专题1.1 二次函数的图象与性质（高效培优讲义）数学沪科版九年级上册

专题1.1 二次函数的图象与性质 教学目标 1.通过对实际问题的分析确定函数的解析式,以此为实例理解二次函数的概念 2.用描点法画出二次函数的图象,探索并掌握二次函数的性质 3.会用配方法或根据公式确定二次函数图象的顶点和对称轴 4.学会运用二次函数的性质解决实际问题,初步体会二次函数在日常生活中的应用 教学重难点 教学重点 二次函数的图象绘制与形状特征 二次函数的顶点、对称轴与最值 二次函数的增减性与对称性 教学难点 参数 a、b、c 对图象的综合影响 知识点01 二次函数的概念 1.二次函数的概念 一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 2.二次函数的特殊形式 1)当b＝0时， y＝ax²＋c（a） 2)当c＝0时， y＝ax²＋bx （a） 3)当b＝0，c＝0时， y＝ax²（a） 【即学即练】若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1 知识点02 实际问题中的二次函数的表达式 根据实际问题列二次函数表达式的一般步骤 1)审清题意:找出实际问题中的已知量(常量),并分析它们之间的关系,将文字或图形语言转化为数学语言, 2)找等量关系:找到已知量和变量之间的关系,并用等式表示. 3)列二次函数表达式:设出表示变量的字母,把等量关系用含字母的式子替换,并将表达式写成用自变量表示函数的形式.注意自变量的取值范围要使实际问题有意义 【即学即练】据安徽省统计局公布的数据，初步核算2021年安徽省生产总值为42959.2亿元，若设2023年安徽省生产总值为y亿元，平均年增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　） A．y＝42959.2（1+2x） B．y＝42959.2（1﹣x）2 C．y＝42959.2x2 D．y＝42959.2（1+x）2 知识点03 二次函数y=ax²(a≠0)的图象的画法 在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图象． （1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示： x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … 1 2 3 4 1 2 3 4 x y x y O O 1 2 1 2 -2 -1 -2 -1 图1 图2 （2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示． （3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图象，如图2所示． 【即学即练】 1.已知二次函数的图象经过点Q（-1，-2），求a的值，并写出它的解析式．在平面直角坐标系中，画出它的图象． 2.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、的图象； （2）函数、、的图像与函数、、的图象有何异同？ 知识点04 二次函数y=ax²(a≠0)的图象的性质 二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0 要点诠释： 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同. │a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，�图象两边越靠近x轴. 【即学即练】 1.二次函数的图象是______，它的对称轴是______，顶点坐标是______，开口方向是______． 2.物线与直线交于点（1，b）． （1）求a和b的值； （2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴； （3）当x取何值时，二次函数的y值随x的增大而增大． 知识点05 二次函数y=ax²+c(a≠0)的图象和性质 1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象 （1） （2） 2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质 关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下： 函数 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴 y轴 y轴 函数变化 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大. 最大（小）值 当时， 当时， 3.二次函数y＝ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)之间的关系；（上加下减）. y＝ax2(a≠0)的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到y=ax2+c(a≠0)的图象. 要点诠释： 抛物线y=ax2+c(a≠0)的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线y＝ax2(a≠0)的形状相同． 函数y=ax2+c(a≠0)的图象是由函数y＝ax2(a≠0)的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)． 抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已． 【即学即练】 1.不画函数和的图象，回答下面的问题： (1)抛物线1经过怎样的平移才能得到抛物线？ (2)函数，当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 ；其图象与y轴的交点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ． (3)试说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 2.已知函数是关于x的二次函数． （1）满足条件的m的值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？ 知识点06 二次函数y=a(x+m)²的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到． 【即学即练】 1.在同一平面直角坐标系中，画出函数、和的图像． 2.说出下列函数的图像如何由抛物线平移得到，再分别指出图像的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）； （2）． 知识点07 二次函数y=a(x+m)²+k的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 可以通过将抛物线进行两次平移得到． 这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位． 利用图形平移的性质，可知：抛物线（其中a、m、k是常数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x =；抛物线的顶点坐标是（，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 【即学即练】说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并指出它是由抛物线通过怎样的平移得到的． 知识点08 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【即学即练】 1.二次函数的对称轴为__________，顶点坐标为__________； 二次函数的对称轴为__________，顶点坐标为__________． 2.对于二次函数： （1）求出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ （2）求出此抛物线与x、y轴的交点坐标； （3）当x取何值时，y随着x的增大而减小． 题型01 利用二次函数的图象和性质比较函数值的大小 【例1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）抛物线，点，，，则、、的大小关系是（　　） A．c>a>b B．b>a>c C．a>b>c D．无法比较大小 比较二次函数值大小的方法 (1)直接代入比较法:当二次函数的解析式确定时,可以把自变量直接代入二次函数解析式求值，再比较大小 (2)增减性比较法(借助图象):①当点在对称轴同侧时,根据函数的增减性判断:2)当点在对称轴的两侧时，找某点关于对称轴的对称点，均转化到同侧求解 (3)到对称轴的距离比较法:当抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越大,相应的函数值越大:当抛物线开口向下时，点到抛物线的距离越大，相应的函数值越小. 【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）已知，两点都在抛物线（）上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽亳州·三模）已知点，和都在抛物线（是常数，且）上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·安徽·二模）抛物线，其中、满足，，若点，，在此抛物线上，则，，的大小关系为是 ．（用“”连接） 【变式4】在平面直角坐标系中，，为抛物线上任意两点，其中．若对于，都有，则的取值范围是 题型02 求二次函数的最值 【例1】（2025·安徽六安·模拟预测）已知，则关于的最值，下列说法正确的是（   ） A．有最小值1 B．有最小值 C．有最大值1 D．有最大值 【例2】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴右侧，则该二次函数有（   ） A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值 【例3】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线． (1)求m的值； (2)若点在的图象上，当时，求该二次函数的最大值与最小值． 二次函数最值的求法 (1)在实数范围内求二次函数的最大(小)值就是求其图象顶点的纵坐标,故可用配方法或顶点坐标公式求二次函数的最大(小)值，(2)若自变量的取值范围是x≤x≤x,则需分情况讨论.①若顶点的横坐标在所给的范围内,则在顶点处取得最大或最小值;2)若顶点的横坐标不在所给的范围内,则利用函数的增减性确定最值 【变式1】（2025·安徽·一模）已知实数，满足，且，，则下列判断正确的是（    ） A．的最大值为6 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为2 【变式2】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·安徽滁州·期末）若，，且，的最小值为，最大值为． （1）的取值范围是 ； （2）的值为 ． 【变式4】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若当时，的最小值是，求当时，的最大值； 【变式5】（2025·安徽蚌埠·三模）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A，B(点A在点B 左边)，与y轴交于点C． (1)求点A，B的坐标； (2)若线段的端点为，，当抛物线与线段有交点时，求a 的取值范围； (3)若，当时，y的最大值与最小值的差为4，求t的值． 题型03 抛物线对称性的应用 【例1】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线（a，h是常数）与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，抛物线中的自变量x与函数值y的部分对应值如表所示： x … 0 1 3 4 … … 6 … 下列结论正确的是（    ） A．此抛物线有最大值 B．当时，y随x的增大而增大 C．点A的坐标是，点B的坐标是 D．抛物线的对称轴是直线 从表格中获取信息的三步骤 (1)通过表格确定自变量与因变量; (2)纵向观察每一列,发现因变量与自变量的对应关系: (3)分别横向观察自变量与因变量,从中发现因变量随自变量的变化所呈现的变化趋势 【变式1】（22-23九年级上·安徽六安·期末）某同学在利用描点法画二次函数的图象时，先取自变量的一些值，计算出相应的函数值，如下表所示： … 0 1 2 3 4 … … 0 1 0 … 在该函数图象上有和两点，且，，则与可以取的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（22-23九年级上·安徽蚌埠·期中）已知二次函数的x、y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 5 1 1 下列结论中正确的有（　　）个． ①；②抛物线的对称轴是直线；③不等式的解集是；④1是方程的根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型04 抛物线的平移变换 【例1】（24-25九年级上·安徽安庆·期末）将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得到的抛物线为（      ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）将的图象先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，则最终所得图象的顶点坐标为 ． 【例3】（2025·安徽亳州·三模）已知抛物线，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线． （1）b的值为 ； （2）点，分别在抛物线和上，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两条垂线交于点．若，则的值为 ． 求平移变换后抛物线解析式的方法抛物线y=a(x-h)²+k(a≠0)平移时,a不变,只是h或k发生变化,因此研究抛物线平移问题时我们一般有两种方法. 方法1:先将抛物线的解析式的一般式y=ax²+bx+c 化为顶点式)=a(x-h)²+k,再根据平移的规律“左加右减、上加下减”即可确定平移后抛物线的解析式. 方法2:先求出抛物线平移前的顶点坐标，然后根据平移情况求出平移后的顶点坐标，最后代入二次函数解析式的顶点式即可确定平移后抛物线的解析式. 【变式1】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）将抛物线向右平移a个单位，再向上平移个单位得到解析式，则a、b的值是（   ） A．1， B．1，2 C．1，3 D．