90×4） ＝×65÷360 ＝（周） ＜＜1 所以当乙第一次追上甲时在正方形的DA边上。 故答案为：B 【考点评析】根据路程差÷速度差＝追及时间求出乙追上甲时所用的时间是完成本题的关键。 【训练4】一列火车以20米每秒的速度通过一座大桥，火车从上桥到完全通过用了1分钟时间，火车完全在桥上的时间是40秒钟，请问大桥长多少米？ 【答案】1000米 【思路引导】由题意可知火车从上桥到完全通过用了1分钟时间所走的路程是车身长加上桥长，可得车身长就是1分钟时间所走的路程减去桥长，再由火车完全在桥上的时间是40秒钟，所走的路程是桥长减去车身长度，可得车身长就是桥长减去40秒所走的路程，先设大桥长x米，列出方程解出即可。 【完整解答】解：设大桥长x米，由题可得： 20×60－x＝x－40×20 1200－x＝x－800 x－800＋x＝1200－x＋x 2x－800＝1200 2x－800＋800＝1200＋800 2x＝2000 2x÷2＝2000÷2 x＝1000 答：大桥长1000米。 【考点评析】此题关键是明白从上桥到完全通过用了1分钟时间，所走路程等于车身长加上桥长；火车完全在桥上的时间是40秒钟，所走的路程是桥长减去车身长度，再根据大桥长度、车身长度与所走的路程之间关系列方程解答。 【训练5】甲、乙两地相距120千米，一辆大客车从甲地出发前往乙地，开始时每小时行50千米，中途减速为每小时行40千米，大客车出发l小时后，一辆小轿车也从甲地出发前往乙地，每小时行80千米，结果两辆车同时到达乙地，问大客车从甲地出发多少时间后才降低速度？ 【答案】2小时 【思路引导】据题意可知，小汽车行完全程用时：120÷80＝1.5（小时），由于两车同时到达乙地，所以大客车用时1＋1.5＝2.5（小时），由此可设大客车从甲地出发x小时后开始降速，由此可得等量关系式：50x＋40（2.5－x）＝120，解此方程即可。 【完整解答】轿车用时：120÷80＝1.5（小时） 则货车用时：1＋1.5＝2.5（小时） 解：设x小时后变速，得方程： 50x＋40×（2.5－x）＝120 50x＋40×2.5－40×x＝120 10x＋100＝120 10x＋100－100＝120－100 10x＝20 10x÷10＝20÷10 x＝2 答：大客车从甲地出发2小时后才降低速度。 【考点评析】此题主要考查通过方程解决较为复杂的路程问题。 考点06：列方程解含有两个未知数的问题知识精讲 一、理解含有两个未知数的问题 含有两个未知数的问题，通常是指在题目中涉及到两个需要求解的量，这两个量之间的关系可以通过一个或多个方程来表示。这类问题在日常生活和数学学习中都非常常见，如购物问题、分配问题、年龄问题等。 二、设立未知数 在解决含有两个未知数的问题时，首先需要设立两个未知数来表示题目中的两个需要求解的量。这两个未知数通常用字母来表示，如x和y。设立未知数的目的是将题目中的文字信息转化为数学表达式，便于建立方程。 三、建立方程 建立方程是解决含有两个未知数问题的关键步骤。根据题目中的条件，可以设立一个或多个方程来表示两个未知数之间的关系。这些方程通常是由等式组成的，等式两边表示的是两个相等的数学表达式。在建立方程时，需要注意以下几点： 准确理解题目中的条件，确保方程能够正确反映两个未知数之间的关系。 合理利用题目中的已知信息，将已知信息转化为数学表达式，并代入方程中。 注意方程中的运算符号和运算顺序，确保方程的正确性。 四、注意事项 在解决含有两个未知数的问题时，需要注意以下几点： 准确理解题目中的条件，确保设立的未知数和建立的方程能够正确反映题目中的实际情况。 在解方程时，要仔细审题，选择合适的解方程方法，并注意解方程的步骤和过程。 在求解完成后，要验证解的正确性，确保解符合题目中的条件。 