专题02 解三角形7大题型-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（青海专用）

专题02 解三角形 题型概览 题型01正弦定理 题型01 解三角形综合问题 题型02余弦定理 题型02 解三角形与向量综合问题 题型03三角形的面积 题型03 解三角形最值问题 题型04正、余弦定理的应用 正弦定理题型01 1. （23-24高一下·海南州·期末）在中，角的对边分别为，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理结合已知可求出三角形外接圆的半径，从而可求出外接圆的面积》 【详解】设外接圆的半径为，则，解得， 所以外接圆的面积为. 故选：B. 2. （23-24高一下·海西州·期末）在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（ ） A. 无解 B. 有一解 C. 有两解 D. 解的个数不确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理解出再根据，得到，可得角有两个解. 【详解】由正弦定理，得，解得. 因为，所以.又因为，所以或，故此三角形有两解. 故选：C. 3. （23-24高一下·西宁市·期末）在中，内角所对的边分别是，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】根据正弦定理边角互化，得到，再根据余弦定理代入化简，即可得角. 【详解】已知， 则由正弦定理得， 由余弦定理可得，代入上式可得 ，即，则， 因为，所以. 故选：B. 4. （23-24高一下·西宁市·期末）（多选题）已知内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则有一解 B. 若，，，则无解 C. 若，，，则有两解 D. 若，，则有两解 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦定理和三角形中大边对大角，依次判断选项. 【详解】由得，此时三角形显然不存在，错误； 由正弦定理得，则，显然角B不存在，B正确； 由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 故或，正确； 若，，则为等边三角形，唯一确定，D错误． 故选：BC 5. （23-24高一下·西宁市·期末）（多选题）在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】已知两边及一边对角，由正弦定理解三角形即可. 【详解】A项，因为， 所以由正弦定理得， 则，所以有唯一解，故A错误； B项，法一，因为， 则，由， 即，如图，有两解. 法二，因为， 由正弦定理得， 则有两解，或. 当时，，，，有解，满足题意； 当时，，，，有解，满足题意； 所以有两解，故B正确； C项，法一，因为， 则，由， 即，如图，有两解. 法二，因为， 由正弦定理得，即， 因为， 则有两解，或. 当时，，，有解，满足题意； 当时，，，有解，满足题意； 所以有两解，故C正确； D项，因为， 所以由正弦定理得， 由于，故， 即有唯一解，且，有解，所以只有一解，故D错误； 故选：BC. 余弦定理题型02 6. （23-24高一下·西宁市·期末）在中，，，所对的边分别为，，，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由余弦定理，即可得出结果. 【详解】由余弦定理的推论，得， 又，所以． 故选：D． 【点睛】本题主要考查由余弦定理解三角形，属于基础题型. 7. （23-24高一下·西宁市·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积为，，. （1）求的周长； （2）求角C的度数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面积公式以及题中条件即可求解， （2）由余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由的面积，得， ， 又，. 则，故的周长为. 【小问2详解】 由余弦定理，得， ，. 三角形的面积与周长题型03 8. （23-24高一下·西宁市·期末）已知、、分别为三个内角、、的对边，. （1）求； （2）若，的面积为，求、. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由及正弦定理得到，得出角A； （2）由三角形面积公式结合余弦定理可得． 【小问1详解】 根据正弦定理， 变为，即， 也即， 所以． 整理，得，即，所以， 所以，则． 【小问2详解】 由，，得． 由余弦定理，得， 则，所以．则． 9. （23-24高一下·西宁市·期末）从①；②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.在中，分别是内角所对的边且. （1）求角的大小； （2）若，且 ，求的值及的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 由已知条件结合正弦定理可得, 再利用余弦定理可求出角 ； (2) 若选①, 则可求出角, 再利用正弦定理求出的值, 然后利用三角形的面积公式求出结果；若选②，则先根据正弦定理求出的值, 然后利用三角形的面积公式求出结果. 【小问1详解】 因为 , 由正弦定理得 , 即 , 得 , 又 , 所以 . 【小问2详解】 选择①时: , 故, 根据正弦定理 , 故 , 故 . 若选②: 由 及正弦定理 , 得 , 解得 , 所以 . 根据正弦定理 , 得 , 故 . 