第04讲 幂函数与二次函数 ( 精练）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第04讲 幂函数与二次函数 A夯实基础 B素养提升 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数中，属于幂函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江西·期中）已知幂函数，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）幂函数及直线，，将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示）．那么幂函数的图象经过的“卦限”是（   ） A．④⑦ B．④⑧ C．③⑧ D．①⑤ 4．（2025高一上·河北保定·专题练习）将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后所得抛物线表达式为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·湖北·模拟预测）已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 7．（24-25高一下·云南曲靖·期中）已知幂函数在区间上单调递减，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·湖南怀化·期末）函数在区间上是单调递减的，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·陕西西安·期末）若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数的值域是，则其定义域可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（25-26高一上·全国·课后作业）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 12．（2025高三·全国·专题练习）若函数的最小值在内取得，则实数a的取值范围为 . 四、解答题 13．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）（1）求函数的值域. （2）求二次函数在区间上的最小值. 14．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. B素养提升 1．（24-25高一下·湖北·阶段练习）幂函数都有成立，则下列说法正确的是（    ） A． B．或 C．是偶函数 D．是奇函数 2．（24-25高一下·广西贵港·期中）已知函数在上具有单调性，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）如图，二次函数的图象经过点，且与x轴交点的横坐标分别为，其中，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填写正确结论的序号）． 4．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知函数 (1)当，求函数的值域 (2)解关于的不等式 (3)当时，，使得，求实数的取值范围 5．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在区间上有最大值4和最小值1． (1)求，的值； (2)若存在，使对任意的都成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 幂函数与二次函数 A夯实基础 B素养提升 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数中，属于幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断函数是否是幂函数 【解析】略 2．（24-25高一下·江西·期中）已知幂函数，则下列说法正确的是（   ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、比较函数值的大小关系 【分析】由幂函数的定义及单调性即可判断. 【详解】由幂函数的定义可知，，解得，所以，则为偶函数，A错误； 在上单调递减，在上单调递增，B错误； 由单调性可知，当时，，，C正确，D错误． 故选：C 3．（25-26高一上·全国·课后作业）幂函数及直线，，将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示）．那么幂函数的图象经过的“卦限”是（   ） A．④⑦ B．④⑧ C．③⑧ D．①⑤ 【答案】D 【知识点】幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的单调性 【详解】取得，故在第⑤卦限；再取得，故在第①卦限． 4．（2025高一上·河北保定·专题练习）将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后所得抛物线表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求二次函数的解析式、函数 【分析】根据函数平移规则得出解析式即可. 【详解】将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移1个单位， 则平移后所得抛物线表达式为. 故选：B. 5．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二次函数的值域或最值 【分析】利用二次函数的性质求出指定区间上的值域. 【详解】函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，；当时，， 所以所求值域为. 故选：C 6．（2025·湖北·模拟预测）已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．为奇函数 B．在其定义域上单调递减 C． D． 【答案】C 【知识点】求幂函数的解析式、幂函数的奇偶性的应用、判断一般幂函数的单调性、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由幂函数的定义求出，由函数奇偶性得到A错误，求出定义域，求导得到函数的单调性，从而判断BCD. 【详解】因为是幂函数，根据幂函数的定义可知， 当时，，等式成立， 因为在R上单调递增，故为唯一解. 此时，其定义域为. A选项，，所以是偶函数，A选项错误. B选项，对求导，可得. 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在其定义域上不单调递减的，B错误； C选项，，在上单调递减. 因为，所以，即，C选项正确. D选项，，在上单调递增，， 所以，即，D错误. 故选：C. 7．（24-25高一下·云南曲靖·期中）已知幂函数在区间上单调递减，则函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数型函数图象过定点问题、根据函数是幂函数求参数值 【分析】由幂函数的性质求出，再由指数函数的性质可得. 【详解】因为幂函数在区间上单调递减， 则解得， 所以，，则，即函数的图象过定点. 故选：A. 8．（24-25高一下·湖南怀化·期末）函数在区间上是单调递减的，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】利用二次函数的性质求解参数范围即可. 【详解】由题意,的图象开口向上，对称轴为直线， 因为在区间上单调递减，所以， 解得. 故选：C. 9．（24-25高一上·陕西西安·期末）若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】讨论两种情况，时先求出函数的对称轴，再根据二次函数在区间上不具有单调性，可判断对称轴在区间上，进而得到答案. 【详解】时，在上递减，不合题意； 时，函数图象的对称轴为直线， 因为函数在区间上不具有单调性， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：A. 二、多选题 10．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数的值域是，则其定义域可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、根据函数的值域求定义域 【分析】根据二次函数的性质确定函数定义域形式，再结合给定值域求解作答. 【详解】由，得，即，得． 由，得，即或． 故定义域内必须含有1，0与2至少含有一个，且定义域一定是的子集． 设定义域为，若，则，则A成立； 若，则，则B，C成立； D不可能为定义域． 故选：ABC. 三、填空题 11．（25-26高一上·全国·课后作业）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据函数是幂函数求参数值 【详解】由条件得，解得或，当时，，该函数是定义域为的奇函数，不符合题意；当时，，该函数是定义域为的偶函数，符合题意．所以，则，其对称轴方程为，因为在区间上单调递减，则，解得． 12．（2025高三·全国·专题练习）若函数的最小值在内取得，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】根据二次函数性质结合最小值计算求参. 【详解】时函数取得最小值， 所以由的最小值在内取得，得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）（1）求函数的值域. （2）求二次函数在区间上的最小值. 【答案】（1）；（2）= 【知识点】求二次函数的值域或最值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】（1）利用分离参数求值域即可； （2）根据二次函数对称轴分类讨论即可求解. 【详解】（1），因为0，所以2+， 所以值域为； （2）函数的图象对称轴是， 所以当时，f（x）在区间上单调递增， 所以最小值为； 当时，在区间单调递减， 所以最小值为； 当时，f（x）最小值为， 综上，= 14．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 【答案】(1)2； (2) 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围、幂函数的奇偶性的应用 【分析】（1）根据幂函数的定义可得或，再根据奇偶性可得； （2）利用二次函数单调性列不等式，可得解. 【详解】（1）由幂函数的定义，有，解得或， ①当时，，函数为奇函数，不合题意； ②当时，，函数为偶函数，满足题意； 由上知，实数的值为2. （2）由（1）知，，有， 又由函数的对称轴方程为. 若函数在区间上单调，有或. 可得或. 故实数的取值范围为. B素养提升 1．（24-25高一下·湖北·阶段练习）幂函数都有成立，则下列说法正确的是（    ） A． B．或 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】D 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据幂函数的特征以及函数的单调性得到的值，再根据奇偶性定义可得到结果. 【详解】解：因为是幂函数，所以，解得或， 因为，都有成立，所以该函数在是减函数， 所以，故A，B错误； ，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以是奇函数，故D正确，C错误. 故选：D. 2．（24-25高一下·广西贵港·期中）已知函数在上具有单调性，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】由对称轴与区间的关系构造不等式求解即可. 【详解】由题意二次函数对称轴为：， 要使得函数在上具有单调性， 需满足或， 得或， 则k的取值范围为． 故选：B 3．（25-26高一上·全国·课后作业）如图，二次函数的图象经过点，且与x轴交点的横坐标分别为，其中，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填写正确结论的序号）． 【答案】①②③ 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、二次函数的图象分析与判断 【详解】设，则，所以．由图可知，①正确；由图可知，对称轴为直线，所以，②正确；由图可知，联立将代入上述不等式组得两式相加得，解得，③正确；由图可知，所以，④错误． 4．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知函数 (1)当，求函数的值域 (2)解关于的不等式 (3)当时，，使得，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、求二次函数的值域或最值、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）已知，把代入函数，将函数化为顶点式，因为完全平方项非负，所以能得出函数最小值，进而确定值域. （2）先把化简为，通过求判别式，根据取值不同分情况讨论.当，求出对应方程两根，得到不等式解集；当，不等式解集为；当，求出对应方程根，得到不等式解集. （3）先确定对称轴，结合范围得出值域，已知值域.根据是的子集，列出不等式组求解，再结合确定范围. 【详解】（1）当时， 所以 （2） ，得，时，对应方程的两根为 当或时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为          综上：当或时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 （3）当，的对称轴方程为， 由图可知，的值域为； 当时，的值域为； 又因，使得，则， 所以，得，又，所以 5．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在区间上有最大值4和最小值1． (1)求，的值； (2)若存在，使对任意的都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、函数不等式恒成立问题、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）结合二次函数单调性和最值列式求解即可； （2）根据存在性问题结合二次函数最值可得对任意的都成立，结合一次函数性质分析求解. 【详解】（1）因为，且， 可知的图象开口向上，对称轴为，可知在上单调递增， 则，解得. （2）由（1）得， 因为存在，使对任意的都成立， 由（1）可知：在内单调递增，则， 可得，即对任意的都成立， 可得，解得或， 故实数的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$