题型讲练 【典例精讲】某停车场实施分段计费：不超过10个小时的部分每小时5元；超过10的小时不超过24小时的部分每小时4元；超过24小时的部分每小时3元（按整数小时计时收费，不足1小时的部分按1时间计算）。李老师两次在停车场停车共计40小时，停车费共交了176元。求两次停车各多长时间？ 【答案】12小时；28小时 【思路引导】假设一次停10小时，另一次停30小时，则停车费为：（10＋10）×5＋（24－10）×4＋（30－24）×3＝174（元），小于176元，所以判断两次停车都会超过10小时；假设两次停车都是在10—24小时内，那么停车费为：5×（10＋10）＋4×（40－10－10）＝180（元），180＞176，所以两次停车，一次停车时间在10—24小时内，另一次停车时间超过24小时；设一次停车x小时，10＜x＜24小时，则另一次停车（40－x）小时；根据停车收费标准，不超过10是小时的部分每小时5元，超过10小时没超过24小时的部分每小时4元，超过24小时部分每小时3元，列方程：5×10＋4×（x－10）＋5×10＋4×14＋3×（40－x－24）＝176，据此即可解答。 【完整解答】假设有一次停10小时，另一次停30小时。 （10＋10）×5＋（24－10）×4＋（30－24）×3 ＝100＋14×4＋6×3 ＝100＋56＋18 ＝174（元） 174＜176 所以两次停车都会超过10小时。 假设两次停车都是在10—24小时内。 5×（10＋10）＋4×（40－10－10） ＝100＋80 ＝180（元） 180＞176，所以两次停车，一次停车时间在10—24小时内，另一次停车时间超过24小时。 解：设一次停车x小时（10＜x＜24），则另一次停车（40－x）小时。 5×10＋4×（x－10）＋5×10＋4×14＋3×（40－x－24）＝176 50＋4x－40＋50＋56＋3×（16－x）＝176 10＋4x＋50＋56＋3×16－3x＝176 60＋56＋4x＋48－3x＝176 116＋48＋x＝176 164＋x＝176 x＝176－164 x＝12 40－12＝28（小时） 答：两次停车时间分别是12小时和28小时。 【考点评析】判断出两次停车时间在哪个时间段是解答本题的关键。 【训练1】小江家刚好在学校和妈妈单位的正中间。一天早上，小江和妈妈一起从家出发，小江向东去学校，妈妈向西去单位上班，妈妈的速度是小江的2.5倍。出发10分钟后妈妈距单位还有500米，此时发现小江的眼镜在包里，妈妈立即掉头加速20%去追小江，在离学校250米处追上小江后，又以原速度返回单位上班，当小江到学校时，妈妈离单位还有多远？ 【答案】5125米 【思路引导】首先，设小江的速度为每分钟x米，则妈妈的速度为每分钟2.5x米；出发10分钟，妈妈走了（2.5x×10）＝25x米，据此妈妈距离单位还有500米；所以妈妈单位到家的距离为（25x＋500）米，妈妈掉头加速20%，则速度为2.5x×（1＋20%）＝3x米；妈妈从家出来到追上小江用的时间与小江从家到距离学校250米的时间相等；小江走了（25x＋500－250）米；妈妈走了（25x＋25x＋500－250）米，根据时间＝路程÷速度；小江用的时间等于妈妈用的时间；列方程：（25x＋500－250）÷x＝10＋（25x＋25x＋500－250）÷3x；解方程，求出x的值；进而求出家到学校的距离，再根据时间＝路程÷速度，用小江走250米的路程÷小江的速度，求出250米小江用的时间；再用妈妈速度×小江走250米用的时间，求出追到小江后妈妈走的路程；再用学校到妈妈单位的路程－250米，再减去追到小江后妈妈走的路程，即可解答。 