， 【变式2】（2025·安徽滁州·二模）抛物线（m为常数）的顶点为C，经过探究发现，随着m的变化，点C始终在某一抛物线H上，若将抛物线Q向右平移个单位，所得抛物线顶点D仍在抛物线H上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·安徽·三模）设抛物线经过点，其中，，为实数 （1）抛物线的对称轴是 ； （2）若，将抛物线向右平移个单位，，是平移后的抛物线上的两点，若当时，，则的取值范围是 ． 【变式4】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线：的顶点坐标为，与轴正半轴交于点，与轴交于点． （1）点的坐标为 ； （2）将抛物线沿轴向右平移个单位长度，平移后的抛物线与抛物线相交于点，且点在第四象限内，当的面积最大时，的值为 ． 【变式5】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，已知拋物线． (1)它的顶点坐标是______，当______时，随的增大而减小； (2)将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，求所得新拋物线与轴的交点坐标． 题型05 抛物线关于坐标轴的轴对称变换 【例1】（22-23九年级上·安徽芜湖·期末）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，轴，，最低点C在x轴上，高，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 解抛物线关于坐标轴的轴对称变换问题的方法首先要确定图象的开口方向是否变化,即确定a的值，然后利用轴对称的性质确定对称轴或关键点(顶点或抛物线与坐标轴的交点)的位置，以确定b与c,进而得到解析式 【变式】（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线：与抛物线：关于y轴对称，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)写出抛物线的函数表达式，并求出的长； (2)在抛物线上是否存在一点P，在抛物线上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出此平行四边形的面积；若不存在，请说明理由； (3)设抛物线与x轴相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．抛物线与y轴交于E，经过点A的直线与线段DE交于F，与y轴交于G，记的面积为，的面积为，若，求OG的长． 题型06 二次函数图象的特征与系数间的关系 【例1】（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，如图，直线与抛物线的图象都经过轴上的点，抛物线与轴交于、两点，其对称轴为直线，且．直线与轴交于点（点在点的右侧）．则下列命题中正确的个数是（　　） ①；②；③；④． A．0 B．1 C．2 D．3 二次函数y= ax²+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系 a的符号由抛物线的开口方向决定; c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定; b的符号由对称轴的位置与a的符号共同决定 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，抛物线与轴交点为，，且，有下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，，当时，总有，则的取值范围为．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，若二次函数图象的对称轴为，与轴交于点，与轴交于点，，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，．其中错误的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型07 利用待定系数法求二次函数的解析式 【例1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知图象的顶点坐标是，且与x轴的一个交点坐标是，求此二次函数的解析式． 利用待定系数法求二次函数的解析式时，要根据题目中的条件的特点灵活选择所设二次函数解析式的形式，以求解方便为基本原则， 【变式1】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）已知抛物线经过，，对称轴为直线，求抛物线的解析式． 【变式2】（24-25九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)求y的最值． 【变式3】（2025·安徽合肥·一模）已知二次函数的图象经过点，． (1)求，的值． (2)求当时，二次函数的最大值． (3)现将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为7，求平移后新的二次函数的表达式． 题型08 二次函数与一次函数的综合 【例1】（2025·安徽六安·三模）如图，抛物线（m为常数）与x轴交于点，与y轴负半轴交于点C，若当时，，那么关于x的一次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 同一平面直角坐标系中函数图象共存问题的判断方法根据函数图象，对比两个函数解析式中相同字母系数的取值范围(如正负性)是否一致,若都一致,则两函数图象可共存,若有不一致的，说明两函数图象不能共存 【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）函数(是常数，，下同)和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【变式2】（2025·安徽淮南·三模）已知二次函数与正比例函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·安徽合肥·二模）已知一次函数的图象，那么的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【变式4】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式5】（23-24九年级上·安徽·阶段练习）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)直接写出直线的函数表达式为：______； (2)是线段上的点，过点作轴的平行线，交抛物线于两点（点在点的右侧），若，求点的横坐标． 题型09 以二次函数为载体的探究性问题 【例1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，形状相同的抛物线：（，……）的顶点在直线上，其对称轴与x轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，…， 根据上述规律解决以下问题：    (1)抛物线的顶点坐标是________； (2)求抛物线线中b，c的值． 【变式1】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知二次函数的图象过三点 (1)求函数的解析式； (2)问是否存在m，n()，使函数在范围内的最小值是，最大值是？若存在，求出m，n；若不存在，说明理由． 【变式2】（2025·安徽马鞍山·二模）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点．已知抛物线经过两点，且与轴交于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)若是直线上方抛物线上的一个动点（不与点重合），过点作轴于点，交直线于点，设点的横坐标为． ①如图2，当为何值时，线段取最大值？ ②如图3，是抛物线上一点，点的横坐标为，过点作轴于点，是否存在？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】（2024·安徽合肥·二模）如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且． (1)求二次函数的表达式； (2)过点，作直线于点，作轴于点，并交于点． ①当时，求的长； ②是否存在点，使最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【变式4】（2024·安徽阜阳·二模）如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)连接，点D是线段上一动点（不与A、C两点重合），过点D作轴交抛物线于点E． ①当线段DE的长度最大时，求此时D点的坐标； ②在①的条件下，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点F，使得以点D、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5】（2024·安徽蚌埠·二模）已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)为抛物线上两点，其中． （）若，且两点均在该抛物线对称轴的左侧，求的取值范围； （）如图，为坐标原点，过两点作轴的垂线与线段分别交于两点．若四边形为平行四边形，求四边形周长的最大值． 题型10 与二次函数有关的新定义问题 【例1】（2025·安徽马鞍山·一模）定义：平面直角坐标系中，点、若满足，其中为常数，且，则称点与点互为“阶点”，例如点与点互为“阶点”． (1)若抛物线的顶点与点互为“4阶点”，求的值； (2)对于动点，若抛物线上只存在一个点与点互为“阶点”，求的值； (3)已知点、是抛物线上的两点，且都与点互为“阶点”，是抛物线的顶点，是线段的中点，若与互为“阶点”，求的最小值． 【变式1】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则P为“美好点”． (1)在点，，中，是“美好点”的有 (2)若“美好点”在直线（b为常数）上，求a和b的值； (3)若“美好点”P恰好在抛物线第一象限的图象上，在x轴上是否存在一点Q使得为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数）． (1)若该函数经过点，求该函数图象上的“三倍点”坐标； (2)在（1）的条件下，当时，求该函数的最小值（用含的代数式表示）； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求的取值范围． 【变式3】（2025·安徽马鞍山·三模）已知点在关于x的二次函数的图象上． (1)证明：； (2)证明：当b的值变化时，二次函数的顶点总在另一个二次函数的图象上，求p，q的值； (3)若点满足：①m，n均为整数；②m对应与的函数值分别记为，，且．则称是函数与的一个环抱整点． （ⅰ）当时，求函数与的环抱整点的个数； （ⅱ）若函数与的环抱整点有且只有1个且，试求整数n的值与实数b的取值范围． 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）下列函数中，是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）已知点，都在抛物线上，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）二次函数的图像如图所示．下列结论：①；②为任意实数，则；③；④．其中正确结论的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（2025·安徽六安·三模）已知二次函数（其中a，b，c是常数，且）的图象过点，，，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点坐标为，与y轴的交点在x轴的上方，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·安徽滁州·三模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的解析式为（  ） A． B． C． D． 10．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在等腰三角形中，，，P为直角边上一动点，于点D，连接．当点P从点A出发沿直角边运动到点B时，设点P运动的路程为x，，则y随x变化的大致函数图象为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）若函数是二次函数，则的值为 ． 12．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）二次函数，当和时，的值相等． （1） ；（用含有的式子表示） （2）无论为何值，二次函数与交于点，当时，总存在随的增大而减小，则代数式的最小值为 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线． (1)将化成的形式； (2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线． x … … y … … (3)取何值时， 14．（2025·安徽淮北·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示） (2)点，在抛物线上，其中，， 若的最小值是，求的最大值； 若对于，都有，求出的取值范围． 15．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）“强化课程建设，提升育人质量”，瑶海区某中学校本课程“物理@数学”学习小组对一款热水器的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分． (1)求抛物线解析式（不必写出取值范围）； (2)变阻器R消耗的电功率P最大为多少瓦？ 16．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知函数（其中，是常数）． (1)若，两点在该函数图象上，求此函数的表达式； (2)在（1）的条件下，函数的图象顶点为，与轴正半轴交点为，与轴的交点为，若将该图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求的取值范围； (3)若，当时，函数的最大值为8，直接写出的值． 17．（24-25九年级下·安徽芜湖·阶段练习）已知抛物线（，为常数）的顶点纵坐标比抛物线的顶点纵坐标大，且这两条抛物线的对称轴分布在轴的两侧． (1)求的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． 若，且，，求的值； 若且，求的最小值． 18．