（复习篇）专题01 数的运算（7个高频考点梳理+题型讲练 共42题）-2025年苏科版数学小升初暑假衔接精编培优复习讲义（六升七年级）

专题01 数的运算 （7个高频考点梳理+题型讲练 共42题）考点目录 考点01：整数和分数的巧算 2 考点02：四则混合运算中的巧算 3 考点03：定义新运算 13 考点04：高斯取整和高斯求和 25 考点05：积和商的变化规律 29 考点06：循环小数和分数 32 考点07：分数与百分数的相关应用题（多重条件） 34 学习目标 知识与技能目标 掌握数的四则运算（加、减、乘、除）的基本概念、运算法则及其基本性质。 理解加法、减法、乘法、除法的定义，并能正确运用其运算法则进行计算。 掌握分数、小数的概念，并能进行分数、小数的四则运算。 准确理解和使用运算符号（+、-、×、÷），并能读懂数学运算表达式。 能根据运算符号正确进行运算，理解运算的优先级和顺序。 掌握简单的四则运算技巧，如加减法口算、乘法口诀表等，提高计算速度和准确性。 能力目标 数的计算能力：能灵活运用四则运算进行简单的数学计算，提高解题能力。 解决问题能力：能运用数的四则运算解决实际生活中的计算问题，如购物、旅行等场景中的计算。 逻辑推理能力：能通过分析问题和运用数的运算进行正确的推理和判断。 衔接指引 小升初数学数的运算与初中数学在内容上存在明显的区别与联系 区别 数的范围与性质： 小升初数学：主要围绕整数、小数、分数的四则运算展开，强调基本的运算规则和方法。 初中数学：引入了有理数、无理数、实数等更广泛的数的概念，同时需要对数的性质（如相反数、绝对值、倒数等）有更深入的理解。 运算的复杂性： 小升初数学：数的运算相对简单，主要关注直接的四则运算和简单的混合运算。 初中数学：运算的复杂性增加，包括有理数的混合运算、整式的加减乘除、分式的运算等，同时还需要掌握运算的优先级和括号的使用。 符号与字母的使用： 小升初数学：虽然开始接触简单的代数概念，但主要仍以数的运算为主，较少使用符号和字母表示数。 初中数学：大量使用符号和字母表示数，进行代数运算，例如使用代数式表示数量关系、使用方程解决实际问题等。 思维方式： 小升初数学：主要侧重于直观思维和形象思维，通过具体的数和图形来理解数学概念。 初中数学：开始培养抽象思维和逻辑推理能力，需要理解更抽象的数学概念和规律，进行逻辑推理和证明。 联系 基础知识的延续：初中数学在数的运算上是对小升初数学的延续和深化，小升初数学所学的整数、小数、分数的四则运算规则和方法是初中数学学习的基础。 运算能力的提升：初中数学在数的运算上提高了难度和复杂度，要求学生通过更多的练习和思考提升运算能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。 代数概念的引入：小升初数学虽然较少使用符号和字母表示数，但已经开始接触简单的代数概念，为初中数学学习代数知识做好了铺垫。 解题方法的拓展：初中数学在解题方法上比小升初数学更加多样和灵活，例如通过列方程解决实际问题、使用代数式进行推导等，这些方法在小升初数学的基础上进行了拓展和延伸。 考点讲练 考点01：整数和分数的巧算知识精讲 整数四则运算 加法：合并两个或多个数的运算，遵循交换律和结合律，即a+b=b+a，a+b+c=a+(b+c)=(a+b)+c。 减法：减法是加法的逆运算，即a-b=a+(-b)。 乘法：求几个相同加数的和的简便运算，遵循交换律、结合律和分配律，即a×b=b×a，(a×b)×c=a×(b×c)，a×(b+c)=a×b+a×c。 除法：除法是乘法的逆运算，即a÷b=a×(1/b)。 整数巧算技巧 凑整法：通过添加或减去一个数，使原式中的某一部分变成整数，从而简化计算。 拆项法：将一个数拆分成易于计算的几个部分，再进行计算。 提取公因数法：在乘法运算中，提取出各个因数中共同的因子，简化计算。 分数的基本概念 分数是指两个整数之比，通常用表示，其中a为分子，b为分母（b≠0）。 分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 分数运算 分数加法：当分母相同时，直接相加分子；当分母不同时，先通分再相加。 分数减法：类似分数加法，只是相减分子。 分数乘法：分子乘分子，分母乘分母，然后化简。 分数除法：除以一个分数等于乘以这个分数的倒数。 分数巧算技巧 交叉相乘法：在分数乘除混合运算中，可以使用交叉相乘法来简化计算。 分数与小数的互化：当分数与小数混合运算时，可以先将它们互化为相同的数制（分数或小数），再进行计算。 分数拆分法：将一个分数拆分成两个或多个易于计算的分数之和或差，从而简化计算。 分数大小比较 通过比较分子和分母的大小关系来判断两个分数的大小。 使用通分法，将两个分数转化为同分母分数，然后比较分子大小。 题型讲练 【典例精讲】根据数据特点，灵活计算。 874÷23＋17×41           0.25×（7－2.6）           【答案】735；12.5； 1.1； 【思路引导】（1）整数四则运算里，先算乘除，后算加减。这道题有除法、乘法和加法，所以要先分别算出除法874÷23的商与乘法17×41的积，最后把所得结果相加 。 （2）看到÷7，根据分数除法规则，可转化为×；又因为0.125和相等，这样式子就出现了相同因数，能运用乘法分配律a×c ＋ b×c ＝（a＋b）×c来简便计算。 （3）在小数四则运算中，有小括号时，要先算小括号里面的运算，再算括号外面的。这道题先算小括号里的减法7－2.6，得到差后，再与括号外的0.25相乘 （4）分数四则运算遵循特定顺序，有多层括号时，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算括号外的。所以先算小括号内－的差，接着算中括号里这个差除以的商，最后用乘这个商得出结果。 【完整解答】（1）874÷23＋17×41 ＝38＋697 ＝735 （2） ＝＋×99 ＝＋×99 ＝×（1＋99） ＝×100 ＝0.125×100 ＝12.5 （3）0.25×（7－2.6） ＝0.25×4.4 ＝1.1 （4） ＝×[×] ＝× ＝ 【变式1】计算下面各题。 （1）391÷17×（100－12）      （2） （3）        （4） 【答案】（1）2024；（2）19； （3）；（4） 【思路引导】（1）有括号，先算括号里面的，再从左到右依次计算； （2）先把后面的除法，变成乘法，再利用乘法分配律简便计算即可； （3）先算小括号里面的，然后再从左到右依次计算，有分数除法，利用除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，把除法变成乘法，再计算； （4）先算小括号里面的加法，括号里的分数先通分，再相加，接着算小括号外面的乘法，再算减法，最后算中括号外面的除法。 【完整解答】（1）391÷17×（100－12） ＝391÷17×88 ＝23×88 ＝2024 （2） ＝ ＝ ＝19 （3） ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝ 【变式2】脱式计算。 46＋400÷（41－25）         【答案】71；； 【思路引导】（1）先算括号里面的减法，再算括号外面的除法，最后算括号外面的加法； （2）先算括号里面的乘法，再算括号里面的减法，最后算括号外面的除法； （3）先算括号里面的加法，再算算括号外面的除法，最后算括号外面的减法。 【完整解答】（1）46＋400÷（41－25） ＝46＋400÷16 ＝46＋25 ＝71 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【变式3】计算下面各题，能简算的要简算。 