【完整解答】解：设小江的速度为x米，则妈妈的速度为2.5x米； 妈妈掉头的速度为： 2.5x×（1＋20%） ＝2.5x×1.2 ＝3x（米） （25x＋500－250）÷x＝10＋（25x＋25x＋500－250）÷3x （25x＋250）÷x×3x＝10×3x＋（50x＋250）÷3x×3x 25x×3＋250×3＝30x＋50x＋250 75x＋750＝80x＋250 80x－75x＝750－250 5x＝500 x＝500÷5 x＝100 学校到家的距离： 25×100＋500 ＝2500＋500 ＝3000（米） 学校到妈妈单位的距离：3000×2＝6000（米） 小江250米用的时间：250÷100＝2.5（分） 妈妈距离单位： 6000－250－2.5×100×2.5 ＝6000－250－250×2.5 ＝6000－250－625 ＝5750－625 ＝5125（米） 答：妈妈离单位还有5125米。 【考点评析】明确妈妈追上小江所用的时间与小江从家到距离学校250米所用的时间相等，是解答本题的关键。 【训练2】某服装厂加工车间有54名工人。每个工人每天可以加工8件上衣或10条裤子。如何分配这些工人，才能使每天生产的上衣和裤子能够完美地配套？ 【答案】30人加工上衣；24人加工裤子 【思路引导】把加工上衣的人数设为未知数，加工裤子的人数＝总人数－加工上衣的人数，如果上衣和裤子能够完美地配套，那么上衣和裤子的数量相等，等量关系式：加工上衣的人数×每人每天加工上衣的数量＝加工裤子的人数×每人每天加工裤子的数量，据此列方程解答。 【完整解答】解：设x人加工上衣，（54－x）人加工裤子。 8x＝10×（54－x） 8x＝10×54－10x 8x＝540－10x 8x＋10x＝540－10x＋10x 18x＝540 18x÷18＝540÷18 x＝30 54－30＝24（人） 答：30人加工上衣，24人加工裤子，才能使每天生产的上衣和裤子能够完美地配套。 【考点评析】分析题意设出未知数并根据等量关系式准确列出方程是解答题目的关键，注意题目中的隐含条件“上衣和裤子的数量相等”。 【训练3】甲、乙仓库堆放货物的质量比为3∶7，甲仓库运进9吨，乙仓库运出4吨后，甲乙堆放的货物质量比为3∶5，甲乙两仓库原来各有多少吨？ 【答案】甲仓库28.5吨；乙仓库66.5吨 【思路引导】根据甲、乙仓库原来堆放货物的质量比设出未知数，再根据“（甲仓库原来货物的质量＋9吨）∶（乙仓库原来货物的质量－4吨）＝甲仓库现在货物的质量∶乙仓库现在货物的质量”列出比例，并利用比例的基本性质解比例求出未知数的值，最后求出甲仓库和乙仓库原来货物的质量，据此解答。 【完整解答】解：设甲仓库原来有货物3x吨，乙仓库原来有货物7x吨。 （3x＋9）∶（7x－4）＝3∶5 （3x＋9）×5＝（7x－4）×3 15x＋45＝21x－12 15x＋45－15x＝21x－12－15x 45＝6x－12 6x－12＋12＝45＋12 6x＝57 6x÷6＝57÷6 x＝9.5 甲仓库：3×9.5＝28.5（吨） 乙仓库：7×9.5＝66.5（吨） 答：甲仓库原来有货物28.5吨，乙仓库原来有货物66.5吨。 【考点评析】本题主要考查比例的应用，分析题意并根据比的意义设出未知数，再正确列出比例是解答题目的关键。 【训练4】有一块菜地和一块麦地，菜地的一半和麦地的放在一起是13公顷，麦地的一半和菜地的放在一起12公顷，那么菜地是( )公顷。 【答案】18 【思路引导】根据题意，设菜地的面积是公顷；由菜地的一半和麦地的放在一起是13公顷，用13公顷减去菜地的一半，即是麦地的，再除以，即是麦地的面积，用（13－）÷表示； 根据“麦地的一半和菜地的放在一起12公顷”可得出等量关系：麦地的面积×＋菜地的面积×＝12，据此列出方程，并求解。 