（2024·安徽滁州·三模）如图1，以点 A，B 为端点的实线是一条开口向下的抛物线的一段，点C 是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，于点 D，，则称实线表示的部分为该抛物线上的“正抛线”，点A，B 分别为“正抛线”的左、右端点，点 C 为“正抛线”的顶点，的长为“正抛线”的高． (1)已知高为4的“正抛线”左端点在坐标原点，求该“正抛线”所在抛物线的表达式； (2)已知抛物线 上的“正抛线”以原点为左端点，求b； (3)如图2，一种图案由大小两种不同的“正抛线”组成，在平面直角坐标系中，所有大“正抛线”的端点都在x轴上，小“正抛线”的端点都在与其相邻的大“正抛线”上，所有“正抛线”的顶点都在同一条直线上．求大“正抛线”与小“正抛线”高之比． 19．（22-23九年级下·安徽淮南·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴交于点B． (1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标，直接写出点P的坐标． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 二次函数的图象与性质 教学目标 1.通过对实际问题的分析确定函数的解析式,以此为实例理解二次函数的概念 2.用描点法画出二次函数的图象,探索并掌握二次函数的性质 3.会用配方法或根据公式确定二次函数图象的顶点和对称轴 4.学会运用二次函数的性质解决实际问题,初步体会二次函数在日常生活中的应用 教学重难点 教学重点 二次函数的图象绘制与形状特征 二次函数的顶点、对称轴与最值 二次函数的增减性与对称性 教学难点 参数 a、b、c 对图象的综合影响 知识点01 二次函数的概念 1.二次函数的概念 一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 2.二次函数的特殊形式 1)当b＝0时， y＝ax²＋c（a） 2)当c＝0时， y＝ax²＋bx （a） 3)当b＝0，c＝0时， y＝ax²（a） 【即学即练】若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1 【分析】根据二次函数定义可得|a+3|＝2且a+1≠0，求解即可． 【解答】解：∵函数y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是关于x的二次函数， ∴|a+3|＝2且a+1≠0， 解得a＝﹣5， 故选：B． 【点评】本题考查的是二次函数的定义，二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 易错总结：求二次函数中字母参数的值，要根据二次函数定义，在保证二次函数中含自变量的代数式是整式的前提下，还必须满足自变量的最高次数是2和二次项系数不为0的条件。解此题时，容易忽略二次项次数不为0这个条件，得出错解-5或-1. 知识点02 实际问题中的二次函数的表达式 根据实际问题列二次函数表达式的一般步骤 1)审清题意:找出实际问题中的已知量(常量),并分析它们之间的关系,将文字或图形语言转化为数学语言, 2)找等量关系:找到已知量和变量之间的关系,并用等式表示. 3)列二次函数表达式:设出表示变量的字母,把等量关系用含字母的式子替换,并将表达式写成用自变量表示函数的形式.注意自变量的取值范围要使实际问题有意义 【即学即练】据安徽省统计局公布的数据，初步核算2021年安徽省生产总值为42959.2亿元，若设2023年安徽省生产总值为y亿元，平均年增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　） A．y＝42959.2（1+2x） B．y＝42959.2（1﹣x）2 C．y＝42959.2x2 D．y＝42959.2（1+x）2 【分析】利用2023年安徽省生产总值＝2021年安徽省生产总值×（1+平均年增长的百分率）2，即可得出y关于x的函数表达式，此题得解． 【解答】解：依题意得y＝42959.2（1+x）2， 故选：D． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，正确找出y关于x的函数表达式是解题的关键． 知识点03 二次函数y=ax²(a≠0)的图象的画法 在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图象． （1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示： x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … 1 2 3 4 1 2 3 4 x y x y O O 1 2 1 2 -2 -1 -2 -1 图1 图2 （2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示． （3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图象，如图2所示． 【即学即练】 1.已知二次函数的图象经过点Q（-1，-2），求a的值，并写出它的解析式．在平面直角坐标系中，画出它的图象． 【答案】，．图像如图所示： 【解析】把Q（-1，-2）代入得，解析式为． 【总结】本题考查待定系数法确定函数关系式及二次函数图像画法． 2.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、的图象； （2）函数、、的图像与函数、、的图象有何异同？ 【答案】（1）如图： （2）相同点：相同的开口大小一样；顶点都是原点；对称轴都是轴； 不同点：开口方向不同． 【解析】（1）略； （2）图像顶点坐标为；对称轴为轴； ，开口向上，，开口向下；决定开口大小，越大，开口越小． 【总结】本题考察特殊二次函数的图像画法及二次函数的性质． 知识点04 二次函数y=ax²(a≠0)的图象的性质 二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0 要点诠释： 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同. │a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，�图象两边越靠近x轴. 【即学即练】 1.二次函数的图象是______，它的对称轴是______，顶点坐标是______，开口方向是______． 【答案】抛物线；轴；；向下． 【解析】图像为抛物线，顶点坐标为；对称轴为轴； ，开口向上，，开口向下 【总结】本题考察二次函数的性质． 2.物线与直线交于点（1，b）． （1）求a和b的值； （2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴； （3）当x取何值时，二次函数的y值随x的增大而增大． 【答案】（1），； （2），顶点坐标为，对称轴为轴； （3）当时，二次函数的值随的增大而增大． 【解析】（1）把（1，b）代入得，∴交点坐标为． 把代入得，∴； （2）由（1）得抛物线的解析式为，顶点坐标为，对称轴为轴； （3）∵抛物线开口向下，在对称轴的左侧二次函数的y值随x的增大而增大， 即当时，二次函数的值随的增大而增大． 【总结】本题考察了待定系数法确定函数关系式及二次函数的性质． 知识点05 二次函数y=ax²+c(a≠0)的图象和性质 1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象 （1） （2） 2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质 关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下： 函数 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴 y轴 y轴 函数变化 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大. 最大（小）值 当时， 当时， 3.二次函数y＝ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)之间的关系；（上加下减）. y＝ax2(a≠0)的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到y=ax2+c(a≠0)的图象. 要点诠释： 抛物线y=ax2+c(a≠0)的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线y＝ax2(a≠0)的形状相同． 函数y=ax2+c(a≠0)的图象是由函数y＝ax2(a≠0)的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)． 抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已． 【即学即练】 1.不画函数和的图象，回答下面的问题： (1)抛物线1经过怎样的平移才能得到抛物线？ (2)函数，当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，函数y有最大值，最大值y是 ；其图象与y轴的交点坐标是 ；与x轴的交点坐标是 ． (3)试说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)见解析； (2)；；1；；， (3)开口向上，对称轴为即y轴，顶点坐标为 【分析】（1）直接根据二次函数的平移规律，进行解答； （2）先判断函数的开口方向和对称轴，再判断其增减性及最值，可分别令， ，求出对应的y和x的值，即可解答问题； （3）直接根据二次函数的图像性质解答． 【详解】（1）解：根据抛物线平移的知识可知： 向下平移1个单位长度才能得到抛物线； （2）解：函数，当时，y随x的增大而减小； ∵函数， ∴当时，， 当时，函数y有最大值，最大值y是1；其图象与y轴的交点坐标是； 当时，，解得：， ∴与x轴的交点坐标是，． 故答案为：；；1；；，； （3）解：抛物线开口向上，对称轴为即y轴，顶点坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，需牢记二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等知识是解题的关键． 2.已知函数是关于x的二次函数． （1）满足条件的m的值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】（1）m1=2，m2=﹣3；（2）当m=2时，抛物线有最低点，最低点为：（0，1），当x＞0时，y随x的增大而增大；（3）当m=﹣3时，函数有最大值，最大值为1，当x＞0时，y随x的增大而减小 【分析】（1）利用二次函数的定义得出关于m的等式，解方程即可得出答案； （2）利用二次函数的性质得出m的值； （3）利用二次函数的性质得出m的值. 【详解】（1）∵函数是关于x的二次函数， ∴m2+m﹣4=2， 解得：m1=2，m2=﹣3； （2）当m=2时，抛物线有最低点， 此时y=4x2+1， 则最低点为：（0，1）， 由于抛物线的对称轴为y轴， 故当x＞0时，y随x的增大而增大； （3）当m=﹣3时，函数有最大值， 此时y=﹣x2+1，故此函数有最大值1， 由于抛物线的对称轴为y轴， 故当x＞0时，y随x的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数的定义及二次函数的性质，解一元二次方程，因此掌握二次函数的定义与性质是解答本题的关键． 知识点06 二次函数y=a(x+m)²的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 它可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到． 【即学即练】 1.在同一平面直角坐标系中，画出函数、和的图像． 【答案】如图： y O x 【总结】本题考查了二次函数的图像及平移． 2.说出下列函数的图像如何由抛物线平移得到，再分别指出图像的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）； （2）． 【答案】（1）向左平移两个单位；开口向下，对称轴为直线，顶点坐标； （2）向右平移四个单位；开口向下，对称轴为直线，顶点坐标． 【解析】二次函数的图像可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到．平移口诀，“左加右减，上加下减”； 抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下． 【总结】本题考查了二次函数的性质及平移． 知识点07 二次函数y=a(x+m)²+k的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 可以通过将抛物线进行两次平移得到． 这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位． 利用图形平移的性质，可知：抛物线（其中a、m、k是常数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x =；抛物线的顶点坐标是（，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 【即学即练】说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并指出它是由抛物线通过怎样的平移得到的． 【答案】抛物线的开口向上、对称轴为直线、顶点坐标为，由抛物线先向左平移一个单位，再向下平移3个单位得到． 【解析】抛物线（）的对称轴是直线；抛物线的顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下．二次函数（）的图像可以通过将抛物线进行两次平移得到．这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位． 【总结】本题考查了二次函数的性质及抛物线的平移，熟记抛物线的性质及掌握平移口诀“上加下减，左加右减”是做题的关键． 知识点08 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【即学即练】 1.二次函数的对称轴为__________，顶点坐标为__________； 二次函数的对称轴为__________，顶点坐标为__________． 【答案】直线，顶点；直线，顶点． 【解析】抛物线（）的对称轴是直线，顶点坐标是（，），把、、分别代入可得对称轴和顶点坐标． 【总结】本题考查了二次函数的性质，熟记抛物线（）的对称轴是直线，顶点坐标是（，）做题的关键． 2.对于二次函数： （1）求出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ （2）求出此抛物线与x、y轴的交点坐标； （3）当x取何值时，y随着x的增大而减小． 【答案】（1）开口向下、对称轴为直线、顶点坐标为，函数有最大值，最大值为； （2）、；（3）． 