暑假作业18 平行四边形中的多结论问题、几何变换问题（4大题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（北师大版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业18 平行四边形中的多结论问题、几何变换问题 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：平行四边形中的多结论问题 】 1．（2024春•尉氏县月考）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，BC＝BD，E是CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，则下列结论：①BC∥AF； ②四边形BDFC是平行四边形；③BD＝DF；④BE＝BD．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据∠A＝∠ABC＝90°，可得BC∥AF，得出内错角相等，证明△BCE≌△FDE，可判断BC∥DF且BC＝DF，从而得出四边形BDFC为平行四边形；进而证得四边形BDFC是菱形，得到BD＝DF，BF⊥CD，根据直角三角形的斜边大于直角边得到BD＞BE． 【解答】解：∵∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠A+∠ABC＝180°， ∴BC∥AF，故①正确； ∵AF∥BC， ∴∠DCB＝∠CDF，∠FBC＝∠BFD， 又DE＝EC， ∴△BCE≌△FDE（AAS）， ∴DF＝BC， 又∵DF∥BC， ∴四边形BDFC为平行四边形，故②正确； ∵四边形BDFC为平行四边形，BC＝BD， ∴四边形BDFC是菱形， ∴BD＝DF，故③正确； ∵四边形BDFC是菱形， ∴BF⊥CD， ∴∠BED＝90°， ∴BD＞BE，故④错误． ∴正确的结论为①②③， 故选：C． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键． 2．（2024春•惠山区期中）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接BF，则下列结论中其中正确的有（　　） ①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】连接EC，过点C作CH⊥EF于点H．先证明△BAD≌△CAE，再证明△EFC是等边三角形，即可解决问题． 【解答】解：连接EC，过点C作CH⊥EF于点H． ∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD与△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS），故①正确； ∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°， ∵EF∥BC， ∴∠EFC＝∠ACB＝60°， ∴△EFC是等边三角形， ∴EF＝EC＝BD＝1，FH＝EH， ∴CH， ∵EF∥BD， ∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确， ∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF， ∴△ABD≌△BCF（SAS），故①正确， ∵S平行四边形BDEF＝BD•CH＝1，故③正确， ∵AC＝BC＝3，BD＝CF＝1， ∴CD＝2BD，AF＝2CF， ∵S△ABD， ∴S△AEF•S△AECS△ABD，故④正确， ∴①②③④都正确， 故选：D． 【点评】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 3．（2024•西城区校级开学）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论： ①；②BG＝FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE+∠BGF＝180°．其中正确的所有选项是（　　） A．①② B．③ C．②④ D．②③④ 【分析】构造全等三角形，应用三角形中位线定理，即可求解． 【解答】解：延长EF交AC于M，作GN⊥AB于N， ∵BDAB，DB＜DC， ∴CDAB， 故①不符合题意； ∵EF∥NG∥BC，EG＝CG， ∴FN＝NB， ∵GN⊥AB， ∴FG＝GB， 故②符合题意； ∵∠EAF＝∠MAF，AF＝AF，∠AFE＝∠AFM， ∴△AEF≌△AMF（ASA）， ∴FE＝FM， ∵EG＝GC， ∴FG∥AC， ∴∠GFB＝∠CAB， ∴∠GBF＝∠EAB， ∴EA∥BG， ∵∠EAD＝∠DBG，AD＝BD，∠ADE＝∠BDG， ∴△AED≌△BGD（ASA）， ∴AE＝BG， ∴四边形AEBG是平行四边形， 故③符合题意； ∵∠BFG+∠FBG+∠FGB＝180°， ∠EAF＝∠MAF＝∠BFG＝∠GBF， ∴∠EAC+∠FGB＝180°， 故④符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查三角形全等，三角形中位线定理，平行四边形的判定，关键是灵活应用这些知识点． 4．（2024春•五华县期末）如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③EG＝EF；④BF平分∠GFE．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】①根据平行四边形性质及BD＝2AD得OB＝BC，再根据点E为OC的中点得BE⊥AC，由此可对结论①进行判断； ②证明EF为△OCD的中位线得EF∥CD∥AB，EF＝1/2CD，再根据点G为AB的中点得BGAB，由此得EF＝BG，由此可对结论②进行判断； ③根据BE⊥AC，点G为AB的中点得EGAB，再根据EF＝BGAB可对结论③进行判断； ④假设BF平分∠GFE，则平行四边形BEFG为菱形，进而得△BEG为等边三角形，则∠GBF＝∠EBF＝30°，再根据OB＝BC，点E为OC的中点得∠CBE＝∠EBF＝30°，由此得∠ABC＝90°，此时四边形ABCD为矩形，与四边形ABCD是平行四边形相矛盾，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD交于点O， ∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，OA＝OC，OB＝ODAD， ∵BD＝2AD， ∴ADBD， ∴OB＝BC， ∵点E为OC的中点， ∴BE⊥AC， 故结论①正确； ②∵点E为OC的中点，点F为OD的中点， ∴EF为△OCD的中位线， ∴EF∥CD，EFCD， ∵AB∥CD，AB＝CD， ∴EF∥AB，EFAB， ∵点G为AB的中点 ∴BGAB， ∴EF＝BG， ∴四边形BEFG为平行四边形， 故结论②正确； ③∵BE⊥AC，点G为AB的中点， ∴EG为Rt△ABE的斜边AB上的中线， ∴EGAB， ∵EF＝BGAB， ∴EG＝EF， 故结论③正确； ④假设BF平分∠GFE， ∵四边形BEFG为平行四边形， ∴平行四边形BEFG为菱形， ∴BG＝BE＝EF， ∵EG＝EF， ∴BG＝BE＝GE， ∴△BEG为等边三角形， ∴∠GBE＝60°，即∠GBF＝∠EBF＝30°， ∵OB＝BC，点E为OC的中点， ∴∠CBE＝∠EBF＝30°， ∴∠ABC＝∠GBE+∠CBE＝90°， 则四边形ABCD为矩形，这与四边形ABCD是平行四边形相矛盾， ∴假设是错误的， 故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②③． 