【完整解答】解：设菜地的面积是公顷。 （13－）÷×＋＝12 （13－）×3×＋＝12 13×3×－×3×＋＝12 －＋＝12 －（－）＝12 －（－）＝12 －＝12 ＝－12 ＝ ＝÷ ＝× ＝18 菜地是18公顷。 【考点评析】本题考查列方程解决较复杂的实际问题，当有两个未知数时，要找出两个未知数之间的关系，并能用一个未知数表示出来，从题目中找出等量关系，根据等量关系列出方程。 【训练5】在秋季田径运动会60米赛跑中，当甲运动员冲过终点时，领先乙10米，领先丙20米，领先丁30米。如果乙、丙和丁都按原来的速度继续冲向终点，那么当乙到达终点时将领先丙多少米？当丙到达终点时将领先了丁多少米？ 【答案】12米；15米 【思路引导】根据题意可知，甲运动员冲过终点时，乙跑了（60－10）米，丙跑了（60－20）米；丁跑了（60－30）米，由于用的时间相同，他们跑的速度比等于路程比；先求出乙与丙的路程比；用（60－10）∶（60－20）＝5∶4；乙距离终点还有10米，设乙跑完10米，丙跑的路程为x米；列比例：5∶4＝10∶x，解比例，求出丙跑的距离，再用20－丙跑的路程，求出当乙到达终点时将领先丙多少米。同样，丙与丁的速度比等于他们的路程比；据此求出丙与丁的路程比，设出未知数，求出丙跑到终点，丁距离终点的路程，据此解答。 【完整解答】乙的路程∶丙的路程＝（60－10）∶（60－20） ＝50∶40 ＝（50÷10）∶（40÷10） ＝5∶4 解：设乙跑完10米，丙跑了x米。 5∶4＝10∶x 5x＝4×10 5x＝40 x＝40÷5 x＝8 20－8＝12（米） 丙的路程与丁的路程比＝（60－20）∶（60－30） ＝40∶30 ＝（40÷10）∶（30÷10） ＝4∶3 解：设丙跑完20米，丁跑了y米。 4∶3＝20∶y 4y＝3×20 4y＝60 y＝60÷4 y＝15 30－15＝15（米） 答：当乙到达终点时将领先丙12米。当丙到达终点时将领先了丁15米。 【考点评析】解答本题的关键是根据比的意义，求出他们的路程比，进而列出比例解答。 考点07：列方程解稍复杂的实际问题题型讲练 【典例精讲】某市两超市在元旦期间分别推出如下促销方式： 甲超市：全场均按八八折优惠； 乙超市：购物不超过200元，不给予优惠；超过了200元而不超过500元一律打九折；超过500元时，其中的500元优惠10%，超过500元的部分打八折；已知两家超市相同商品的标价都一样。 （1）当一次性购物总额是400元时，甲、乙两家超市实付款分别是多少？ （2）某顾客在乙超市购物实付款482元，试问该顾客的选择划算吗？请说明理由。 【答案】（1）甲超市352元；乙超市360元 （2）不划算 【思路引导】（1）当一次性购物总额是400元时，甲、乙超市的实付款： 甲超市：全场均按八八折优惠；把原价看作单位“1”，现价是原价的88%，单位“1”已知，用原价乘88%，求出在甲超市购买的实付款。 乙超市：因为200元＜400元＜500元，所以打九折优惠；把原价看作单位“1”，现价是原价的90%，单位“1”已知，用原价乘90%，求出在乙超市购买的实付款。 （2）先根据在乙超市购物实付款482元，判断商品的原价是否超过500元；假设购物原价是500元，打九折优惠，计算出购物实付款为500×90%＝450（元）；但在乙超市购物实付款482元，482元＞450元，所以该顾客购物原价超过500元；确定该顾客在乙超市购物的优惠为：超过500元时，其中的500元优惠10%，超过500元的部分打八折； 设该顾客原购物总金额为元，分两部分优惠：其中500元优惠10%，即这部分实付为500×（1－10%）元；“超过500元的部分打八折”，即这部分实付为（原购物总金额－500）×80%，两部分实付金额相加等于482元，据此列出方程，并求解，求出该顾客在乙超市原购物总金额； 甲超市：全场均按八八折优惠；根据百分数乘法的意义，用原购物总金额乘88%，即可求出该顾客在甲超市的实付款； 比较两家超市的实付款，得出该顾客在乙超市购买的选择是否划算。 