第05讲 复数（知识点+真题+ 7大高频考点） ( 精讲）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第05讲 复数 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高考真题回顾 3 第三部分：高频考点一遍过 3 高频考点一：复数的概念 3 高频考点二：复数的几何意义 3 高频考点三：复数分类 4 高频考点四：复数模 4 高频考点五：待定系数求复数 5 高频考点六：复数的四则运算 5 高频考点七：共轭复数 6 第一部分：基础知识 1、复数的概念 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集. 复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部. 2、复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 3、复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 4、复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 5、复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 6、共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则. 7、复数代数形式的加法（减法）运算 （1）复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： 显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数 （2）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 注意：①两个复数的差是一个确定的复数； ②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. 第二部分：高考真题回顾 1．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：复数的概念 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）设复数在复平面内对应的点为，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D．3 例2．（2025·河北秦皇岛·三模）下列关于复数的说法，正确的是（   ） A．复数的任何偶数次幂都不小于零 B．若实数，则是纯虚数 C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数 D．若复数满足，则均为实数 精练高频考点 1．（2025·陕西·模拟预测）复数的虚部是（   ） A． B．1 C． D．3 2．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）下列关于复数（）的说法一定正确的是（    ） A．存在使得小于0 B．存在使得 C．不是实数 D．实部和虚部均为1 高频考点二：复数的几何意义 典型例题 例1．（2025·湖北·模拟预测）已知复数满足（是虚数单位），复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例2．（2025·湖北·模拟预测）在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 精练高频考点 1．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·山东聊城·二模）复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点在复平面的（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 高频考点三：复数分类 典型例题 例1．（2025·吉林·模拟预测）已知复数为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或1 D．2 例2．（2025·云南曲靖·二模）已知复数，若，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 例3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知复数（）为正实数，则 ． 精练高频考点 1．（2025·江西鹰潭·二模）复数，若为纯虚数，则（    ） A．4 B． C．1 D． 2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知复数z与都是纯虚数，则 . 3．（2025·山西临汾·三模）已知，复数为纯虚数，则 ． 高频考点四：复数模 典型例题 例1．（2025·江西新余·模拟预测）已知复数z满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例2．（2025·安徽·三模）已知复数满足，则（   ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最大值 例3．（2025·上海浦东新·三模）已知复数满足，则（i是虚数单位）的最小值为 . 精练高频考点 1．（2025·广东·模拟预测）若复数z满足，那么的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25高三下·广东·阶段练习）已知为虚数单位，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南·三模）若复数z满足，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 高频考点五：待定系数求复数 典型例题 例1．（多选）（2025·山东青岛·一模）下列计算结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 例2．（2025·江西南昌·模拟预测）已知复数z满足，则z的虚部为 . 精练高频考点 1．（2025·山东·二模）已知，，则复数z在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·广东揭阳·三模）若复数满足，则（    ） A． B． C．1 D． 高频考点六：复数的四则运算 典型例题 例1．（2025·重庆·模拟预测）若复数z使得为纯虚数，则（   ）. A． B．2 C． D．4 例2．（2025·天津红桥·二模）若为虚数单位，且则实数 . 精练高频考点 1．（2025·河南·模拟预测）在复平面内，复数z对应的点与对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B． C．1 D． 高频考点七：共轭复数 典型例题 例1．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（   ） A． B． C． D． 例2．（2025·上海长宁·二模）复数，，则 ． 精练高频考点 1．（2025·广西南宁·模拟预测）已知i为虚数单位，复数，复数z的共轭复数为，则的虚部为（   ） A． B．3 C． D． 2．（2025·河南南阳·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D．