故选：A． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，准确识图，熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理是解决问题的关键． 5．如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（　　） ①△CDF≌△EBC；②△CEF是等边三角形；③∠CDF＝∠EAF；④CE∥DF A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用“边角边”证明△CDF和△EBC全等，判定①正确；同理求出△CDF和△EAF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝CF＝EF，判定△ECF是等边三角形，判定②正确；利用“8字型”判定③正确；若CE∥DF，则C、F、A三点共线，故④错误；即可得出答案． 【解答】解：在▱ABCD中，∠ADC＝∠ABC，AD＝BC，CD＝AB， ∵△ABE、△ADF都是等边三角形， ∴AD＝DF，AB＝EB，∠DFA＝∠ADF＝∠ABE＝60°， ∴DF＝BC，CD＝BE， ∴∠CDF＝∠ADC﹣60°， ∠EBC＝∠ABC﹣60°， ∴∠CDF＝∠EBC， 在△CDF和△EBC中，， ∴△CDF≌△EBC（SAS），故①正确； 在▱ABCD中，设AE交CD于O，AE交DF于K，如图： ∵AB∥CD， ∴∠DOA＝∠OAB＝60°， ∴∠DOA＝∠DFO， ∵∠OKD＝∠AKF， ∴∠ODF＝∠OAF， 故③正确； 在△CDF和△EAF中，， ∴△CDF≌△EAF（SAS）， ∴EF＝CF， ∵△CDF≌△EBC， ∴CE＝CF， ∴EC＝CF＝EF， ∴△ECF是等边三角形，故②正确； 则∠CFE＝60°， 若CE∥DF时， 则∠DFE＝∠CEF＝60°， ∵∠DFA＝60°＝∠CFE， ∴∠CFE+∠DFE+∠DFA＝180°， 则C、F、A三点共线 已知中没有给出C、F、A三点共线，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③． 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，邻角互补的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 6．（2024春•市中区期末）如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F．则：①OE＝OF；②若AB＝4，AC＝6，则2＜BD＜14；③S△AOBS▱ABCD；④S四边形ABFE＝S△ABC．其中正确的结论有 　 　 ． 【分析】根据平行四边形的性质可得到△AOE≌△COF，可判断①是否正确；根据三角形三边关系可得到1＜BO＜7，进而求得BD的取值范围，可判断②是否正确；根据平行四边形的性质可知O为BD中点，则S△AOBS△ABD，进而可求得S△AOB与S▱ABCD的数量关系，可判断③是否正确；根据△AOE≌△COF，利用S四边形ABFO，可判断④是否正确． 【解答】解：①∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO＝CO，AD∥BC． ∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO． 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF． ∴OE＝OF． 故①正确． ②∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AOAC＝3，BD＝2BO． 又AB＝4， ∴1＜BO＜7． ∴2＜BD＜14． 故②正确． ③∵O为BD的中点， ∴S△AOBS△ABD． ∴S△AOBS△ABDS▱ABCD． 故③正确． ④∵△AOE≌△COF， ∴S四边形AOFB+S△AOE＝S四边形AOFB+S△COF． ∴S四边形ABFE＝S△ABC． 故④正确． 故答案为：①②③④． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，牢记平行四边形的性质和全等三角形的判定定理及性质是解题的关键． 7．（2024秋•南关区校级期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，∠BCD＝60°，AD＝2AB，连结OE．下列结论正确的是　 　 ． ①AB⊥BD； ②CA平分∠BCD； ③AB＝DE； ④S△CDE＝S△BOC． 【分析】先求出△ECD是等边三角形，可以判断③；结合AD＝2CD，可以判断②，利用等边对等角与三角形内角和定理可以判断①，利用中线平分三角形面积可以判断④． 【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，∠BCD＝60°， ∴∠BCD+∠CDA＝180°， ∴∠CDA＝120°， ∴， ∴∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠CDE＝60°， ∴△ECD是等边三角形， ∴CE＝CD＝DE， ∵平行四边形中，AD＝BC，AB＝CD， ∴AB＝DE， 故③正确； 又∵AD＝2AB， ∴AD＝2CD， ∴∠DAC≠∠DCA， 由AD与BC平行可知∠BCA＝∠CAD， ∴∠BCA≠∠DCA， 故②错误； ∵BC＝AD＝2CD＝2CE， ∴BE＝CE＝DE， ∴∠EBD＝∠EDB，∠EDC＝∠ECD， ∵∠CBD+∠BCD+∠BDC＝180°， ∴2∠BDE+2∠CDE＝180° ∴∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝90°， ∵AB与DC平行， ∴∠ABD＝∠BDC＝90°， 故①正确； ∵BO＝OD，BE＝CE， ∴， 故④正确， 综上所述，正确的结论是①③④， 故答案为：①③④． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，解题关键是牢记相关概念，并能灵活运用边角之间的关系进行转化． 8．（2024春•本溪期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，延长BC至点E，使得CE＝BC，连接AE交CD于点G，连接OG．下列结论：①OGAD；②AE平分∠CAD；③以点A，C，E，D为顶点构成的四边形是平行四边形；④S▱ABCD＝6S△OCG.其中正确的是 　 　（填写所有正确结论的序号）． 【分析】根据平行四边形的性质先证得△ADG≌△ECG，得出DG＝CG，AG＝EG即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，AO＝OC， ∴∠DAG＝∠E，∠ADG＝∠ECG， ∵CE＝BC， ∴CE＝AD， ∴△ADG≌△ECG（ASA）， ∴AG＝GE，DG＝GC， ∴OG是△CAD的中位线，四边形ACED是平行四边形，故③正确； ∴OGAD，故①正确； ∴OG∥AD， ∴S△ACD＝4S△OCG， ∴S▱ABCD＝8S△OCG，故④错误； ∵AC≠CE， ∴∠E≠CAE， ∴∠CAE≠∠DAG，故②错误． ∴正确的是①③． 故答案为①③． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质并灵活运用．平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分． 9．（2024春•光明区期末）如图所示，在Rt△ABC外作等边△ADE，点E在AB边上，AC＝5，∠ABC＝30°，AD＝3．将△ADE沿AB方向平移，得到△A′D′E′，连接BD′．给出下列结论：①AB＝10；②四边形ADD′A′为平行四边形；③AB平分∠D′BC；④当平移的距离为4时，BD′＝3．其中正确的是 　 　（填上所有正确结论的序号）． 【分析】由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2AC＝10，故①正确；再由平移的性质得A'D'＝AD，A'D'∥AD，则四边形ADD′A′为平行四边形，故②正确；当平移的距离为4时，EE'＝4，证出BE'＝D'E'，则∠E'BD'＝∠E'D'B∠A'E'D'＝30°，得∠A'D'B＝60°+30°＝90°，由含30°角的直角三角形的性质得BD'A'D'＝3，故④正确；由④得：当平移的距离为4时，∠E'BD'＝∠ABC＝30°，故③错误；即可得出答案． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝5，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝10，故①正确； 由平移的性质得：A'D'＝AD，A'D'∥AD， ∴四边形ADD′A′为平行四边形，故②正确； 当平移的距离为4时，EE'＝4， ∴BE'＝AB﹣AE﹣EE'＝10﹣3﹣4＝3， 由平移的性质得：∠A'D'E'＝∠A'E'D'＝∠AED＝60°，A'D'＝D'E'＝DE＝AD＝3， ∴BE'＝D'E'， ∴∠E'BD'＝∠E'D'B∠A'E'D'＝30°， ∴∠A'D'B＝60°+30°＝90°， ∴BD'A'D'＝3，故④正确； 由④得：当平移的距离为4时，∠E'BD'＝∠ABC＝30°，故③错误； 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、平移的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和平移的性质，证明四边形ADD′A′为平行四边形是解题的关键． 10．（2024春•三明期末）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，点F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，点E在线段CD上，连接EF，AF，DF，现给出以下结论：①∠C＝2∠AFB； ②AF⊥DF； ③S△ABF＝S△AFE； ④△ABF是等边三角形． 其中正确的是 　 　 （写出所有正确结论的序号）． 【分析】①由平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，∠BAD＝∠C，AB＝CD，AB∥CD，结合等腰三角形的性质可证得∠AFB＝∠BAF＝∠DAF，进而可证明①的结论； ②先证明CF＝CD，再由平行线的性质及等腰三角形的性质可得FAD+∠ADF＝90°，即可得∠AFD＝90°，进而可证明②的结论； ③延长EF交AB的延长线于点G，利用AAS证明△BGF≌△CEF，可得S△AGF＝S△AFE，进而可证明③的结论； ④通过证明AF＝GF＝EF及BF＜GF可证明④的结论． 【解答】解：①∵F是BC的中点， ∴BC＝2BF＝2CF， 在▱ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，∠BAD＝∠C，AB＝CD，AB∥CD， ∴∠AFB＝∠DAF， ∵AD＝2AB， ∴BF＝AB， ∴∠AFB＝∠BAF， ∴∠BAF＝∠DAF， ∴2∠BAF＝∠BAD， ∴∠C＝2∠AFB，故①正确； ②∵AB＝BF＝CF，AB＝CD， ∴CF＝CD， ∴∠CFD＝∠CDF， ∵AD∥BC， ∴∠ADF＝∠CFD， ∴∠ADF＝∠CDF， ∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∴∠FAD+∠ADF＝90°， ∴∠AFD＝90°， 即AF⊥DF，故②正确； ③延长EF交AB的延长线于点G， ∵AB∥CD， ∴∠G＝∠CEF，∠GBF＝∠C， 在△BGF和△CEF中， ， ∴△BGF≌△CEF（AAS）， ∴GF＝EF， ∴S△AGF＝S△AFE， ∴S△ABF＜S△AFE，故③错误； ④∵AE⊥CD，AB∥CD， ∴AE⊥AB，即∠BAE＝90°， ∵GF＝EF， ∴AF＝GF＝EF， 若△ABF为等边三角形，则BF＝AF＝GF，而F＜GF，故④错误， 故答案为：①②． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，三角形的面积等知识的综合运用，灵活运用平行四边形的性质是解题的关键． 【题型一：平行四边形中平移变换问题 】 1．（2024八年级上·山东济南·期中）如图，点A的坐标为，点B在x轴上，把沿x轴向左平移得到，若四边形的面积为15，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，坐标与平移．熟练掌握平移的性质，得到四边形为平行四边形，是解题的关键．根据平移的性质，得到四边形为平行四边形，进而得到四边形的面积，进而求出的长，即可得到平移距离，即可得到点的坐标． 【详解】解：∵把沿x轴向左平移到， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形的面积， ∵点A的坐标为， ∴， ∴， ∴沿x轴向左平移5个单位得到，点为点A平移后的对应点， ∴， 即：； 故选：C． 2．（2024八年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在y轴上，，将沿x轴向右平移，当点B落在直线上时，线段扫过的面积为 ．    【分析】根据勾股定理得出，再求出点B平移后的对应点坐标，即可得出平移的距离，根据平移的性质可得四边形为平行四边形，即可求解． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， 根据勾股定理可得：， 把代入得：， 解得：， ∴沿x轴向右平移了6个单位长度，， 根据平移的性质可得， ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∴线段扫过的面积， 故答案为：24．    【点睛】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握，平移前后，对应点连线平行（或在同一直线上）且相等；两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 3．（2024八年级下·陕西商洛·期中）如图，在平面直角坐标系中，的两个顶点在x轴的正方向上，点A的坐标为，点C的坐标为，直线以每秒1个单位长度的速度向上平移，经过m秒该直线可将的面积平分，则m的值为 . 【分析】确定的中点F，根据平行四边形的性质，当直线经过点F时，把四边形面积等分，设平移n个单位长度，则直线解析式为，把中点坐标代入解析式，确定n，除以速度即可得到m的值． 【详解】因为点A的坐标为，点C的坐标为， 所以的中点F的坐标为， 根据平行四边形的性质，当直线经过点F时，把四边形面积等分，设平移n个单位长度，则直线解析式为， 所以， 解得n=， 所以运动时间m=（秒） 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，一次函数的平移，待定系数法确定函数的解析式，熟练掌握平行四边形的性质，一次函数的平移是解题的关键． 4．（2024八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB沿x轴向右平移后得到△O'A'B'，点A的坐标为（0，4），点A的对应点A在直线yx﹣1上，点B在∠A'AO的角平分线上，若四边形AA'B'B的面积为4，则点B的坐标为 ． 【分析】根据平移的性质可得点A′的坐标为（4，4），∠A'AO＝90°，A'A＝B'B，A'AB'B，再根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A′的坐标为（4，4），证明四边形AA'B'B是平行四边形，△ACB是等腰直角三角形，根据四边形AA'B'B的面积为4求出AC＝BC＝1，即可得出点B′的坐标． 【详解】解：延长B′B交y轴于点C， ∵△OAB沿x轴向右平移得到△O′A′B′，点A的坐标为（0，4）， ∴∠A'AO＝90°，点A′的纵坐标为4， ∵点A′在直线y＝x−1上， ∴x−1＝4， 解得x＝4， ∴点A′的坐标为（4，4）， ∵点B在∠A'AO的角平分线上， ∴∠A'AB＝∠OAB＝45°， ∵将△OAB沿x轴向右平移后得到△O'A'B'， ∴A'A＝B'B，A'AB'B， ∴四边形AA'B'B是平行四边形，∠ACB＝180°−∠A'AO＝90°， ∴B'B＝A'A＝4，△ACB是等腰直角三角形， ∴AC＝BC， ∵四边形AA'B'B的面积为4， ∴BB′•AC＝4， ∴AC＝BC＝1， ∴OC＝4−1＝3，B′C＝BC＋B′B＝1＋4＝5， ∴点B′的坐标为（5，3）． 故答案为：（5，3）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化−平移，一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 5．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，且，满足．现将线段先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到线段，其中点的对应点为，点的对应点为，连接，． (1)求点，，，的坐标． (2)若是线段上的一个动点，是线段上的一个定点，连接，，当点在线段上移动时（不与点，重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由． (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着轴向上运动，设运动时间为 ．问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于若存在，请求出的值和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 (3)， 【分析】（1）根据非负数的性质求得的值，从而求得点的坐标，根据平移的性质即可求得的坐标； （2）过点.作直线，根据平行线的性质与判定即可得证； （3）根据题意先求得四边形的面积为28，进而可知点在点下方，结合图形可知，根据建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ，， 线段先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段，其中点对应点为，点对应点为， ， （2），理由如下， 如图，过点.作直线， ， 是由平移得到的， ， ， ， （3） ，， ， 四边形的面积为 ， 四边形的面积等于， 点在点下方，如图， 从点出发，以每秒个单位的速度沿着轴向上平移运动，设运动时间为秒 ， ， ， ， 解得， 此时， ． 【点睛】本题考查了非负数的性质，平移的性质，坐标与图形，平行线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 6．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A、C两点的坐标分别为．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位长度，得到平行四边形，其中边与x轴交于点G，边与交于点H． (1)请直接写出点N，M的坐标以及直线的表达式__________． (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形，请求出重叠部分的面积． (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使以点O、N、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）由平移的性质即可求得点N，M的坐标，根据待定系数法即可求得直线的表达式； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；对于直线的解析式为，令，求出，则，过点M作轴于F，则，，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴． 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． 故答案为：， （2）解：过点M作轴于F， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． （3）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，平移的性质，坐标与图形，勾股定理，一次函数与几何综合等等，熟知平行四边形的性质与判定条件是解题的关键． 【题型二：平行四边形中的折叠问题 】 1．（2024•临高县二模）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处．若∠1＝56°，∠2＝40°，则∠A的度数为（　　） A．68° B．70° C．110° D．112° 【分析】由平行线的性质可得∠1＝∠ABE＝56°，由折叠的性质可得∠ABD＝∠EBD∠ABE＝28°，再根据三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠1＝∠ABE＝56°， 由折叠的性质可得，∠ABD＝∠EBD∠ABE＝28°， ∴∠A＝180°﹣∠ABD﹣∠2＝180°﹣28°﹣40°＝112°． 故选：D． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质、折叠的性质、三角形内角和定理，熟知折叠的性质是解题关键． 2．（2024春•惠城区期末）将一张平行四边形纸片ABCD折叠成如图所示的图形，DE为折痕，点C的对应点为C′．若∠1＝20°，∠2＝60°，则∠C的度数为（　　） A．60° B．50° C．40° D．45° 【分析】设∠ADE＝α，可得∠EDC'＝α+20°，根据将一张平行四边形纸片ABCD折叠成如图所示的图形，DE为折痕，有∠C'＝∠C，∠EDC'＝∠EDC＝α+20°，故∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2α+20°，即可得∠C＝180°﹣∠ADC＝160°﹣2α＝∠C'，再用三角形内角和定理列方程可解得α，从而可得答案． 【解答】解：设∠ADE＝α， ∵∠1＝20°， ∴∠EDC'＝α+20°， ∵将一张平行四边形纸片ABCD折叠成如图所示的图形，DE为折痕， ∴∠C'＝∠C，∠EDC'＝∠EDC＝α+20°， ∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝α+（α+20°）＝2α+20°， ∵AD∥BC， ∴∠C＝180°﹣∠ADC＝180°﹣（2α+20°）＝160°﹣2α， ∴∠C'＝160°﹣2α， ∵∠2＝60°，∠C'+∠2+∠EDC'＝180°， ∴160°﹣2α+60°+α+20°＝180°， 解得α＝60°， ∴∠C＝160°﹣2α＝40°， 故选：C． 【点评】本题考查平行四边形中的翻折问题，解题的关键是掌握平行四边形的性质和翻折的性质． 3．如图，将平行四边形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点C'处，若∠1＝58°，∠2＝42°，则∠B的度数为（　　） A．71° B．50° C．54.5° D．80° 【分析】根据平行线的性质求出∠C'EC的度数，根据折叠的性质求出∠CED的度数，利用三角形内角和求出∠C，进而可求出∠B的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠C'EC＝∠1＝58°， ∵折叠， ∴， ∴∠C＝180°﹣∠CED﹣∠2＝109°，AB∥CD， ∴∠B＝180°﹣109°＝71°． 故选：A． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键． 4．（2024春•郾城区期末）如图，将一张平行四边形纸片ABCD以DE为折痕进行折叠，点C的对应点为C′，若∠1＝20°，∠2＝60°，则∠C的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【分析】根据翻折的性质、平行四边形的性质解三角形的内角和定理求解． 【解答】解：由翻折的性质得：∠CED＝∠2＝60°，∠C′DE＝∠CDE， 在平行四边形ABCD中，有AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DEC＝60°， ∴∠′DE＝∠C′DE＝∠1+∠ADE＝80°， ∴∠C＝180°﹣∠DEC﹣∠EDC＝180°﹣60°﹣80°＝40°， 故选：A． 【点评】本题考查了翻折的变换，掌握翻折的性质、平行四边形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键． 5．（2024春•花都区期末）如图，平行四边形纸片ABCD，BC＝7cm，CD＝5cm，面积为28cm2，将其沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，BF与边AD交于点E，则DE的长为（　　） A．5cm B．5.6cm C．5.8cm D．6cm 【分析】作AG⊥BC，EH⊥BC，利用平行四边形的面积公式求得AG＝EH＝4cm，由折叠的性质结合平行四边形的性质求得BE＝DE，设AE＝GH＝x，在Rt△BEH中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【解答】解：作AG⊥BC，EH⊥BC，垂足分别为G、H， ∴AG∥EH， ∵平行四边形纸片ABCD，则AB＝CD＝5cm ∴AE∥GH，AG＝EH， ∴四边形AGHE是矩形， ∴AE＝GH， 由题意得BC×AG＝28cm2， ∴AG＝EH＝4cm， 在Rt△ABG中，， ∵平行四边形纸片ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， 由折叠有性质知∠DBE＝∠DBC， ∴∠DBE＝∠BDE， ∴BE＝DE， 设AE＝GH＝x（cm），则BE＝DE＝（7﹣x）（cm），BH＝BG+GH＝（3+x）（cm）， 在Rt△BEH中，BH2+EH2＝BE2，即（3+x）2+42＝（7﹣x）2， 解得x＝1.2， ∴DE＝7﹣x＝5.8cm， 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质．解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．（2024•台州模拟）在平行四边形ABCD中，点E，F在BC边上，把△ABE沿直线AE折叠，△CDF沿直线DF折叠，使点B，C落在对角线AC上的点G处，若∠AGD＝110°，则∠B的度数为 　 　 ． 【分析】利用平行四边形的性质和折叠的性质得到AB＝AG＝CD＝GD，AB∥CD，BC∥AD，再利用等腰三角形的性质和平行线的性质进行角的等量代换求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且△ABE沿直线AE折叠，△CDF沿直线DF折叠， ∴AB＝AG＝CD＝GD，AB∥CD，BC∥AD， ∴， ∴∠BAC＝∠DCA＝∠DGC＝180°﹣∠AGD＝180°﹣110°＝70°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠GAD＝70°+35°＝105°， ∴∠B＝180°﹣∠BAD＝180°﹣105°＝75°， 故答案为：75°． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，掌握折叠图形边相等的性质是解题的关键． 7．（2024春•苍南县校级期中）如图，已知▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝60°，将△ABC沿着直线AC翻折，使点B的对应点B′落在原图所在平面上，连结B′D．若BD＝5，则B′D的长度为 　 　 ． 【分析】由平行四边形的性质得，再根据折叠的性质求得∠B′OD＝60°，然后证明△B′OD是等边三角形，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝5， ∴． 如图，连接OB′． 根据折叠的性质知：∠AOB＝∠AOB′＝60°，BO＝B′O， ∴∠BOB′＝∠AOB+∠AOB′＝120°， ∴∠B′OD＝180°﹣∠BOB′＝60°， ∵BO＝B′O，DO＝BO， ∴B′O＝OD， ∴△B′OD是等边三角形， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，证明△B′OD是等边三角形是解题的关键． 8．（2024春•雁塔区校级期中）如图，在△ABC中，AB＞AC，∠A＝30°，AC＝6，点E为AC的中点，点F为边AB上的一个动点，将三角形沿EF折叠，点A的对应点为A′，当以E，F，A′，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段AF的长为 　 　 ． 【分析】分两种情况讨论，一是点A′与点F在直线AC的同侧，由AC＝6，点E为AC的中点，得AE＝CE＝3，由折叠得A′E＝AE＝3，由A′F∥CE，A′F＝CE，得A′F∥AE，A′F＝AE，则四边形A′EAF是平行四边形，所以AF＝A′E＝3；二是点A′与点F在直线AC的异侧，作CG⊥AB于点G，则CGAC＝3，而CF＝A′E＝AE＝3，所以CF＝CG，可证明点F与点G重合，则∠AFC＝∠AGC＝90°，所以AF3，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图1，四边形A′CEF是平行四边形，且点A′与点F在直线AC的同侧， ∵AC＝4，点E为AC的中点， ∴AE＝CEAC＝6， 由折叠得A′E＝AE＝3， ∵A′F∥CE，A′F＝CE， ∴A′F∥AE，A′F＝AE， ∴四边形A′EAF是平行四边形， ∴AF＝A′E＝3； 如图2，四边形A′CFE是平行四边形，且点A′与点F在直线AC的异侧，作CG⊥AB于点G， ∵∠AGC＝90°，∠A＝30°， ∴CGAC＝3， ∵A′E＝AE＝3， ∴CF＝A′E＝3， ∴CF＝CG， 若点F与点G不重合，则CF＞CG，这与CF＝CG不符， ∴点F与点G重合， ∴∠AFC＝∠AGC＝90°， ∴AF3， 综上所述，线段AF的长为3或3， 故答案为：3或3． 【点评】此题重点考查轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，当四边形A′CFE是平行四边形，且点A′与点F在直线AC的异侧时，证明∠AFC＝90°是解题的关键． 9．如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3cm，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，此时△CDE恰为等边三角形． （1）求AD的长度． （2）请直接写出重叠部分△AEC的周长． 【分析】（1）由折叠的性质可得∠ACB＝∠ACE，由平行线的性质可得∠DAC＝∠ACB，可证AE＝EC，由等边三角形的性质可求解； （2）由勾股定理求出AC的长，则可得出答案． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝3cm，AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵将纸片沿对角线AC对折， ∴∠ACB＝∠ACE， ∴∠DAC＝∠ACE， ∴AE＝EC， ∵△DEC是等边三角形， ∴DE＝EC＝CD＝3cm， ∴AE＝3cm， ∴AD＝6cm； （2）∵将纸片沿对角线AC对折， ∴∠ACB＝∠ACB'， ∵∠B＝∠D＝∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝120°， ∴∠ACB＝30°， ∴∠BAC＝90°， ∴BC＝2AB＝6cm， ∴AC3（cm）， 由（1）可知AE＝CE＝3cm， ∴△AEC的周长为AE+CE+AC＝3+3+3（6+3）（cm）． 【点评】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，证明AE＝EC是解题的关键． 10．（2024•邯郸二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别在AD、BC上，沿EF折叠平行四边形，使点A、C互相重合，点B落在点G的位置． （1）连接GF，CE，求证：△CED≌△CFG； （2）若∠BCD＝130°，求∠AEF的度数． 【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠的性质证明∠BCD＝∠GCE，CD＝CG，∠D＝∠G，即可得到结果； （2）根据题意可得∠ACB＝∠B＝50°，得到∠DAC＝50°，再根据点A与点C重合，得到AC⊥EF，结合三角形内角和定理即可得到结果； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，∠B＝∠D， 由折叠的性质可得，AB＝CG，∠B＝∠G，∠BAD＝∠GCE， ∴∠BCD＝∠GCE，CD＝CG，∠D＝∠G， ∵∠ECD+∠BCE＝∠BCD，∠BCE+∠FCG＝∠GCE， ∴∠ECD＝∠FCG， ∴△CED≌△CFG（AAS）； （2）解：∠BCD＝130°，四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝50°，AD∥BC， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠B＝50°， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB＝50°， ∵EF为折痕，点A与点C重合， ∴AC⊥EF， ∴∠AOE＝90°， ∴∠AEF＝180°﹣∠DAC﹣∠AOE＝40°． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定等知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【题型一：平行四边形中的旋转变换问题 】 1．（2024八年级下·江苏无锡·期中）如图，在□ABCD中，AB＝26，AD＝6，将□ABCD绕点A旋转，当点D的对应点D′落在AB边上时，点C的对应点C′恰好与点B、C在同一直线上，则此时△C′D′B的面积为（）    A．120 B．240 C．260 D．480 【分析】根据平行四边形的性质和旋转的性质可推出∠C′BD′=∠C=∠D′AB′=∠BD′C′，因此可得△C′BD′为等腰三角形，进而可推出△C′BD′的高，即可算出面积． 【详解】如图：    ∵□ABCD中绕点A旋转后得到□AB′C′D′， ∴∠DAB=∠D′AB′，AB=AB′=C′D′=26， ∵AB′∥C′D′， ∴∠D′AB′=∠BD′C′， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠C=∠DAB， ∴∠C=∠BD′C′， ∵点C′、B、C在一条直线上，而AB//CD， ∴∠C=∠C′BD′， ∴∠C′BD′=∠BD′C′ ∴△C′BD′为等腰三角形， 作C′H⊥D′B，则BH=D′H， ∵AB=26，AD=6， ∴BD′=20， ∴D′H=10， ∴C′H=， ∴△C′D′B的面积=·BD′·C′H=×20×24=240， 故选：B． 【点睛】本题主要考查图形的旋转，平行四边形的性质和等腰三角形的性质，根据题意求出三角形的高是解题关键． 2．（2024八年级上·山东济南·期中）如图，原点O为的对称中心，轴，与y轴交于点，与x轴交于 ，．若将绕原点O 顺时针旋转，每次旋转， 则第2024次旋转结束时， 点A的对应点的坐标（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了图形与坐标，旋转的性质，中心对称的性质，周期型规律问题， 连接，设与轴交于点，与轴交于点，利用中心对称的性质确定的长度，利用平行四边形的判定及性质可以得到，再根据确定点的坐标，由旋转的周期性确定绕原点O顺时针旋转第2024次旋转结束时与位置重合，即可得到点的对应点的坐标．能准确确定点的坐标及在第2024次旋转结束时所在的位置是解决本题的关键． 【详解】连接，设与轴交于点，与轴交于点，    ∵原点为的对称中心， ∴点与点关于点对称， ∵点， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵ ，点 ∴， 即点，点 ∵绕原点O顺时针旋转，每次旋转， ∴， ， 即绕原点O顺时针旋转第2024次旋转结束时与位置重合， ∴点A的对应点的坐标为． 故选：B． 3．（2024八年级下·湖北武汉·期中）如图，已知直线，点、分别在、上，射线自射线的位置开始，以每秒的速度绕点逆时针旋转至便立即顺时针回转，旋转至后停止运动，射线自射线的位畳开始，以每秒的速度绕点顺时针嫙转至后停止运动，若射线先旋转秒，射线才开始转动，当射线，互相平行时，射线的旋转时间（）为 秒． 【答案】或 【分析】根据利用平行四边形的判定得到再利用的性质及旋转的性质分两种情况解答即可． 【详解】解： ①绕点逆时针旋转至之前， ∵，， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∵每秒的速度绕点顺时针，时间为，且先旋转秒， ∴， ∵每秒的速度绕点逆时针旋转， ∴， ∴, ∴， ②绕点逆时针旋转至之后， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵每秒的速度绕点顺时针，时间为，且先旋转秒， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定性质是解题的关键． 4．（2024八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，和都为等腰直角三角形，，连接，以为邻边作平行四边形，连接．若，现将绕点逆时针旋转一周，则在旋转过程中，的最小值是 ． 【分析】根据平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质证明当AO有最小值时，AF最小，即当O在AC上时，此时D，E，F共线，即可求解． 【详解】解：当D，E，F共线时，AF最小，如图所示， ∵四边形ABFD是平行四边形， ∴AB=DF， ， ∵和都为等腰直角三角形，， ∴AB=AC，CD=CE，∠CDE=45°， ∴AC=DF，DF⊥AC， ∴AC=DF，∠ACD=∠CDE=45°， ∴DO=OC， ∴OA=OF， ∵∠AOF=90°， ∴， ∴当AO有最小值时，AF最小，即当O在AC上时，此时D，E，F共线， ∵，， ∴OC=1， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，寻找AF最小时点F的位置是解题的难点． 5．（2025·山东滨州·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，其中点，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，再把线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为 ． 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，过点作，使，过点作垂足为点，过点作轴于点，根据点、的坐标可知，，利用勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可知，，所以可得点的坐标为． 【详解】解：如下图所示，过点作，使，过点作垂足为点，过点作轴于点， 点的坐标为， ， 点的坐标是， ， ， 点的坐标是， ， ， 垂足为点，轴于点， ， ， ， 在和中，， ， ，， 点的坐标为． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，将平行四边形绕着点C按顺时针方向旋转得到平行四边形，使点B落在边上的点E处，连接． (1)求证：平分． (2)如图2，当B，E，F三点在同一直线时，且，，求平行四边形的面积． (3)如图3，连接交于点H，求证：点H为的中点． 【分析】（1）由旋转可知，得到，然后有平行四边形的性质得到，进而求解即可； （2）过C作，求出，，，然后求出，得到，勾股定理求出，然后求出，进而求解即可； （3）如图，过B作，过G作，连接，，，求出，然后得到，证明出四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】（1）由旋转可知 ∴   ∵在中      ∴     ∴     ∴ 平分； （2）如图，过C作 ∵由旋转得到   ∴，， ∵ B，E，F三点在同一直线， ∴ ∴     ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴     ∴     ∵ ∴； （3）如图，过B作，过G作，连接，，． ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴点H为的中点． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 完成时间： 月 日 天气： 作业18 平行四边形中的多结论问题、几何变换问题 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：平行四边形中的多结论问题 】 1．（2024春•尉氏县月考）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，BC＝BD，E是CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，则下列结论：①BC∥AF； ②四边形BDFC是平行四边形；③BD＝DF；④BE＝BD．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024春•惠山区期中）如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接BF，则下列结论中其中正确的有（　　） ①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024•西城区校级开学）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论： ①；②BG＝FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE+∠BGF＝180°．其中正确的所有选项是（　　） A．①② B．③ C．②④ D．②③④ 4．（2024春•五华县期末）如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③EG＝EF；④BF平分∠GFE．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 5．如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE，CF和EF，则下列结论，一定成立的个数是（　　） ①△CDF≌△EBC；②△CEF是等边三角形；③∠CDF＝∠EAF；④CE∥DF A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024春•市中区期末）如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F．则：①OE＝OF；②若AB＝4，AC＝6，则2＜BD＜14；③S△AOBS▱ABCD；④S四边形ABFE＝S△ABC．其中正确的结论有 　 　 ． 7．（2024秋•南关区校级期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，∠BCD＝60°，AD＝2AB，连结OE．下列结论正确的是　 　 ． ①AB⊥BD； ②CA平分∠BCD； ③AB＝DE； ④S△CDE＝S△BOC． 8．（2024春•本溪期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，延长BC至点E，使得CE＝BC，连接AE交CD于点G，连接OG．下列结论：①OGAD；②AE平分∠CAD；③以点A，C，E，D为顶点构成的四边形是平行四边形；④S▱ABCD＝6S△OCG.其中正确的是 　 　（填写所有正确结论的序号）． 9．（2024春•光明区期末）如图所示，在Rt△ABC外作等边△ADE，点E在AB边上，AC＝5，∠ABC＝30°，AD＝3．将△ADE沿AB方向平移，得到△A′D′E′，连接BD′．给出下列结论：①AB＝10；②四边形ADD′A′为平行四边形；③AB平分∠D′BC；④当平移的距离为4时，BD′＝3．其中正确的是 　 　（填上所有正确结论的序号）． 10．（2024春•三明期末）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，点F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，点E在线段CD上，连接EF，AF，DF，现给出以下结论：①∠C＝2∠AFB； ②AF⊥DF； ③S△ABF＝S△AFE； ④△ABF是等边三角形． 其中正确的是 　 　 （写出所有正确结论的序号）． 【题型一：平行四边形中平移变换问题 】 1．（2024八年级上·山东济南·期中）如图，点A的坐标为，点B在x轴上，把沿x轴向左平移得到，若四边形的面积为15，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级下·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在y轴上，，将沿x轴向右平移，当点B落在直线上时，线段扫过的面积为 ．    3．（2024八年级下·陕西商洛·期中）如图，在平面直角坐标系中，的两个顶点在x轴的正方向上，点A的坐标为，点C的坐标为，直线以每秒1个单位长度的速度向上平移，经过m秒该直线可将的面积平分，则m的值为 . 4．（2024八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，将△OAB沿x轴向右平移后得到△O'A'B'，点A的坐标为（0，4），点A的对应点A在直线yx﹣1上，点B在∠A'AO的角平分线上，若四边形AA'B'B的面积为4，则点B的坐标为 ． 5．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，且，满足．现将线段先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到线段，其中点的对应点为，点的对应点为，连接，． (1)求点，，，的坐标． (2)若是线段上的一个动点，是线段上的一个定点，连接，，当点在线段上移动时（不与点，重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由． (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着轴向上运动，设运动时间为 ．问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于若存在，请求出的值和点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A、C两点的坐标分别为．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位长度，得到平行四边形，其中边与x轴交于点G，边与交于点H． (1)请直接写出点N，M的坐标以及直线的表达式__________． (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形，请求出重叠部分的面积． (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使以点O、N、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型二：平行四边形中的折叠问题 】 1．（2024•临高县二模）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处．若∠1＝56°，∠2＝40°，则∠A的度数为（　　） A．68° B．70° C．110° D．112° 2．（2024春•惠城区期末）将一张平行四边形纸片ABCD折叠成如图所示的图形，DE为折痕，点C的对应点为C′．若∠1＝20°，∠2＝60°，则∠C的度数为（　　） A．60° B．50° C．40° D．45° 3．如图，将平行四边形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点C'处，若∠1＝58°，∠2＝42°，则∠B的度数为（　　） A．71° B．50° C．54.5° D．80° 4．（2024春•郾城区期末）如图，将一张平行四边形纸片ABCD以DE为折痕进行折叠，点C的对应点为C′，若∠1＝20°，∠2＝60°，则∠C的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 5．（2024春•花都区期末）如图，平行四边形纸片ABCD，BC＝7cm，CD＝5cm，面积为28cm2，将其沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，BF与边AD交于点E，则DE的长为（　　） A．5cm B．5.6cm C．5.8cm D．6cm 6．（2024•台州模拟）在平行四边形ABCD中，点E，F在BC边上，把△ABE沿直线AE折叠，△CDF沿直线DF折叠，使点B，C落在对角线AC上的点G处，若∠AGD＝110°，则∠B的度数为 　 　 ． 7．（2024春•苍南县校级期中）如图，已知▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝60°，将△ABC沿着直线AC翻折，使点B的对应点B′落在原图所在平面上，连结B′D．若BD＝5，则B′D的长度为 　 　 ． 8．（2024春•雁塔区校级期中）如图，在△ABC中，AB＞AC，∠A＝30°，AC＝6，点E为AC的中点，点F为边AB上的一个动点，将三角形沿EF折叠，点A的对应点为A′，当以E，F，A′，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段AF的长为 　 　 ． 9．如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3cm，将纸片沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，此时△CDE恰为等边三角形． （1）求AD的长度． （2）请直接写出重叠部分△AEC的周长． 10．（2024•邯郸二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别在AD、BC上，沿EF折叠平行四边形，使点A、C互相重合，点B落在点G的位置． （1）连接GF，CE，求证：△CED≌△CFG； （2）若∠BCD＝130°，求∠AEF的度数． 【题型一：平行四边形中的旋转变换问题 】 1．（2024八年级下·江苏无锡·期中）如图，在□ABCD中，AB＝26，AD＝6，将□ABCD绕点A旋转，当点D的对应点D′落在AB边上时，点C的对应点C′恰好与点B、C在同一直线上，则此时△C′D′B的面积为（）    A．120 B．240 C．260 D．480 2．（2024八年级上·山东济南·期中）如图，原点O为的对称中心，轴，与y轴交于点，与x轴交于 ，．若将绕原点O 顺时针旋转，每次旋转， 则第2024次旋转结束时， 点A的对应点的坐标（    ） A． B． C． D． 3．（2024八年级下·湖北武汉·期中）如图，已知直线，点、分别在、上，射线自射线的位置开始，以每秒的速度绕点逆时针旋转至便立即顺时针回转，旋转至后停止运动，射线自射线的位畳开始，以每秒的速度绕点顺时针嫙转至后停止运动，若射线先旋转秒，射线才开始转动，当射线，互相平行时，射线的旋转时间（）为 秒． 4．（2024八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，和都为等腰直角三角形，，连接，以为邻边作平行四边形，连接．若，现将绕点逆时针旋转一周，则在旋转过程中，的最小值是 ． 5．（2025·山东滨州·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，其中点，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，再把线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为 ． 6．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，将平行四边形绕着点C按顺时针方向旋转得到平行四边形，使点B落在边上的点E处，连接． (1)求证：平分． (2)如图2，当B，E，F三点在同一直线时，且，，求平行四边形的面积． (3)如图3，连接交于点H，求证：点H为的中点． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$