【完整解答】（1）一次性购物总额是400元时： 甲超市实付款： 400×88% ＝400×0.88 ＝352（元） 乙超市实付款： 400×90% ＝400×0.9 ＝360（元） 答：甲超市实付款是352元，乙超市实付款是360元。 （2）500×90% ＝500×0.9 ＝450（元） 在乙超市购物实付款482元，482＞450，所以该顾客购物实际金额超过500元。 解：设该顾客原购物总金额为元。 500×（1－10%）＋（－500）×80%＝482 500×0.9＋（－500）×0.8＝482 450＋0.8－400＝482 50＋0.8＝482 0.8＝482－50 0.8＝432 ＝432÷0.8 ＝540 若顾客在甲超市购物，则实际付款金额为： 540×88% ＝540×0.88 ＝475.2（元） 475.2元＜482元 答：该顾客的选择不划算。 【考点评析】本题考查折扣问题，根据原价、现价、折扣之间的关系，得出两家超市一次性购物总额是400元时的实付款。；先判断在乙超市的实付款482元的购物总额是否超过500元，才能找到在乙超市购买时对应的优惠条件，据此计算出购物总额，进而求出在甲超市购买的实付款，进行比较即可。 【训练1】万达商场某饮料店有一桶奶茶，上午售出其中的25%，下午售出20升，晚上售出剩下的10%，最后剩下的奶茶再减3升刚好半桶，问这桶奶茶共有多少升？ 【答案】120升 【思路引导】把这桶奶茶的总升数看作单位“1”， 设这桶奶茶共有x升，则上午售出25%x升，还剩下（x－25%x）升，下午售出20升，晚上售出剩下的10%x，即晚上售出后还剩下的总升数为（x－25%x－20）×（1－10%），根据等量关系：最后剩下的奶茶再减3升刚好半桶列方程解答即可。 【完整解答】解：设这桶奶茶共有x升。 （x－25%x－20）×（1－10%）－3＝50%x （0.75x－20）×0.9－3＝0.5x 0.675x－18－3＝0.5x 0.675x－21＝0.5x 0.675x－21＋21＝0.5x＋21 0.675x＝0.5x＋21 0.675x－0.5x＝0.5x＋21－0.5x 0.175x＝21 0.175x÷0.175＝21÷0.175 x＝120 答：这桶奶茶共有120升。 【考点评析】本题数量关系较复杂，需要确定好每一步的单位“1”，以及应用百分数乘法的意义，求得对应量。 【训练2】红红和明明是邻居，两人一起去图书馆借书，在楼下见面后，同时以每小时4千米的速度行走。走了1.5千米时，明明发现自己的借书卡忘记带了，红红继续以原速度前往图书馆，明明则以每小时6千米的速度跑回家中拿借书卡，在家里拿到后以同样的速度跑步追赶红红（拿借书卡的时间忽略不计），最终在距离图书馆1千米的地方追上了红红。求他们家到图书馆的距离。 【答案】8.5千米 【思路引导】根据题意可知，在离家1.5千米处，红红仍然以相同的速度向前行走，明明以每小时6千米的速度返回拿借书卡再追赶红红，明明比红红多走了（1.5×2）千米，两人行走的时间却是相同的。设明明开始返回，直到追上红红，红红行走的路程是x千米，则此时明明行走的路程是（x＋1.5×2）千米，根据红红行走的路程÷速度＝明明行走的路程÷速度，列出方程求出x的值是明明开始返回，红红行走的路程，再加上明明返回时已经走的路程和距离图书馆的距离即可。 【完整解答】解：设明明开始返回，直到追上红红，红红行走的路程是x千米。 