1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 复数 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高考真题回顾 2 第三部分：高频考点一遍过 3 高频考点一：复数的概念 3 高频考点二：复数的几何意义 5 高频考点三：复数分类 6 高频考点四：复数模 8 高频考点五：待定系数求复数 10 高频考点六：复数的四则运算 12 高频考点七：共轭复数 14 第一部分：基础知识 1、复数的概念 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集. 复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部. 2、复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 3、复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 4、复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 5、复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 6、共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则. 7、复数代数形式的加法（减法）运算 （1）复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： 显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数 （2）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 注意：①两个复数的差是一个确定的复数； ②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. 第二部分：高考真题回顾 1．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算. 【详解】依题意得，，故. 故选：D 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【知识点】求复数的模 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：复数的概念 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）设复数在复平面内对应的点为，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、根据复数的坐标写出对应的复数 【分析】先得到，利用复数除法法则得到，求出虚部. 【详解】由题意可知，所以， 则的虚部为. 故选：B. 例2．（2025·河北秦皇岛·三模）下列关于复数的说法，正确的是（   ） A．复数的任何偶数次幂都不小于零 B．若实数，则是纯虚数 C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数 D．若复数满足，则均为实数 【答案】D 【知识点】复数的基本概念、已知复数的类型求参数、复数的坐标表示、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解. 【详解】对于A中，由虚数单位，可得A错误； 对于B中，若，那么，所以B错误； 对于C中，虚轴上的点对应复数，所以C错误； 对于D中，若复数满足，虚数不能比较大小，则均为实数，D正确. 故选：D. 精练高频考点 1．（2025·陕西·模拟预测）复数的虚部是（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算 【分析】直接利用复数的乘法法则计算可得答案. 【详解】因为， 所以复数的虚部为3. 故选：D. 2．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）下列关于复数（）的说法一定正确的是（    ） A．存在使得小于0 B．存在使得 C．不是实数 D．实部和虚部均为1 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算、判断特称（存在性）命题的真假、复数的基本概念 【分析】根据复数的大小比较条件判断选项A；根据复数的幂运算判断选项B；根据实数、虚数、实部和虚部的概念判断选项C和选项D. 【详解】对于选项A： 因为复数不能直接比较大小，只有两个复数都是实数时才能比较大小，所以A错误. 对于选项B： 因为，所以只有当时，的幂次方才有可能为实数. 当时，验证是否为1. ，可以看出周期为4，所以，所以B错误. 对于选项C： 因为，所以为复数，不是实数，所以C正确. 对于选项D： 因为不一定是1，所以实部不一定为1.所以D错误. 故选：C. 高频考点二：复数的几何意义 典型例题 例1．（2025·湖北·模拟预测）已知复数满足（是虚数单位），复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用复数的乘方运算以及除法运算求解即可. 【详解】∵，∴， ∴， ∴复数在复平面内对应的点，位于第二象限. 故选：B. 例2．（2025·湖北·模拟预测）在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用复数除法求解，再结合复数对应的点判断即可. 【详解】，所以对应的点位于第四象限. 故选：D 精练高频考点 1．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限、复数的乘方 【分析】根据复数代数形式的乘方、除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为， 所以，则在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A． 2．（2025·山东聊城·二模）复数满足，其中i为虚数单位，则对应的点在复平面的（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】复数代数形式的乘法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据题意，化简得到复数，然后结合复数的几何意义即可知道结果. 【详解】因为，所以 则其对应点的坐标为，位于第二象限. 故选：B. 高频考点三：复数分类 典型例题 例1．（2025·吉林·模拟预测）已知复数为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或1 D．2 【答案】B 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】由纯虚数定义列方程和不等式即可求解. 【详解】由题可得. 故选：B 例2．（2025·云南曲靖·二模）已知复数，若，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、已知复数的类型求参数 【分析】根据给定条件，利用复数的分类列式计算作答. 【详解】因为, 所以， 故选：C 例3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知复数（）为正实数，则 ． 【答案】2 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】利用复数的概念进行求解即可 【详解】由题意得解得． 故答案为：2. 精练高频考点 1．（2025·江西鹰潭·二模）复数，若为纯虚数，则（    ） A．4 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】已知复数的类型求参数、共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算 【分析】由共轭复数的概念和纯虚数的概念结合复数的乘法运算可得. 【详解】由题意可得， 因为为纯虚数，即为纯虚数， 所以，解得. 故选：D 2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知复数z与都是纯虚数，则 . 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算 【分析】由题意设，代入，整理后由为纯虚数即可求解． 【详解】由题意设， 则， 则，解得 则 故答案为：. 3．（2025·山西临汾·三模）已知，复数为纯虚数，则 ． 【答案】2 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】由纯虚数的概念列出等式求解即可. 【详解】由题意可得， 解得：， 故答案为： 高频考点四：复数模 典型例题 例1．（2025·江西新余·模拟预测）已知复数z满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】先设复数，再根据模长得出，再结合两点间距离公式转化为圆心到点的距离减半径计算求解. 【详解】设，故； 而， 故的最小值为， 故选:C． 例2．（2025·安徽·三模）已知复数满足，则（   ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最大值 【答案】C 【知识点】求复数的模、由复数模求参数、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，根据复数的模得到，再计算，即可得解. 【详解】设，由， 则，所以， 解得，所以，当且仅当时取等号， 所以有最小值，无最大值． 故选：C 例3．（2025·上海浦东新·三模）已知复数满足，则（i是虚数单位）的最小值为 . 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】确定复数的轨迹，结合点到线的距离公式即可求解. 【详解】设， 则由可得：， 则，即或 的几何意义为射线上的点与的距离， 结合图像可知：到的距离即为最小值， 最小值为：， 故答案为： 精练高频考点 1．（2025·广东·模拟预测）若复数z满足，那么的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】实轴、虚轴上点对应的复数、求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】利用复数模的几何意义转化复数z满足的限制条件，进而求得的最大值. 【详解】设复数、在复平面内对应的点分别为， 复数在复平面对应的点为：， 由可知：复数z在复平面内对应的点到两点的距离之和为2， 而，所以点在线段上，故， 则， 当时，的最大值为. 故选：B. 2．（24-25高三下·广东·阶段练习）已知为虚数单位，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数式与对数式的互化、求复数的模 【分析】利用复数的模的运算，再结合指对数转化即可求解. 【详解】由复数的模得：， 所以有， 故选：D. 3．（2025·河南·三模）若复数z满足，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、共轭复数的概念及计算 【分析】根据已知有，确定对应点的轨迹，再应用圆上点到定点距离范围的求法得到的范围. 【详解】由，即对应点在以复平面的原点为圆心，1为半径的圆上， 由表示上述圆上点到点的距离，结合圆的性质，易知. 故选：D 高频考点五：待定系数求复数 典型例题 例1．（多选）（2025·山东青岛·一模）下列计算结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】设，则，利用复数的乘法以及复数的模长公式逐项判断即可. 【详解】设，则，， ，， 所以，同理可得， 因此，， 故选：ACD. 例2．（2025·江西南昌·模拟预测）已知复数z满足，则z的虚部为 . 【答案】 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算、复数的相等 【分析】设，利用复数相等可得，求解即可. 【详解】设，则， 所以，解得或，所以或， 所以的虚部为. 故答案为：. 精练高频考点 1．（2025·山东·二模）已知，，则复数z在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】复数的相等、复数加减法的代数运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】设复数，根据共轭复数的定义求出，再结合已知条件列出方程组求解的值，从而得到复数，最后确定其在复平面内的位置. 【详解】设复数，则共轭复数， 因为， 列出方程组为： 求解该方程组得：. 所以复数. 在复平面内对应点坐标为，横坐标，纵坐标， 所以该点在第一象限. 故选：A. 2．（2025·广东揭阳·三模）若复数满足，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、求复数的模 【分析】设，，再根据复数除法运算和等量关系即可求出参数，再结合复数的模的计算公式即可计算求解. 【详解】设，，则，即， 整理得，故，注意到， 则只能，故， 故. 故选：D. 高频考点六：复数的四则运算 典型例题 例1．（2025·重庆·模拟预测）若复数z使得为纯虚数，则（   ）. A． B．2 C． D．4 【答案】B 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法运算及复数的概念、复数的模的定义运算即可. 【详解】设， 则， 所以，， 即，所以. 故选：B 例2．（2025·天津红桥·二模）若为虚数单位，且则实数 . 【答案】 【知识点】复数的除法运算、复数的相等、复数代数形式的乘法运算 【分析】化简复数，再由复数相等可得解方程即可得出答案. 【详解】因为 所以解得：. 故答案为：. 精练高频考点 1．（2025·河南·模拟预测）在复平面内，复数z对应的点与对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数的除法运算 【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解. 【详解】， 所以． 故选：B 2．（2025·河北·模拟预测）已知复数，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】先分母实数化，整理后写出复数，结合模长公式计算即可. 【详解】，则， 故选：C． 高频考点七：共轭复数 典型例题 例1．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的除法运算求出复数，根据共轭复数及虚部的定义求解. 【详解】因为，所以， 因此，故的虚部为． 故选：A. 例2．（2025·上海长宁·二模）复数，，则 ． 【答案】/ 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】由已知可得，根据复数的乘法运算即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 精练高频考点 1．（2025·广西南宁·模拟预测）已知i为虚数单位，复数，复数z的共轭复数为，则的虚部为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算 【分析】方法一、设代入化简，即可求得复数z； 方法二、利用为实数可得，即可得出的虚部. 【详解】方法一、设，， 所以， ，，所以的虚部为， 故选：A． 方法二、，得，则有， 所以的虚部为， 故选：A． 2．（2025·河南南阳·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】由复数的除法运算、乘方运算得到，再由共轭复数得到. 【详解】，所以， 故选：A 学科网（北京）股份有限公司 $$