【解析】（1），∴函数图像开口向下、对称轴为直线、顶点坐标为，函数有最大值，最大值为； （2）把代入解析式得，∴与轴交于；把代入解析式得，∴与轴交于； （3）∵图像开口向下，∴在对称轴的右侧随着的增大而减小，即时，随着的增大而减小． 【总结】本题考查了二次函数的图像与性质． 题型01 利用二次函数的图象和性质比较函数值的大小 【例1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）抛物线，点，，，则、、的大小关系是（　　） A．c>a>b B．b>a>c C．a>b>c D．无法比较大小 【答案】A 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后比较三个点都直线的远近得到、、的大小关系． 【详解】解：二次函数的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 、，， 点离直线最远，离直线最近， 而抛物线开口向上， ； 故选：A． 【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 比较二次函数值大小的方法 (1)直接代入比较法:当二次函数的解析式确定时,可以把自变量直接代入二次函数解析式求值，再比较大小 (2)增减性比较法(借助图象):①当点在对称轴同侧时,根据函数的增减性判断:2)当点在对称轴的两侧时，找某点关于对称轴的对称点，均转化到同侧求解 (3)到对称轴的距离比较法:当抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越大,相应的函数值越大:当抛物线开口向下时，点到抛物线的距离越大，相应的函数值越小. 【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）已知，两点都在抛物线（）上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是先求出抛物线对称轴，再根据点到对称轴的距离以及二次函数的增减性判断函数值大小． 先将抛物线解析式化为顶点式求出对称轴，再分别计算两点到对称轴的距离，最后根据二次函数性质时开口向上，对称轴右侧随增大而增大）比较函数值大小． 【详解】因为， 所以抛物线对称轴为直线， 点到对称轴的距离为； 点到对称轴的距离为， 因为，所以抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，所以， 故选：A． 【变式2】（2025·安徽亳州·三模）已知点，和都在抛物线（是常数，且）上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据二次函数图象与性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象与性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 【变式3】（2025·安徽·二模）抛物线，其中、满足，，若点，，在此抛物线上，则，，的大小关系为是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据，，得出，对称轴直线在和之间，然后通过开口向下，则图象上的点离对称轴越远则的值越小即可求解，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线开口向下，对称轴在和之间， ∵，， ∴点到对称轴的距离为：，在和之间； 点到对称轴的距离为：，在和之间； 点到对称轴的距离为：，在和之间； ∵， ∴开口向下，则图象上的点离对称轴越远则的值越小， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4】在平面直角坐标系中，，为抛物线上任意两点，其中．若对于，都有，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式可得对称轴为直线，由可得，根据抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大及，对于，都有，可得，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， ∵，对于，都有， ∴， ∴， 故答案为：． 题型02 求二次函数的最值 【例1】（2025·安徽六安·模拟预测）已知，则关于的最值，下列说法正确的是（   ） A．有最小值1 B．有最小值 C．有最大值1 D．有最大值 【答案】B 【分析】本题考查二次函数求最值，根据，求出，将转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ， ， ∴当时，有最小值， 故选B． 【例2】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴右侧，则该二次函数有（   ） A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握根据“二次函数的最值：若自变量的取值范围是全体实数，则当时，抛物线开口向上，有最低点，当时，函数取得最小值”求解是解题的关键． 【详解】解：∵对称轴在轴右侧， ∴， 又∵图象经过点， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 即有最小值， 故选D． 【例3】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线． (1)求m的值； (2)若点在的图象上，当时，求该二次函数的最大值与最小值． 【答案】(1)； (2)二次函数的最大值为，最小值的为． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）点在二次函数的图象上，得到，解得，则二次函数的解析式为，根据对称轴求解即可； （2）求出，，得到抛物线的解析式为，再根据二次函数的性质分别求出最大值与最小值即可； 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线， ∴； （2）∵， ∴点即为点， ∵点在的图象上，， ∴，解得， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，函数有最小值，最小值为， 当时，函数有最大值，最大值为， ∴二次函数的最大值为，最小值的为． 二次函数最值的求法 (1)在实数范围内求二次函数的最大(小)值就是求其图象顶点的纵坐标,故可用配方法或顶点坐标公式求二次函数的最大(小)值，(2)若自变量的取值范围是x≤x≤x,则需分情况讨论.①若顶点的横坐标在所给的范围内,则在顶点处取得最大或最小值;2)若顶点的横坐标不在所给的范围内,则利用函数的增减性确定最值 【变式1】（2025·安徽·一模）已知实数，满足，且，，则下列判断正确的是（    ） A．的最大值为6 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为2 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值，解一元一次不等式，由题意可得，，结合，求出，，表示出，，再求出范围即可判断AB，表示出，，再结合二次函数的性质即可判断CD． 【详解】解：由得，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，，故A，B选项都错误； ， ∵， ∴当时，取最大值，为，故C选项正确；， ∵， ∴当时，取最小值，为，故D选项错误； 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·安徽滁州·期末）若，，且，的最小值为，最大值为． （1）的取值范围是 ； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，解一元一次不等式，解答本题的关键是能够根据自变量的取值范围确定函数的最值． （1）根据，可得，再根据，即可求得的取值范围； （2）根据，可得，根据的取值范围和二次函数的性质即可求得和的值，从而求得的值． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 又， ， 故答案为：； （2）， ， ， 当时，有最小值， 当时，有最大值， ，， ， 故答案为：． 【变式4】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若当时，的最小值是，求当时，的最大值； 【答案】(1)直线 (2)11 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）根据对称轴为直线代入求解即可． （2）根据二次函数的图像和性质可得出当时，，进而求出a的值，再得出当时，取的最大值，代入计算即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线： ． （2）解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵对称轴为直线， ∴当时，y有最小值， ∵当时，的最小值是， ∴当时，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵当比当离对称轴近， ∴当时，取的最大值， 此时． 【变式5】（2025·安徽蚌埠·三模）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A，B(点A在点B 左边)，与y轴交于点C． (1)求点A，B的坐标； (2)若线段的端点为，，当抛物线与线段有交点时，求a 的取值范围； (3)若，当时，y的最大值与最小值的差为4，求t的值． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴交点问题． （1）根据题意分别求得的坐标即可； （2）将分别代入解析式，得出的值，结合函数图象，即可求解； （3）根据题意得出当时，，当时，，当时，，分，，，三种情况建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， ∴，； （2）解：∵ 对称轴为直线， ∵线段的端点为，， 当抛物线经过时，， 解得：， 当抛物线经过时，， 解得：， ∴当抛物线与线段有交点时，则； （3）解：若，则抛物线解析式为， 顶点为，抛物线图象关于对称， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∵时，的最大值与最小值的差为， 当时，则， 解得：或（舍去）， 当时，y的最大值为，最小值为，则（舍去） 当时，y的最小值为， 则，即， 解得：（舍去）或（舍去） 综上，t的值为． 题型03 抛物线对称性的应用 【例1】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线（a，h是常数）与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，抛物线中的自变量x与函数值y的部分对应值如表所示： x … 0 1 3 4 … … 6 … 下列结论正确的是（    ） A．此抛物线有最大值 B．当时，y随x的增大而增大 C．点A的坐标是，点B的坐标是 D．抛物线的对称轴是直线 【答案】C 【分析】此题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，由表格数据获取信息是解题的关键． 利用当和3时，，得出抛物线的对称轴是直线，判断D选项；根据对称轴和表格用待定系数法求得解析式，求出函数最值，即可判断A选项；根据解析式与对称轴得出函数增减性，可判定B选项；根据解析式，求出二交y轴交点A坐标，再根据对称性求出点B坐标，即可判定C． 【详解】解：当和3时，，得出抛物线的对称轴是直线， 故D选项错误，不符合题意； ， ∴ 把代入得， 解得：， 抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y有最小值，最小值为， 故A选项错误，不符合题意； 当时，随的增大而减小，故B选项错误，不符合题意； 当时，， 当时，， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， 故C选项正确，符合题意． 故选：C． 从表格中获取信息的三步骤 (1)通过表格确定自变量与因变量; (2)纵向观察每一列,发现因变量与自变量的对应关系: (3)分别横向观察自变量与因变量,从中发现因变量随自变量的变化所呈现的变化趋势 【变式1】（22-23九年级上·安徽六安·期末）某同学在利用描点法画二次函数的图象时，先取自变量的一些值，计算出相应的函数值，如下表所示： … 0 1 2 3 4 … … 0 1 0 … 在该函数图象上有和两点，且，，则与可以取的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称性知：抛物线的对称轴为直线，且抛物线的开口向下，由此确定答案． 【详解】解：∵和时，； ∴抛物线的对称轴为直线， ∴顶点坐标为， ∴抛物线的开口向下， ∵，， ∴， 由表格知当或时，；当时，， ∴或，， 故C选项符合题意，A、B、D选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】此题考查抛物线的对称性，抛物线的性质，读懂表格掌握二次函数的对称性解决问题是解题的关键． 【变式2】（22-23九年级上·安徽蚌埠·期中）已知二次函数的x、y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 5 1 1 下列结论中正确的有（　　）个． ①；②抛物线的对称轴是直线；③不等式的解集是；④1是方程的根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】先判断出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的开口方向，与坐标轴的交点，以及二次函数的增减性对各选项分析判断后求解． 【详解】解：由表格可知：当x越来越大，y先减小后增大，即二次函数图象开口向上，故①正确； 由表格可知：当，，，，即抛物线的对称轴为，故②正确； 不等式，即， 根据表格数据可知当时不等式， ∴不等式的解集是，故③正确； 当时，，即， ∴1是方程的根，故④正确； 正确的选项有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了增减性，对称性，以及二次函数与x轴的交点坐标的求解，熟记性质是解题的关键． 题型04 抛物线的平移变换 【例1】（24-25九年级上·安徽安庆·期末）将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得到的抛物线为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可解题． 【详解】解：将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得到的抛物线为． 故选：A ． 