精品解析：山西省大同市浑源县第七中学校2024-2025学年高一下学期第三次月考数学试题

2024－2025学年第二学期高一年级第三次月考 数学试题 试题满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（8小题，每题5分，共40分） 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直角梯形中，，，．若将直角梯形绕边旋转一周，所得几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，平面，下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB=AC=2，E、F分别是SC和AB的中点，则EF的长是 A. B. C. D. 6. 如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上一点（不同于，）且，则二面角的大小为（ ） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 7. 已知圆锥的侧面积为，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆半径为（ ） A. B. C. D. 8. 已知等边三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（3小题，每题6分，共18分） 9. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 复数，则在复平面内对应的点位于第一象限 B 若复数，则 C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 10. 下列选项中，不正确的是（ ） A. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D. 棱台的侧棱延长后必交于一点 11. 已知向量，，则下列结论正确的有（ ） A. ＝5 B. 单位向量是 C. D. 与平行 三、填空题（3小题，每题5分，共15分） 12. 如图，在正方体中，是中点，二面角的平面角是________，其正切值为________． 13. 一个半径为5cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4cm，则截面圆面积为________cm2. 14. 已知空间中角的两边分别平行于角的两边，若，则_________． 四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分） 15. 已知平面向量. （1）若；求实数的值； （2）若，求向量与的夹角的余弦值 16. 已知复数，． （1）若是纯虚数，求值； （2）若在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围． 17. 如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证： （1）平面PCD； （2）平面平面PBC. 18. 如图，已知正方体的棱长为. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 19. 如图，在三棱锥中，、、分别为棱、、中点．已知，，，. 求证： （1）直线平面； （2）平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年第二学期高一年级第三次月考 数学试题 试题满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（8小题，每题5分，共40分） 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 2. 已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆台的侧面积公式求出母线长，进而求出圆台的高，再利用圆台体积公式计算即可. 【详解】设圆台的母线长为，由圆台的侧面展为，得，解得， 因此圆台的高， 所以圆台的体积. 故选：B 3. 如图，直角梯形中，，，．若将直角梯形绕边旋转一周，所得几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 将该直角梯形绕边旋转一周，所得的几何体是一个底面半径为1，高为1的圆柱加上底面半径为1高为1的圆锥，由此能求出所得的几何体的体积． 【详解】∵在直角梯形中，，，， ∴将该直角梯形绕边旋转一周， 所得的几何体是一个底面半径为1，高为1的圆柱加上一个底面半径为1高为1的圆锥， 则所得的几何体的体积为：． 故选：B 【点睛】方法点睛：本题主要考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力，是中档题．求几何体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.(3)求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.求几何体 4. 已知直线，平面，下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由面面平行的判定定理逐个判断即可. 【详解】对于A，若，平面可能平行也可能相交，错误； 对于B，，平面可能平行也可能相交，错误； 对于C，，平面可能平行也可能相交，错误； 对于D, ，面面平行的判定定理，正确， 故选：D 5. 如图所示，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB=AC=2，E、F分别是SC和AB的中点，则EF的长是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先取BC的中点D，连接ED与FD，根据中位线定理可知ED∥SB，FD∥AC，根据题意可知三角形EDF为等腰直角三角形，然后解三角形即可． 【详解】取BC的中点D，连接ED与FD∵E、F分别是SC和AB的中点，点D为BC的中点∴ED∥SB，FD∥AC,而SB⊥AC，SB=AC=2则三角形EDF为等腰直角三角形,则ED=FD=1即EF=. 故选B. 【点睛】本题主要考查了中位线定理，以及异面直线所成角的应用，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题． 6. 如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上一点（不同于，）且，则二面角的大小为（ ） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质定理和直径所对的圆周角为得出平面，确定为二面角的一个平面角，由几何关系得出结果. 【详解】由已知，平面， 平面，平面， ， ， 是等腰直角三角形， 是直径，是圆周上的一点， ，即， 又， 平面， 又平面平面， 为二面角的一个平面角， 即二面角的大小为， 故选：C 7. 已知圆锥的侧面积为，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面圆半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出圆锥底面圆半径，表示出圆锥母线长，再利用圆锥侧面积公式计算即得. 【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，则，解得， 由圆锥的侧面积为，得，即，所以. 故选：A 8. 已知等边三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出正的实际图形和直观图，计算出直观图的底边上的高，由此可求得的面积. 【详解】如图①②所示的实际图形和直观图. 由斜二测画法可知，，， 在图②中作于，则. 所以 故选：D. 二、多选题（3小题，每题6分，共18分） 9. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 复数，则在复平面内对应的点位于第一象限 B. 若复数，则 C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，得到，确定其对应的点为，A正确；B选项，设，，得到，从而求出，所以；C选项，举出反例；D选项，求出复数对应的点的轨迹为圆环，从而确定其面积. 【详解】A选项，复数，则， 故在复平面内对应的点为，位于第一象限，A正确； B选项，设，，， 则，即， 故， 两边平方得， 故，所以， 即，故， 其中，故，B正确； C选项，设复数，满足， 但，C错误； D选项，表示原点为圆心，1为半径的圆的外部， 表示原点为圆心，为半径的圆的内部， 则复数对应的点所构成的图形为如图所示的圆环（包括边界）， 故面积为，D正确. 故选：ABD 10. 下列选项中，不正确的是（ ） A. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间部分是棱台 B. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D. 棱台的侧棱延长后必交于一点 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据棱锥、棱台的结构特征，结合各项的描述和空间想象判断正误即可. 【详解】若用一个不平行于底面的平面截棱锥，不能得到棱台，故A错； 如下图示，矩形与矩形平行且相似，各侧面都是等腰梯形， 但不能保证四条侧棱延长后交于同一点，故B，C错； 由棱锥与棱台的结构特征及关系知，棱台的侧棱延长后必交于一点，D正确． 故选：ABC 11. 已知向量，，则下列结论正确的有（ ） A. ＝5 B. 的单位向量是 C. D. 与平行 【答案】ABC 【解析】 【分析】应用向量数量积、模长的坐标运算求数量积和模长，结合单位向量的定义及夹角公式判断A、B、C；由向量平行的坐标表示判断D. 【详解】由题设，故A正确； ，则的单位向量是，即，故B正确； ，则，，故，故C正确； 由≠，则与不平行，故D错误． 故选：ABC 三、填空题（3小题，每题5分，共15分） 12. 如图，在正方体中，是的中点，二面角的平面角是________，其正切值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，得到，结合二面角平面角的定义即可求解. 【详解】在正方体中易知，连接， 所以， 又二面角的棱为,分别在两个办平面内， 所以二面角的平面角是； 设正方体棱长为1，则, 所以 故正切值为. 故答案为：； 13. 一个半径为5cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4cm，则截面圆面积为________cm2. 【答案】9π 【解析】 【分析】根据球的半径，截面圆的半径，球心到截面圆的距离满足勾股定理，求出截面圆的半径，最后利用圆的面积公式求面积即可. 【详解】由题球的半径，截面圆的半径，球心到截面圆的距离满足勾股定理， ∴截面圆半径，则截面圆面积为， 故答案为：. 14. 已知空间中角的两边分别平行于角的两边，若，则_________． 【答案】60°或120° 【解析】 【分析】根据空间等角定理判断即可. 【详解】空间等角定理：空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补． 因为空间中角的两边分别平行于角的两边，所以与相等或互补， 因为，所以60°或120°． 故答案为：60°或120°． 四、解答题（15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分） 15. 已知平面向量. （1）若；求实数的值； （2）若，求向量与夹角的余弦值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量平行的坐标形式可求； （2）利用向量垂直的坐标形式可求，再利用公式可求向量与的夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为，故，故. 【小问2详解】 ，因为，故， 故，故，故. 16. 已知复数，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由实部为且虚部不为列式求解； （2）由实部与虚部均小于得到不等式组，求出的取值范围． 【小问1详解】 是纯虚数， 故，解得 【小问2详解】 因为在复平面内对应点在第三象限， 所以，解得， 故的取值范围为． 17. 如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证： （1）平面PCD； （2）平面平面PBC. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析﹒ 【解析】 【分析】(1)利用三角形中位线证明MN∥PC即可； (2)利用中位线证明NQ∥PB，结合(1)中结论即可证明． 【小问1详解】 由题意，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点，∴N是AC的中点，∴， ∵平面PCD，平面PCD， ∴平面PCD； 【小问2详解】 由(1)知，平面PBC，平面PBC， ∴MN∥平面PBC， ∵ABCD为平行四边形，∴N是BD中点，又∵Q是PD中点， ∴在△PBD中，NQ∥PB， ∵PB平面PBC，NQ平面PBC，∴NQ∥平面PBC， ∵MN∩NQ=N，MN、NQ平面MNQ， ∴平面平面PBC． 18. 如图，已知正方体的棱长为. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，根据线面垂直的判定定理与性质可得、，再利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）如图，利用等体积法即可求解. 【小问1详解】 如图，连接，因为平面，平面,则， 又因为，且平面， 得平面，又平面，所以； 因为平面，平面，则， 又因为平面， 所以平面，又平面， 所以，又平面， 所以平面. 【小问2详解】 由为的中点，得， 且， 所以， 由，得， 即，解得， 即点到平面的距离为. 19. 如图，在三棱锥中，、、分别为棱、、的中点．已知，，，. 求证： （1）直线平面； （2）平面平面 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立. 【小问1详解】 因为、分别为棱、的中点，所以. 又平面，平面，所以直线平面. 【小问2详解】 因为、、分别为棱、、的中点，，， 所以，，. 因为，所以，所以，即， 又，，所以， 因为，、平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$