756－192÷16         6.4－2.77＋4.6－7.23                              【答案】744；1；； 1；；8 【思路引导】（1）先算除法，再算减法； （2）先交换“2.77”和“4.6”，然后根据减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）把6.4＋4.6－2.77－7.23变成（6.4＋4.6）－（2.77＋7.23），再按顺序进行计算； （3）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法； （4）先算除法，算式变成，然后根据减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）把算式变成，再按顺序进行计算； （5）先把除法转化成乘法，然后根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把变成，再按顺序进行计算； （6）先根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把变成，计算乘法后算式变成，根据加法交换律a＋b＝b＋a把算式变成，再按顺序进行计算。 【完整解答】（1）756－192÷16 ＝756－12 ＝744 （2）6.4－2.77＋4.6－7.23 ＝6.4＋4.6－2.77－7.23 ＝（6.4＋4.6）－（2.77＋7.23） ＝11－10 ＝1 （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （5） ＝ ＝ ＝ ＝ （6） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【变式4】计算下面各题，能简算的要简算。 ①4080÷12﹣24×1.5    ②－＋－    ③48×75%＋53×－0.75 ④8×（＋）＋    ⑤÷[×（－）]    ⑥＋＋＋＋ 【答案】304；；75 6；27； 【思路引导】①先同时计算除法和乘法，最后计算减法； ②把两个分母是8的分数相加，然后运用连减的性质减去两个分母是7的分数的和； ③把百分数化成小数，把分数化成小数，然后运用乘法分配律简便计算； ④先运用乘法分配律，然后运用加法结合律把两个分数相加； ⑤先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法； ⑥，，像这样把每个分数都拆分成两个分数的差，然后去掉括号后计算即可。 【完整解答】①4080÷12﹣24×1.5 ＝340﹣36 ＝304 ②﹣＋﹣ ＝（＋）﹣（＋） ＝1﹣1 ＝ ③48×75%＋53×﹣0.75 ＝48×0.75＋53×0.75﹣0.75 ＝（48＋53﹣1）×0.75 ＝100×0.75 ＝75 ④8×（＋）＋ ＝8×＋8×＋ ＝5＋＋ ＝5＋（＋） ＝5＋1 ＝6 ⑤ ÷[×（﹣）] ＝÷[×] ＝÷ ＝27 ⑥＋＋＋＋ ＝（1﹣）＋（﹣）＋（﹣）＋（﹣）＋（﹣） ＝1﹣＋﹣＋﹣＋﹣＋﹣ ＝1﹣ ＝ 【考点评析】本题考查了整数、分数的四则混合运算，分数的简便计算以及小数、分数和百分数的简便计算，灵活运用运算定律和简便方法。 【变式5】脱式计算。 92.7－18.5＋7.3－81.5                  【答案】0；7.55；120； ；6； 【思路引导】根据加法交换律和减法的性质，把原式化为：（92.7＋7.3）－（18.5＋81.5）进行简算； 先把除法变为乘法，即原式变为.5＋××0.25，再按照四则运算的顺序计算，先算×，再算×0.25，最后算加法； 根据乘法分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c，把原式化为：34×26×＋34×26× 进行简算； 先算新客户里的减法，再算中括号里的除法，最后算中括号外的除法； 先把分数、百分数化成小数，再根据乘法分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c的逆运算：a×b＋a×c＝a×（b＋c），把原式化为：（3.3＋7.7－1）×0.6进行简算； 先算括号里的加法，再算括号外的除法，最后算括号外的减法。 【完整解答】92.7－18.5＋7.3－81.5 ＝92.7＋7.3－18.5－81.5 ＝（92.7＋7.3）－（18.5＋81.5） ＝100－100 ＝0 7.5＋÷4×0.25 ＝7.5＋××0.25 ＝7.5＋×0.25 ＝7.5＋0.05 ＝7.55 ＝34×26×＋34×26× ＝52＋68 ＝120 ＝÷[÷] ＝÷[×4] ＝÷ ＝× ＝ 0.6×3.3＋×7.7－60% ＝0.6×3.3＋0.6×7.7－0.6×1 ＝（3.3＋7.7－1）×0.6 ＝（11－1）×0.6 ＝10×0.6 ＝6 ＝－（＋）× ＝－× ＝－ ＝－ ＝ 考点02：四则混合运算中的巧算知识精讲 四则混合运算的基本规则 运算顺序： 同级运算时，从左到右依次计算； 两级运算时，先算乘除，后算加减； 有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的；有多层括号时，先算小括号里的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的。 括号运算：括号里的运算，仍按照先乘除，后加减，同级运算从左到右的顺序进行计算。 巧算技巧 凑整法：观察数字特点，运用加法和乘法的定律以及减法和除法的性质，凑成整千、整百、整十的数，直接进行简便运算。 例如：3643-74+6357-126，通过凑整法，可以简化为(3643+6357)-(74+126)。 交换律和结合律：在连乘或连除的算式中，应用乘法的交换律和结合律，先算能凑成整数的乘积，使计算简便。例如：125×25×4×8，可以先算125×8和25×4，得到整千、整百的数，再进行计算。 连除的运算规律： 在连除的算式中，可以将除数相乘凑成整百或整十的数，再用被除数除以这个数，使计算简便。 例如：1400÷25÷4，可以先算25×4，再用1400除以这个数。 分步计算： 对于较复杂的算式，可以采用分步计算的方法，先计算一部分，再与剩下的部分进行运算。 例如：484+250×，可以先算250×，再将结果与484相加。 注意事项 在运算过程中，要注意运算顺序，遵循先乘除后加减、先括号内后括号外的原则。 在运用巧算技巧时，要注意观察数字的特点和运算的规律，灵活运用各种运算定律和性质。 在计算过程中，要保持细心和耐心，避免因粗心导致的错误。 题型讲练 【典例精讲】用你喜欢的方法计算。 0.38×＋0.62×37.5%          ×1.25×51×8 （＋）×13－39÷40        ÷[－（＋）] 【答案】；90； 1； 【思路引导】（1）先把37.5%化成分数，再根据乘法分配律进行简便计算。 （2）根据乘法交换律和乘法结合律，把算式变成（）×（1.25×8），再按顺序计算。 （3）先根据乘法分配律把算式变成，先算乘法，变成，再添上括号变成，最后按顺序计算。 （4）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的减法，最后算括号外面的除法。 【完整解答】（1）0.38×＋0.62×37.5% ＝0.38×＋0.62× ＝（0.38＋0.62）× ＝1× ＝ （2）×1.25×51×8 ＝（×51）×（1.25×8） ＝9×10 ＝90 （3） ＝ （4） ＝ 【训练1】计算下面各题（能简算的要简算）。 0.25×3.2×1.25                                 【答案】1；；5.2； 75；；24 【完整解答】（1）把3.2看成4×0.8，再按照乘法结合律计算； （2）先算除法，再算减法； （3）按照加法交换律和减法的性质计算； （4）把原式化为17×0.75＋84×0.75－0.75×1，再按照乘法分配律计算； （5）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的减法，最后算除法； （6）按照乘法分配律进行简算。 【解答】（1）0.25×3.2×1.25 ＝0.25×（4×0.8）×1.25 ＝（0.25×4）×（0.8×1.25） ＝1×1 ＝1 （2） ＝ ＝45－ ＝ （3）6.35－－（－4.65） ＝6.35－－＋4.65 ＝6.35＋4.65－－ ＝（6.35＋4.65）－（＋） ＝11－ ＝5.2 （4）17×75%＋84×－0.75 ＝17×0.75＋84×0.75－0.75×1 ＝0.75×（17＋84－1） ＝0.75×100 ＝75 （5）÷[2－（＋）] ＝÷[2－（＋）] ＝÷[2－] ＝÷ ＝ ＝ （6）（＋－）×48 ＝×48＋×48－×48 ＝36＋8－20 ＝24 【训练2】脱式计算（能简算的要简算）。 