10. （23-24高一下·海南州·期末）已知的内角的对边分别为为锐角，且． （1）求角的大小； （2）若的面积为，，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可得，即可求解； （2）根据三角形的面积公式可得，结合余弦定理计算即可求解. 【小问1详解】 由，有． 又由，可得， 因为为锐角，所以； 【小问2详解】 由题意得，，得， 由余弦定理得， 可得． 11. （23-24高一下·西宁市·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式即可求解； （2）利用三角形的面积公式可求得，利用余弦定理可得出的值，即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以 即． 因为，所以， 所以，因为，所以． 小问2详解】 由（1）可知，则． 因为的面积为，所以，解得 由余弦定理得， 则． 故的周长为． 正、余弦定理的应用题型04 12. （23-24高一下·西宁市·期末）在平静的湖面上，小船甲从处沿北偏西的方向匀速行驶，同时，在的正东方向，且相距千米的处，小船乙沿北偏西的方向行驶，经过2小时后，这两艘小船在处相遇，则小船甲的速度是（ ） A. 千米/时 B. 千米/时 C. 10千米/时 D. 20千米/时 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理可得答案. 【详解】由题意可得千米，， 则， 在中，由正弦定理可得， 则千米，故小船甲的速度是千米/时. 故选：C. 13. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为，，且.若山高m，汽车从C点到B点历时25s，则这辆汽车的速度为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，,,所以m，m，由余弦定理可得（m），这辆汽车的速度为（）. 故答案为： 14. （23-24高一下·西宁市·期末）如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间的距离.已知两山的海拔高度分别是米和米，现选择海平面上一点为观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及，则等于_________米. 【答案】 【解析】 【分析】先求得，再利用余弦定理求得. 【详解】， ， 在三角形中， 由余弦定理得米. 故答案为： 15. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，某海域的东西方向上分别有A，B两个观测塔，它们相距海里，现A观测塔发现有一艘轮船在D点发出求救信号，经观测得知D点位于A点北偏东45，同时B观测塔也发现了求救信号，经观测D点位于B点北偏西75，这时位于B点南偏西45且与B相距30海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时. （1）求B点到D点的距离； （2）若命令C处的救援船立即前往D点营救，救援船能否在1小时内到达救援地点？请说明理由.（参考数据：，，） 【答案】（1）（海里） （2）救援船能够在1小时内到达救援地点，理由见解析 【解析】 【分析】（1）在中，由正弦定理直接解出即可； （2）在中，由余弦定理解出即可. 【小问1详解】 如图：由题意知：，，， 所以， 在中，由正弦定理可得：，即， 所以（海里）； 【小问2详解】 在中，，，， 由余弦定理可得： ， 所以海里， 所以需要的时间为（分钟）（分钟） 答：点到点的距离为海里，且救援船能够在小时内到达救援地点. 解三角形综合问题题型01 16. （23-24高一下·海南州·期末）（多选题）在中，角的对边分别为，角的角平分线交于点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，利用余弦定理和勾股定理逆定理得到，再利用二倍角的余弦公式即可判断A；对B，直接根据即可求出；对C，利用三角形面积公式即可证明角平分线定理；对D直接利用三角形面积公式即可判断. 【详解】对A，由余弦定理得，即， 所以，又，为三角形内角， 所以，，解得（负舍）. 中，，故A正确； 对B，在中，，代入，解得.故B错误； 对C，，解得，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：AD. 解三角形与向量的综合问题题型02 17. （23-24高一下·西宁市·期末）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且. （1）求角的大小； （2）若，边上的中线长为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示得到，再由正弦定理将边化角，从而解得； （2）依题意可得，将两边平方，根据数量积的运算律得到方程，即可求出，再检验即可. 【小问1详解】 解：因为，，且， 所以， 由正弦定理可得， 由，所以，又为锐角，所以. 【小问2详解】 解：在中，， 所以， 即，整理得， 解得（舍去）或. 此时，，，为等边三角形，符合题意，故. 解三角形最值问题题型03 18. （23-24高一下·西宁市·期末）已知是的外心，若，则内角的最大值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，连接，因为是的外心，所以，根据平面向量加法的三角形法则和平面向量数量积的定义将和转化为边得到边之间的关系，再利用余弦定理结合重要不等式即可求解. 【详解】取的中点，连接，如图： 因为是的外心，所以， 设中对应边分别为， 则 ， 同理可得， 因为， 所以， 根据余弦定理得：， 当且仅当时等号成立， 因为函数在为减函数，且， 所以内角的最大值是. 故答案为：. 