x÷4＝（x＋1.5×2）÷6 x÷4×24＝（x＋3）÷6×24 6x＝（x＋3）×4 6x＝4x＋12 6x－4x ＝4x＋12－4x 2x＝12 2x÷2＝12÷2 x＝6 6＋1.5＋1＝8.5（千米） 答：他们家到图书馆的距离是8.5千米。 【考点评析】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 【训练3】这群顽皮的小猴一共有（    ）只。 A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【思路引导】设桃子有x个，因为苹果的个数是桃子的3 倍，所以苹果有 3x 个，每只猴拿3个桃子，桃子被拿光，所以猴子的数量为（x÷3）只，每只猴拿8个苹果，剩下 10个苹果，根据等量关系：“苹果的这个数－猴子拿走的苹果的总个数＝10个”列方程解答求出桃子的个数，再除以3就是猴子的只数。 【完整解答】解：设桃子有x个。 3x－8×（x÷3）＝ 10 3x－8×＝10 3x－x＝10 x＝10 3×x＝10×3 x＝30 30÷3＝10（只） 所以这群顽皮的小猴一共有10只。 故答案为：A 【考点评析】先根据苹果和桃子数量的关系，以及猴子拿取的数量，找出猴子数量的计算方法。 【训练4】2000多年前，古希腊国王让人做了一顶纯金的皇冠，但他怀疑皇冠被掺了铜，所以请数学家阿基米德来帮忙。阿基米德用“排水法”来鉴别皇冠的真伪：金子的密度约为19克/立方厘米，铜的密度约为9克/立方厘米，在质量相同的情况下金子的体积比较小；如果掺了铜后，密度减小，体积增大，排出的水就多了。阿基米德做了如下的实验：第一步，称出这顶皇冠的质量是950克；第二步，把这顶皇冠浸没在装满水的容器中，测量出排出的水有70毫升。（提示：密度＝质量÷体积） （1）这顶皇冠是否被掺了铜？请计算说明理由。 （2）如果有掺铜，请你算出皇冠被掺了多少克铜？ 【答案】（1）被掺了铜；计算说明见详解 （2）342克 【思路引导】（1）先通过排水法求出皇冠的体积，再计算假设皇冠是纯金时的体积，与实际体积比较判断是否掺铜。如果假设皇冠是纯金时的体积小于实际体积，说明皇冠被掺了铜。 （2）设皇冠被掺了x克铜，则金的质量为（950－x）克。根据体积关系列方程求解，即铜的体积加上金的体积等于实际皇冠的体积。铜的体积为x÷9，金的体积为（950－x）÷19，实际皇冠体积为70立方厘米，据此列出方程为：（950－x）÷19＋x÷9＝70，计算出结果即可。 【完整解答】（1）950÷19＝50（立方厘米） 50立方厘米＝50毫升 因为50毫升＜70毫升，所以这顶皇冠被掺了铜。 （2）解：设皇冠被掺了x克铜，则金的质量为（950－x）÷19 （950－x）÷19＋x÷9＝70 9×（950－x）＋19×x ＝ 70×171 8550－9x＋19x ＝ 11970 8550－10x－8550＝11970－8550 10x＝3420 x＝342 答：皇冠被掺了342克铜。 【考点评析】本题涉及了密度、质量、体积三者的关系，在列方程时，需要理解皇冠由纯金和铜两部分组成，同时运用三者的数量关系，有一定难度。 【训练5】两堆煤，甲堆煤的重量占总重量的，如果从甲堆煤里取出26吨，从乙堆煤里取出10吨，两堆煤剩下重量的比是1∶1，求甲乙两堆煤共有多少吨？ 【答案】64吨 【思路引导】把总重量看作单位“1”，已知原来甲堆煤的重量占总重量的，原来乙堆煤的重量占总重量的（1－），假设甲乙两堆煤共有x吨，根据分数乘法的意义，可知原来甲堆煤的重量是x吨，原来乙堆煤的重量是（1－）x吨；已知两堆煤剩下重量的比是1∶1，根据比的意义，可知两堆煤剩下重量相等，据此可知原来甲堆煤的重量－26吨＝原来乙堆煤的重量－10吨，列方程为x－26＝（1－）x－10，然后解出方程即可。 