9.15－7.25－2.75＋10.85    72×（＋＋）    0.32×1.2＋3.8×32% 88×56－44×92    14.4÷[（4.4－3.8）×6]    ×（＋1÷） 【答案】10；33；1.6 880；4； 【思路引导】（1）根据加法交换律和减法性质，将原式变成（9.15＋10.85）－（7.25＋2.75），即可简算。 （2）根据乘法分配律，将原式变成72×＋72×＋72×，即可简算。 （3）先将32%化成0.32，再根据乘法分配律，将原式变成0.32×（1.2＋3.8），即可简算。 （4）先将88×56改写成44×2×56，根据乘法分配律，将算式变成44×（2×56－92），即可简算。 （5）先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算括号外的除法。 （6）先算小括号里的除法，再算小括号里的加法，最后算括号外的乘法。 【完整解答】（1）9.15－7.25－2.75＋10.85 ＝9.15＋10.85－7.25－2.75 ＝（9.15＋10.85）－（7.25＋2.75） ＝20－10 ＝10 （2）72×（＋＋） ＝72×＋72×＋72× ＝12＋9＋12 ＝33 （3）0.32×1.2＋3.8×32% ＝0.32×1.2＋3.8×0.32 ＝0.32×（1.2＋3.8） ＝0.32×5 ＝1.6 （4）88×56－44×92 ＝44×2×56－44×92 ＝44×（2×56－92） ＝44×（112－92） ＝44×20 ＝880 （5）14.4÷[（4.4－3.8）×6] ＝14.4÷[0.6×6] ＝14.4÷3.6 ＝4 （6）×（＋1÷） ＝×（＋1×） ＝×（＋） ＝×（＋） ＝× ＝ 【训练3】脱式计算，能简算的要简算。                      【答案】；29； 0.75； 【思路引导】（1）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的除法，最后算中括号外面的乘法； （2）先交换“”和“”的位置，然后根据加法减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）把变成，再按顺序计算； （3）先把、25%变成0.25，然后根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把变成，再按顺序计算； （4）先把2024拆成2023＋1，然后根据乘法分配律计算（a＋b）×c＝a×c＋b×c把变成，再按顺序计算。 【完整解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝ 【训练4】计算题。                   【答案】330；； ； 【思路引导】第1小题，分母部分利用完全平方公式：化简；分子部分观察数字规律，将66×22改写成33×44，再提取公因数进行简便运算； 第2小题，观察数字规律，将改写成，将改写成，将改写成，再根据乘法分配律的逆运算进行简便运算； 第3小题，，，……，可得规律：，据此计算即可； 第4小题，根据及裂项消去法代入化简即可。 【完整解答】 【训练5】能简便计算的简便计算。                 【答案】1.25； 【思路引导】（1）先把分数和百分数统一转化为小数，再根据乘法分配律进行简便计算； （2）先把每项依次拆成两个数相减的形式：；；；；；；，再进行简便计算。 【完整解答】 考点03：定义新运算知识精讲 定义新运算的基本概念 定义新运算是指用一个特殊的符号（如⊕、△、⊙等）和已知运算表达式相结合，来表示一种全新的运算形式。这种新定义的运算形式与常规的四则运算（加、减、乘、除）不同，它们在不同的题目中往往拥有不同的运算规则。 解题方法与步骤 理解新定义：首先，需要正确理解题目中给出的新运算定义，明确新运算符号所代表的运算规则。 代入数值：根据新定义的运算规则，将题目中给出的具体数值代入到表达式中。 进行计算：按照新定义的运算规则，将代入数值后的表达式转化为常规的四则运算算式进行计算。 注意括号：如果算式中有括号，需要按照运算法则先计算括号里面的内容，得到结果后再进行下一步的计算。题型讲练 【典例精讲】我们学过＋、－、×、÷这四种运算。现在规定“*”是一种新的运算。 ，如：。那么( )。 【答案】45 【思路引导】定义新运算的一般解题步骤： （1）关键问题：审题。正确理解定义的运算符号的意义。 （2）严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，准确找出要计算的习题中数据与定义中字母的对应关系，把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。 （3）求解。 【完整解答】 【考点评析】定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 【训练1】对于任意两个数x和y定义新运算，运算规则如下： x◆y＝x·y－x÷2；x©y＝x＋y÷2； 按此规则计算：（1）3.6◆2＝ ；（2）2◆（7.5©5）＝ 。 【答案】 5.4 19 【思路引导】（1）根据新运算规则：x◆y＝x·y－x÷2，把x＝3.6，y＝2代入计算即可； （2）根据新运算规则：x©y＝x＋y÷2，先算出7.5©5的值，再根据x◆y＝x·y－x÷2，算出整个算式的值。 【完整解答】（1）x◆y＝x·y－x÷2，当x＝3.6，y＝2时 3.6◆2＝3.6×2－3.6÷2 ＝7.2－1.8 ＝5.4 （2）x©y＝x＋y÷2 2◆（7.5©5） ＝2◆（7.5＋5÷2） ＝2◆（7.5＋2.5） ＝2◆10 ＝2×10－2÷2 ＝19 【考点评析】解题的关键是根据所给的式子，得出新的运算方法，再利用新的运算方法解答。 【训练2】设A、B都表示数，规定A△B表示A的4倍减去B的3倍，即：A△B＝4×A－3×B。计算5△6的结果为( )。 【答案】2 【思路引导】根据规定可知：5△6＝4×5－3×6，计算即可。 【完整解答】5△6 ＝4×5－3×6 ＝20－18 ＝2 【考点评析】解答此题的关键是，根据所给的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法解答。 【训练3】规定“”为一种新运算，对于任意两个数和都有，如果，已知，求的值。 【答案】x＝ 【思路引导】根据题中的新定义计算即可。 【完整解答】根据题中的新定义可得：＋＝5 解方程可得x＝ 答：的值是。 【考点评析】本题是一道定义新运算问题，解题的关键是正确理解定义的运算符号的意义。 【训练4】定义新运算“”如下：当时，；当时，。则当时，的值为( )。 【答案】1 【思路引导】利用规定的运算方式，按照运算顺序计算即可，注意区分定义新运算“”前后数据的大小，代入不同的运算。 【完整解答】当时，＝1 【考点评析】关键是要正确地理解定义新运算的算式含义，分别得出结果。 【训练5】定义a×b＝2×{}＋3×{}，其中符号{x}表示x的小数部分，如{2.016}＝0.016。那么，1.4×3.2＝ 。(结果用小数表示。) 【答案】3.7 【思路引导】由a×b＝2×{}＋3×{}可得1.4×3.2＝2×{}＋3×{}＝2×{0.7}＋3×{}；又因为符号{x}表示x的小数部分，所以2×{0.7}＋3×{}＝2×0.7＋3×；计算出结果即可。 【完整解答】由分析可得： 1.4×3.2＝2×{}＋3×{} ＝2×{0.7}＋3×{} ＝2×0.7＋3× ＝1.4＋2.3 ＝3.7 故答案为：3.7 【考点评析】本题考查了新定义运算的计算，此题的关键是要理解题目所给的新定义运算的特点和符号{x}的意义，计算时要注意细心。 考点04：高斯取整和高斯求和 知识精讲 高斯取整 1. 基本概念 高斯取整（通常也称为整数部分取整或向下取整）是指找到不大于给定数x的最大整数，通常记作⌊x⌋。