专题1.1 数列的概念（高效培优讲义）数学湘教版2019选择性必修第一册

专题1.1 数列的概念 教学目标 1、通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式） 2、了解数列是一种特殊的函数； 3、理解递推公式是一种表示方法； 4、能根据递推公式写出数列的前项． 教学重难点 1、重点：（1）数列的有关概念；（2）能有数列的前几项写出数列的一个通项公式；（3）理解数列的递推公式，会用递推公式求数列的项；（4）数列单调性的判断与应用． 2、难点：（1）从函数的观点理解数列；（2）判断数列的单调性；（3）求数列的最值． 知识点01 数列的概念 1、数列的有关概念 （1）数列：按一定顺序排列的一列数叫做数列． （2）项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，排在第一位的数叫做数列的首项或叫做数列的第1项，排在第二位的数叫做数列的第二项，……，排在第位的数叫做数列的第项． （3）数列的一般形式：数列通常写成，，，…，，…，其中表示数列的第项，简记为． 2、数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中n∈N+ 递减数列 常数列 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 【即学即练】（24-25高二下·海南·摸底考）下列说法中，不正确的是（    ） A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列和数列一定不是同一数列 【答案】ABD 【解析】对于A，不表示数列，故A错误； 对于B，数列具有有序性，故B错误； 对于C，数列的项可以相等，故C正确； 对于D，当时，数列和数列表示同一数列，故D错误.故选：ABD. 知识点02 数列的表示方法 由于数列是特殊的函数，函数通常可以用解析式、列表和图象来表示，因此，数列也可以用通项公式、列表和图象来表示． 1、通项公式法：如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个式子表示成，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式． 2、列表法：对于任意数列，其每一项的序号与该项都有对应的关系，见下表： 序号 1 2 3 4 … n … 项 … … 3、图象法：已知数列的通项公式，我们可以画出对应的图象，由列表法可知，数列的图象是一群孤立的点．一般情况下，我们用横坐标表示序号，纵坐标表示项，注意横坐标是正整数． 【注意】画图时，横轴与纵轴的单位长度可以不同． 【即学即练】（24-25高二上·云南文山·期末）数列的一个通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以数列的一个通项公式可以是， 显然A、B中时对应项不符合，D中时对应项不符合.故选：C 知识点03 数列的递推公式 1、递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 2、数列的递推公式与通项公式对比 不同点 相同点 通项公式 根据项的序号，直接代入即可求出数列中的任意项． 都可以确定一个数列，都可求出数列的任意一项 递推公式 只根据第1项或前几项的值，通过一次或多次赋值依次求出数列中的项． 【即学即练】（24-25高二上·福建漳州·期中）数列满足，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】因为：， 所以，故选：C. 知识点04 周期数列 1、周期数列的概念 一般地，对于数列，若，都有（，，且不全相等），则该数列为周期数列，其周期为（如数列1,2,3,1,2,3，…是周期为3的周期数列）． 2、判定周期数列的方法 要判断一个数列是否具有周期性或求解一个周期数列，主要方法是通过递推公式求出数列的前几项，观察得到规律或由递推公式直接发现规律．如由递推公式，可推出，知数列是以6为周期的周期数列． 【即学即练】（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知数列满足，且，则 ． 【答案】 【解析】因为数列满足，且，则， ，，， 以此类推可知，对任意的，， 因为，故. 题型01 数列中项的判断与求解 【典例1】（24-25高二上·湖北·期末）数列-1，3，-5，7，…的第9项是（    ） A．-17 B．17 C．-19 D．19 【答案】A 【解析】由数列规律可得：-1，3，-5，7，-9，11，-13，15，-17，… 所以第9项是-17，故选：A 【变式1-1】（24-25高二下·河南·月考）已知数列，则是这个数列的（    ） A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 【答案】C 【解析】由数列，可得数列的通项公式为， 令，解得，所以是这个数列的第10项.故选：C. 【变式1-2】（23-24高二上·江苏淮安·月考）已知数列，则是这个数列的（    ） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第23项 【答案】D 【解析】，故为第23项.故选：D. 【变式1-3】（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知数列的通项公式为，则下列选项中不是中项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】时，，时，，时，，故ACD错误； 令，解得，故不是数列中的项.故选：C 题型02 由数列的前几项求通项 【典例2】（24-25高二上·贵州黔西·期末）数列，，，，，…的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2， 则第项的分子为，对应的分母为， 所以.故选：B 【变式2-1】（24-25高二上·福建宁德·期末）数列1，，4，，的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】数列1，，4，，中， ，， ，，， ……，故选：. 【变式2-2】（24-25高二上·湖北荆州·月考）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由，，，， 可得的一个通项公式为，故D正确.故选：D. 【变式2-3】（24-25高二下·江西·月考）数列6，66，666，6666，66666，…的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】所给数列可以写出，故.