19. （23-24高一下·海西州·期末）在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再用余弦定理边化角，即可求出角； （2）由中线向量公式来计算中线长，再利用边化角得到中线与角的三角函数，再利用三角恒等变换，再结合锐角三角形得到角的范围，即可求出中线长的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 所以， 由余弦定理得， 又，所以； 【小问2详解】 因为，所以． 因为D是线段AC的中点，所以， 所以， 由正弦定理得，所以，， 所以 , 又为锐角三角形，所以，解得，所以， 即，则，所以， 即，则BD的长的取值范围是． 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 解三角形 题型概览 题型01正弦定理 题型01 解三角形综合问题 题型02余弦定理 题型02 解三角形与向量综合问题 题型03三角形的面积 题型03 解三角形最值问题 题型04正、余弦定理的应用 正弦定理题型01 1. （23-24高一下·海南州·期末）在中，角的对边分别为，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 2. （23-24高一下·海西州·期末）在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（ ） A. 无解 B. 有一解 C. 有两解 D. 解的个数不确定 3. （23-24高一下·西宁市·期末）在中，内角所对的边分别是，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. （23-24高一下·西宁市·期末）（多选题）已知内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则有一解 B. 若，，，则无解 C. 若，，，则有两解 D. 若，，则有两解 5. （23-24高一下·西宁市·期末）（多选题）在中，内角所对的边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. B. C. D. 余弦定理题型02 6. （23-24高一下·西宁市·期末）在中，，，所对的边分别为，，，若，则（ ）． A. B. C. D. 7. （23-24高一下·西宁市·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积为，，. （1）求的周长； （2）求角C的度数. 三角形的面积与周长题型03 8. （23-24高一下·西宁市·期末）已知、、分别为三个内角、、的对边，. （1）求； （2）若，的面积为，求、. 9. （23-24高一下·西宁市·期末）从①；②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.在中，分别是内角所对的边且. （1）求角的大小； （2）若，且 ，求的值及的面积. 10. （23-24高一下·海南州·期末）已知的内角的对边分别为为锐角，且． （1）求角的大小； （2）若的面积为，，求的值． 11. （23-24高一下·西宁市·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 正、余弦定理的应用题型04 12. （23-24高一下·西宁市·期末）在平静的湖面上，小船甲从处沿北偏西的方向匀速行驶，同时，在的正东方向，且相距千米的处，小船乙沿北偏西的方向行驶，经过2小时后，这两艘小船在处相遇，则小船甲的速度是（ ） A. 千米/时 B. 千米/时 C. 10千米/时 D. 20千米/时 13. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为，，且.若山高m，汽车从C点到B点历时25s，则这辆汽车的速度为______. 14. （23-24高一下·西宁市·期末）如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间的距离.已知两山的海拔高度分别是米和米，现选择海平面上一点为观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及，则等于_________米. 15. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，某海域的东西方向上分别有A，B两个观测塔，它们相距海里，现A观测塔发现有一艘轮船在D点发出求救信号，经观测得知D点位于A点北偏东45，同时B观测塔也发现了求救信号，经观测D点位于B点北偏西75，这时位于B点南偏西45且与B相距30海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时. （1）求B点到D点的距离； （2）若命令C处的救援船立即前往D点营救，救援船能否在1小时内到达救援地点？请说明理由.（参考数据：，，） 解三角形综合问题题型01 16. （23-24高一下·海南州·期末）（多选题）在中，角的对边分别为，角的角平分线交于点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积为 解三角形与向量的综合问题题型02 17. （23-24高一下·西宁市·期末）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且. （1）求角的大小； （2）若，边上的中线长为，求. 解三角形最值问题题型03 18. （23-24高一下·西宁市·期末）已知是的外心，若，则内角的最大值是__________. 19. （23-24高一下·海西州·期末）在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围． 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$