例如，⌊3.14⌋ = 3，⌊-2.7⌋ = -3。 2. 性质 对于任意实数x，都有x-1 < ⌊x⌋ ≤ x。 若x为整数，则⌊x⌋ = x。 ⌊x+n⌋ = ⌊x⌋ + n，其中n为整数，且x+n不为负数。 3. 应用 高斯取整在解决一些实际问题时非常有用，如计算某个数能分成多少个完整的单位（如绳子能截成多少个一米长的小段）。 高斯求和 1. 基本概念 高斯求和是指使用一种巧妙的方法来计算等差数列的和。德国数学家高斯在童年时就发现了这种方法，用于快速计算1到100（或任何等差数列）的和。 2. 高斯求和公式 对于等差数列，首项为a，末项为l，项数为n，其和S可以通过以下公式计算： S = (a + l) × n ÷ 2 或者，如果知道首项a、公差d和项数n，则可以使用以下公式： S = × [2a + (n-1)d] 3. 推导过程 高斯发现，等差数列中的数可以两两配对，每对的和都是相等的。例如，在1到100的数列中，1和100配对，2和99配对，依此类推，直到50和51配对。每对的和都是101，总共有50对，所以总和是50 × 101 = 5050。 4. 应用 高斯求和公式在解决等差数列求和问题时非常有用，它大大简化了计算过程，使计算变得更加高效和准确。 题型讲练 【典例精讲】已知，则的整数部分是( )。 【答案】100 【思路引导】观察发现，可以先将所有的分数看作，则和一定小于20个； 同理，将所有的分数的看作，则和一定大于20个。 再分别算出的值，找出取值范围后得出整数部分。 【完整解答】 则的整数部分是100。 【训练1】[a]表示不超过a的最大整数，称为a的整数部分，例如：[0]＝0，[0.03]＝0，[10.98]＝10，那么数列，，，，……中共出现了 个互不相同的数。 【答案】1508 【思路引导】，所以从到表示的数都是0。可以知道前面很多数都表示同一个值，又，可以知道在1006以后的平方的差会超过2011，即以后能够取的整数都互不相同。从1006到2010共有1005个数。而，所以0~502的值都是可以取到的。据此即可解答。 【完整解答】由于，则在1006以后的平方的差会超过2011，即以后能够取的整数都互不相同。从1006到2010共有1005个数。 由于，而1005及之前两个数的平方差都不会超过2010，即502以下的自然数都能取到。这部分有0到502共有503个数。503＋1005＝1508（个），所以共出现了1508个互不相同的数。 【考点评析】此题考查了公式：，用平方数来锁定取值范围。平方的差会超过2011之后，相邻的两个数的取值差会大于或者等于1。 【训练2】设S=． 则S的整数部分=？ 【答案】 200 【完整解答】解：因为×10＜++…+＜×10， 所以200＜S＜200.9 所以S的整数部分为200． 答：S的整数部分为200．                    【思路引导】利用×10＜++…+＜×10，可得200＜S＜200.9，即可得出S的整数部分． 【训练3】优优学习英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了14个。优优这些天一共学会了多少个单词？ 【答案】90个 【思路引导】根据第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，则学的单词的个数分别为6、7、8、…、14，然后将这些单词的个数相加即可。单词的个数是一串等差数列，利用等差数列求和公式Sn＝（首项＋末项）×项数÷2计算总共学的单词。 【完整解答】6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14 ＝（6＋14）×9÷2 ＝20×9÷2 ＝10×9 ＝90 答：优优这些天一共学会了90个单词。 【训练4】小明练习珠算，用，当加到某个数时，和是1300，验算时发现重复加了一个数，则重复加的数是（    ）。 A．15 B．25 C．35 D．45 【答案】B 【思路引导】因为重复加了一个数，所以实际的和没有到1300，采用尝试的方法，找到从1到多少的和接近1300，而和与1300的差就是重复加的那个数，由此解答即可。 【完整解答】（1＋50）×50÷2 ＝51×50÷2 ＝1275； 1300－1275＝25； 故答案为：B。 【考点评析】本题有一定的难度，在计算这个算式时，可利用高斯求和公式完成（1＋2＋3＋……＋n＝n（n＋1）÷2），尝试找到1到多少的和接近1300是解答本题的关键。 【训练5】9个连续自然数的和是2007，其中最小的自然数是 ． 【答案】219   【思路引导】根据题意，把把这些数从小往大排，2007÷9=223是最中间的数，也就是第5个数是223，因为是连续的自然数，所以第5个数比最小的数大5﹣1=4，用223减去4就是要求的数． 【完整解答】根据题意可得： 中间的数是：2007÷9=223，即第5个数是223，因为第5个数比最小的数大5﹣1=4， 所以最小数自然数是：223﹣4=219． 答：最小的自然数是219． 考点05：积和商的变化规律知识精讲 积的变化规律 当两个数相乘时，如果一个因数扩大（或缩小）N倍（N为非0自然数），而另一个因数不变，那么它们的积也扩大（或缩小）N倍。 当两个数相乘时，如果一个因数扩大a倍，另一个因数扩大b倍，那么它们的积就扩大a×b倍。 如果两个数相乘时，一个因数扩大了N倍，而另一个因数缩小了N倍，那么它们的积不变。 商的变化规律 在除法算式中，如果被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数（0除外），那么商不变。 如果被除数不变，除数扩大多少倍，商就缩小相同的倍数；反之，除数缩小多少倍，商就扩大相同的倍数。 如果除数不变，被除数扩大（或缩小）多少倍，商也扩大（或缩小）相同的倍数。 题型讲练 【典例精讲】正方体棱长扩大到原来的2倍，体积扩大到原来的（    ）倍。 A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍 【答案】D 【思路引导】根据正方体的体积计算公式v＝a3，以及因数与积的变化规律，正方体棱长扩大到原来的2倍，体积扩大到原来的2的立方数倍。由此解答。 【完整解答】 正方体棱长扩大到原来的2倍，体积扩大原来的2的立方数倍，即扩大到原来的8倍。 故答案为：D 【训练1】一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，则体积扩大到原来的6倍。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】积的变化规律：如果一个因数扩大到原来的几倍，另一个因数不变，那么积也扩大到原来的几倍。长方体的体积＝长×宽×高，那么长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，体积扩大到原来的2×2×2＝8倍。 【完整解答】通过分析可得： 2×2×2＝8，则一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，则体积扩大到原来的8倍。原题说法错误。 故答案为：× 【训练2】根据规律填空。 12345679×9＝111111111 12345679×18＝222222222 12345679×27＝333333333 12345679×( )＝444444444 【答案】36 【思路引导】积的变化规律：两个数相乘，一个因数不变，另一个因数扩大多少倍，积也扩大多少倍，12345679这个因数不变，9扩大多少倍，积也跟随扩大多少倍，据此分析解答。 【完整解答】12345679×（9×4）＝111111111×4＝444444444 因此，12345679×36＝444444444。 【训练3】如果a＞b＞c＞0，下面算式（    ）的商最大。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】据“被除数÷除数＝商”，当被除数相同时（本题中被除数都是2 ），除数越小，商越大，所以需要比较四个选项中除数的大小。 【完整解答】A．因为a＞b＞0，所以＞1； B．由于a＞c＞0，所以＞1 ，且a不变，c＜b，那么＞； C．