【完整解答】解：设甲乙两堆煤共有x吨。 x－26＝（1－）x－10 x－26＝x－10 x＝x－10＋26 x＝x＋16 x－x＝16 x＝16 x＝16÷ x＝16×4 x＝64 答：甲乙两堆煤共有64吨。 【考点评析】本题可用列方程解决问题，找到相应的数量关系是解答本题的关键。 考点07：列方程解稍复杂的实际问题知识精讲 一、理解鸡兔同笼问题 鸡兔同笼问题是一个典型的假设法问题，它涉及到两个未知数：鸡的数量和兔子的数量。在这个问题中，我们知道每只鸡有2只脚，每只兔子有4只脚，同时我们还知道总的头数和脚数。我们需要通过列方程来求解这两个未知数。 二、设立未知数 在解决鸡兔同笼问题时，我们通常会设立两个未知数，分别表示鸡的数量和兔子的数量。这两个未知数通常用字母来表示，例如设鸡的数量为x，兔子的数量为y。 三、建立方程 根据题目中的条件，我们可以建立两个方程来表示鸡和兔子的数量与头数和脚数之间的关系。第一个方程通常表示头数的总和，即鸡和兔子的数量之和等于总头数；第二个方程表示脚数的总和，即鸡的脚数（每只鸡2只脚）和兔子的脚数（每只兔子4只脚）之和等于总脚数。 具体来说，如果总头数为H，总脚数为F，我们可以建立以下方程组： x + y = H （鸡和兔子的数量之和等于总头数） 2x + 4y = F （鸡的脚数和兔子的脚数之和等于总脚数） 题型讲练 【典例精讲】沈艳爱好集邮，她用35.2元买了8角和2元的邮票共32枚。她买了多少枚2元的邮票？ 【答案】8枚 【思路引导】根据1元＝10角，把8角化成0.8元，设她买了2元的邮票x枚，则买了（32－x）枚8角的邮票，根据等量关系：“2元邮票的总价＋8角邮票的总价＝35.2元”列方程解答即可求出买2元邮票的数量。 【完整解答】解：设她买了2元的邮票x枚。 2x＋0.8×（32－x）＝35.2 2x＋25.6－0.8x＝35.2 1.2x＋25.6＝35.2 1.2x＋25.6－25.6＝35.2－25.6 1.2x＝9.6 1.2x÷1.2＝9.6÷1.2 x＝8 答：她买了8枚2元的邮票。 【训练1】某超市需要购进甲、乙两种商品共160件。其进价和售价如下表，该超市计划售完这批商品获利1200元。 （1）售出一件甲商品获利（    ）元；售出一件乙商品获利（    ）元。 （2）甲、乙两种商品应分别购进多少件？ 甲 乙 进价（元/件） 15 35 售价（元/件） 20 45 【答案】（1）5；10 （2）甲80件；乙80件 【思路引导】（1）根据“获利＝售价－进价”，分别求出售出一件甲、乙商品的获利。 （2）根据“购进甲、乙两种商品共160件”可以设乙种商品购进件，则甲种商品购进（160－）件； 根据“该超市计划售完这批商品获利1200元”可得出等量关系：每件甲种商品的获利×甲种商品的件数＋每件乙种商品的获利×乙种商品的件数＝两种商品售完后的总获利，据此列出方程，并求解。 【完整解答】（1）20－15＝5（元） 45－35＝10（元） 售出一件甲商品获利（5）元；售出一件乙商品获利（10）元。 （2）解：设乙种商品购进件，则甲种商品购进（160－）件。 10＋5（160－）＝1200 10＋800－5＝1200 5＋800＝1200 5＝1200－800 5＝400 ＝400÷5 ＝80 甲：160－80＝80（件） 答：甲、乙两种商品应分别购进80件。 【训练2】同学们在美术课上学习制作中国结，制作一个小中国结需要7分米红绳，制作一个大中国结需要11分米红绳，一共做了20个中国结，共用去184分米红绳。请问同学们制作了多少个大中国结？ 【答案】11个 【思路引导】分析题目，设同学们制作了x个大中国结，则制作了（20－x）个小中国结，根据等量关系式：制作一个大中国结需要的红绳长度×制作的大中国结的个数＋制作一个小中国结需要的红绳长度×制作的小中国结的个数＝184列出方程11x＋7（20－x）＝184，进一步解出方程即可。 