【例2】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）将的图象先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，则最终所得图象的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，先由二次函数的平移法则得出平移后的解析式，再由二次函数的图象与性质即可得解． 【详解】解：将的图象先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到的解析式为， 故最终所得图象的顶点坐标为， 故答案为：． 【例3】（2025·安徽亳州·三模）已知抛物线，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线． （1）b的值为 ； （2）点，分别在抛物线和上，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两条垂线交于点．若，则的值为 ． 【答案】 4 1 【分析】本题考查了二次函数的图象与平移，掌握这些知识是解题的关键． （1）由得顶点为，它向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度后的顶点为，即抛物线．则可求得b的值； （2）由（1）得c的值；由题意知，抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线，因而当点A右平移1个单位长度到点C，再向上平移3个单位长度到点B，则，故，即． 【详解】解：（1）∵， ∴抛物线的顶点为， ∴它向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度后的顶点为， 即抛物线． 即， ∴； 故答案为：4； （2）由（1）知，， 即； 也即抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线， ∴点A右平移1个单位长度到点C，再向上平移3个单位长度到点B，则， ∴； ∵， ∴ 即． 故答案为：1． 求平移变换后抛物线解析式的方法抛物线y=a(x-h)²+k(a≠0)平移时,a不变,只是h或k发生变化,因此研究抛物线平移问题时我们一般有两种方法. 方法1:先将抛物线的解析式的一般式y=ax²+bx+c 化为顶点式)=a(x-h)²+k,再根据平移的规律“左加右减、上加下减”即可确定平移后抛物线的解析式. 方法2:先求出抛物线平移前的顶点坐标，然后根据平移情况求出平移后的顶点坐标，最后代入二次函数解析式的顶点式即可确定平移后抛物线的解析式. 【变式1】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）将抛物线向右平移a个单位，再向上平移个单位得到解析式，则a、b的值是（   ） A．1， B．1，2 C．1，3 D．， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式(a，b，c为常数，)，“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本题的关键．直接根据二次函数图象的平移规则判断即可． 【详解】解：∵， ∴将抛物线向右平移1个单位，再向上平移个单位得到解析式， ∴，， 故选：A． 【变式2】（2025·安徽滁州·二模）抛物线（m为常数）的顶点为C，经过探究发现，随着m的变化，点C始终在某一抛物线H上，若将抛物线Q向右平移个单位，所得抛物线顶点D仍在抛物线H上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把抛物线Q的解析式解析式化为顶点式得到点C的坐标，进而可确定抛物线H的解析式，根据平移方式得到点D的坐标，进而得到点D和点Q关于抛物线H的对称轴对称，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线Q的解析式为 ， ∴抛物线Q的顶点的横坐标为，纵坐标为， ∴顶点C在抛物线上， ∴抛物线H的解析式为， ∵将抛物线Q向右平移个单位，所得抛物线的顶点为D， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∵点D在抛物线H上，且点D和点Q的纵坐标相同， ∴点D和点Q关于抛物线H的对称轴对称，即关于直线对称， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3】（2025·安徽·三模）设抛物线经过点，其中，，为实数 （1）抛物线的对称轴是 ； （2）若，将抛物线向右平移个单位，，是平移后的抛物线上的两点，若当时，，则的取值范围是 ． 【答案】 直线 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴； （2）根据平移得抛物线的对称轴为直线，根据当时，抛物线开口向上，，可得离对称轴较远，即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线经过点， ∴ ∴， ∴对称轴为直线． 故答案为：直线． （2）∵将抛物线向右平移个单位， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，是平移后的抛物线上的两点，， ∵ ∴ ∴在直线的左侧， 当时，抛物线开口向上， ∴ 解得： 故答案为：． 【变式4】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线：的顶点坐标为，与轴正半轴交于点，与轴交于点． （1）点的坐标为 ； （2）将抛物线沿轴向右平移个单位长度，平移后的抛物线与抛物线相交于点，且点在第四象限内，当的面积最大时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数解析式及二次函数的最值，了解二次函数顶点式和用含的式子表示的面积是解题关键． （1）把二次函数解析式表示为顶点式，即可得顶点坐标求解； （2）先表示出的解析式，联立得出点坐标，再表示出的面积，最后利用二次函数最值求解． 【详解】解：（1）∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，得， 解得，， ∴， 故答案为； （2）抛物线：， ∵将抛物线沿轴向右平移个单位长度得抛物线， ∴抛物线的解析式为：， ∴， 解得， 即点坐标为， ∵点在第四象限内， ∴，再结合， 得， ∵，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴如图，过点作轴，交直线于点，    ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， 故答案为：． 【变式5】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，已知拋物线． (1)它的顶点坐标是______，当______时，随的增大而减小； (2)将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，求所得新拋物线与轴的交点坐标． 【答案】(1)； (2)坐标为 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． （1）先将二次函数化为顶点式，再根据二次函数的性质解答即可； （2）根据二次函数平移的法则进行解答即可． 【详解】（1）， 故顶点坐标为， 函数的对称轴为，且开口向下， 故当时，随的增大而减小； 故答案为； （2）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度， 平移后的抛物线表达式为， 令，解得， 新拋物线与轴的交点坐标为． 题型05 抛物线关于坐标轴的轴对称变换 【例1】（22-23九年级上·安徽芜湖·期末）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于y轴对称，轴，，最低点C在x轴上，高，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据、关于y轴对称，得出点坐标为，再求出左边抛物线的顶点的坐标为，则右边抛物线的顶点的坐标为，设右边抛物线的解析式为，代入即可得出答案． 【详解】解：∵高，，、关于y轴对称， ∴点坐标为， ∵轴，，最低点在x轴上， ∴关于直线对称， ∴左边抛物线的顶点的坐标为， ∴右边抛物线的顶点的坐标为， 设右边抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 故右边抛物线的解析式为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用：关键是确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题． 解抛物线关于坐标轴的轴对称变换问题的方法首先要确定图象的开口方向是否变化,即确定a的值，然后利用轴对称的性质确定对称轴或关键点(顶点或抛物线与坐标轴的交点)的位置，以确定b与c,进而得到解析式 【变式】（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线：与抛物线：关于y轴对称，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧）． (1)写出抛物线的函数表达式，并求出的长； (2)在抛物线上是否存在一点P，在抛物线上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出此平行四边形的面积；若不存在，请说明理由； (3)设抛物线与x轴相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．抛物线与y轴交于E，经过点A的直线与线段DE交于F，与y轴交于G，记的面积为，的面积为，若，求OG的长． 【答案】(1)函数表达式为， (2)存在，20或12 (3) 【分析】（1）先根据轴对称的性质求出抛物线的解析式，再求出其与x轴的交点坐标，即可求得的长； （2）设点P的坐标为，根据平行四边形的性质，分两种情况讨论，分别列方程求解，即得答案； （3）设直线AF的函数表达式为，可求出，则，然后联立方程组求出点F的坐标，以及，的表达式，再根据列方程求解，即得答案． 【详解】（1）抛物线：， 因为抛物线：与抛物线：关于y轴对称， 所以抛物线的函数表达式为， 令，解得或， 即，， ∴； （2）（2）存在；理由如下： 以为边，且以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形， ，.， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为或， 当点Q的坐标为时，，解得， 当时，，此时平行四边形ABQP的面积为20（如图1）； 当点Q的坐标为时，，解得， 当时，，此时平行四边形ABPQ的面积为12（如图2）； 综上，平行四边形的面积为20或12； （3）（3）令，解得或，即，. 如图3，设直线AF的函数表达式为， 直线AF经过点， ， ， 直线AF的函数表达式为，易得直线的函数表达式为， 联立， 解得， 点F的坐标为， ， ， ，即， ， ， 解得或， 点的纵坐标为或（不合题意，舍去）， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，平行四边形的性质，二次函数与一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型06 二次函数图象的特征与系数间的关系 【例1】（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，如图，直线与抛物线的图象都经过轴上的点，抛物线与轴交于、两点，其对称轴为直线，且．直线与轴交于点（点在点的右侧）．则下列命题中正确的个数是（　　） ①；②；③；④． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线的性质，解决本题的关键是利用图象判断系数的符号以及一次函数的性质．根据抛物线的性质逐项判断即可．由抛物线的开口判断的符号；由对称轴判断及与的关系；还可由图象上点的坐标判断． 【详解】解：抛物线开口向上， ． 抛物线对称轴是直线， 且． 抛物线与轴交于正半轴， ． ∴ ①错误； 故②是正确； 直线经过一、二、四象限， ． 当时，则， ， 点的坐标为． 直线当时，， 可得． ③正确； 直线与抛物线的图象有两个交点 ， 得，， 由图象知， ， ， ∴④正确． 综上，正确的命题有3个． 故选：D． 二次函数y= ax²+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系 a的符号由抛物线的开口方向决定; c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定; b的符号由对称轴的位置与a的符号共同决定 【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，抛物线与轴交点为，，且，有下列结论：①；②；③；④若图象上有两点，，当时，总有，则的取值范围为．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数上点的坐标特征等内容，根据二次函数图象与系数的关系以及二次函数的点的坐标特征逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 又抛物线对称轴在轴左侧， ∴， ∴，故结论①正确； 对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， 解得， 故结论②错误； ∵二次函数经过， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故结论③正确； ∵开口向下，当时，总有， ∴两点均在对称轴左侧， 由②知，， ∴， 故结论④错误， 综上，①③正确，共有2个； 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，若二次函数图象的对称轴为，与轴交于点，与轴交于点，，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，．其中错误的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与x轴的交点等知识点，分别利用二次函数图象的开口方向以及图象与x轴的交点以及对称轴，函数最值，进而得出答案． 【详解】解：①∵二次函数图象的对称轴为，且抛物线的开口向下， ∴当时，y的最大值为，故①正确，不符合题意； ②∵与轴交于点，，对称轴为， ∴，当时，，故②正确，不符合题意； ③由图象可知：抛物线与x轴有两个交点， 即，故③错误，符合题意； ④∵关于对称点为， ∴当时，，故④正确，不符合题意； ∴错误的是③，只有1个； 故选：A． 题型07 利用待定系数法求二次函数的解析式 【例1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知图象的顶点坐标是，且与x轴的一个交点坐标是，求此二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 根据题意设二次函数的解析式（），把代入求出，即可得到答案． 【详解】解：图象的顶点坐标是， 设二次函数的解析式（）， 把代入得， 解得， 二次函数的解析式为． 利用待定系数法求二次函数的解析式时，要根据题目中的条件的特点灵活选择所设二次函数解析式的形式，以求解方便为基本原则， 【变式1】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）已知抛物线经过，，对称轴为直线，求抛物线的解析式． 【答案】抛物线的解析式为． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据对称轴为直线，设顶点坐标为，抛物线的解析式为，然后把，代入即可求出，的值即可． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴设顶点坐标为， 则可设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过，， ∴，整理得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【变式2】（24-25九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)求y的最值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的解析式，掌握待定系数法以及二次函数的一般式化成顶点式是解答本题的关键. （1）根据与坐标轴的两个交点，使用待定系数法进行解答即可； （2）将（1）求得的解析式，化成顶点式即可完成解答； 【详解】（1）解：由题意得，， ​​​​​​​解得， ∴抛物线的解析式； （2），， ∴当时，y取最小值为． 【变式3】（2025·安徽合肥·一模）已知二次函数的图象经过点，． (1)求，的值． (2)求当时，二次函数的最大值． (3)现将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为7，求平移后新的二次函数的表达式． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，正确的理解题意是解题的关键． （1）把点，代入，即可求得b、c的值； （2）根据二次函数的性质即可求得； （3）平移后新的二次函数的表达式为，分三种情况讨论：①当，即时，在对称轴的右侧，②当，即时， ③当，即时，在对称轴的左侧，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入， 得解得 ，的值分别是，． （2）解：二次函数的表达式为， 二次函数图象的对称轴为直线． ， 二次函数图象的开口向上，当时，随的增大而减小． ， 当时，二次函数有最大值，最大值为． （3）解：平移后新的二次函数的表达式为，该二次函数图象的对称轴为直线． 分三种情况讨论： ①当，即时，在对称轴的右侧， 二次函数在取得最小值， ，解得或，不符合题意． ②当，即时，二次函数在取得最小值，此时最小值为，不符合题意． ③当，即时，在对称轴的左侧， 二次函数在时取得最小值， ，解得或（舍去）， 此时二次函数的表达式为，即． 综上所述，平移后新的二次函数的表达式为． 题型08 二次函数与一次函数的综合 【例1】（2025·安徽六安·三模）如图，抛物线（m为常数）与x轴交于点，与y轴负半轴交于点C，若当时，，那么关于x的一次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数综合，掌握一次函数和二次函数的图象及性质是解题的关键． 根据题意分析出的正负，然后根据当时，，求出的正负，即可得出答案． 【详解】解：由二次函数图像可知，对称轴， ∴， ∵抛物线（m为常数）与x轴交于点， ∴点B的横坐标大于-1，小于0； ∵点关于对称， ∴点A的横坐标大于-2，小于-1． ∵当时，， ∴． 即． ∴一次函数图像经过一、二、四象限． ∴C符合题意．． 故选C． 同一平面直角坐标系中函数图象共存问题的判断方法根据函数图象，对比两个函数解析式中相同字母系数的取值范围(如正负性)是否一致,若都一致,则两函数图象可共存,若有不一致的，说明两函数图象不能共存 【变式1】（2025·安徽蚌埠·三模）函数(是常数，，下同)和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的性质以及图象的综合判断，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 分两种情况分析：当时；当时；再综合选项判断即可解答． 【详解】解：当时，二次函数的图象开口向上，与轴正半轴相交，对称轴为，，一次函数的图象经过第一、二、三象限； 当时，二次函数的图象开口向下，与轴正半轴相交，对称轴为，，一次函数的图象经过第二、三、四象限，则A，C，D不符合题意， 故选：B． 【变式2】（2025·安徽淮南·三模）已知二次函数与正比例函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，正确读懂的函数图象是解题的关键． 由已知函数图象，判断出，，，即可得函数的图象方向和对称轴，再求出与函数图象与轴的交点的横坐标，即可解得． 【详解】解：由已知函数图象得，，，， ∴函数的图象开口向上，， 即其图象的对称轴直线在轴的左侧． ∵二次函数与正比例函数的图象交点的横坐标为，， ∴二次函数与正比例函数的图象交点的横坐标为，， ∴方程的两根为，， ∴函数的图象与轴的交点的横坐标为，． 故选B． 【变式3】（2025·安徽合肥·二模）已知一次函数的图象，那么的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的图象与性质．根据一次函数图象可得，，可排除A选项；再由二次函数与x轴的交点坐标为，可排除D选项；然后根据二次函数的顶点纵坐标为，可排除B选项． 【详解】解：观察一次函数图象得：一次函数的图象经过第一，三，四象限， ∴，， ∴二次函数的图象开口向上，且对称轴，故A选项不符合题意； 对于， 当时，， 解得：， ∴二次函数与x轴的交点坐标为，故D选项不符合题意； ∵， ∴二次函数的顶点纵坐标为， ∵， ∴二次函数的顶点在x轴的下方，且到x轴的距离小于，故B选项不符合题意； 故选：C 【变式4】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系．对于每个选项，先根据二次函数的图象确定和的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在． 【详解】解：联立方程组得， 解得或， 一次函数与二次函数的交点为， A、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、二、三象限，且它们的一个交点在轴上，另一个交点横坐标为1，所以A选项正确，不符合题意； B、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、三、四象限，且它们的一个交点在轴上，另一个交点横坐标为1，所以B选项正确，不符合题意； C、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第一、二、四象限，且它们的一个交点在轴上，另一个交点横坐标为1，所以C选项正确，不符合题意； D、由二次函数的图象得，，则一次函数经过第二、三、四象限，且它们的一个交点横坐标为1，但另一个交点不在轴上，所以D选项错误，符合题意． 故选：D． 【变式5】（23-24九年级上·安徽·阶段练习）如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)直接写出直线的函数表达式为：______； (2)是线段上的点，过点作轴的平行线，交抛物线于两点（点在点的右侧），若，求点的横坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据二次函数求出点的坐标，再利用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （）设点的横坐标，则点的坐标为，把点的纵坐标代入抛物线的解析式，求出点的横坐标，再根据列出方程，解方程即可求解； 本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，两点间距离公式，掌握二次函数与一次函数的交点坐标的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线， 当时，， 解得，， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 设直线的函数表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：设点的横坐标，则点的坐标为， 把代入得，， 解得，， ∵点在点的右侧， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ∵，轴， ∴， 整理得，， ∴， 解得（不符，舍去），， ∴点的横坐标． 题型09 以二次函数为载体的探究性问题 【例1】（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，形状相同的抛物线：（，……）的顶点在直线上，其对称轴与x轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，…， 根据上述规律解决以下问题：    (1)抛物线的顶点坐标是________； (2)求抛物线线中b，c的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）观察发现顶点的横坐标：每个数都是前两个数的和，进而即可求解． （2）设抛物线的解析式为：，化简即可解得． 【详解】（1）解：∵其对称轴与x轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，… ∴抛物线的顶点横坐标是， 代入，则， ∴抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． （2），当时，抛物线的顶点坐标是， 由顶点式得： ，展开得． ∴，． 【点睛】本题考查了点与函数关系式的关系，既有数的规律，又有点的关系，掌握二次函数的顶点式是关键． 【变式1】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知二次函数的图象过三点 (1)求函数的解析式； (2)问是否存在m，n()，使函数在范围内的最小值是，最大值是？若存在，求出m，n；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，关键是分情况讨论和根据特征点解题． （1）运用待定系数法求解即可； （2）分三种情况讨论，分别根据二次函数的图像与性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过， ∴， 解得：， ∴解析式为：； （2）解：存在，理由如下： 对于，对称轴为直线， ∴①当时，函数在范围内，随增大而减小， ∴当时，，时，， ∴，， 两式相减得：， ∴或，均不符合题意，舍； ②当时，函数在范围内，随增大而增大， ∴当时，，时，， ∴，， 解得：或；或， ∴满足题意得话：，； ③当时， 此时当时，， 解得：，不符合题意，舍， 【变式2】（2025·安徽马鞍山·二模）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点．已知抛物线经过两点，且与轴交于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)若是直线上方抛物线上的一个动点（不与点重合），过点作轴于点，交直线于点，设点的横坐标为． ①如图2，当为何值时，线段取最大值？ ②如图3，是抛物线上一点，点的横坐标为，过点作轴于点，是否存在？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①②存在，或 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，求线段长度的最值，利用相等线段求坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）利用一次函数的解析式求得，再利用待定系数法即可求得二次函数解析式； （2）①假设，，列出，分析关于的二次函数即可求解； ②设，列出，分类进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当的函数值为0时，即， 解得， ∴， 将代入得 解得 所以，二次函数的表达式为； （2）解：①假设点，，根据题意可得， ，可以看作关于的二次函数，开口向下，顶点为最高点，顶点横坐标为，在的取值范围之内， ∴的最大值为， ∴当时，线段取最大值； ②存在，理由如下： 假设，则， 当时，即， 当点在轴上方时，， 解得，此时，； 当点在轴下方时，， 解得或（舍去），此时，； 综上，当或者时，． 综上所述：，． 【变式3】（2024·安徽合肥·二模）如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且． (1)求二次函数的表达式； (2)过点，作直线于点，作轴于点，并交于点． ①当时，求的长； ②是否存在点，使最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，点坐标为 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）①求得直线为，由，则，，，，即可求得； ②表示出，，，，即可求得，，即可得到，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）把，，代入中得： 解得， 所以解析式为：； （2）①点的横坐标是， 的纵坐标是 由，求得直线解析式为 的纵坐标是， 所以当时， ②存在，理由如下： 点在直线上， 点的横坐标是 ，当时，最大 点坐标为． 【变式4】（2024·安徽阜阳·二模）如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)连接，点D是线段上一动点（不与A、C两点重合），过点D作轴交抛物线于点E． ①当线段DE的长度最大时，求此时D点的坐标； ②在①的条件下，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点F，使得以点D、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，点F的坐标为或或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求得线段的解析式，设、，求得，利用二次函数的性质求解即可； ②求得抛物线的对称轴，，以及的长，分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：将、代入得， 解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：①令，则，∴， 设直线的解析式为，将代入得， 解得， ∴线段的解析式为， 设、，则， ∵， ∴当时，最大，此时； ②存在． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴， 设点； 当时，，此时点F的坐标为； 当，即时， ，整理得， 解得，此时点F的坐标为或； 当，即时， ，整理得， 解得，此时点F的坐标为或； 综上，点F的坐标为或或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，考查了二次函数的图象与性质、等腰三角形的性质、用待定系数法求函数解析式，解最后一小题时要注意分类讨论，求出所有符合条件的点P的坐标． 【变式5】（2024·安徽蚌埠·二模）已知抛物线经过点． (1)求的值； (2)为抛物线上两点，其中． （）若，且两点均在该抛物线对称轴的左侧，求的取值范围； （）如图，为坐标原点，过两点作轴的垂线与线段分别交于两点．若四边形为平行四边形，求四边形周长的最大值． 【答案】(1)， (2)（）；（）四边形周长的最大值 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质． （1）把代入计算即可； （2）（）把代入解析式，再结合计算的取值范围即可；（）先根据垂线求出，的坐标，再根据四边形为平行四边形可得，得到与的关系，最后表示出四边形周长求最大值即可． 【详解】（1））把代入可得 ， 解得； （2）（）由（1）可得抛物线解析式为，，， ∴对称轴为直线， ∵为抛物线上两点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵两点均在该抛物线对称轴的左侧， ∴， 解得， ∴， ∴； （）∵， ∴直线解析式为， ∵过两点作轴的垂线与线段分别交于两点， ∴，， ∴， ，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，整理得， ∵， ∴，即， ∴， ∴四边形周长为 ∵， ∴， ∴当时最大，最大值， 即四边形周长最大值． 题型10 与二次函数有关的新定义问题 【例1】（2025·安徽马鞍山·一模）定义：平面直角坐标系中，点、若满足，其中为常数，且，则称点与点互为“阶点”，例如点与点互为“阶点”． (1)若抛物线的顶点与点互为“4阶点”，求的值； (2)对于动点，若抛物线上只存在一个点与点互为“阶点”，求的值； (3)已知点、是抛物线上的两点，且都与点互为“阶点”，是抛物线的顶点，是线段的中点，若与互为“阶点”，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)最小值为 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根的判别式，二次函数的最值，掌握新定义是解题的关键． （1）配方得到抛物线的顶点坐标，然后根据“4阶点”的定义解答即可； （2）设这一点为，根据“阶点”的定义得到方程，然后根据根的判别式解题即可； （3）设点A的坐标为，点B的坐标为，则可得到，是方程的两根，即，，然后求出M和N的坐标，即可得到，根据t的取值范围确定最值即可． 【详解】（1）解：， ∴顶点坐标为， ∵顶点与点互为“4阶点”， ∴， 解得：； （2）解：设这一点为， 根据“阶点”的定义得：， 整理得：， ∵只存在一个点与点互为“阶点”， ∴， 解得：或； （3）解：设点A的坐标为，点B的坐标为， ∵点、都与点互为“阶点”， ∴，， 整理得，， ∴，是方程的两根， ∴，， 又∵， ∴顶点M坐标为， 又∵是线段的中点， ∴点的坐标为， ∵与互为“阶点”， ∴， 整理得， 代入得：， 即， 当时，随k的增大而增大， ∴当时，最小，最小值为． 【变式1】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则称这个点为“美好点”，如图，过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则P为“美好点”． (1)在点，，中，是“美好点”的有 (2)若“美好点”在直线（b为常数）上，求a和b的值； (3)若“美好点”P恰好在抛物线第一象限的图象上，在x轴上是否存在一点Q使得为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】（1）根据“美好点”的定义逐个验证即可； （2）对于点，对应图形的周长为：，面积为，因为点是“美好点”，故，即可求解； （3）根据点是“美好点”确定点的坐标，再分三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于点，对应图形的周长为：，面积为，故点不是“美好点”； 对于点，对应图形的周长为：，面积为，故点是“美好点”； 对于点，对应图形的周长为：，面积为，故点是“美好点”； 故答案为：； （2）解：对于点，对应图形的周长为，面积为， ∵点是“美好点”， ∴，解得：， 当时，将点的坐标代入直线的表达式得：，则， 当时，将点的坐标代入直线的表达式得：，则， 故或； （3）解：存在， 理由： 设点的坐标为， 由题意得：，即， 解得：或（舍去）或0（舍去）， 故点的坐标为； 设点的坐标为， 则， 当时，则，解得：（舍去）或12； 当时，则，解得：； 当时，则，解得：； 综上点的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，等腰三角形的定义，两点之间距离公式，解一元二次方程等知识点，这种新定义的题目，通常按照题设的顺序逐次求解，一般比较容易． 【变式2】（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数）． (1)若该函数经过点，求该函数图象上的“三倍点”坐标； (2)在（1）的条件下，当时，求该函数的最小值（用含的代数式表示）； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求的取值范围． 【答案】(1)“三倍点”坐标为； (2)当时，；当时，； (3)的取值范围为． 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，理解“三倍点”是的定义是解题的关键． （1）把代入即可求得抛物线解析式，设该函数图象上的“三倍点”坐标为，把代入抛物线解析式，即可确定“三倍点”坐标； （2）由（1）可知，分为①当即时，②当即时，分别求解即可． （3）由题意得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 抛物线的解析式为． 设该函数图象上的“三倍点”坐标为， 把代入，得， 整理，得，解得， “三倍点”坐标为． （2）解：由（1）可知，则抛物线的对称轴为直线． 当，即时，此时左侧端点离对称轴越远，则； 当，即时，此时右侧端点离对称轴越远，则． 综上，当时，；当时，． （3）由题意，得“三倍点”所在的直线为． 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和的图象至少有一个交点， 令，整理得， 则，解得； 把代入，得，代入，得， 则，解得； 把代入，得，代入，得， 则，解得． 综上，的取值范围为． 【变式3】（2025·安徽马鞍山·三模）已知点在关于x的二次函数的图象上． (1)证明：； (2)证明：当b的值变化时，二次函数的顶点总在另一个二次函数的图象上，求p，q的值； (3)若点满足：①m，n均为整数；②m对应与的函数值分别记为，，且．则称是函数与的一个环抱整点． （ⅰ）当时，求函数与的环抱整点的个数； （ⅱ）若函数与的环抱整点有且只有1个且，试求整数n的值与实数b的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析，， (3)（ⅰ）3个；（ⅱ）， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）把代入计算即可； （2）先求出二次函数的顶点坐标为，然后令，将顶点坐标化为，即知顶点在函数的图象上，即得答案； （3）（ⅰ）当时，，，可得，解不等式 得，所以或0，再代入验证，即得答案； （ⅱ）当时，，，则，再根据函数与的环抱整点有且只有1个，即知，且，从而可得答案． 【详解】（1）证明：点在关于x的二次函数的图象上， 把代入，得， ； （2）证明：二次函数的顶点坐标为， ， ， 二次函数的顶点坐标为， 令，则， ， 即二次函数的顶点坐标为， 这表明顶点总在二次函数的图象上， 与比较系数得，，； （3）解：（ⅰ）当时，由，得， ， 由（2）得， 当时，，， 则， ， ， 由二次函数的性质知， 或0， 当时，，， ， ； 当时，，， ， 或0； 函数与的环抱整点为，，，共有3个； （ⅱ）由（1）（2）可知，，， 当时，，， 则， 函数与的环抱整点有且只有1个， ，且， 整数n的值为0，实数b的取值范围是． 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）下列函数中，是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如的是二次函数．根据二次函数的定义，逐个判断即可． 【详解】解：A、是是二次函数，符合题意； B、不是二次函数，不符合题意； C、是一次函数，不符合题意； D、不是二次函数，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握抛物线顶点式的性质． 根据抛物线的性质由得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线，时随增大而增大，当时，随的增大而减小，判定即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴抛物线开口向下，故A选项不符合题意； ∴对称轴为直线，故B选项符合题意； ∴顶点坐标为，故D选项不符合题意； ∴时随增大而增大，时随增大而减小．故C选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法． 本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解∶A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不合题意； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不合题意； D、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不合题意． 故选∶A． 4．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）已知点，都在抛物线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，根据的开口方向及增减性判断即可． 【详解】解：中，， 抛物线开口向下，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ， ， 故选B． 5．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）二次函数的图像如图所示．下列结论：①；②为任意实数，则；③；④．其中正确结论的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，根据抛物线的开口方向和与轴可得，，根据对称轴可得，即可判断①；由对称轴和开口方向可得，即可判断②；由对称轴可判断③；由时，函数值小于零得，即可判断④，综上即可求解，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于正半轴上， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，取最大值，， ∴对为任意实数，有， 即，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故③正确； 由函数图像可知，当时，函数值小于零， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有个， 故选：． 6．（2025·安徽六安·三模）已知二次函数（其中a，b，c是常数，且）的图象过点，，，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，以及通过不等式的性质确定式子的范围，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 求出二次函数图象与y轴的交点为，可得抛物线的对称轴为直线为，从而得到，进而得到，再逐项判断即可． 【详解】解：当时，， ∴二次函数图象与y轴的交点为， ∵图象过点， ∴抛物线的对称轴为直线为， ∴， ∴， 把点，，代入得： ，， ， ∵， ∴，故A选项错误，不符合题意； 若， ∴， ∴，故B选项错误，不符合题意； 若，则， ∴， ∴，故C错误，不符合题意； 若，则， ∴，故D正确，符合题意； 故选：D． 7．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点坐标为，与y轴的交点在x轴的上方，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质；由顶点坐标可得，，即可判断，进而得到，，由抛物线与y轴的交点在x轴的上方可得，即可判断，进而可得，，即可判断． 【详解】解：顶点坐标为， ，， ，， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ， ，即， ， 综上所述，结论错误，结论正确， 故选：． 8．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、y=a（x-h）²的图象和性质、判断一次函数的图象 【分析】本题考查在同一个坐标系中判断一次函数与抛物线图象是否正确，先从各选项中一次函数图象得到的符号，进而判定同一坐标系下二次函数图象是否正确即可得到答案，数形结合，熟记一次函数及二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：从一次函数的图象开始： A、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象一致， 故A图象正确，符合题意； B、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致， 故B图象错误，不符合题意； C、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴右侧，与选项图象不一致， 故C图象错误，不符合题意； D、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致， 故D图象错误，不符合题意； 故选：A． 9．（2025·安徽滁州·三模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平移的性质求解、y=ax²+bx+c的图象与性质、求一次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的图象和与坐标轴的交点坐标、图形的平移和待定系数法求一次函数表达式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形和性质． 