因为a＞c＞0，所以0<<1 ； D．因为a＞b＞0，所以0<<1 ，且a不变，b＞c，所以＞。 所以最小，的商最大。 故答案为：C 【训练4】下列说法正确的是（    ）。 ①0.77777是循环小数。 ②方程一定是等式。 ③a÷0.5＝b×0.8＝c×1（a、b、c均不等于0），则a＜c＜b。 ④在计算5.22÷8.7时，如果去掉被除数和除数的小数点，那么商扩大到原来的10倍。 A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【思路引导】①一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数。像5.333…和7.14545…都是循环小数。循环小数一定是无限小数； ②含有未知数的等式叫作方程，由方程的意义可知，方程必须同时满足以下两个条件：（1）是等式；（2）含有未知数；两个条件缺一不可； ③假设等式的值为1，分别求出a、b、c的值再比较大小； ④由商的变化规律可知，被除数扩大到原来的100倍，除数扩大到原来的10倍，则商扩大到原来的10倍，据此解答。 【完整解答】①0.77777是有限小数，不是循环小数。 ②由方程的意义可知，方程一定是等式。 ③假设a÷0.5＝b×0.8＝c×1＝1。 a：1×0.5＝0.5 b：1÷0.8＝1.25 c：1÷1＝1 因为0.5＜1＜1.25，所以a＜c＜b。 ④5.22去掉小数点后扩大到原来的100倍，8.7去掉小数点后扩大到原来的10倍，5.22÷8.7＝0.6，522÷87＝6，0.6扩大到原来的10倍是6，所以在计算5.22÷8.7时，如果去掉被除数和除数的小数点，那么商扩大到原来的10倍。 综上所述，说法正确的是②③④。 故答案为：D 【训练5】甲÷乙=68……2,把甲数和乙数同时扩大到原来的10倍,得数是(　　)． A．68……2 B．68……20 C．680……20 【答案】B 【完整解答】略 考点06：循环小数和分数知识精讲 分数与循环小数的关系 纯循环小数可以改写为分数形式，其分子是一个循环节的数字组成的数，分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同。 混循环小数改写为分数时，分子是不循环部分与第一个循环节连成的数字组成的数减去不循环部分数字组成的数之差，分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同。 实际应用 分数在日常生活和数学计算中有着广泛的应用，例如在测量、比例分配、计算概率等方面。循环小数则经常出现在除法运算和无限不循环小数的近似表示中。 题型讲练 【典例精讲】将化成小数，小数部分第100位上的数字是( )。 【答案】8 【思路引导】把化成小数是，循环节是6位数字，用100除以6，商为循环节数，根据余数即可确定小数部分第100位上的数字。 【完整解答】＝ 100÷6＝16……4 每个循环节的第四个数字是8。 小数部分第100位上的数字是8。 【训练1】在0.143、14%、、、﹣0.1433中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 ﹣0.1433 【思路引导】小数比较大小的方法：看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次往右进行比较，直到比出大小为止； 有几个不同形式的数比较大小，一般情况下，都化为小数进行比较得出答案；分数化小数，用分子除以分母；百分数化小数，将小数点向左移动两位，再去掉百分号；循环小数改写成一般形式，多写出小数部分的几位数； 正数和负数比较大小：负数小于正数；据此解答。 【完整解答】14%＝0.14、≈0.143143、≈0.142857 0.143143＞0.143＞0.142857＞0.14＞﹣0.1433 所以最大的数是，最小的数是﹣0.1433。 【训练2】在，，，30%这四个数中，最大的数是（    ）。 A． B． C． D．30% 【答案】C 【思路引导】把循环小数的简写形式改写成无限小数形式；把分数化成小数，用分子除以分母即可；把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位；然后根据小数大小的比较方法进行比较。 小数大小的比较：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次往右进行比较，直到比出大小为止。 【完整解答】＝0.3131… ＝0.313313… ＝1÷3＝0.333… 30%＝0.3 0.333…＞0.313313…＞0.3131…＞0.3 即＞＞＞30%。 这四个数中，最大的数是。 故答案为：C 【训练3】3.0913591359135…小数点后第2024位上是数字5。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据题意，从小数点后面第二位开始，以“9135”为一个循环，每4位数字一循环，计算第2024位是第几组循环零几位，余几就是第几个，即可判断。 【完整解答】（2024－1）÷4 ＝2023÷4 ＝505（组）……3 2024位小数是3，所以原题说法错误。 故答案为：× 【训练4】移动循环小数5.0858的前一个循环点后,使新的循环小数尽可能大.这个新的循环小数是 . 【答案】5.0856 【训练5】在0.,0.1,,-33.中,最大的数是(　　)． A．-33. B．0.1 C．0. D． 【答案】B 考点07：分数与百分数的相关应用题（多重条件）知识精讲 【典例精讲】某停车场实施分段计费：不超过10个小时的部分每小时5元；超过10的小时不超过24小时的部分每小时4元；超过24小时的部分每小时3元（按整数小时计时收费，不足1小时的部分按1时间计算）。李老师两次在停车场停车共计40小时，停车费共交了176元。求两次停车各多长时间？ 【答案】12小时；28小时 【思路引导】假设一次停10小时，另一次停30小时，则停车费为：（10＋10）×5＋（24－10）×4＋（30－24）×3＝174（元），小于176元，所以判断两次停车都会超过10小时；假设两次停车都是在10—24小时内，那么停车费为：5×（10＋10）＋4×（40－10－10）＝180（元），180＞176，所以两次停车，一次停车时间在10—24小时内，另一次停车时间超过24小时；设一次停车x小时，10＜x＜24小时，则另一次停车（40－x）小时；根据停车收费标准，不超过10是小时的部分每小时5元，超过10小时没超过24小时的部分每小时4元，超过24小时部分每小时3元，列方程：5×10＋4×（x－10）＋5×10＋4×14＋3×（40－x－24）＝176，据此即可解答。 【完整解答】假设有一次停10小时，另一次停30小时。 （10＋10）×5＋（24－10）×4＋（30－24）×3 ＝100＋14×4＋6×3 ＝100＋56＋18 ＝174（元） 174＜176 所以两次停车都会超过10小时。 假设两次停车都是在10—24小时内。 5×（10＋10）＋4×（40－10－10） ＝100＋80 ＝180（元） 180＞176，所以两次停车，一次停车时间在10—24小时内，另一次停车时间超过24小时。 解：设一次停车x小时（10＜x＜24），则另一次停车（40－x）小时。 5×10＋4×（x－10）＋5×10＋4×14＋3×（40－x－24）＝176 50＋4x－40＋50＋56＋3×（16－x）＝176 10＋4x＋50＋56＋3×16－3x＝176 60＋56＋4x＋48－3x＝176 116＋48＋x＝176 164＋x＝176 x＝176－164 x＝12 40－12＝28（小时） 答：两次停车时间分别是12小时和28小时。 【考点评析】判断出两次停车时间在哪个时间段是解答本题的关键。 【训练1】一件工程，乙队先做4天，继而甲、丙两队合作6天，剩下的工程甲队独做9天完成，已知乙队完成的是甲队完成的，丙队完成的是乙队完成的2倍，甲、乙、丙三队独做各需要多少天？ 【答案】30天；24天；18天 【思路引导】工程问题蕴含的数量关系：工作总量＝工作效率×工作时间。 把甲队完成的工作量看作单位“1”，根据题意，可把甲完成的量看作1，那么乙完成的量就看作，丙完成的量看作，即这项工程就是＋＋1＝2。 列式：1÷2，求出甲完成这项工程的几分之几，甲工作的天数÷甲完成工作量占工程总量的分率＝甲完成单独工作所需的总天数；同理，据此再分别求出乙和丙单独完成所需天数。 【完整解答】甲工作天数：6＋9＝15（天） 乙工作天数：4天 丙工作天数：6天 将甲完成的量看作1，那么乙完成的量就看作，丙完成的量看作，即这项工程就是＋＋1＝2 甲完成这项工程的1÷2＝ 那么甲单独完成需要15÷＝30（天） 乙完成这项工程的÷2＝ 那么乙单独完成需要4÷＝24（天） 丙完成这项工程的÷2＝ 那么丙单独完成需要6÷＝18（天） 答：甲、乙、丙独做各需30天、24天、18天。 【考点评析】解答此题的关键是要找到每人完成天数占工作总量的几分之几。 【训练2】小明用黑白两色的小三角形绘制了一个三角图案，前四行已给出。 （1）前四行中黑色小三角形所占的比例是__________%。 （2）如果小明要画出第五行，请问在第五行中黑色小三角形所占的比例是__________%。 （3）如果小明要画出更多行，他认为无论画多少行，整个大三角形中，黑色小三角形所占的比例都不会超过50%。你支持他的说法吗，为什么？ 【答案】（1）62.5 （2）55.6 （3）不支持；理由见详解 【思路引导】（1）前四行中，黑色小三角形共有10个，白色小三角形共有6个。求黑色小三角形所占的比例用黑色小三角形个数除以黑、白三角总个数，结果用百分数表示。 （2）根据三角形的排列规律可知，第几行就有几个黑色三角形，白色三角形个数比黑色三角形个数少1，据此规律可知第五行中黑色三角形有5个，白色三角形有4个，两种三角形共有9个，据此解答。 （3）根据三角形的排列规律可知，第行有黑色三角形个，有白色三角形个，那么整个大三角形中黑色三角形总共是个，白色三角形总共是个，据此计算出黑色小三角形占所有三角形个数的百分比，再与50%比较，据此解答。 【完整解答】（1）10÷（10＋6）×100% ＝10÷16×100% ＝0.625×100% ＝62.5% 故前四行中黑色小三角形所占的比例是62.5%。 （2）5÷（5＋4）×100% ＝5÷9×100% ≈0.556×100% ＝55.6% 故第五行中黑色小三角形所占的比例是55.6%。 （3）黑色三角形： 黑、白三角形： 黑色三角形在整个三角形中的占比： 因为，分子上加上1，那么无论取什么值，都大于（50%）。所以无论画多少行，整个大三角形中黑色小三角形所占的比例都大于50%，故不支持小明的说法。 【考点评析】本题考查了图形中三角形的排列规律及百分比的计算方法，难点是含有字母算式的计算及化简。 【训练3】A、B两地相距2400米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，两人在途中某处相遇后，甲又继续行进18分钟到达B地，乙又继续行进50分钟到达A地，请问：甲比乙每分钟多走多少米？ 【答案】20米 【思路引导】根据题意，设甲、乙从出发到相遇花了分钟。因为甲分钟走的路程与乙花50分钟走的路程相同，甲18分钟走的路程与乙花分钟走的路程相同，根据路程相同时，速度与时间成反比，所以甲、乙的速度比是50∶和∶18，据此列出比例方程，并求出两人的相遇时间。 已知A、B两地相距2400米，甲、乙从出发到相遇用了30分钟，根据速度和＝总路程÷相遇时间，求出甲、乙的速度之和。 由前面可知甲、乙的速度比是50∶30＝5∶3，即甲、乙的速度分别占甲乙速度和的、，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出甲、乙的速度，再相减，即可求出甲比乙每分钟多走的米数。 【完整解答】解：设甲、乙从出发到相遇花了分钟。 50∶＝∶18 2＝50×18 2＝900 ＝30 甲、乙的速度和：2400÷30＝80（米/分） 甲、乙的速度比是50∶30＝5∶3； 甲的速度： 80× ＝80× ＝50（米/分） 乙的速度： 80× ＝80× ＝30（米/分） 甲比乙每分钟多走：50－30＝20（米） 答：甲比乙每分钟多走20米。 【考点评析】先利用路程相同时，速度与时间成反比，得出甲、乙的速度比，列出比例方程，求出相遇时间；然后根据速度、时间、路程之间的关系，求出两人的速度和；再根据按比分配的解题方法，把比转化成分数，根据分数乘法的意义分别求出甲、乙的速度是解题的关键。 【训练4】有一位数学家，他生命的是幸福的童年，又过了童年的后，脸上长了细细的胡须，他结婚后度过了他人生的，又过5年得到了一个可爱的儿子，但他孩子的寿命只有这位数学家寿命的，这位数学家在孩子死后悲痛地度过了4年后离开了人间，这位数学家是古希腊人，请你推算一下他活了多少岁？ 【答案】84岁 【思路引导】把数学家一生的年龄看作单位“1”，已知他生命的是幸福的童年，则童年的相当于他生命的×，根据题意可知，数学家的（5＋4）年占生命长度的（1－－×－－），根据分数除法的意义，用（5＋4）÷（1－－×－－）即可求出数学家一生的年龄。 【完整解答】（5＋4）÷（1－－×－－） ＝（5＋4）÷（1－－－－） ＝9÷ ＝9× ＝84（岁） 答：他活了84岁。 【考点评析】本题主要考查了分数除法的应用，找到对应量以及对应的分率是解答本题的关键。 【训练5】一次考试共有5道题。考试结果统计如下：做对第一道题的占总人数的80%，做对第二道题的占总人数的95%，做对第三道题的占总人数的85%，做对第四道题的占总人数的79%，做对第五道题的占总人数的74%。如果做对三道以上（包括三道）题目为及格，那么这次考试的及格率至少是百分之几？ 【答案】71% 【思路引导】要使及格率最少，则不及格率最高，即不及格人数最多，当所有错题都是正好每人错三题时，及格率最少。假设总人数是100人，先把总人数看作单位“1”，根据题意可知，做错第一道题的占总人数的（1－80%），做错第二道题的占总人数的（1－95%），做错第三道题的占总人数的（1－85%），做错第四道题的占总人数的（1－79%），做错第五道题的占总人数的（1－74%），根据百分数乘法的意义，分别用100×（1－80%）、100×（1－95%）、100×（1－85%）、100×（1－79%）、100×（1－74%）即可求出每道题错误量，再将所有错误量相加，即可求出所有错误的总题数，每人错三道刚好即可，也就是用所有错误的总题数除以3，即可求不及格的总人数，根据及格率＝及格人数÷总人数×100%，代入数据即可求出及格率。 【完整解答】假设总人数是100人， 100×（1－80%） ＝100×20% ＝20（人） 100×（1－95%） ＝100×5% ＝5（人） 100×（1－85%） ＝100×15% ＝15（人） 100×（1－79%） ＝100×21% ＝21（人） 100×（1－74%） ＝100×26% ＝26（人） 20＋5＋15＋21＋26＝87（道） 87÷3＝29（人） （100－29）÷100×100% ＝71÷100×100% ＝71% 答：这次考试的及格率至少是71%。 【考点评析】本题主要考查了百分率的较复杂的应用，求出不及格人数最多是多少是解答本题的关键。 第 1 页 共 41 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 数的运算 （7个高频考点梳理+题型讲练 共42题）考点目录 考点01：整数和分数的巧算 2 考点02：四则混合运算中的巧算 6 考点03：定义新运算 9 考点04：高斯取整和高斯求和 10 考点05：积和商的变化规律 12 考点06：循环小数和分数 13 考点07：分数与百分数的相关应用题（多重条件） 14 学习目标 知识与技能目标 掌握数的四则运算（加、减、乘、除）的基本概念、运算法则及其基本性质。 理解加法、减法、乘法、除法的定义，并能正确运用其运算法则进行计算。 掌握分数、小数的概念，并能进行分数、小数的四则运算。 准确理解和使用运算符号（+、-、×、÷），并能读懂数学运算表达式。 能根据运算符号正确进行运算，理解运算的优先级和顺序。 掌握简单的四则运算技巧，如加减法口算、乘法口诀表等，提高计算速度和准确性。 能力目标 数的计算能力：能灵活运用四则运算进行简单的数学计算，提高解题能力。 解决问题能力：能运用数的四则运算解决实际生活中的计算问题，如购物、旅行等场景中的计算。 逻辑推理能力：能通过分析问题和运用数的运算进行正确的推理和判断。 衔接指引 小升初数学数的运算与初中数学在内容上存在明显的区别与联系 区别 数的范围与性质： 小升初数学：主要围绕整数、小数、分数的四则运算展开，强调基本的运算规则和方法。 初中数学：引入了有理数、无理数、实数等更广泛的数的概念，同时需要对数的性质（如相反数、绝对值、倒数等）有更深入的理解。 运算的复杂性： 小升初数学：数的运算相对简单，主要关注直接的四则运算和简单的混合运算。 初中数学：运算的复杂性增加，包括有理数的混合运算、整式的加减乘除、分式的运算等，同时还需要掌握运算的优先级和括号的使用。 符号与字母的使用： 小升初数学：虽然开始接触简单的代数概念，但主要仍以数的运算为主，较少使用符号和字母表示数。 初中数学：大量使用符号和字母表示数，进行代数运算，例如使用代数式表示数量关系、使用方程解决实际问题等。 思维方式： 小升初数学：主要侧重于直观思维和形象思维，通过具体的数和图形来理解数学概念。 初中数学：开始培养抽象思维和逻辑推理能力，需要理解更抽象的数学概念和规律，进行逻辑推理和证明。 联系 基础知识的延续：初中数学在数的运算上是对小升初数学的延续和深化，小升初数学所学的整数、小数、分数的四则运算规则和方法是初中数学学习的基础。 运算能力的提升：初中数学在数的运算上提高了难度和复杂度，要求学生通过更多的练习和思考提升运算能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。 代数概念的引入：小升初数学虽然较少使用符号和字母表示数，但已经开始接触简单的代数概念，为初中数学学习代数知识做好了铺垫。 解题方法的拓展：初中数学在解题方法上比小升初数学更加多样和灵活，例如通过列方程解决实际问题、使用代数式进行推导等，这些方法在小升初数学的基础上进行了拓展和延伸。 考点讲练 考点01：整数和分数的巧算知识精讲 整数四则运算 加法：合并两个或多个数的运算，遵循交换律和结合律，即a+b=b+a，a+b+c=a+(b+c)=(a+b)+c。 减法：减法是加法的逆运算，即a-b=a+(-b)。 乘法：求几个相同加数的和的简便运算，遵循交换律、结合律和分配律，即a×b=b×a，(a×b)×c=a×(b×c)，a×(b+c)=a×b+a×c。 除法：除法是乘法的逆运算，即a÷b=a×(1/b)。 整数巧算技巧 凑整法：通过添加或减去一个数，使原式中的某一部分变成整数，从而简化计算。 拆项法：将一个数拆分成易于计算的几个部分，再进行计算。 提取公因数法：在乘法运算中，提取出各个因数中共同的因子，简化计算。 分数的基本概念 分数是指两个整数之比，通常用表示，其中a为分子，b为分母（b≠0）。 分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 分数运算 分数加法：当分母相同时，直接相加分子；当分母不同时，先通分再相加。 分数减法：类似分数加法，只是相减分子。 分数乘法：分子乘分子，分母乘分母，然后化简。 分数除法：除以一个分数等于乘以这个分数的倒数。 分数巧算技巧 交叉相乘法：在分数乘除混合运算中，可以使用交叉相乘法来简化计算。 分数与小数的互化：当分数与小数混合运算时，可以先将它们互化为相同的数制（分数或小数），再进行计算。 分数拆分法：将一个分数拆分成两个或多个易于计算的分数之和或差，从而简化计算。 分数大小比较 通过比较分子和分母的大小关系来判断两个分数的大小。 使用通分法，将两个分数转化为同分母分数，然后比较分子大小。 题型讲练 【典例精讲】根据数据特点，灵活计算。 874÷23＋17×41           0.25×（7－2.6）           【训练1】计算下面各题。 （1）391÷17×（100－12）        （2） （3）          （4） 【训练2】脱式计算。 46＋400÷（41－25）         【训练3】计算下面各题，能简算的要简算。 756－192÷16        6.4－2.77＋4.6－7.23                 【训练4】计算下面各题，能简算的要简算。 ①4080÷12﹣24×1.5    ②－＋－    ③48×75%＋53×－0.75 ④8×（＋）＋    ⑤÷[×（－）]    ⑥＋＋＋＋ 【训练5】脱式计算。 92.7－18.5＋7.3－81.5                  考点02：四则混合运算中的巧算知识精讲 四则混合运算的基本规则 运算顺序： 同级运算时，从左到右依次计算； 两级运算时，先算乘除，后算加减； 有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的；有多层括号时，先算小括号里的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的。 括号运算：括号里的运算，仍按照先乘除，后加减，同级运算从左到右的顺序进行计算。 巧算技巧 凑整法：观察数字特点，运用加法和乘法的定律以及减法和除法的性质，凑成整千、整百、整十的数，直接进行简便运算。 例如：3643-74+6357-126，通过凑整法，可以简化为(3643+6357)-(74+126)。 交换律和结合律：在连乘或连除的算式中，应用乘法的交换律和结合律，先算能凑成整数的乘积，使计算简便。例如：125×25×4×8，可以先算125×8和25×4，得到整千、整百的数，再进行计算。 连除的运算规律： 在连除的算式中，可以将除数相乘凑成整百或整十的数，再用被除数除以这个数，使计算简便。 例如：1400÷25÷4，可以先算25×4，再用1400除以这个数。 分步计算： 对于较复杂的算式，可以采用分步计算的方法，先计算一部分，再与剩下的部分进行运算。 例如：484+250×，可以先算250×，再将结果与484相加。 注意事项 在运算过程中，要注意运算顺序，遵循先乘除后加减、先括号内后括号外的原则。 在运用巧算技巧时，要注意观察数字的特点和运算的规律，灵活运用各种运算定律和性质。 在计算过程中，要保持细心和耐心，避免因粗心导致的错误。 题型讲练 【典例精讲】用你喜欢的方法计算。 0.38×＋0.62×37.5%          ×1.25×51×8 （＋）×13－39÷40        ÷[－（＋）] 【训练1】计算下面各题（能简算的要简算）。 0.25×3.2×1.25                                  【训练2】脱式计算（能简算的要简算）。 9.15－7.25－2.75＋10.85    72×（＋＋）    0.32×1.2＋3.8×32% 88×56－44×92    14.4÷[（4.4－3.8）×6]    ×（＋1÷） 【训练3】脱式计算，能简算的要简算。                                     【训练4】计算题。                   【训练5】能简便计算的简便计算。                 考点03：定义新运算知识精讲 定义新运算的基本概念 定义新运算是指用一个特殊的符号（如⊕、△、⊙等）和已知运算表达式相结合，来表示一种全新的运算形式。这种新定义的运算形式与常规的四则运算（加、减、乘、除）不同，它们在不同的题目中往往拥有不同的运算规则。 解题方法与步骤 理解新定义：首先，需要正确理解题目中给出的新运算定义，明确新运算符号所代表的运算规则。 代入数值：根据新定义的运算规则，将题目中给出的具体数值代入到表达式中。 进行计算：按照新定义的运算规则，将代入数值后的表达式转化为常规的四则运算算式进行计算。 注意括号：如果算式中有括号，需要按照运算法则先计算括号里面的内容，得到结果后再进行下一步的计算。题型讲练 【典例精讲】我们学过＋、－、×、÷这四种运算。现在规定“*”是一种新的运算。 ，如：。那么( )。 【训练1】设A、B都表示数，规定A△B表示A的4倍减去B的3倍，即：A△B＝4×A－3×B。计算5△6的结果为( )。 【训练2】规定“”为一种新运算，对于任意两个数和都有，如果，已知，求的值。 【训练3】定义新运算“”如下：当时，；当时，。则当时，的值为( )。 