故选：D 题型03 由数列的递推关系求通项 【典例3】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则 . 【答案】 【解析】，， ，即， . 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，且，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以，又，即为常数数列， 所以，则，则. 【变式3-2】（23-24高二下·安徽亳州·期中）若数列满足（且），，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 则有， . 故.故选：C. 【变式3-3】（24-25高二上·陕西安康·期末）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得.. 因为，所以，， ，， 所以可知数列是以4为周期的数列，所以故选：C 题型04 数列单调性的判断 【典例4】（24-25高二上·山东·期中）已知数列的通项公式为，则该数列是（    ） A．摆动数列 B．递减数列 C．递增数列 D．常数数列 【答案】A 【解析】由数列通项公式为知，数列奇数项为负，偶数项为正， 故数列为摆动数列，故选：A 【变式4-1】（24-25高二上·河南·月考）（多选）下列数列中，为递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A.，所以， 所以为递增数列，故A正确； 对于B，，所以为递减数列，故B错误； 对于C，因为，则，，所以不单调，故C错误； 对于D，，所以， 所以为递增数列，故D正确.故选：AD. 【变式4-2】（23-24高二下·河北邢台·月考）已知是递增数列，则的通项公式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，，A不合题意； 对于B，，则，即，B不合题意； 对于C，，当n增大时，减小，则增大，符合题意，C正确； 对于D，随着n的增大而减小，不合题意，D错误，故选：C 【变式4-3】（22-23高二下·湖北·月考）（多选）下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，由于，故数列是递增数列； 对于B，由于，故数列是递增数列； 对于C，由于，，故数列不是递增数列； 对于D，由于， 当时，，，即， 又，所以数列是递增数列．故选：ABD. 题型05 根据数列的单调性求参数 【典例5】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足，则“数列是递增数列”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以 由，得到， 所以“数列是递增数列”的充要条件是，故选：B. 【变式5-1】（24-25高二上·河南信阳·期末）已知数列为递增数列，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为数列为递增数列，所以，即. 和显然不能满足，所以且， 为了使得不等式成立，指数函数必须在上单调递增， 因此的取值范围为，故选：C. 【变式5-2】（24-25高二上·广东佛山·期末）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知，那么. 所以.化简后得到. 因为是递增数列，所以对恒成立， 即对恒成立.这意味着对恒成立. 对于函数，，越大，的值越小. 当时，取得最大值，所以.故选：C. 【变式5-3】（24-25高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为对于任意都有， 所以数列单调递减，可得， 当时，若，单调递减， 而时，单调递减，只需，解得， 当时，若，单调递增，不符合题意， 综上：实数的取值范围为,故选：C 题型06 求数列中的最大（小）项 【典例6】（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知数列的通项公式为，则该数列中的最大项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以当时，取得最大值.故选：A. 【变式6-1】（24-25高二上·河北沧州·月考）已知数列的通项公式为，则中的项最大为（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】D 【解析】. 当时，函数单调递减， 则当时，数列单调递减， 所以中的项最大为.故选：D. 【变式6-2】（24-25高二上·广东·期末）已知数列的通项公式为，则当取得最小值时，（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由，则， 令，则，由，解得， 所以当时，，当时，， 即当时，数列单调递减，当时，数列单调递增， 又，，所以，即为数列的最小值， 故当取得最小值时，.故选：B 【变式6-3】（24-25高二上·河南驻马店·月考）已知数列的通项公式为，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为，则， 所以当时，有，即有， 当时，有，即有， 故数列在时单调递减；在,时单调递增， 因为，故的最小值为故选：B. 题型07 数列的周期性及应用 【典例7】（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，若，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【解析】数列中，，，则， 因此数列是周期数列，其周期为3，所以.故选：B 【变式7-1】（24-25高二上·湖北武汉·期末）数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以，，， ，，…… 则该数列的周期为，所以 故选：C. 【变式7-2】（24-25高二上·广东深圳·期末）（多选）已知数列满足，，则下列各数是的项的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为，，即， 所以，，，， 所以数列的周期为4，所以的项的有.故选： AD. 【变式7-3】（24-25高一下·北京海淀·期中）已知数列满足，，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】由题设，，，，， 所以数列的周期为4，且， 所以.故选：C 一、单选题 1．（24-25高二上·广西河池·期末）已知数列1，1，2，3，5，8，13，则这个数列第九项是（    ） A．33 B．34 C．35 D．36 【答案】B 【解析】显然是斐波那契数列，所以，则，故选：B. 2．（24-25高二下·四川仁寿·月考）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，数列是递减数列，A不是； 对于B，，数列不是递增数列，B不是； 对于C，，数列是递增数列，是无穷数列，C是； 对于D，数列是有穷数列，D不是．故选：C 3．（24-25高二上·山东烟台·期末）若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】观察数列的前项，可以发现奇数项为正，偶数项为负. 根据当为偶数时结果为， 当为奇数时结果为； 当为奇数时结果为，当为偶数时结果为， 可知该数列的符号规律可以用来表示. 分母依次为3,5,7,9，得该数列分母的通项公式为. 结合上述对符号规律和数值规律的分析，可知该数列的通项公式为.故选：A. 4．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）在数列中，若，则（    ） A．3 B．5 C．8 D．13 【答案】C 【解析】由， 可以写出数列的前6项：，，故选：C. 5．（24-25高二上·河北沧州·期末）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以，， 同理，，，，， 所以数列是以6为周期的周期数列， 所以.故选：C. 6．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，数列是递增数列， 得，解得， 所以a的取值范围是.故选：C 7．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列的首项，且（），则这个数列的第4项是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】已知，将代入递推公式中， 可得： ， 将代入递推公式中，此时， 则： ， 将代入递推公式中，此时， 则： ， 这个数列的第项是.故选：A. 8．（24-25高二上·江苏常州·期末）数列中，（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则. 令，则， 所以. 又，所以，所以.故选：A 二、多选题 9．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）下列结论中正确的是（    ） A．数列的项数是无限的 B．数列通项公式的表达式不是唯一的 C．数列1，3，5，7可表示为 D．数列1，3，5，7与数列7，5，3，1不是同一数列 【答案】BD 【解析】数列按项数分类可分为有穷数列与无穷数列， 即数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，故A错误； 数列通项公式的表达式不是唯一的， 例如，数列1，，1，，…的通项公式可以是， 也可以是，故B正确； 构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的，故C错误； 根据数列定义，两数列的数排列次序不相同，不是相同的数列，故D正确．故选：BD. 10．（24-25高二上·河南开封·期末）已知数列满足：，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】， 时，， 两式相减，得， ，即， 对于A，，，，， ，，， ，，，故A正确； 对于B，，， ，，， 故B不正确； 对于C，时，， 时，，故C正确； 对于D，，，，， ，故D正确，故选：ACD 11．（24-25高二上·重庆·期中）已知数列满足：，则以下说法正确的是（    ） A．数列为单调递减数列 B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为，所以， 所以为递减数列，A对； 易知，则，B错； 由，故，C错； 由，故，D对.故选：AD 三、填空题 12．（24-25高二上·山东·期中）在数列中，，则的通项公式为 ． 【答案】； 【解析】， 故， 所以 . 故答案为： 13．（24-25高二上·天津·月考）已知数列的通项，，则数列的最大项与最小项之和为 . 【答案】2 【解析】， 当时，，且单调递减； 当时，，且单调递减， 所以列的最大项为，最小值为， 所以数列的最大项与最小项之和为. 14．（24-25高二上·山东临沂·期末）若数列满足（其中，，为常数，），则称是以为周期，以为周期公差的“类周期性等差数列”.若“类周期性等差数列”的前4项为1，1，2，2，周期为4，周期公差为2，则的前16项和为 . 【答案】72 【解析】依题意，， ， ， ， 所以的前16项和为. 四、解答题 15．（23-24高二下·吉林白城·月考）已知数列的通项公式为. (1)判断是不是数列中的项； (2)试判断数列中的项是否都在区间内． 【答案】(1)不是数列中的项；(2)数列中的项都在区间内 【解析】（1）， 由，解得， 又因为，所以不是数列中的项； （2）， 因为，所以，所以，所以， 所以数列中的项都在区间内. 16．（24-25高二上·陕西·月考）已知数列的前项和记为，若点均在函数的图象上． (1)求； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)，，，；(2) 【解析】（1）由点均在函数的图象上，可得， 则，， ，. （2）由点均在函数的图象上，可得， 当时，可得； 当时，， 经检验，当时不成立， 所以数列的通项公式为. 17．（23-24高二上·福建泉州·期末）第二十四届北京冬季奥林匹克运动会开幕式上的主火炬如图一，这是历史上第一座由所有参赛国家和地区的名字汇聚成的大雪花．没有天马行空的点火方式，也没有赫赫炎炎的剧烈燃烧，但却清晰地传递了低碳环保理念，一朵雪花照亮了“双奥之城”北京，也将照亮全人类的绿色未来．如图二是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法是从一个正三角形开始，把每条边三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．已知原正三角形（图二①）的边长为3，并将图二中的第个图的面积记为． (1)求； (2)求数列的通项公式，并探究是否存在超过图二①面积2倍的图形． 【答案】(1)，；(2)，不存在，理由见解析 【解析】（1）根据三角形面积公式得，． （2）图二中的①，②，③，④，中的图形依次记为， 它的边数是以3为首项，4为公比的等比数列，则图形的边数为； 从起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数是以3为首项，4为公比的等比数列， 则比前一个图形多出的三角形的个数为； 从起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积是以为首项，为公比的等比数列， 则比前一个图形多出的每一个三角形的面积是． 所以，即． 所以当时， 又因为，符合上式， 所以． 若存在，得，整理得，显然矛盾， 所以不存在超过图二①面积2倍的图形 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 数列的概念 教学目标 1、通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式） 2、了解数列是一种特殊的函数； 3、理解递推公式是一种表示方法； 4、能根据递推公式写出数列的前项． 教学重难点 1、重点：（1）数列的有关概念；（2）能有数列的前几项写出数列的一个通项公式；（3）理解数列的递推公式，会用递推公式求数列的项；（4）数列单调性的判断与应用． 2、难点：（1）从函数的观点理解数列；（2）判断数列的单调性；（3）求数列的最值． 知识点01 数列的概念 1、数列的有关概念 （1）数列：按一定顺序排列的一列数叫做数列． （2）项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，排在第一位的数叫做数列的首项或叫做数列的第1项，排在第二位的数叫做数列的第二项，……，排在第位的数叫做数列的第项． （3）数列的一般形式：数列通常写成，，，…，，…，其中表示数列的第项，简记为． 2、数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中n∈N+ 递减数列 常数列 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 【即学即练】（24-25高二下·海南·摸底考）下列说法中，不正确的是（    ） A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列和数列一定不是同一数列 知识点02 数列的表示方法 由于数列是特殊的函数，函数通常可以用解析式、列表和图象来表示，因此，数列也可以用通项公式、列表和图象来表示． 1、通项公式法：如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个式子表示成，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式． 2、列表法：对于任意数列，其每一项的序号与该项都有对应的关系，见下表： 序号 1 2 3 4 … n … 项 … … 3、图象法：已知数列的通项公式，我们可以画出对应的图象，由列表法可知，数列的图象是一群孤立的点．一般情况下，我们用横坐标表示序号，纵坐标表示项，注意横坐标是正整数． 【注意】画图时，横轴与纵轴的单位长度可以不同． 【即学即练】（24-25高二上·云南文山·期末）数列的一个通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 知识点03 数列的递推公式 1、递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 2、数列的递推公式与通项公式对比 不同点 相同点 通项公式 根据项的序号，直接代入即可求出数列中的任意项． 都可以确定一个数列，都可求出数列的任意一项 递推公式 只根据第1项或前几项的值，通过一次或多次赋值依次求出数列中的项． 【即学即练】（24-25高二上·福建漳州·期中）数列满足，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 知识点04 周期数列 1、周期数列的概念 一般地，对于数列，若，都有（，，且不全相等），则该数列为周期数列，其周期为（如数列1,2,3,1,2,3，…是周期为3的周期数列）． 2、判定周期数列的方法 要判断一个数列是否具有周期性或求解一个周期数列，主要方法是通过递推公式求出数列的前几项，观察得到规律或由递推公式直接发现规律．如由递推公式，可推出，知数列是以6为周期的周期数列． 【即学即练】（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知数列满足，且，则 ． 题型01 数列中项的判断与求解 【典例1】（24-25高二上·湖北·期末）数列-1，3，-5，7，…的第9项是（    ） A．-17 B．17 C．-19 D．19 【变式1-1】（24-25高二下·河南·月考）已知数列，则是这个数列的（    ） A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 【变式1-2】（23-24高二上·江苏淮安·月考）已知数列，则是这个数列的（    ） A．第20项 B．第21项 C．第22项 D．第23项 【变式1-3】（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知数列的通项公式为，则下列选项中不是中项的是（    ） A． B． C． D． 题型02 由数列的前几项求通项 【典例2】（24-25高二上·贵州黔西·期末）数列，，，，，…的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·福建宁德·期末）数列1，，4，，的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·湖北荆州·月考）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二下·江西·月考）数列6，66，666，6666，66666，…的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 题型03 由数列的递推关系求通项 【典例3】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则 . 【变式3-1】（24-25高二上·上海·期中）在数列中，，且，则 ． 【变式3-2】（23-24高二下·安徽亳州·期中）若数列满足（且），，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·陕西安康·期末）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 题型04 数列单调性的判断 【典例4】（24-25高二上·山东·期中）已知数列的通项公式为，则该数列是（    ） A．摆动数列 B．递减数列 C．递增数列 D．常数数列 【变式4-1】（24-25高二上·河南·月考）（多选）下列数列中，为递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二下·河北邢台·月考）已知是递增数列，则的通项公式可能为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（22-23高二下·湖北·月考）（多选）下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 题型05 根据数列的单调性求参数 【典例5】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足，则“数列是递增数列”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·河南信阳·期末）已知数列为递增数列，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·广东佛山·期末）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型06 求数列中的最大（小）项 【典例6】（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知数列的通项公式为，则该数列中的最大项是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·河北沧州·月考）已知数列的通项公式为，则中的项最大为（    ） A． B．0 C． D．2 【变式6-2】（24-25高二上·广东·期末）已知数列的通项公式为，则当取得最小值时，（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-3】（24-25高二上·河南驻马店·月考）已知数列的通项公式为，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 题型07 数列的周期性及应用 【典例7】（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，若，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【变式7-1】（24-25高二上·湖北武汉·期末）数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·广东深圳·期末）（多选）已知数列满足，，则下列各数是的项的有（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高一下·北京海淀·期中）已知数列满足，，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 一、单选题 1．（24-25高二上·广西河池·期末）已知数列1，1，2，3，5，8，13，则这个数列第九项是（    ） A．33 B．34 C．35 D．36 2．（24-25高二下·四川仁寿·月考）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东烟台·期末）若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）在数列中，若，则（    ） A．3 B．5 C．8 D．13 5．（24-25高二上·河北沧州·期末）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列的首项，且（），则这个数列的第4项是（    ） A． B． C． D．3 8．（24-25高二上·江苏常州·期末）数列中，（），则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）下列结论中正确的是（    ） A．数列的项数是无限的 B．数列通项公式的表达式不是唯一的 C．数列1，3，5，7可表示为 D．数列1，3，5，7与数列7，5，3，1不是同一数列 10．（24-25高二上·河南开封·期末）已知数列满足：，，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·重庆·期中）已知数列满足：，则以下说法正确的是（    ） A．数列为单调递减数列 B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二上·山东·期中）在数列中，，则的通项公式为 ． 13．（24-25高二上·天津·月考）已知数列的通项，，则数列的最大项与最小项之和为 . 14．（24-25高二上·山东临沂·期末）若数列满足（其中，，为常数，），则称是以为周期，以为周期公差的“类周期性等差数列”.若“类周期性等差数列”的前4项为1，1，2，2，周期为4，周期公差为2，则的前16项和为 . 四、解答题 15．（23-24高二下·吉林白城·月考）已知数列的通项公式为. (1)判断是不是数列中的项； (2)试判断数列中的项是否都在区间内． 16．（24-25高二上·陕西·月考）已知数列的前项和记为，若点均在函数的图象上． (1)求； (2)求数列的通项公式． 17．（23-24高二上·福建泉州·期末）第二十四届北京冬季奥林匹克运动会开幕式上的主火炬如图一，这是历史上第一座由所有参赛国家和地区的名字汇聚成的大雪花．没有天马行空的点火方式，也没有赫赫炎炎的剧烈燃烧，但却清晰地传递了低碳环保理念，一朵雪花照亮了“双奥之城”北京，也将照亮全人类的绿色未来．如图二是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法是从一个正三角形开始，把每条边三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．已知原正三角形（图二①）的边长为3，并将图二中的第个图的面积记为． (1)求； (2)求数列的通项公式，并探究是否存在超过图二①面积2倍的图形． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$