先求出、两点的坐标和对称轴，先确定三角形向右平移了 1 个单位长度，求得的坐标，再确定三角形向上平移 5 个单位，求得点的坐标，用待定系数法即可求解． 【详解】解：当时，， 解得， 当时，， ， 对称轴为直线， 经过平移，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上， ∴向右平移 1 个单位，即的横坐标为， 当时，， ∴，向上平移5个单位， 此时， ， 设直线的表达式为， 代入， 可得， 解得：， 故直线的表达式为， 故选：C． 10．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在等腰三角形中，，，P为直角边上一动点，于点D，连接．当点P从点A出发沿直角边运动到点B时，设点P运动的路程为x，，则y随x变化的大致函数图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、y=ax²+bx+c的图象与性质、动点问题的函数图象 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的应用．分和，两种情况讨论，求得y随x函数解析式，逐一判断即可得解． 【详解】解：根据题意，得，， 当点P沿A→C运动时，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ，， ∴， 此时，y随x变化的函数图象是抛物线的一部分，且开口向下，顶点为， 排除C，D； 当点P沿C→B运动时，； 同理可得； ∵， ∴， ∴， ∴， 此时，y随x变化的函数图象是抛物线的一部分，且开口向上，顶点为，排除B． 故选：A． 二、填空题 11．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）若函数是二次函数，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了二次函数的定义， 根据二次函数的定义解答即可．一般地，形如是二次函数． 【详解】∵是二次函数， ∴，且， 解得． 故答案为：2． 12．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）二次函数，当和时，的值相等． （1） ；（用含有的式子表示） （2）无论为何值，二次函数与交于点，当时，总存在随的增大而减小，则代数式的最小值为 ． 【答案】 3 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对称性等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）由当和时，的值相等，可得对称轴为，再由一般式对称轴公式即可得到，再化简即可； （2）根据相交得到，先求出，而总存在随的增大而减小，得到，那么，再由，即可求解最值． 【详解】解：（1）由题意可知， 解得； （2）令， 可得， 若和无关，则， 此时，即点的坐标为． 当时，总存在随的增大而减小， ，解得， 而， 故当时，代数式有最小值3， 故答案为：，3． 三、解答题 13．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线． (1)将化成的形式； (2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线． x … … y … … (3)取何值时， 【答案】(1) (2)填表见详解，画出抛物线见详解 (3)当或时， 【知识点】根据交点确定不等式的解集、画y=ax²+bx+c的图象、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题主要考查二次函数顶点式，作图，由图形求不等式的解集，掌握二次函数图象的性质，作图是解题的关键． （1）运用配方法即可求解； （2）取自变量的值代入计算，运用描点，连接即可作图； （3）根据图示，运用二次函数与轴的交点即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：当的值为时对应的y的值分别为：，如表所示， x … … y … … 故答案为：；； 图象如下图所示： （3）解：由图象得：当或时，． 14．（2025·安徽淮北·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示） (2)点，在抛物线上，其中，， 若的最小值是，求的最大值； 若对于，都有，求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)，或． 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】（）通过配方配成顶点式即可求解； （）由抛物线对称轴为，，当时，的最小值为，求出，然后代入即可求解； 当时，取最大值，最大值为，当时，，根据有，则，再解出的范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：抛物线对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向上 ∵， ∴当时，的最小值为， ∵的最小值是， ∴， ∴，， 当时，； ∵，， ∴当时，取最大值，最大值为， 当时，， 对于，均有， ∴， ∴， ∴或， 解得或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，利用配方法求顶点坐标，对称轴，最值，根据函数值的关系求参数的范围，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 15．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）“强化课程建设，提升育人质量”，瑶海区某中学校本课程“物理@数学”学习小组对一款热水器的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分． (1)求抛物线解析式（不必写出取值范围）； (2)变阻器R消耗的电功率P最大为多少瓦？ 【答案】(1)； (2)变阻器消耗的电功率最大为瓦． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及到用待定系数法求解析式和二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先利用待定系数法求抛物线的解析式，根据二次函数的性质即可求解； （2）当时，取最大值． 【详解】（1）解：该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，过和点， 抛物线的对称轴为， 设抛物线的解析式为， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：由（1）可知， 抛物线解析式为， ， 当时，取最大值， 变阻器消耗的电功率最大为瓦． 答：变阻器消耗的电功率最大为瓦． 16．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）已知函数（其中，是常数）． (1)若，两点在该函数图象上，求此函数的表达式； (2)在（1）的条件下，函数的图象顶点为，与轴正半轴交点为，与轴的交点为，若将该图象向下平移个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部（不包括的边界），求的取值范围； (3)若，当时，函数的最大值为8，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)2或 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将，代入，即可求出函数表达式； （2）由（1）求得的表达式可得点A、B、C的坐标，平移后顶点坐标为，按照平移后的图象顶点在点A、H之间求解即可； （3）分、、三种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）将，代入，得 ， 解得， 此函数的表达式为； （2）由（1）知， 顶点的坐标为， 平移后顶点坐标为， 令，则或， 令，则 ， 过点A作y轴的平行线交于点H， 设直线的解析式为， 把点B的坐标代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 故点， 函数图象的顶点落在的内部，则， 解得； （3）若，则， 函数的对称轴为：直线， 当，即时， 时，y取得最大值，即， 解得：或（舍去）； 当，即时， 时，y取得最大值，即， 解得：或（舍去）； 当，即时， 时，y取得最大值，即， 解得：（舍去）或（舍去）； 综上所述：的值为2或． 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，二次函数的平移问题，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 17．（24-25九年级下·安徽芜湖·阶段练习）已知抛物线（，为常数）的顶点纵坐标比抛物线的顶点纵坐标大，且这两条抛物线的对称轴分布在轴的两侧． (1)求的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． 若，且，，求的值； 若且，求的最小值． 【答案】(1)； (2)；最小值为． 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据二次函数的性质求二次函数的最值． 分别求出两条抛物线的对称轴和顶点坐标，根据对称轴分别在轴的两侧，可得：，从而可得：，根据两条抛物线顶点坐标的关系可得方程，解方程求出的值即可； 把点、的坐标分别代入两个抛物线的解析式，可得、，联立两个抛物线的解析式可得：：，又因为，代入整理可得：，因为，，所以，解得：，又因为，从而求出的值； 把代入，可得关于的二次函数：，根据二次函数的性质可知当时，取得最小值，最小值为． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为， 顶点的纵坐标为； 抛物线的对称轴为， 顶点的纵坐标为， ， 解得：， 这两条抛物线的对称轴分布在轴的两侧， ，即， 的值为； （2）解：由可得，抛物线的表达式为， 把代入抛物线中， 可得：； 把代入抛物线中， 可得：； 把（i）代入（ii）中， 可得：， 整理得：， 当时， 可得：， 整理得：， ， 分解因式得：， ，， 即， ，得， 即； 当时， 由可得：， 整理得：， ， ， 可得：， ，开口向下， 对称轴为：， 当时，随的增大而减小， 当时，取得最小值， 最小值为． 18．（2024·安徽滁州·三模）如图1，以点 A，B 为端点的实线是一条开口向下的抛物线的一段，点C 是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，于点 D，，则称实线表示的部分为该抛物线上的“正抛线”，点A，B 分别为“正抛线”的左、右端点，点 C 为“正抛线”的顶点，的长为“正抛线”的高． (1)已知高为4的“正抛线”左端点在坐标原点，求该“正抛线”所在抛物线的表达式； (2)已知抛物线 上的“正抛线”以原点为左端点，求b； (3)如图2，一种图案由大小两种不同的“正抛线”组成，在平面直角坐标系中，所有大“正抛线”的端点都在x轴上，小“正抛线”的端点都在与其相邻的大“正抛线”上，所有“正抛线”的顶点都在同一条直线上．求大“正抛线”与小“正抛线”高之比． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）根据题意，得左端点，，得到右端点，垂足点，顶点或，设抛物线解析式为或，把分别代入解析式，确定的值即可． （2）根据题意，得，解得，且抛物线以原点为左端点，得左端点，，得到右端点，垂足点，根据抛物线，得顶点，设抛物线解析式为，点 代入解析式，计算即可． （3）设抛物线的左端点为A，右端点为B，垂足点为D，顶点为C，小抛物线的左端点为E，右端点为F，垂足点为H，顶点G，根据题意，设左端点，右端点，垂足点，顶点，设抛物线解析式为，抛物线解析式为，设，则，计算解答即可． 【详解】（1）根据题意，得左端点，，右端点，垂足点，顶点或， 设抛物线解析式为或，把分别代入解析式，∴或， 解得或， 故抛物线解析式为或． （2）根据题意，得， 解得， ∵抛物线以原点为左端点， ∴左端点，，右端点，垂足点， ∵抛物线， ∴顶点， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 整理，得， 解得（舍去）， 故． （3）设抛物线的左端点为A，右端点为B，垂足点为D，顶点为C，小抛物线的左端点为E，右端点为F，垂足点为H，顶点G， 根据题意，设左端点，右端点，垂足点， ∵抛物线， ∴顶点， 设抛物线解析式为， 把点代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为， 设，则， 则，， ∴ 整理，得， 解得， 故或， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式的确定，新定义抛物线，熟练掌握待定系数法，正确理解新定义是解题的关键． 19．（22-23九年级下·安徽淮南·期中）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴交于点B． (1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)P的坐标为：，，， 【知识点】用勾股定理解三角形、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式 【分析】（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a，b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线的解析式；把B、C两点的坐标代入直线，解方程组求出m和n的值即可得到直线的解析式； （2）当点M在直线上时，根据抛物线的对称性， ，值最小．把代入直线得到y的值，即可求出点M坐标； （3）设，根据，，得到，，，分点B为直角顶点，点C为直角顶点，点P为直角顶点，三种情况讨论求出t值，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ， ∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， 令，则, 解得，，或（舍去）， ∴， ∵直线经过B，C两点， ∴， 解得，， ∴直线解析式为：； （2）解：∵点A与点B关于对称轴对称， ∴当点M在直线上时，，值最小， 把代入直线解析式， 得，， ∴点M的坐标为：； （3）解：设， ∵，， ∴， ， ， ①若点B为直角顶点，， ∴， 解之得，； ②若点C为直角顶点，， ∴， 解之得，； ③若点P为直角顶点，， ∴， 解之得，，． 综上所述，P的坐标为：，，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数和一次函数的图象与性质，轴对称线段和最小，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$