【训练4】定义a×b＝2×{}＋3×{}，其中符号{x}表示x的小数部分，如{2.016}＝0.016。那么，1.4×3.2＝ 。(结果用小数表示。) 【训练5】对于任意两个数x和y定义新运算，运算规则如下： x◆y＝x·y－x÷2；x©y＝x＋y÷2； 按此规则计算：（1）3.6◆2＝ ；（2）2◆（7.5©5）＝ 。 考点04：高斯取整和高斯求和 知识精讲 高斯取整 1. 基本概念 高斯取整（通常也称为整数部分取整或向下取整）是指找到不大于给定数x的最大整数，通常记作⌊x⌋。例如，⌊3.14⌋ = 3，⌊-2.7⌋ = -3。 2. 性质 对于任意实数x，都有x-1 < ⌊x⌋ ≤ x。 若x为整数，则⌊x⌋ = x。 ⌊x+n⌋ = ⌊x⌋ + n，其中n为整数，且x+n不为负数。 3. 应用 高斯取整在解决一些实际问题时非常有用，如计算某个数能分成多少个完整的单位（如绳子能截成多少个一米长的小段）。 高斯求和 1. 基本概念 高斯求和是指使用一种巧妙的方法来计算等差数列的和。德国数学家高斯在童年时就发现了这种方法，用于快速计算1到100（或任何等差数列）的和。 2. 高斯求和公式 对于等差数列，首项为a，末项为l，项数为n，其和S可以通过以下公式计算： S = (a + l) × n ÷ 2 或者，如果知道首项a、公差d和项数n，则可以使用以下公式： S = × [2a + (n-1)d] 3. 推导过程 高斯发现，等差数列中的数可以两两配对，每对的和都是相等的。例如，在1到100的数列中，1和100配对，2和99配对，依此类推，直到50和51配对。每对的和都是101，总共有50对，所以总和是50 × 101 = 5050。 4. 应用 高斯求和公式在解决等差数列求和问题时非常有用，它大大简化了计算过程，使计算变得更加高效和准确。 题型讲练 【典例精讲】已知，则的整数部分是( )。 【训练1】[a]表示不超过a的最大整数，称为a的整数部分，例如：[0]＝0，[0.03]＝0，[10.98]＝10，那么数列，，，，……中共出现了 个互不相同的数。 【训练2】设S=． 则S的整数部分=？ 【训练3】优优学习英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了14个。优优这些天一共学会了多少个单词？ 【训练4】小明练习珠算，用，当加到某个数时，和是1300，验算时发现重复加了一个数，则重复加的数是（    ）。 A．15 B．25 C．35 D．45 【训练5】9个连续自然数的和是2007，其中最小的自然数是 ． 考点05：积和商的变化规律知识精讲 积的变化规律 当两个数相乘时，如果一个因数扩大（或缩小）N倍（N为非0自然数），而另一个因数不变，那么它们的积也扩大（或缩小）N倍。 当两个数相乘时，如果一个因数扩大a倍，另一个因数扩大b倍，那么它们的积就扩大a×b倍。 如果两个数相乘时，一个因数扩大了N倍，而另一个因数缩小了N倍，那么它们的积不变。 商的变化规律 在除法算式中，如果被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数（0除外），那么商不变。 如果被除数不变，除数扩大多少倍，商就缩小相同的倍数；反之，除数缩小多少倍，商就扩大相同的倍数。 如果除数不变，被除数扩大（或缩小）多少倍，商也扩大（或缩小）相同的倍数。 题型讲练 【典例精讲】一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，则体积扩大到原来的6倍。( ) 27．根据规律填空。 12345679×9＝111111111 12345679×18＝222222222 12345679×27＝333333333 12345679×( )＝444444444 【训练1】如果a＞b＞c＞0，下面算式（    ）的商最大。 A． B． C． D． 【训练2】下列说法正确的是（    ）。 ①0.77777是循环小数。 ②方程一定是等式。 ③a÷0.5＝b×0.8＝c×1（a、b、c均不等于0），则a＜c＜b。 ④在计算5.22÷8.7时，如果去掉被除数和除数的小数点，那么商扩大到原来的10倍。 A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【训练3】甲÷乙=68……2,把甲数和乙数同时扩大到原来的10倍,得数是(　　)． A．68……2 B．68……20 C．680……20 【训练4】正方体棱长扩大到原来的2倍，体积扩大到原来的（    ）倍。 A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍 考点06：循环小数和分数知识精讲 分数与循环小数的关系 纯循环小数可以改写为分数形式，其分子是一个循环节的数字组成的数，分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同。 混循环小数改写为分数时，分子是不循环部分与第一个循环节连成的数字组成的数减去不循环部分数字组成的数之差，分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的数位相同，0的个数跟不循环部分的数位相同。 实际应用 分数在日常生活和数学计算中有着广泛的应用，例如在测量、比例分配、计算概率等方面。循环小数则经常出现在除法运算和无限不循环小数的近似表示中。 题型讲练 【典例精讲】将化成小数，小数部分第100位上的数字是( )。 【训练1】在0.143、14%、、、﹣0.1433中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【训练2】在，，，30%这四个数中，最大的数是（    ）。 A． B． C． D．30% 【训练3】3.0913591359135…小数点后第2024位上是数字5。( )（判断对错） 【训练4】移动循环小数5.0858的前一个循环点后,使新的循环小数尽可能大.这个新的循环小数是 . 【训练5】在0.,0.1,,-33.中,最大的数是(　　)． A．-33. B．0.1 C．0. D． 考点07：分数与百分数的相关应用题（多重条件）知识精讲 【典例精讲】某停车场实施分段计费：不超过10个小时的部分每小时5元；超过10的小时不超过24小时的部分每小时4元；超过24小时的部分每小时3元（按整数小时计时收费，不足1小时的部分按1时间计算）。李老师两次在停车场停车共计40小时，停车费共交了176元。求两次停车各多长时间？ 【训练1】一件工程，乙队先做4天，继而甲、丙两队合作6天，剩下的工程甲队独做9天完成，已知乙队完成的是甲队完成的，丙队完成的是乙队完成的2倍，甲、乙、丙三队独做各需要多少天？ 【训练2】小明用黑白两色的小三角形绘制了一个三角图案，前四行已给出。 （1）前四行中黑色小三角形所占的比例是__________%。 （2）如果小明要画出第五行，请问在第五行中黑色小三角形所占的比例是__________%。 （3）如果小明要画出更多行，他认为无论画多少行，整个大三角形中，黑色小三角形所占的比例都不会超过50%。你支持他的说法吗，为什么？ 【训练3】A、B两地相距2400米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，两人在途中某处相遇后，甲又继续行进18分钟到达B地，乙又继续行进50分钟到达A地，请问：甲比乙每分钟多走多少米？ 【训练4】有一位数学家，他生命的是幸福的童年，又过了童年的后，脸上长了细细的胡须，他结婚后度过了他人生的，又过5年得到了一个可爱的儿子，但他孩子的寿命只有这位数学家寿命的，这位数学家在孩子死后悲痛地度过了4年后离开了人间，这位数学家是古希腊人，请你推算一下他活了多少岁？ 【训练5】一次考试共有5道题。考试结果统计如下：做对第一道题的占总人数的80%，做对第二道题的占总人数的95%，做对第三道题的占总人数的85%，做对第四道题的占总人数的79%，做对第五道题的占总人数的74%。如果做对三道以上（包括三道）题目为及格，那么这次考试的及格率至少是百分之几？ 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$