【完整解答】解：设同学们制作了x个大中国结，则制作了（20－x）个小中国结。 11x＋7（20－x）＝184 11x＋140－7x＝184 4x＝184－140 4x＝44 4x÷4＝44÷4 x＝11 答：同学们制作了11个大中国结。 【训练3】六年级数学兴趣小组的同学准备了一个无盖的圆柱容器和、两种型号铁球各若干个，准备做实验。（实验过程中水的损耗忽略不计） 步骤一：往圆柱形容器中加入一定量的水，水面高度为40毫米，保证容器内的水能够淹没所有的铁球。 步骤二：先放入3个型号铁球，经过测量水面的高度上涨了12毫米；再把3个型号铁球捞出，放入4个型号铁球，水面的高度恰好也上涨了12毫米。由此可得一个型号铁球可以使水位上升（    ）毫米，一个型号铁球可以使水位上升（    ）毫米。 步骤三：把之前的铁球全部捞出，然后放入型号与型号铁球共10个，水面高度涨到72毫米。 （1）把“步骤二”中的数据填写完整。 （2）放入水中的、两种型号的铁球各有多少个？（列式解答） 【答案】（1）4；3；（2）2个；8个 【思路引导】（1）水面上涨高度÷放入的A型号铁球个数＝一个A型号铁球使水位上升高度； 水面上涨高度÷放入的B型号铁球个数＝一个B型号铁球使水位上升高度，据此列式计算。 （2）设放入A型号x个，B型号铁球（10－x）个，根据A型号铁球个数×一个A型号铁球使水位上升高度＋B型号铁球个数×一个B型号铁球使水位上升高度＝水面上升高度，列出方程求出x的值是A型号铁球个数，总个数－A型号铁球个数＝B型号铁球个数。也可用“鸡兔同笼”中假设法来解决本题，选择喜欢的方式解决即可。 【完整解答】（1）12÷3＝4（毫米） 12÷4＝3（毫米） 一个A型号铁球可以使水位上升4毫米，一个B型号铁球可以使水位上升3毫米。 （2）解：设放入A型号x个，B型号铁球（10－x）个。 （个） 答：放入水中的A型号的铁球有2个，B种型号的铁球有8个。 【训练4】有一项工程，甲队单独做12天完成，甲队和乙队合作8天完成。若甲队单独做若干天之后，乙队接着单独做完，且两个工程队共用18天，则乙队做了 天。 【答案】12 【思路引导】把这项工程的总量看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，分别用1÷12和1÷8求出甲队的工作效率和两队的工作效率和，再用两队的工作效率和减去甲队的工作效率，即可求出乙队的工作效率；若甲队单独做若干天之后，乙队接着单独做完，且两个工程队共用18天，则假设乙队做了x天，甲队做了（18－x）天，根据工作总量＝工作时间×工作效率，列方程为（－）x＋×（18－x）＝1，然后解出方程即可。 【完整解答】1÷12＝ 1÷8＝ 解：设乙队做了x天。 （－）x＋×（18－x）＝1 x＋×（18－x）＝1 x＋－x＝1 －1＝x－x x－x＝－1 x＝ x＝÷ x＝×24 x＝12 乙队做了12天。 【考点评析】本题主要考查了工程问题和鸡兔同笼问题的综合应用，可列方程解决问题，也可用假设法解决问题。 【训练5】在安全知识问答大赛中，宁宁共抢答了12道题，最后得了56分。答对一道题加10分，答错一道题扣6分，宁宁答对了( )道题。 【答案】8 【思路引导】根据题意可设宁宁答对了x道题，则答错（12－x）道题，答对一道题加10分，答错一道题扣6分，据此可列出方程，解出未知数得出答案。 【完整解答】解：设宁宁答对了x道题，则答错（12-x）道题。 ，即宁宁答对了8道题。 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $$