精品解析：湖北省襄阳市第五中学2025届高三下学期适应性考试(四)数学试题

襄阳五中2025届高三下学期适应考试四数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为（ ） A. 圆 B. 双曲线的一支 C. 椭圆 D. 抛物线 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数部分图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 在等差数列中，前项和为，若，则（ ） A. 18 B. 33 C 36 D. 40 6. 若直线与双曲线无公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在锐角中，内角所对的边分别为，若，，则AC边上的高的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面说法正确的是（ ） A. 若数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为4 B. 若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等 C. 已知是随机变量，则 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 10. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的(被称作阿基米德体)，如图所示，若该石凳的棱长为，下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 该石凳的体积为 C. ，，，四点共面 D. 点到平面距离为 11. 在光纤通信中，用光信号的不同强度或状态来代表二进制中的1和0，因此常用0和1组成的有序数组或1的形式表示信息，被称为一个长为的字，设分别为两个长为的字，令表示使的的个数，例如，则，则（ ） A. 若，则 B. 若，则满足，字长为5的字的个数为5 C. 若，则满足，字长为6的字中有且仅有3个1相邻的字的概率为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的焦点为，是上异于原点的一点，过点的直线的方程为，设与轴交于点，则的值为_____. 13. 4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有_____________种． 14. 在中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为.若，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求、、的值． （2）求数列的通项． （3）求数列的前项和． 16. 斜四棱柱中，底面为平行四边形，，，，. （1）求四棱柱的体积； （2）求平面与平面的夹角的正切值. 17. 已知函数 （1）当时，求证： （2）若对恒成立，求的取值范围. 18. 在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示. （1）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵； （2）在平面直角坐标系中，求双曲线绕原点按逆时针旋转（到原点距离不变）得到的双曲线方程； （3）已知由（2）得到的双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于，两点（在第一象限），与轴交于点.设直线，的倾斜角分别为，，求证：为定值. 19. 泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数． （1）当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值（保留三位小数）； （2）某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在个产品中至少有个次品的概率； ②若，求在个产品中至少有个次品的概率．通过比较计算结果，你发现了什么规律? （3）若，且，求的最大值（保留一位小数）． 参考数据：若，则一有，，；，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 襄阳五中2025届高三下学期适应考试四数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】化简集合B，再由集合交集建立不等式得解. 【详解】因为，， 所以，所以， 故选：B 2. 复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为（ ） A. 圆 B. 双曲线的一支 C. 椭圆 D. 抛物线 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，可将条件转化为，再结合双曲线的定义即可判断. 【详解】设， 根据复数几何意义知，表示复平面内点与点的距离， 表示复平面内点与点的距离， 则， 则由双曲线的定义可知，点的轨迹为双曲线的左支， 故复平面内对应的点的轨迹为双曲线的一支. 故选：B 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系，二倍角公式，诱导公式，化简得到答案. 【详解】 . 故选：C 4. 已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的部分图象可得为偶函数，结合和函数值正负，利用排除法得解. 【详解】因为的图象关于轴对称，所以为偶函数，排除B， 又，排除A，当时，，排除D. 故选：C． 5. 在等差数列中，前项和为，若，则（ ） A. 18 B. 33 C. 36 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的首项为，公差为，由，列出方程，进而求得的值，得到答案. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 因为，可得， 所以，解得. 故选：B. 6. 若直线与双曲线无公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过原点的直线与双曲线无公共点，则渐近线斜率小于等于已知直线的斜率，再求双曲线的离心率即可得解. 【详解】由题意可知，双曲线的渐近线斜率为， 因为直线与双曲线无公共点， 所以，， 所以双曲线的离心率范围为. 故选：B. 7. 在锐角中，内角所对的边分别为，若，，则AC边上的高的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理结合两角差的余弦公式化简，应用锐角三角形得出角的范围，再应用正切的值域求出高的范围. 【详解】在中，由正弦定理，可得， 由可得：，所以，所以， 又因为，所以，所以，， 又因为三角形为锐角三角形，所以，所以， 在中，由正弦定理可得：，即，故有， 因为，所以，，所以， 所以，又因为边上的高，所以． 故选：B. 8. 已知函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，然后根据条件找到函数相应最值可得答案. 【详解】因，则， 因， 则， 因，则， 则，即. 注意到互不影响，则， 又在上单调递增，在上单调递减， 则， 则，则. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下面说法正确的是（ ） A. 若数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为4 B. 若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等 C. 已知是随机变量，则 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 【答案】BC 【解析】 【分析】利用方差的性质判断A；根据等差数列的性质及中位数定义判断B；根据判断C；由相关系数的实际意义判断D. 【详解】A：由数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差，错； B：对于等差数列， 若正整数，则， 若正整数，则， 又等差数列的平均数为， 结合中位数定义及等差数列性质，易知中位数也为，对； C：由于一组数据的方差，且，则，对； D：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于1，错. 故选：BC 10. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的(被称作阿基米德体)，如图所示，若该石凳的棱长为，下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 该石凳的体积为 C. ，，，四点共面 D. 点到平面的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意可得A正确；由正方体的体积减去八个三棱锥的体积可得B错误；由图中几何关系可得C正确；建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，代入空间点面距离公式可得D错误. 【详解】“阿基米德体”是由如图所示得到的，即“阿基米德体”的所有顶点都是正方体的棱的中点. A选项：由图可知平面，故A选项正确； B选项：，故B选项错误； C选项：∵，，，四点均是正方体个棱上中点， ∴，且这个六条边长全相等，∴，，，四点共面，故C选择正确； D选项：如图建立空间直角坐标系， ∵，∴正方体棱长为4，∴，，，， 所以，设平面的一个法向量为， 则，解得，即，， ∴点到平面的距离，故D选项错误. 故选：AC 11. 在光纤通信中，用光信号的不同强度或状态来代表二进制中的1和0，因此常用0和1组成的有序数组或1的形式表示信息，被称为一个长为的字，设分别为两个长为的字，令表示使的的个数，例如，则，则（ ） A. 若，则 B. 若，则满足，字长为5的字的个数为5 C. 若，则满足，字长为6字中有且仅有3个1相邻的字的概率为 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二进制的新定义计算判断A，D，再结合组合数公式及古典关系计算判断B，C. 【详解】对于A选项，，则，所以A选项正确； 对于B选项，若，则满足，字长为5的字的个数为，所以B选项不正确； 对于C选项，若，则满足，字长为6的字的个数为， 其中有且仅有3个1相邻的字分别为，所以所求概率，所以C选项正确； 对于D选项，可举反例，不妨令，则， 于是，，，此时，所以D选项不正确， 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的焦点为，是上异于原点的一点，过点的直线的方程为，设与轴交于点，则的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】对于方程令，即可求出点坐标，从而求出，再由抛物线的定义求出，即可得解. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 由，令，得，即，则； 根据拋物线的定义，得，所以，从而. 故答案为： 13. 4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有_____________种． 【答案】408 【解析】 【分析】先排医生，分两类，医生甲不站在医生的最左端和医生甲站在医生的最左端，再将2名护士插空，即可求解. 【详解】若医生甲不站在医生的最左端则有种不同的站法， 若医生甲站在医生的最左端，则有种不同的站法，故不同的站法共有种． 故答案为：408. 14. 在中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为.若，则的最大值为________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用三角形面积公式建立关系，将转化为与角相关的三角函数表达式，结合余弦定理即可得出. 【详解】利用面积公式和余弦定理： 面积：，同时，联立得：，结合余弦定理， 化简得：,将表达式, 转化为单一三角函数形式：，其中振幅, 故最大值为4. 故答案为：4. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且． （1）求、、的值． （2）求数列的通项． （3）求数列的前项和． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式代入计算求解； （2）分奇偶两种情况，当为奇数时，当为偶数时，应用分别求出通项公式； （3）应用裂项相消法计算求解. 【小问1详解】 由条件知， ，． 【小问2详解】 当为奇数且时，，也符合， 所以当为奇数时，； 当为偶数时，； 所以数列 【小问3详解】 由题可知，所以， 所以数列的前项和为 16. 斜四棱柱中，底面为平行四边形，，，，. （1）求四棱柱的体积； （2）求平面与平面的夹角的正切值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据线段长度和位置关系可得，，进而可得，高，进而可得而四棱柱的体积. （2）取的中点，连接，为平面与平面所成角的一个平面角，利用余弦定理可得. 【小问1详解】 如图，连接交于，连接，， 在中，由余弦定理可得， 因，故，即，， 故为等边三角形，，由题意，， 则， 由题意可得， 整理可得，得， 则为等边三角形，故， 又，故为等边三角形，故， 又， 在中，由余弦定理可得, ， 因，故平行四边形为菱形，故， 又， ，平面，故平面， 作，由平面，则， 由，平面，则平面， 即为斜四棱柱的高， 在直角三角形中，， 【小问2详解】 取的中点，连接，由（1）可知为等边三角形， 则，， 故为平面与平面所成角的一个平面角， 在中，由余弦定理可得， 17. 已知函数 （1）当时，求证： （2）若对恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，得，构造函数，求解单调性，即可证明； （2）求导得，令，则，分类讨论可求得的范围. 【小问1详解】 由，得. 要证只要证 令，则 当时，则单调递减， 当时，则单调递增， 所以则即 【小问2详解】 由已知可得， 令，求导可得， (1)当时，由，得，因此，满足题意. (2)当时，由，得，则在上单调递增. ①当时，，所以，即在单调递增， 所以在单调递增，所以， 则在上单调递增，所以满足题意. ②当时，，，则存在唯一的，使得， 且当时，，在上单调递减， 所以不满足题意. 综上： 18. 在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示. （1）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵； （2）在平面直角坐标系中，求双曲线绕原点按逆时针旋转（到原点距离不变）得到的双曲线方程； （3）已知由（2）得到的双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于，两点（在第一象限），与轴交于点.设直线，的倾斜角分别为，，求证：为定值. 【答案】（1）公式为，二阶矩阵为 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，，通过，计算整理可得答案； （2）利用（1）的结果代入计算即可； （3）设直线的方程为，与联立，求出的斜率，然后利用韦达定理计算，进而求出，则可得为定值. 【小问1详解】 设，，则，，， 故， ， 所以坐标变换公式为， 该变换所对应的二阶矩阵为； 【小问2详解】 设曲线上任意一点在旋转角是的旋转变换下所得点坐标为. 则，即， 得，则，所求曲线方程为； 【小问3详解】 ①直线斜率存在时，可设直线的方程为， 设， 由，得， 所以，，且， 当时，取，，所以直线方程为：， 直线方程与双曲线方程联立可得，解得或， 所以，. 所以，所以，可得； 当时，设的斜率分别为， ，， 所以， ， 所以. 因为在第一象限，所以，所以，所以. ②直线斜率不存在时，可得， 可得，， 所以，同理可得. 综上可得，为定值，得证. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19. 泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数，例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数． （1）当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值（保留三位小数）； （2）某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数． ①若，求在个产品中至少有个次品的概率； ②若，求在个产品中至少有个次品的概率．通过比较计算结果，你发现了什么规律? （3）若，且，求最大值（保留一位小数）． 参考数据：若，则一有，，；，，． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知，，利用正态分布原则可求得的值； （2）分别利用独立重复试验的概率公式和泊松分布的概率公式可求得，比较大小后的可得出结论； （3）利用泊松分布得出，由，得出，然后构造函数，结合函数的单调性比较与的大小，以及与的大小，即可得出的最大值. 【小问1详解】 因为当，且时，可近似地认为，即， 这里，， 所以， . 【小问2详解】 ①若，则； ②若，其中， 则. 比较计算结果，可以发现利用二项分布计算的结果与利用泊松分布计算的结果是相等的，说明某些特定情形下，可以用泊松分布来计算二项分布. 【小问3详解】 由于，所以，， 由泊松分布的概率公式可得，， 所以，， 因为，即， 构造函数，则， 所以，函数在上单调递减， 由于，，所以，， 又因为，需要比较与的大小， 而，所以，相当于比较与的大小， 构造函数， 所以，对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递减，且， 所以，，所以，， 即， 且，需要比较与的大小关系，而， 所以相当于比较与的大小， 构造函数，其中，且， ， 当时，，所以，函数在上单调递增， 即，即，即， 因此，的最大值为. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答. 数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$